geometri - DiVA portal

2007:065
C-UPPSATS
GEOMETRI:
Geometrins historiska utveckling och
hur geometrin presenteras i läroböcker
för gymnasiet (1962 – 1999)
MALIN WIKLUND
MATEMATIK C
Luleå tekniska universitet
Institutionen för Matematik
2007:065 • ISSN: 1402 - 1773 • ISRN: LTU - CUPP - - 07/65 - - SE
Abstract
This work on geometry contains of tree parts. The first part consists of the history of
geometry. It tell us the story of the Babylonians first scripts and of famous mathematicians as
Pythagoras and Euclid and to the development of non-Euclidian geometry. Some of the
mathematic thoughts, that we observed in the history of geometry, are further explained in the
second part. You’ll find Euclid´s definitions and postulates and his proof of the theorem of
Pythagoras in the second part and also some constructing problems for compass and
straightedge. The second part also contains Apollonius definition of the conic sections and a
short introduction to projective geometry. The last part of this work is a comparison between
four different textbooks for upper secondary school. Visible differences and similarities have
been observed and put together. The notes are about geometries as a part of the mathematical
subjects and how the textbooks present the theoretical part and the practical exercises. The
third part also contains and a reflection on the parts of the history of geometry you can find in
the textbooks and what importance they have got.
Sammanfattning
Den här C-uppsatsen, som handlar om geometri, har tre ingående delar. Den första delen
berättar geometrins historiska utveckling från de första Babyloniska skrifterna via kända
matematiker som Pythagoras och Euklides fram till utvecklingen av den icke-euklidiska
geometrin. Den andra delen förklarar mer ingående några hållpunkter som uppmärksammades
ur geometrins historia. Denna del beskriver Euklides axiomatiska framställning och bevis av
Pythagoras sats, konstruktion med passare och linjal, Apollonius kägelsnitt samt en inblick i
grunderna för projektiv geometri. I den avslutande delen har en jämförande studie gjorts av
fyra olika läromedel för gymnasieskolan. Här har synbara skillnader och likheter beaktats och
sammanställts. De aspekter som har beaktats har dels varit av allmän karaktär, såsom vilken
plats geometrin har i läroböckerna och hur böckerna presenterar de teoretiska delarna och de
praktiska övningsuppgifterna. Den andra aspekten, i den tredje delen, har varit att se
betydelsen av geometrins historiska utveckling i läroböckerna och reflektera över
geometriområden från historien som återfinns i läroböckerna.
i
ii
Förord
Under hösten 2006 har arbetet med min C-uppsats i matematik pågått. Läsaren till denna
uppsats förutsätts att ha baskunskaper i matematik.
Jag vill tacka min handledare, Thomas Gunnarsson på Matematikinstitutionen för hans
engagemang och hjälp samt de värdefulla diskussioner vi haft under arbetets gång, både
avseende matematiken och uppsatsskrivningen.
Jag vill också tacka Lennart Åström för korrekturläsning och kommentarer till förbättringar
av denna uppsats.
Slutligen vill jag tacka min familj som varit mycket stöttande och förstående, då arbetet med
denna uppsats tagit mycket av min lediga tid
Luleå, januari 2007
Malin Wiklund
iii
iv
Innehållsförteckning
Sammanfattning
i
Förord
iii
1
Inledning
1.1
Bakgrund och syfte
1.2
Disposition
1
1
1
2
Geometrins historiska utveckling
2.1
Inledning
2.2
De första skriftliga bevisen
2.3
Pythagoras och Pythagoréerna
2.4
Pythagoréernas geometri
2.5
Tre klassiska problemen i grekisk geometri
2.6
Alexandria ett vetenskapligt centrum
2.6.1 Euklides Elementa
2.6.2 Ptolemaios och Pappus
2.7
Geometrins utveckling under Romartiden
2.7.1 Arkimedes
2.7.2 Apollonius
2.8
Geometrins utveckling under det senaste millenniet
3
3
3
5
6
6
8
8
8
9
9
10
11
3
Introduktion till vissa områden inom geometrin
3.1
Inledning
3.2
Konstruktion med enbart passare och linjal
3.3
Geometri enligt Euklides
3.4
Euklides bevis av Pythagoras sats
3.5
Ptolemaios sats
3.6
Geometri enligt Apollonius
3.6.1 Apollonius kägelsnitt
3.6.2 Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen
3.7
Kägelsnitt i R2
3.7.1 Ellipsens ekvation
3.7.1 Ellipsens brännpunkter
3.7.3 Parabel och hyperbel
3.8
Projektiv geometri
3.8.1 Plan projektiv geometri
3.8.2 Det reella projektiva planet
3.8.3 Koordinater i det projektiva planet
3.8.4 Desargues sats
13
13
13
16
18
19
21
21
22
23
23
26
27
29
29
31
31
32
v
4
Jämförelse av geometri i läromedel för gymnasieskolan (1962-1999)
4.1
Inledning
4.2
Läromedel i matematik från olika tidpunkter
4.3
Allmänna iakttagelser och jämförelser av läroböcker
4.3.1
Geometri som matematiskt avsnitt
4.3.2
Matematikens historia
4.3.3
Övningsuppgifternas upplägg och nivåindelning
4.4
Iakttagelser och jämförelser i läroböckerna med avseende
på geometri
4.4.1
Konstruktion med passare och linjal
4.4.2
Geometriska figurer
4.4.3
Pythagoras sats
4.4.4
Projektiv Geometri
4.5
Framtida studier
35
35
36
36
36
38
40
41
41
45
44
47
47
Slutsats
49
Biografi
51
Referenser
53
vi
Kapitel 1
Inledning
1.1 Bakgrund och syfte
Som lärarstuderande med mål att undervisa i Matematik och Naturkunskap på gymnasiet har
jag ett eget intresse av att hålla mina matematikkunskaper levande. Under våren 2006 hade
jag möjligheten att delta i en kurs i matematik som Luleå Tekniska Universitet ordnade i
samarbete med Pomor University i Arkhangelsk, Ryssland. Under vår vistelse i Arkhangelsk
arbetade vi med utvalda geometriska problem. Det var i anslutning till denna kurs som jag
började fundera på möjligheterna att utveckla mina kunskaper i matematik och erfarenheterna
från den tidigare kursen väckte mitt intresse för geometrin. Matematikens historia är även en
viktig del i min blivande roll som lärare. Enligt läroplan, Lpf94 (Läroplan för de frivilliga
skolformerna) skall undervisningen ge ett historiskt perspektiv. Med denna uppsats vill jag
beskriva geometrins historiska utveckling samt göra en jämförelse hur läromedel från 19621999 behandlar geometrin.
1.2 Disposition
Initialt handlar uppsatsen om geometrins historiska utveckling. Under arbetet gång utvecklade
den sig till att både innehålla matematikens historia samt en jämförelse mellan fyra läroböcker
i matematik.
Dispositionen för denna uppsats innehåller tre delar. Den första delen, kapitel 2, berättar
Geometrins historiska utveckling ur ett kronologiskt perspektiv. Kapitlet handlar om viktiga
personer som gjort att utvecklingen av geometrin gått framåt. Materialet till Geometrins
historiska utveckling, som bearbetas i kapitel 2, är till största delen hämtat ur Audun Holmes
bok Geometry – Our Cultural Heritage. Där ej annat anges refererar jag till denna bok.
Under historiens gång har vår tids geometri vuxit fram ur matematiska upptäckter. Några av
dessa upptäckter som matematikerna gjort genom åren, exempelvis Euklides bevis av
Pythagoras sats, beskrivs närmare i kapitel 3. Även i denna del är det mesta av materialet
hämtat från Geometry – Our Cultural Heritage. Den svenska översättning av Euklides axiom,
postulat och grunddefinitioner är dock hämtade ur Matematikens historia av B G Johansson.
Det sista kapitlet, i denna uppsats, är en jämförelse mellan fyra olika läroböcker för
gymnasieskolan. Läroböckerna har varit i bruk i skolorna under en tidsperiod från 1962-1999.
Den senaste läroboken från 1999 används idag av elever i gymnasieskolan i Luleå. De
historiska aspekterna som framkommit i de två föregående kapitlena har jämförts med
läroböckernas framställning av motsvarande aspekter. I detta kapitel är det i huvudsak
läroböckerna som utgjort instuderingsmaterialet.
1
2
Kapitel 2
Geometrins historiska utveckling
2.1 Inledning
Matematiken utvecklades troligtvis allt eftersom någon behövde den. Genom alla tider
har rörelser på stjärnhimlen fascinerat människor. Genom att utveckla geometrin kunde
de beräkna himlakropparnas position och förutspå himlafenomen.
Geometriska mönster finns bevarade i form av grottmålningar och fragment av textilier.
Diskussion har förts angående om dessa mönster och utvecklingen av nummer har ett
samband. Det går inte att utesluta att matematiken funnits tidigare i historien då det inte
finns några bevarade bevis för detta. Vi skall se hur geometrin har utvecklat sig genom
historien och genom att se på olika matematiska uträkningar som på ett eller annat sätt
blivit bevarat för eftervärlden.
2.2 De första skriftliga bevisen
Skriftspråkets utveckling gjorde att dokumentationer blev sparade till eftervärlden.
Enligt [Johansson, 2004] utvecklades skriftspråket under 2000-talet f.Kr. Till en början
ristades skrifterna in i leran för att senare utvecklas till en kilskrift. Kilskriften innebär
att symboler trycktes ner i leran av en trekantigt formad penna.
De första skriftliga bevisen på den matematiska utvecklingen, och samtidigt kunskapen
om Egyptens matematik, har man funnit på två bevarade papyrusrullar. På British
Museum i London finns den främst bevarade papyrusrullen, Papyrus Ahmose, som är
nedskriven ca 1650 f. Kr. Ahmose anger namnet på den som nedtecknade verket men
upphovsmännen är okända. Den andra rullen, Moskvapapyrusen, finns bevarad i
Moskva.
Papyrus Ahmose består av 14 hoplimmade ark som tillsammans bildar ett cirka fem
meter långt ark. Arket, som innehåller 87 geometriska problem inklusive lösningar,
anses vara Egyptens största matematiska källa. De geometriska uppgifterna hade en nära
koppling till problem som fanns i vardagssituationer, såsom att beräkna areor och
volymer [Johansson, 2004].
Babyloniernas matematiska uträkningar finns, till skillnad från Egyptiernas, på
lertavlor. Behovet av matematik i Babylonien är osäkert, men forskarna har dock en
uppfattning av att de gjorde enkla vardagliga beräkningar. Lertavlorna från Babylonien
visar att de troligtvis använde matematiken utan formella bevis. Den mest berömda
lertavlan, kallad Plimpton 322, är skriven med Babyloniska tecken och är daterad till
1900-1600 f.Kr.
3
Figur 1.
Plimpton 322 [Scriba/Schreiber, 2002]
Lertavlan Plimpton 322 är till viss del skadad och saknar en del, men genom stora
uppoffringar av Otto Neugebauer har en rekonstruktion av de saknade siffrorna visat att
Babylonierna var bekanta med det vi idag kallar Pythagoras sats. Med hjälp av andra
Babyloniska lertavlor som innehöll beräkningar av kvadrater skapade Neugeberger en
rekonstruktion för ett hypotetiskt bevis för Pythagoras sats. Plimpton 322 visade även
att de babyloniska matematikerna använde de Pytagoreiska triplerna. En Pytagoreisk
tripler är en naturliga tal (a, b, d ) som uppfyller villkoret a 2 + b 2 = d 2 .
Ordet Geometri kommer från två grekiska ord, γη som betyder jord och µετρον som
betyder storlek. Källorna till tidig grekisk geometri är sparsamma. Detsamma gäller
även matematiken generellt. I den tidiga grekiska geometrin hänvisas man till verk av
Eudemus av Rhodos, 350-290 f.Kr. Han var troligtvis elev till Aristoteles. Eudemus
skrev tre verk om den matematiska historien, nämligen The History of Arithmetic, of
Geometry och of Astronomy. Dessa tre verk finns ej längre kvar men användes av de
Helleniska matematikerna och därför är vissa delar kända av oss idag.
Den senaste, som hänvisade till Eudemus verk, var den grekiska filosofen och
matematikhistorikern Prochus Diadochus. Prochus hade ansvaret för den Platonska
akademien i Aten under senare delen av 500-talet e.Kr. Prochus skrev en summering av
Euklides Elementa och det var i detta verk som Prochus refererade till Eudemus verk
om geometrins historia.
Thales är den första grekiska matematikern vi känner till. Han levde och verkade i
Miletos kring 600 f.Kr. Under sin livstid tros Thales ha mätt höjden av de Egyptiska
pyramiderna. Detta gjorde han vid den tid på dygnet då hans skugga var lika lång som
han själv. Thales anses vara den grekiska geometrins fader. Genom sin entusiasm att
förklara ej nödvändiga företeelser blev Thales, enligt Aristoteles, retad av vissa
Milesianer.
4
2.3 Pythagoras och Pythagoréerna
Pythagoras av Samos är en mytomspunnen person. Enligt [Johansson, 2004] skrev
Pythagoras ingenting själv men omges av många anekdotiska berättelser. Den
matematiska kännedomen från denna tid visar att man på många ställen i världen hade
kännedom om geometriska bevis. Matematiska bevis som hänvisar till Pythagoras har
hittats i Egypten, Indien och Kina och detta tyder på att Pythagoras gjorde resor runt om
i världen. Det saknas dock fortfarande många bevis för hans resor men historierna är väl
värda att föra vidare.
Pythagoras föddes cirka 570 f.Kr på ön Samos och generellt tror man att han avslutade
sina dagar i den Grekiska staden Metapontium i en aktningsvärd ålder av 90 år. Vissa
forskare tror att Pythagoras, som ung, varit elev hos Thales. Enligt källor arbetade
Pythagoras vidare i Thales fotspår. Pythagoras fortsatte med den geometri som Thales
arbetat med och dessutom gjorde Pythagoras många resor..
Omkring 535 f.Kr. befann sig Pythagoras i Egypten. Han förde en diskussion med
templets präster och således lärde han sig mer om deras seder och deras geometri. I
samband med en invasion av Egypten blev Pythagoras tillfångatagen och fördes till
Babylon. De misshagliga gavs möjlighet att ge sig iväg. Efter att ha tillbringat många år
i Egypten och Babylon förvisades Pythagoras omkring 500 f.Kr till den grekiska staden
Kroton i nuvarande södra Italien, där han grundade en skola, kallad Pythagoréerna.
Världsbilden för Pythagoréerna skulle vara i harmoni, en harmoni där både djur och
människor skulle inräknas. Rörelsen bestod dels av en inre gemenskap av medlemmar
som bodde permanent i sällskapet och dels av medlemmar som tilläts leva ett normalt
liv. Medlemmarna bestod av både kvinnor och män varav flera av de kvinnliga
Pythagoreerna blev kända matematiker och filosofer [Johansson, 2004].
Figur 2
Pythagoréernas heliga symbol.
Symbolen, utformad som en fem-uddig stjärna inskriven i ett pentagram, var helig för
Pythagoréerna. Den bringade lycka under resor och inskriptioner av symbolen visade
var tidigare medlemmar blivit vänligt bemötta och omhändertagna.
Efter Pythagoras död fortsatte hans fru, Theano, att driva skolan vidare. Kontroverser
med den demokratiska andan i Grekland gjorde att många Pythagoréer blev mördade
och de som överlevde flydde. Detta gjorde att deras tankar spriddes över ett vidare
område.
5
2.4 Pythagoréernas geometri
Inga verk av Pythagoréerna finns bevarade men senare dokumentation visar att
resultaten hänvisades till mästaren själv, Pythagoras. Matematiken kopplades samman
med verkligheten. Deras tankar och undervisning kring tal, de naturliga talen,
organiserade principerna för allting. Exempelvis kunde de beskriva planeternas rörelse
eller musikens harmonier.
Som vi tidigare sett kände Babylonierna till Pythagoras sats åtminstone 1000 år tidigare
än Pythagoras själv. Flera upptäckter visar att även följande upptäckter skedde mycket
tidigare i den matematiska historien än vad som anges av Pythagoréerna:
-
Kännedomen att summan av vinklarna i en triangel är lika med två räta vinklar
kände redan matematiker i Egypten, Babylonien, Kina och Indien till. Detta
innebär dock att det teoretisk skulle kunna vara så att det var Pythagoréerna som
bevisade detta samband.
-
Olika konstruktioner med hjälp av passare och linjal finns dokumenterade i
tidiga källor från de Indiska matematikerna. Den äldsta källan, Sulva-Sutra,
innehåller regler för hur man skall konstruera ett altare med en specifik area.
Pythagoréerna, och Pythagoras själv, har dock tillskrivits vissa upptäckter. En av de
viktigaste upptäckterna är de naturliga talen, som av många tillskrivs Pythagoras fru,
Theano. Det slutgiltiga beviset, för utvidgningen av de naturliga talen så att de även
innehåller de rationella talen, skulle dock dröja 2000 år, ty de grekiska matematikerna
saknade en algebraisk notering. Vidare kan nämnas att Pythagoréerna var de första som
upptäckte det irrationella talet 2 . De såg inte detta som ett tal utan som ett förhållande
mellan två linjesegment, det vill säga det vi idag kallar de rationella talen a/b.
Förhållandet mellan två linjesegment, användes under Pythagoras tid för att ge en
förklaring till förhållandena mellan diagonalen och en sida i ett pentagram.
2.5 Tre klassiska problem i grekisk geometri
I den grekiska geometrin beskrivs tre klassiska problem som har en speciell ställning.
Dessa problem har gett många matematiker något att fundera kring och det har senare
visat sig att de går att lösa med kreativa metoder, dock ej enbart med passare och linjal.
Klassiskt problem 1 – Cirkelns kvadratur
Givet en godtycklig cirkel. Konstruera en kvadrat vars area är lika med arean
av en given cirkel.
Den grekiska filosofen Anaxagoras är den förste som förknippas med detta klassiska
problem. Han levde i Aten kring 450 f.Kr. då Aten hade sin storhetstid, både politiskt
och intellektuellt. Under denna tid reste flera av Pythagoréerna dit och Sokrates var en
av dem som fick en betydande roll i samhället.
Anaxagoras hade många idéer som Atenarna hade svårt att ta till sig. Han skall, enligt
berättelserna, ha försökt lösa problemet med cirkelns kvadratur under en tid då han satt
fängslad. Anaxagoras var vän med Atens ledare, Pericles, och det sägs att det var han
som hjälpte honom ut ur fängelset. Eftersom det inte var säkert att stanna kvar i Aten
flyttade Anaxagoras till Lampsacus där han grundade en egen akademi.
6
Oroligheterna i Aten gjorde att invånarna funderade hur de skulle göra för att undvika
onödiga konsekvenser. Legenden säger att de besökte oraklet Apollo i Delos för råd och
det är i detta sammanhang det andra klassiska problemet introduceras.
Klassiskt problem 2 – Det deliska problemet, kubens fördubbling
Givet en godtycklig kub, konstruera med hjälp av linjal och passare sidan på en
annan kub, vars volym är dubbelt så stor som den givna kuben.
Detta klassiska problem visade sig också vara en svår uppgift att lösa. Tidigare hade de
grekiska matematikerna enkelt kunnat konstruera en kvadrat som har dubbelt så stor
area som den givna kvadraten. Detta gjorde att de trodde att detta problem enkelt kunde
lösas enbart med de enkla hjälpmedlen passare och linjal. De insåg även att om de
finner en metod att dubbla en kub så finner de metoden för alla andra kuber likaså.
Klassiskt problem 3 – Tredelning av en vinkel
Givet en godtycklig vinkel, dela vinkeln i tre lika stora delar med hjälp av linjal
och passare.
Det tredje klassiska problemet istället, har lösningar för vissa givna vinklar. Exempelvis
går det att med enbart passare och linjal tredela en rät vinkel, men att dela vinkeln 60º
går inte med enbart passare och linjal. De grekiska matematikerna hade god kännedom
om att vissa konstruktionsproblem är enkla att konstruera. Tredelningen av en vinkel
60º väckte troligtvis frustration hos matematikerna. Många är de problem som kan lösas
enbart med hjälp av passare och linjal men inte dessa tre klassiska problem. De
klassiska problemen gjorde dock så att den högre geometrin kunde utvecklas. De ändligt
antal steg som behövs för att konstruera någonting med enbart passare och linjal
beskrivs i avsnitt 3.2.
De grekiska matematikerna insåg att de inte kunde lösa de tre klassiska problemen, som
beskrivits ovan utan utvecklade istället olika metoder för att lösa dessa problem.
Problemen löstes istället av effektiva mekaniska scheman alternativt så skapade de olika
instrument för att lösa problemen. Det skulle ta ända till mitten av 1800-talet innan det
bevisades att cirkelns kvadratur var omöjlig att konstruera enbart med hjälp av passare
och linjal. För att klara av att lösa detta problem skulle matematikerna behöva klara av
att konstruera det irrationella talet π .
Archytas från Tarentum anses vara den siste store av Pythagoréerna och han levde
mellan 428-365 f.Kr. Förutom arbetet som hög position inom politiken hade han tid att
sysselsätta sig med matematik, och då främst inom geometrin där han bland annat
arbetade med att skriva ner Pythagoréernas idéer. Archytas har haft stor betydelse för
den didaktiska utvecklingen av matematiken. Han delade in sitt verk i fyra delar;
aritmetik, geometri, musik och astronomi. Senare skulle Euklides dedicera en av
böckerna Elementa till honom. I lärdomsskolorna under medeltiden och reformationstiden omfattade ämnesgruppen quadrivium matematikämnena aritmetik, geometri,
astronomi och musik
Under tiden för oroligheterna i Aten föddes filosofen Platon (427 f.Kr.). Platon tillförde
inte geometrin några egna slutsatser men han hade ett stort inflytande för ämnets
utveckling. Under Platons uppväxt och engagemang i kriget hade han uppfattat att det
fanns ett motstånd mot filosofin och geometrin. I kriget hade han sett sin lärare och vän
Sokrates bli avrättad. Dessa tankar och upplevelser gjorde att Platon 387 f.Kr. grundade
akademien i Aten för filosofi och geometri, men även för andra vetenskaper. Under sin
verksamma tid var Platon elev hos Archytas.
7
Platon använde de klassiska problemen i geometri för att ge sig själv en bättre insikt i
den matematik som var en del av problemet. Hans målsättning var inte att finna
lösningar till dessa problem. För Platon, var geometrin ett sätt att ge matematiska
förklaringar och approximationer till den värld vi lever i.
2.6 Alexandria ett vetenskapligt centrum
Alexandria grundades 331 f.Kr av Alexander den store och staden blev Egyptens
huvudstad. Alexandria utvecklades till att bli ett centrum för civilisation, vetenskap,
konst och kultur och fortsatte att vara det under en lång tid.
2.6.1 Euklides Elementa
Det finns sparsamt med information om Euklides liv. Dock vet man att Euklides var en
grekisk matematiker som verkade i Alexandria omkring 300 f.Kr. Han arbetade med att
samla in material över kända idéer och insikter inom matematiken som andra
matematiker formulerat innan Euklides. Geometrin hade den främsta positionen.
Euklides baserade sitt verk på fundamentala idéer och därigenom skapade han en
förståelse för hur matematiska insikter kan säkras samt hur fortsatta matematiska
aktiviteter skulle utföras. Det som vi idag tar för givet har utvecklats ur den grekiska
matematiken.
Euklides uppbyggnad av matematiken samlade han i hans verk Elementa i 13 volymer.
Euklides skrev böckerna omkring 300 f.Kr och de används än idag. I avsnitt 3.3 kan du
läsa vidare om det logiska och systematiska upplägget genom de grundläggande
definitionerna, postulaten och axiomen enligt Euklides Elementa. Euklides bevis av
Pythagoras sats beskrivs i avsnitt 3.4.
2.6.2 Ptolemaios och Pappus
Claudius Ptolemaios var en annan viktig person som bidragit till utvecklingen av vår
förståelse för geometri. Han levde i Alexandria 85-165 e.Kr. Under den geocentriska
perioden behövde astronomin förklaras med matematiska termer. Ptolemaios utvecklade
de trigonometriska funktionerna bland annat genom att dela in cirkeln i kordor.
Ptolemaios sats om de förhållanden som ges av en fyrhörning som är inskriven i en
cirkel och dess diagonaler, se avsnitt 3.5.
600 år efter Euklides nådde Alexandria sin höjdpunkt. Många vetenskapsmän passerade
Alexandria antingen som besökare eller som studenter. Antalet personer som arbetade
med geometri var färre än på Euklides tid, men de som verkade var inte mindre
betydelsefulla. Theon från Alexandria skrev ett mästerstycke då han kommenterade
Euklides Elementa. Tillsammans med sin dotter Hypatia gjorde även Theon
kommentarer av Ptolemaios och Pappus verk.
8
A'
A
PC
B'
PB
B
C
PA
C'
O
Figur 3.
Pappus sats, illustration
Pappus från Alexandria, tror man verkade under det tredje århundradet efter Kristus. De
kommentarer som Theon utförde kring Pappus verk har därefter använts av efterföljande vetenskapsmän och kvinnor. Pappus sats, se figur ovan, säger att punkterna
PA , PB , PC ligger på samma linje, har senare fått betydelse för den projektiva geometrin
som utvecklades under 1400-talet av den tidens konstnärer.
2.7 Geometrins utveckling under romartiden
Rom grundades 753 f.Kr. och utvecklades till ett imperium. För att motverka maktförhållanden från tidigare kungar skapades en republik. Republiken varade mellan 51031 f.Kr och tiden delas in i tre epoker. I den gamla republiken övertogs hela Italien och
under den klassiska republiken hade romarna en stabil regering. Detta ledde till att Rom
fick en ledande ställning i Medelhavsområdet och gradvis tog kontrollen över den
Helleniska världen. Den sista fasen av romarriket är århundradet med inbördes krig.
2.7.1 Arkimedes
Arkimedes, en stor matematiker, vetenskapsman och ingenjör, levde på 200-talet f.Kr
och verkade i Syracusa, som vid den tiden tillhörde Grekland. Arkimedes var en
handlingskraftig man. Han genomförde åtskilliga av sina idéer och utförde flera
ingenjörsarbeten till befolkningens nytta. Förutom dessa verk var Archimedes en av
anledningarna till att Syracusa under fyra år kunde hålla tillbaka de romerska styrkorna.
I sitt försvar hade invånarna i Syracusa, de av Arkimedes konstruerade krigsmaskinerna.
En av konstruktionerna var en katapult som slungade iväg stora bumlingar mot fienden.
Romarna insåg dock att Arkimedes kunskaper var värdefulla så den romerske konsuln
Marcus Claudius Marcellus beordrade att han skulle fångas levande. Trupperna skulle,
efter att ha fångat in Archimedes, visa honom respekt och föra honom till det romerska
riket. Detta skedde dock inte till Marcellus förtvivlan. Istället säger historien att en
romersk soldat kom, med draget svärd, till den plats där Archimedes satt och studerade
geometriska figurer. I sanden hade Arkimedes ritat cirklar. Sanden användes för att
skissa i, ty att skriva ner skisserna, var enligt Arkimedes onödigt i detta skede. Den
instormande soldaten krävde att Arkimedes skulle uppge sitt namn men han var så inne
9
i de geometriska tankarna att han istället sa: ”Rubba inte mina cirklar” och pekade på
skisserna. Soldaten ansåg att Arkimedes visade för lite respekt för romarna och svarade
med att sticka ner honom med svärdet.
Arkimedes sista ord ”Rubba inte mina cirklar” är troligtvis ett resultat av de historiska
berättelserna. [Thompson, 1996, s279] skriver att de ord, som den romerska soldaten
inte tycke om, kunde istället ha varit ”Trampa inte i diagrammet, människa”.
Figur 4.
Archimedes Palimpsest [Scriba/Schreiber, 2002]
I början av 1900-talet upptäcktes flera av Archimedes matematiska verk på grekiska
pergament, av J L Heiberg. Heiberg upptäckte att handskriften från pergamenten någon
gång hade blivit avskrapade och återanvänds för sakrala texter. Metoden att återanvända
pergament på detta sätt kallas palimpsest [Johanson, 2004]. Detta gjorde att dessa
pergament blev bevarade och en rekonstruktion av Archimedes texter kunde utföras.
Rekonstruktioner av handskrifter från gamla pergament pågår än i dag.
2.7.2 Apollonius
Apollonius föddes i Perga omkring 262 f.Kr. och dog i Alexandria 190 f.Kr. Han var
den sista av de stora grekiska matematikerna. Som ung kom Apollonius till Alexandria,
där han studerade för Euklides efterträdare. En viktig slutsats som Apollonius beskrev
var sambandet för de olika kägelsnitten; ellips, parabel och hyperbel. Redan tidigare
hade många grekiska matematiker förstått att det bildades tre olika kurvor i skärningen
mellan en kon och ett plan. Exempelvis hade både Euklides och Archimedes blivit
medvetna om detta förhållande. Definitionen av en kon samt de kägelsnitt som bildas i
skärningen med ett plan beskrivs i avsnitt 3.6.1. Det generaliserade Pythagoras sats,
parallellogramsatsen, som tillskrivits Apollonius behandlas i avsnitt 3.6.2.
Inom Grekisk geometri anses Apollonius teorier kring kägelsnitten tillhöra en av höjdpunkterna. Hans arbete har senare använts av bland annat Isac Newton när denne
utformade lagarna om gravitationen.
10
2.8 Geometrins utveckling under det senaste millenniet
Efter romerska rikets fall, fram till mitten av 1000-talet, tog nästan ingen matematisk
aktivitet plats i Europa. Istället var det arabländerna som grundade akademier för
matematik, vetenskap och medicin.
Många verk från den romerska tiden har gått förlorade, vissa i samband med att
biblioteket i Alexandria brandhärjades vid flera tillfällen. Araberna beskylls, i samband
med erövringen av Alexandria 630 e.Kr., för att vara orsaken till att biblioteket brändes
ner. Detta är troligtvis inte sant eftersom det är med hjälp av översättningar från
arabiska till latin som många viktiga matematiska skrifter finns bevarade. Euklides
Elementa återintroducerades till västvärlden på 1100-talet.
Ända fram till 1400-talet skilde man på två delar inom geometrin. Dels den elementära
geometrin som bygger på Euklides grundläggande definitioner om punkter och linjer. I
den högre geometrin tar man även hänsyn till kägelsnitten. Dessa delar kunde
framställas med hjälp av passare och linjal och med ett begränsat antal konstruktionssteg. Mer information om kägelsnitt, se avsnitt 3.7.
Under 1400-talet skulle det dock komma nya tekniker för hur den grekiska geometrin
utvecklades. Rene du Perron Descartes (1596-1650) introducerade algebran som ett
verktyg inom geometrin. Algebra hade givetvis tidigare används av Babylonierna och
de grekiska matematikerna, men fick nu en tydligare betydelse. Descartes beskrev även
grunderna för den analytiska geometrin. Den analytiska geometrin betyder att man, med
hjälp av koordinatsystem och algebra, kan studera räta linjer, kurvor, plan och ytor.
Redan under 1400-talet började renässanskonstnärerna måla med en dimension på
djupet. Det var få som hade kunskap om vad perspektivmålning innebär. Även inom
teatern börjande man under 1500-talet använda sig av perspektiviskt målade
bakgrunder, vilket skulle bli grunden för den projektiva geometrin. Konstnärerna
strävade efter att efterlikna verkligheten i sina målningar och detta skapade ett behov av
att med geometrins hjälp ta fram redskap för hur perspektiven skulle skapas. De frågor
som uppstod lämnades över till matematikerna för att finna svar, däribland Desargues
[Ulin, 2000].
Templet Parthenon på Akropolis i Athen, som uppfördes 447-438 f.Kr visar att
perspektivets effekter var kända redan på den tiden. Byggnadsverket har uppförts på så
sätt att det förstärker byggnadens perfekta proportioner. Kolonnerna lutar något inåt och
avståndet mellan dem är något mindre vid hörnen.
Inom den moderna geometrin är det den högre geometrin som vunnit mark. Den franske
ingenjören och arkitekten Gérard Desargues (1591-1662) intresserade sig för geometri
under en tid då han verkade i Paris. Desargues bevisade en viktig sats om perspektiv
som föll i glömska. Satsen återupptäcktes under 1800-talet vilket utgör en fundamental
sats inom den projektiva geometrin. Grunderna för den projektiva geometrin och
Desargues sats, beskrivs i avsnitt 3.8.
På senare tid har utvecklingen av den högre geometrin gått snabbt och detta har lett till
att geometrin har delats upp i flera specifika områden. Gemensamt för dessa
inriktningar är att studera geometri i fler dimensioner än två och förhålla sig till detta
med hjälp av klassisk geometri.
11
Bland Euklides postulat är det hans femte postulat, parallellpostulatet (avsnitt 3.3), som
matematiker genom åren har diskuterat och argumenterat emot. Även Euklides borde ha
känt till att det femte postulaten inte är en konsekvens av de första fyra. Idag vet vi att
det femte postulatet är oberoende av de andra postulaten. Vi kan konstruera geometrier
där det femte postulatet inte är giltigt, men där allt i övrigt fungerar som för Euklides
plan, det vill säga icke-Euklidisk geometri.
Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777-1855) var troligtvis den förste som
upptäckte detta. Innan Gauss har det funnits andra matematiker som arbetat med att
finna bevis mot Euklides femte postulat. Gauss publicerade aldrig sina upptäckter, ty
vid denna tid var det Euklides geometri som hade en särställning inom den katolska
kyrkan [Holmes, 2002].
I början av 1800-talet utvecklades många nya geometriska system. Många matematiker
har försökt att bevisa det faktum att Euklides parallellpostulat är oberoende av de andra
fyra postulaten. Den ryske matematikern Nicholai Lobatjevski utvecklade det första
exemplet på icke-euklidisk geometri. Lobatjevski fann att vinkelsumman i en triangel
kunde härledas i två alternativa geometrier och han härledde sina satser utan att använda
sig av Euklides femte postulat, parallellpostulatet. Den ungerske matematikern Janos
Bolyai presenterade ungefär samtidigt ett eget arbete med samma grundtankar som
Lobatjevski [Johansson, 2004].
Det skulle dock inte vara varken Lobatjevski eller Bolyai som kom med det verkliga
genombrottet för den icke-Euklidiska geometrin. Det skulle den tyske matematikern
Bernhard Riemann stå för. Riemann föddes 1826 och studerade i Göttingen. 1854
presenterade Riemann, Om geometrins grundläggande hypoteser, som ligger till grund
för den icke-euklidiska geometrin. Han introducerade geometrier i n dimensioner och
metoder för att mäta exempelvis avstånd och krökningar i rummet för objekt i n
dimensioner [Johansson, 2004].
Geometrins historiska utveckling har åstadkommits genom matematikernas försök att
beskriva verkligheten. Överallt i naturen finns det geometriska mönster för oss att
upptäcka och beskriva med hjälp av matematiken. Genom att skapa matematiska
modeller kan vi förstå de fenomen som vi ser och för att förutspå katastrofer. Kaosteorin
tillsammans med datoriserade bilder av fraktaler beskriver hur och när kaos uppträder i
en matematisk modell. Utvecklingen av kaosteorin gjordes på 1960-talet och
utvecklingen av geometrin som helhet kommer att fortsätta under lång tid framöver.
12
Kapitel 3
Introduktion till vissa områden inom
geometrin
3.1
Inledning
I detta kapitel skall vi titta närmare på några intressanta idéer som de historiska personerna
kommit fram till. Dessa insikter används inom matematiken idag. De områdes som
presenteras har valts utifrån den historiska berättelse som presenterades i kapitel två.
Nedan följer en sammanställning av detta kapitels avsnitt med hänvisningar till föregående
kapitel för att läsaren enkelt skall kunna sätta in problemen i den historiska utvecklingen.
-
3.2
Konstruktion med enbart passare och linjal, se avsnitt 2.5
Geometri enligt Euklides och Euklides bevis av Pythagoras sats, se avsnitt 2.6
Ptolemaois sats, se avsnitt 2.6
Geometri enligt Apollonius, se avsnitt 2.7
Projektiv geometri, se avsnitt 2.8
Kägelsnitt i R2 , se avsnitt 2.8.
Konstruktion med enbart passare och linjal
Vid användningen av passare och linjal finns det vissa regler för vad man får göra. Beroende
på vilken typ av passare som används kan olika konstruktioner skapas. Följande regler är
avsedda för en passare, Euklidisk passare, som faller ihop så fort som den lyfts från pappret,
vilket innebär att man kan inte använda passaren för att förflytta en sträcka.
Regler för tillåten användning av passare och linjal:
En bestämd mängd punkter är given. En punkt konstrueras om det är en skärningspunkt
mellan två linjer, två cirklar eller en linje och en cirkel som är gjorda enligt följande två
punkter.
1. Linjalen kan användas för att rita en linje som passerar två givna eller tidigare
konstruerade punkter och för att förlänga linjen godtyckligt i båda riktningarna.
2. Passaren kan användas för att rita en cirkel som ges av en given eller redan konstruerad
punkt som centrum och som passerar genom en redan given eller redan konstruerad punkt.
Dessa regler kallas även för Euklides verktyg. Med hjälp av ovanstående regler kan man
konstruera några till synes enkla konstruktioner men som är till stor hjälp. De enkla
konstruktionerna skapar ett mönster för hur man kan lösa mer komplexa problem.
13
Innan vi ger tre exempel på enkla konstruktionsproblem som kan skapas med hjälp av passare
och linjal följer en kort teckenförklaring. Förklaringen skall göra det enklare för läsaren att
följa den steg för steg beskrivning som används vid respektive exempel.
ω1 ( A; AB)
Konstruktion av cirkel nummer 1 där centrum är i A och där cirkelns radie
är AB.
ω1 ∩ ω 2 = B
Konstruktion av skärningspunkten B mellan cirkel nummer 1 och cirkel
nummer 2.
( AB)
Konstruktion av en linje som passerar punkten A och punkten B.
ω1 ∩ ( AB) = D
Konstruktion av skärningspunkten D mellan cirkel nummer 1 och
linjen AB.
Nu till tre enkla konstruktionsproblem. Intill varje figur anges de olika konstruktionsstegen
som behövs för att lösa respektive uppgift.
Problem 1. Givet vinkeln ABC, konstruera en bisektris till ∠ABC .
Konstruktionssteg
Z
1: ω1 ( B; AB)
2: ω1 ∩ ( BC ) = D
C
A
w2
D
w3
B
4: ω 3 ( D; AD)
5: ω 2 ∩ ω 3 = Z
6: (ZB )
w1
Figur 5.
3: ω 2 ( A; AD)
Konstruktion av en bisektris
Problem 2. Givet linjen EF och en punkt H som inte ligger på linjen EF, konstruera en
normal till linjen EF genom punkten H.
Konstruktionssteg
w4
1: ω 4 ( H ; HF )
2: ω 4 ∩ ( EF ) = G
H
E
G
3: ω 5 (G; GF )
4: ω 6 ( F ; GF )
F
5: ω 5 ∩ ω 6 = K
w5
Figur 6.
w6
K
Konstruktion av en normal till linjen EF
14
6: (HK )
Problem 3. Givet linjen LM och en punkt N på linjen, konstruera en normal till linjen LM
genom punkten N.
Konstruktionssteg
P
1: ω 7 ( N ; LN )
w8
w7
L
N
O
w9
2: ω 7 ∩ ( LN ) = O
M
3: ω8 ( L; LO)
4: ω 9 (O; LO )
5: ω8 ∩ ω 9 = P
Figur 7.
Konstruktion av en normal
punkten N på linjen LM
genom
6: (PN )
Ett konstruktionsproblem som skall lösas har normalt fyra steg som måste beaktas innan en
slutlig lösning av problemet erhålls.
Steg 1.
Analysera problemet
Problemlösaren skall bli medveten om vilka faktorer som är kända. Därefter
söker vi kopplingar mellan givna förutsättningar och det som skall
åstadkommas. Denna analys används därefter i steg 2.
Steg 2.
Konstruktion
Med hjälp av de regler som presenterades tidigare och enkla konstruktionsproblem, exempelvis de tre som presenterats ovan, skapas en stegvis
konstruktion av problemet som leder fram till EN lösning.
Steg 3.
Bevis
I detta steg skall problemlösaren bevisa att den konstruerade figuren uppfyller
de krav som ställdes för problemet.
Steg 4.
Utredning av erhållen lösning
Utredning av lösningen innebär att vilka förutsättningar som lösningen har.
Varje steg i konstruktionen undersöks för att se om det finns FLER lösningar till
problemet. Nedan illustreras ett exempel där konstruktionen av två cirklar kan
ge flera olika möjligheter för skärningspunkterna.
a)
Figur 8.
b)
c)
Skärningspunkter mellan två konstruerade cirklar, (a) visar inga
skärningspunkter, (b) en skärningspunkt i tangeringspunkten mellan cirklarna
och (c) två skärningspunkter.
För de grekiska matematikerna var konstruktioner i matematiken likställt med att skapa en
figur. Eftersom endast vissa punkter kan konstrueras med hjälp av ovanstående regler kunde
de grekiska matematikerna inte lösa de tre klassiska problemen som beskrevs i avsnitt 2.5.
15
3.3
Geometri enligt Euklides
Euklides geometri bygger på en systematisk och logisk uppbyggnad där man med hjälp av
axiom och satser bevisar att någonting gäller generellt för alla företeelser med samma
förutsättningar. Utgångspunkterna, axiom och postulat, i ett bevis eftersträvas att vara så få
som möjligt. [Lindahl, 1987, s8] beskriver det teoretiska systemet på följande sätt:
”Ett av kraven på ett teoretiskt system är att det skall vara motsägelsefritt. Det skall inte gå
att ur axiomen bevisa satser, som strider mot varandra. Man strävar därför efter att i varje ha
ett så litet antal axiom som möjligt. Därigenom minskar risken för att det ska finnas någon
inbyggd motsägelse mellan axiomen.”
Euklides ordnade sin teori med ett system av få axiom och kunde således bevisa ett stort antal
geometriska satser. Rent intuitivt anser de flesta att Euklides axiom stämmer väl överens med
våra vardagliga erfarenheter och skall därför anses självklara [Lindahl, 1987]. Matematiker
har under senare tid utvecklat även andra geometriska axiommodeller.
I den första boken av Euklides Elementa ges grunderna för geometrin. Grundbegreppen,
såsom punkt, linje, plan, vinkel och figur, anses så enkla att de inte kan beskrivas med enklare
begrepp. Grundbegreppens definitioner är sådana att vi förstår dem intuitivt och att de inte
behöver ifrågasättas. De definitioner, postulat och gemensamma axiom av Euklides, som
anges i innevarande avsnitt är hämtade ur [Johansson, 2004]:
Definitioner av Euklides
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
En punkt är det som saknar delar
och en linje är en längs utan bredd
och gränserna på en linje är punkter.
En rät linje är en linje som ligger likadant för var och en av sina punkter
och en yta är det som bara har längd och bredd
och gränserna av en yta är linjer.
En plan yta är en yta som ligger likadant för var och en av sina linjer
och en plan vinkel är böjningen mot varandra hos två linjer i ett plan, som möter
varandra och inte ligger i en rät linje
9. och om linjerna som innehåller vinkeln är räta, kallas vinkeln rätlinjig
10. och när en rät linje, ställd mot en rät linje, gör de angränsande vinklarna lika, så är var
och en av de lika vinklarna rät, och den räta linjen som står på den andra kallas en
normal till den som den står på.
11. En trubbig vinkel är en vinkel som är större än en rät vinkel
12. och en spetsig vinkel är en vinkel som är mindre än en rät vinkel.
13. En rand är det som är kant av något.
14. En figur är det som innehålls av en rand eller av ränder.
15. En cirkel är en plan figur som innehåller en linje sådan att alla räta linjer som faller mot
den från en punkt av dem, som ligger inom figuren, är lika
16. och punkten kallas centrum för cirkeln
17. och en diameter för cirkeln är varje rät linje som dras genom centrum och avslutas i båda
riktningarna av cirkelns omkrets, och en sådan rät linje delar också cirkeln i två delar
18. och en halvcirkel är den figur som innehålls av diametern och den omkrets som den skär
av. Och centrum för halvcirkeln är samma som för cirkeln.
19. Rätlinjiga figurer är sådana som innehålls av räta linjer, tresidiga figurer sådana som
innehålls av tre, fyrsidiga sådana som innehålls av fyra och mångsidiga sådana som
innehålls av fler än fyra räta linjer
16
20. och bland tresidiga figurer är en liksidig triangel den som har tre sidor lika, en likbent
triangel den som har två av sina sidor lika och en oliksidig triangel den som har sina tre
sidor olika
21. och vidare, bland tresidiga figurer är en rätvinklig triangel den som har en rät vinkel, en
trubbvinklig triangel den som har en trubbig vinkel och en spetsvinklig triangel den som
har sina tre vinklar spetsiga
22. och bland fyrsidiga figurer är en kvadrat den som är både liksidig och rätvinklig; en
rektangel den som är rätvinklig men inte liksidig; en romb den som är liksidig men inte
rätvinklig; en romboid den som har sina motsatta sidor och vinklar lika, men varken är
liksidig eller rätvinklig. Och låt andra fyrsidingar kallas trapetser.
23. Parallella räta linjer är linjer som är i samma plan och, om de förlängs obegränsat i var
riktning, inte möter varandra i någondera riktningen.
Vi kunde notera att enligt [Holme, 2002] upptas 22 definitioner och enligt [Johansson, 2004]
upptas 23 definitioner av Euklides. Definition 6 saknas i presentationen enligt [Holmes,
2002].
Efter att ha formulerat definitionerna fortsätter Elementa med Euklides postulat:
Euklides postulat
1.
2.
3.
4.
5.
Låt följande krävas:
Att dra en linje från varje punkt till varje punkt
och att fortsätta en ändlig rät linje kontinuerligt i en rät linje
och att med varje centrum och avstånd kan en cirkel beskrivas
och alla räta vinklar är lika
och att, om en rät linje faller över två räta linjer och gör de inre vinklarna på samma sida
mindre än två räta vinklar, så möts de två räta linjerna, om de förlängs obegränsat, på
den sida på vilken vinklarna är mindre än de två räta.
De första fyra postulaten är uppenbara medan det femte postulatet har en speciell betydelse.
Det femte postulatet är oberoende av de andra fyra postulaten och det tog över två tusen år för
senare matematiker att inse detta. Upptäckten av den icke-euklidiska geometrin har gett
geometrin nya dimensioner. Tidigare var geometri synonymt med Euklidisk geometri.
För att bygga upp geometrin använde sig Euklides dels av ovan definitioner och postulat och
dels av gemensamma axiom av en mer generell karaktär. De gemensamma axiomen
fungerade för alla områden där mänskliga tankar flödade.
Euklides gemensamma axiom
1.
2.
3.
4.
5.
Ting som är lika till samma ting är också lika varandra
och om lika läggs till lika blir helheterna lika
och om lika dras från lika blir återstoden lika
och ting som sammanfaller med varandra är lika
och det hela är större än delen.
Euklides använde sig inte av eget material utan samlade in material från andra matematiker
och flera böcker ur Euklides Elementa tros ha skrivits av andra i sin helhet. Det viktiga som
Euklides åstadkom var att samla in och systematiskt skapa en komplett bild över den tidens
matematik. Detta gjorde att det långt senare var möjligt att förstå de matematiska verk som
var gjorda av tidigare matematiker.
17
3.4
Euklides bevis av Pythagoras sats
I följande avsnitt visas Euklides berömda och eleganta bevis av Pythagoras sats. Euklides
använde noggrant de definitioner, postulat och gemensamma axiom som beskrevs i
föregående avsnitt. Euklides bevis upptog åtskilliga sidor. För att enklare förstå resonemanget
använder vi oss inte av Euklides egna ord utan av en modernare notering.
Pythagoras sats enligt Euklides
I en rätvinklig triangel är kvadraten på motstående sida av den räta vinkeln lika med
(summan av) kvadraterna på de sidor som innehåller den rätvinkliga triangeln.
( AB) 2 + ( BC ) 2 = ( AC ) 2
(1)
G
H
F
B
K
A
D
Figur 9.
C
L
E
Euklides illustration till hans bevis av Pythagoras sats.
Resonemanget nedan hänvisar till beteckningar enligt figur 9.
En rätvinklig triangel ∆ABC .
Givet:
Den rätvinkliga triangeln omskrivs av tre kvadrater med sidlängderna AB, AC
respektive BC.
Normalen till hypotenusan AC genom punkten B delar kvadraten med
sidlängden AC i två rektanglar med baserna DL respektive DA. De två
rektanglarna som bildades har båda höjden lika med DA.
Detta leder till att följande två delar måste bevisas:
1)
den första rektangeln har en area som är lika kvadraten mot AB,
( AB) 2 = DL ⋅ DA , och
2)
den senare rektangeln har en area som är lika kvadraten mot BC,
( BC ) 2 = LE ⋅ DA .
18
Bevis av 1) ∆ACF ≅ ∆ADB
Trianglarna är kongruenta eftersom deras sidor är
parvis lika.
∆ACF är en triangel med basen AF och höjden AB. Arean av ∆ACF är således
hälften av den kvadrat som står mot sidan AB.
∆ADB har basen AD och höjden DL. Detta ger att arean av ∆ADB är hälften av
den area som bildas av rektangeln med basen DL och höjden DA.
( AB) 2 = DL ⋅ DA
(2)
Påstående 1) är således bevisat och beviset för 2) följer analogt och vi får att
arean av den senare rektangeln blir,
( BC ) 2 = LE ⋅ DA
(3)
Summan av areorna för de två rektanglarna enligt ekvation (2) och (3) ger,
DL ⋅ DA + LE ⋅ DA = ( AB) 2 + ( BC ) 2 = ( AC ) 2
(4)
□
I kapitel 4 jämförs geometrin i fyra olika läroböcker för gymnasieskolan som använts mellan
1962-1999. Avsnitt 4.4 innehåller en jämförelse mellan läroböckernas framställning av
Pythagoras sats.
3.5
Ptolemaios sats
Ptolemaios använde inte det matematiska beräkningarna ur ett heliocentriskt perspektiv. Han
fortsatte att förklara astronomin ur ett geocentriskt perspektiv, det vill säga att jorden befann
sig i universums mitt och att solen och månen kretsade kring jorden. Ptolemaios utvecklade
trigonometriska metoder för att beskriva jordens läge i universum. Han introducerade kordafunktioner, crd (v) , som beskrivs på motsvarande sätt som för de trigonometriska
funktionerna; sin (v) , cos (v) och tan (v) . Dessa insikter om kordans betydelse ledde till
Ptolemaios viktiga sats.
Troligtvis var Ptolemaios sats redan känd av en grekisk matematiker vid namn Aristarchus
från Samos, 310-230 f.Kr. Aristarchus var en föregångare till Kopernikus i det att han förespråkade att universum var heliocentrisk, med solen i universums mitt.
Ptolemaios sats
I en inskriven fyrhörning är summan av produkterna av motstående sidor lika med produkten
av diagonalerna,
AB ⋅ DC + BC ⋅ DA = AC ⋅ BD
B
C
E
A
Fig 10.
D
Fyrhörningen ABCD inskriven i en cirkel.
19
(5)
Med avseende på figur 10 vill vi visa att följande gäller:
AB ⋅ DC + BC ⋅ DA = AC ⋅ BD
(6)
Välj punkten E så att följande vinklar blir lika stora,
∠ABE = ∠DBC
(7)
Villkor för randvinklar som står på samma cirkelbåge ger,
∠BAE = ∠BDC
(8)
∠DAC = ∠DBC
(9)
∠ACB = ∠ADB
(10)
Två trianglar som vardera innehåller två vinklar av samma storlek är likformiga. Med hjälp av
lika vinklar enligt (7)-(10) ovan får vi följande samband mellan likformiga trianglar i figuren,
∆EAB ~ ∆CDB
(11)
∆DAB ~ ∆CEB
(12)
Relation mellan likformiga trianglar ger
AB BD
=
⇒ AB ⋅ DC = AE ⋅ BD
AE DC
(13)
BC BD
=
⇒ BC ⋅ DA = CE ⋅ BD
CE DA
(14)
Addition av uttrycken (13) och (14) avseende relationen mellan likformiga trianglar ger,
AB ⋅ DC + BC ⋅ DA = AE ⋅ BD + CE ⋅ BD = ( AE + CE ) BD = AC ⋅ BD
AB ⋅ DC + BC ⋅ DA = AC ⋅ BD
20
(15)
□
3.6
Geometri enligt Apollonius
Apollonius verkade efter Euklides och det är troligt att han utvecklade sina egna matematiska
färdigheter genom att studera Euklides Elementa. Apollonius skrev ett stort verk, omfattande
totalt 8 böcker, som har titeln Konika [Thompson, 1996]. Apollonius framställning av
kägelsnitten har haft stor betydelse för utvecklingen av den astronomiska världsbilden under
1600-talet. Apollonius sätt att konstruera kägelsnitten samt ett bevis för det generaliserade
Pythagoras sats som tillskrivs Apollonius visas i detta avsnitt.
3.6.1
Apollonius kägelsnitt
Tidigare grekiska matematiker kände troligtvis till kurvorna ellips, parabel och hyperbel
enligt följande. De utgick från att toppvinkeln hos en kon kan ha olika vinklar. Vinkeln kan
antingen vara spetsig, rätvinklig eller trubbig och beroende på denna vinkel gav skärningen
med ett plan de olika kurvorna.
Figur 11.
Tidigare grekiska matematikers kägelsnitt
Till skillnad från tidigare grekiska matematiker definierade Apollonius en kon genom att låta
en linje rotera. På detta sätt skapades den dubbla konen och denna definition är det som vi än
idag använder oss av. Det var Apollonius som gav de olika kurvorna, som bildas i skärningen
med ett plan, namnen ellips, parabel och hyperbel.
Figur 12.
Kägelsnitt enligt Apollonius
Om vi observerar de kurvor som alstras i figuren ovan ser vi att ellipsen och parabeln är
engreniga kurvor. Apollonius var först med att beskriva hyperbeln, med två grenar, som en
kurva [Thompson, 1996].
Apollonius var en förgrundsfigur i arbetet med en algebraisk notering av geometrin och har
senare använts av Descartes och Fermats. För mer information om kägelsnitt, se avsnitt 3.7.
21
3.6.2
Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen
Generaliserad Pythagoras sats, även kallad parallellogramsatsen, är tillskrivet Apollonius.
Med hjälp av nutidens algebraiska beteckningar för olika geometriska problem visas här ett
modernt bevis av denna sats.
Generaliserad Pythagoras sats, parallellogramsatsen
Låt ABCD vara ett parallellogram med sidorna AB = CD = a , BC = DA = b och med
diagonalerna AC = m och BD = n så är
a2 + b2 =
1 2
(m + n 2 )
2
(16)
D
a
C
m
y
b
n
x
A
B
E
Figur 13.
F
Generaliserad Pythagoras sats
Låt oss bevisa att,
a2 + b2 =
1 2
(m + n 2 )
2
(17)
Låt AE = x och DE = y enligt beteckningar i figur 13 ovan. Detta innebär att vi får att
BF = x och FC = y . Kongruenta trianglar ger,
∆AED ≅ ∆BFC
(kongruenta trianglar)
(18)
Genom att använda Pythagoras sats för rätvinkliga trianglar, som beskrevs i avsnitt 3.4, kan vi
ställa upp följande tre samband,
b2 = x2 + y 2
(19)
m 2 = (a + x) 2 + y 2 = a 2 + 2ax + x 2 + y 2
(20)
n 2 = (a − x) 2 + y 2 = a 2 − 2ax + x 2 + y 2
(21)
Addition av ekvation (20) och (21) ger:
m 2 + n 2 = 2a 2 + 2 x 2 + 2 y 2 = 2a 2 + 2( x 2 + y 2 )
(22)
Substitution av ekvation (19) i ekvation (22) ger:
m 2 + n 2 = 2a 2 + 2b 2 = 2(a 2 + b 2 )
(23)
Förenkling av ekvation (23) ger,
a2 + b2 =
1 2
(m + n 2 )
2
(24)
22
□
3.7
Kägelsnitt i R2
Det plan som skär genom en kon ger upphov till de så kallade kägelsnitten, se figur 12 i
avsnitt 3.6. De olika icke-urartade kägelsnitten; ellips, parabel och hyperbol, kan beskrivas av
en algebraisk kurva i R2. Den generella formen för en sådan kurva anges av en andragrads
kurva enligt,
q ( x, y ) = Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
(25)
Konstanterna A, B, C, D, E och F är godtyckliga konstanter och för A, B, C och D gäller att
de ej kan vara 0 samtidigt.
Om en mängd lösningar
K = {( x, y ) | q ( x, y ) = 0}
(26)
till den korresponderande ekvationen q ( x, y ) = 0 och som ej är en tom mängd, kallas mängden
för en algebraisk kurva av andra graden [Hansen, 1998].
Ekvationen för en andragrads kurva (25) kan se besynnerlig ut men för många kägelsnitt blir
formeln betydligt enklare. För vissa kägelsnitt skapas vissa urartade specifika fall. Exempelvis
bildar ellipsen antingen en cirkel om skärningsplanet placeras horisontellt eller krymper till en
punkt om skärningsplanet passerar genom konens toppvinkel. Andra urartade fall som kan
uppstå är att det hyperboliska kägelsnittet kan bli endast två linjer eller att parabolen bildar
endast en linje.
3.7.1
Ellipsens ekvation
Tänk dig att du studerar skuggbilden av en boll. Solen lyser på en boll som i sin tur ger
upphov till en ellipsformad skugga. Då solen befinner sig i zenit blir skuggan cirkelformad.
Den bild som beskrivs ovan kan matematiskt beskrivas som en cirkulär cylinder, med
diametern b [Hansen, 1998]. Denna cylinder skärs av ett plan med xy-koordinater, där x avser
storaxel, y avser lillaxel och origo i punkten O. Planet bildar en vinkel u i punkten O med
cylinderns axel, där 0 < u ≤
π
, se figur 14. Då vinkeln u =
π
bildar skärningen med ett plan
2
2
en cirkel med diametern b och för andra värden för u uppkommer en ellips.
x
B
y
B'
a
b
b
u
A
Figur 14.
En rak cylinder som skärs av ett plan genom punkten O
23
B
u
a
O
ea
b
B'
u
A
Figur 15.
Sektion genom cylinderns axel
Skärningsvinkeln u mot cylinderns axel ger upphov till en rätvinklig triangel. Låt ellipsens
excentricitet, med avseende på vinkeln u vara,
e = cos(u )
(27)
Den rätvinkliga triangeln OB´B ger således att sträckan B´B har längden ea.
Pythagoras sats ger,
b2 + e2a 2 = a 2
(28)
Ekvivalent får vi ur ekvation (28) följande samband,
1 − e2 =
b2
a2
(29)
Låt punkten P vara en godtycklig punkt på ellipsen och bestäm ett samband mellan
koordinaterna (x,y) som beskriver ellipsens punkter.
x
y
P
P´ a
C
x'
b
u
A
Figur 16.
Punkten P = ( x, y ) på ellipsen
Figur 16 illustrerar punkten P på ellipsen samt cylinderns omkrets där skärningsplanet skär
cylinderns axel. I figuren ser vi att punkten P ligger på ellipsen om vi skapar en rätvinklig
triangel där den räta vinkeln i punkten P´ motsvarar en punkt på cylinderns diameter, b.
24
P(x,y)
u
x
C(0,y)
P'(x * sin(u),y)
x * sin(u)
Figur 17.
Sektion genom punkten P
Med hjälp av figur 17, vilket avser den rätvinkliga triangel som ses i figur 16, kan vi
bestämma koordinaterna för punkten P´.
Bilda den rätvinkliga triangeln OP´P, där O avser skärningspunkten för xy-koordinaterna.
Pyhtagoras sats ger,
(x ⋅ sin(u ) )2 + y 2 = b 2
(30)
Trigonometriska ettan och ellipsens excentricitet enligt ekvation (27) och (29) ger,
sin 2 (u ) = 1 − cos 2 (u ) = 1 − e 2 =
b2
a2
(31)
Substitution av ekvation (31) i ekvation (30) ger,
b2 2
⋅ x + y 2 = b2
2
a
(32)
Ekvation (32) är ekvivalent med,
2
2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝a⎠ ⎝b⎠
(33)
Detta är den formel för ellipsen som vi är vana att se den. Vi kan sammanfatta detta med
följande sats [Hansen, 1998],
Sats 1 Ellips
För ett xy-koordinatsystem i det Euklidiska planet, kan ellipsen med storaxel a och lillaxel b
beskrivas med fölande ekvation
2
2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =1
⎝a⎠ ⎝b⎠
(34)
25
3.7.2
Ellipsens brännpunkter
Ellipsen karaktäriseras av geometriska egenskaper. En sådan egenskap är förhållandet mellan
ellipsens två brännpunkter.
y
b
-a
F1
P(x,y)
F2
a
x
-b
Figur 18.
Ellips
I ovanstående figur visas även ellipsens brännpunkter, F1 och F2. Brännpunkterna förstås
enkelt genom att föreställa sig att ellipsen på insidan är en spegel. Antag att två personer står
på varsin brännpunkt. Oavsett i vilken riktning de båda personerna står så kommer de att
kunna se varandra.
Ett annat intressant faktum är att summan av avstånden till brännpunkterna till en punkt på
ellipsen är konstant. Detta kan sammanfattas i följande sats,
Sats 2 Ellipsens brännpunkter
En ellips innehåller alla punkter i planet så att summan av dess distans till brännpunkterna är
konstant, nämligen 2a där a motsvarar längden av halva storaxeln.
Låt oss visa att,
PF1 + PF2 = 2a
(35)
Beteckna alla punkter på ellipsen med P = ( x, y )
Låt
x = a cos(ϕ ), y = b sin(ϕ )
(36)
Med hjälp av Pythagoras sats bestämmer vi därefter avstånden från brännpunkterna till
punkten P på ellipsen,
PF1 = ( x + c) 2 + y 2 = (a cos(ϕ ) 2 + c 2 ) + b 2 sin 2 (ϕ )
(37)
PF2 = ( x − c) 2 + y 2 = (a cos(ϕ ) 2 − c 2 ) + b 2 sin 2 (ϕ )
(38)
Efter förenkling av uttrycken (37) och (38) erhålls följande avstånd,
PF1 = a + c cos(ϕ )
(39)
PF2 = a − c cos(ϕ )
(40)
Summering av de förenklade uttrycken enligt (39) och (40) ger,
PF1 + PF2 = 2a
(41)
□
Beskrivning av en ellips är en viktig kurva. Med hjälp av formeln för en ellips kan vi beskriva
planeternas omloppsbanor runt solen. 1609 beskrev Kelpler planetens Mars ellipsformade
bana i ”Den nya astronomin”.
26
Har du däremot för avseende att skapa någonting elliptiskt kan du enkelt skapa denna form
genom att placera två stift i brännpunkterna och förbinda dessa brännpunkter med en
tillräckligt långt band. För att skapa ellipsen för du en markör längs bandet så att bandet hålls
sträckt. I stället för en cirkel, som bildas vid användandet av en passare, skapas en ellips, se
figur 18.
3.7.3
Parabel och hyperbel
Det är inte enbart ellipsformade kurvor som beskrivs av kägelsnitten. Beroende på
skärningsplanets vinkel mot konens axel kan även parabel- och hyperbolkurvor bildas. Andra
himlafenomen i vårt solsystem, exempelvis vissa kometer, kan beskrivas av kurvorna, parabel
och hyperbel.
y
Q(-c,y)
-c
P(x,y)
x
F(c,0)
L
Figur 19.
Parabel
Parabeln får vi genom att omforma en ellips. Låt den ena av brännpunkterna hållas fixerad
och låt den andra flyttas mot oändligheten. Brännpunkten som hålls fixerad kommer således
att bestå av strålar, exempelvis ljus- eller radiovågor som är parallella med x-axeln. En
parabel beskrivs av formeln,
4cx = y 2 ,
(42)
där 2c avser avståndet mellan parabelns brännpunkt och dess styrlinje.
Sats 3 Parabel
En parabel definieras så att för en fixerad punkt P(x,y) i planet är avståndet från punkten till
brännpunkten, F och avståndet från punkten till en given rät linje, styrlinjen, lika.
Välj ett koordinatsysten så att linjen L har ekvationen x + c = 0 och att brännpunkten F har
koordinaterna F = (c , 0) . Eftersom avståndet mellan FP och PQ skall vara lika kan vi ställa
upp följande samband;
( x − c) 2 + y 2 = x + c
(43)
Förenkling av ekvation (43) ger,
y 2 = 4cx
(44)
27
□
Den tredje kurvan som uppkommer genom kägelsnitt är hyperbeln. Hyperbeln är en
symmetrisk kurva och ges av följande ekvation,
2
2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1
⎝a⎠ ⎝b⎠
(45)
y
a
F2
Figur 20.
Hyperbel
28
b
F1
x
3.8
Projektiv geometri
Det är svårt att förstå en bilds djup utan kunskap om det projektiva rummet. Konstnärer och
arkitekter använder sina kunskaper om projektion för att återskapa tredimensionella bilder på
ett papper, där endast två dimensioner är möjliga.
Figur 21.
Den 777 m långa gången, Chang Lang, från Sommarpalatset i Beijing.
(Fotograf: underskriven, december 2006)
I fotografiet ovan kan vi se att parallella linjer i rymden avbildas som linjer som
sammanstrålar i en punkt oändligt långt bort i bilden. Linjen där punkterna sammanstrålar
kallas, den perspektiviska linjen. Geometrin som beskriver perspektivmålningen skall ta
hänsyn till att olika objekt får skilda storlekar beroende på deras placering och dess avstånd
till betraktaren. Detta innebär att det som följer Euklides geometri i rymden avbildas på det
projektiva planet.
3.8.1
Plan projektiv geometri
Plan projektiv geometri har sin grund i tre obekanta termer, nämligen punkt, linje och
incidens. Vi har givet följande:
P
= mängden av alla punkter, P
L
= mängden av alla linjer, α
PI α
= incidens, det vill säga relationen mellan elementen ur P och
elementen ur L. Om PI α gäller för P∈ P och α ∈ L så säger man
att punkten P är i incidens med linjen α.
Euklides axiom har satts åt sidan för de fyra axiom som gäller för plan projektiv geometri.
Axiom för plan projektiv geometri
1. Låt P och Q vara två olika punkter. Då existerar det en och endast en linje α så att P och
Q ligger på α.
2. Två olika linjer möts i en och endast en punkt.
3. Det finns åtminstone tre punkter som är icke-linjära
4. På varje linje finns det åtminstone tre punkter
29
Följande beskrivning ger steg för steg den minsta modell, som visas i figur 22, som uppfyller
de fyra axiomen enligt plan projektiv geometri.
Steg 1
Det existerar en linje som har åtminstone tre punkter på den.
Steg 2
Dessutom, enligt axiom 3, så finns det tre punkter som är ickelinjära. Detta ger oss en triangel med tre punkter på baslinjen.
Steg 3
Av axiomen innebär detta att linjerna förutom baslinjen också har
åtminstone tre punkter på den. Vi har nu sex punkter och endast tre
linjer.
Steg 4
Genom att dra linjer genom ”mittpunkterna” på respektive linje till
den punkt som ligger utanför denna linje skapas ytterligare tre
linjer. Dessa nya linjer har endast två punkter vardera.
Steg 5
Om dessa linjer passerar genom samma punkt har vi skapat den
sjunde punkten. Axiomen säger att två punkter på olika linjer
tillsammans bildar en linje.
Steg 6
För att uppfylla de fyra axiomen ritas en cirkel genom dessa
punkter.
Figur 22.
Modell för axiom enligt plan projektiv geometri
Ovanstående modell visar inga motsägelser, varvid vi kan göra följande definition av det
projektiva planet.
Definition 1, det Projektiva planet.
En modell enligt de axiom för plan projektiv geometri, kallas det projektiva planet, eller plan
projektiv geometri.
De fyra axiomen för det projektiva planet har en viktig egenskap. Om vi byter orden ”punkt”
och ”linje” i axiomen så erhåller vi nya sanna påståenden. Detta sammanfattas med en sats om
dualitetsprincipen.
Sats 4 Dualitetsprincipen.
Vi får en ny giltig sats i projektiv plan geometri så snart som vi byter orden ”punkt” och
”linje”, men behåller dess incidens i en giltig sats för plan projektiv geometri.
Dualitetsprincipen innebär även att ”sammanbindningslinjen mellan två punkter” kan bytas
mot ”skärningspunkten mellan två linjer” och vi finner en dual motsvarighet.
30
3.8.2
Det reella projektiva planet
I vanlig analytisk geometri beskrivs koordinaterna i ett plan med ett par av reella tal (x,y). En
linje ges av ekvationen,
AX + BY + C = 0
där A,B,C är reella konstanter och X,Y är variabler.
En linje som ges av denna ekvation innebär således en mängd av punkter (x,y) i R2 så att,
Ax + By + C = 0
Detta är en modell för geometri i det Euklidiska planet. För att anpassa detta till det reella
projektiva planet behöver vi utvidga definitionerna så att axiomen för plan projektiv geometri
gäller. Detta görs genom att komplettera med punkter i oändligheten, vilket
sammanfattningsvis ger oändlighetslinjen. Resultatet ger oss en modell för det reella
projektiva planet P2(R).
Definition 2, Reella projektiva planet.
Mängden P av punkter i det reella projektiva planet P2(R) är mängden av alla linjer genom
origo (0,0,0) ∈ R3.
Mängden L av linjer är mängden av alla plan i R3 som passerar genom (0,0,0).
Vi säger att den projektiva punkten P, dvs linjen a ⊂ R3, är incidenta med den projektiva
linjen L, det är, p ⊂ R3, om a ⊂ p . Vi skriver således PIα.
3.8.3
Koordinater i det projektiva planet
En punkt i det reella projektiva planet P2(R) är linjer genom (0,0,0) i R3. En sådan linje kan
unikt uttryckas som en vektor (a,b,c) ≠ (0,0,0). Den vektor som beskriver riktningen av
linjen α då den passerar origo ges av följande parametriska form,
α = {( x, y, z ) | x = at , y = bt , z = ct där t ∈ R}.
För varje värde av parametern t korresponderar med en unik punkt P (t ) ∈ α och omvänt, för
varje punkt P ∈ α det finns ett unikt värde på parametern t, t = t P , så att,
P = P(t P )
Om vi ändrar vektorn (a, b, c) till någon vektor (a’, b’, c’) som är propotionell till den
ursprungliga vektorn; detta innebär att den nya parametriska formen ger samma linje.
Förhållandet mellan punkterna a, b och c är viktiga. Låt (a : b : c) vara en mängd av de
vektorer som är proportionella mot (a, b, c),
(a : b : c) = {( a' , b' , c' ) | a' = ra, b' = rb, c' = rc där r ≠ 0}
Projektiva koordinater för en punkt α ∈ P2(R) ges av följande definition,
Definition 3, Projektiva koordinater.
Om en punkt α ∈ P2(R) är given som en linje i R3 på parametrisk form,
α = {( x, y, z ) | x = at , y = bt , z = ct där t ∈ R}
då beskriver vi denna punkt med (a : b : c) . Förhållandet a : b : c anger den projektiva
koordinaten till punkten, detta namn ges även till (a,b,c), som endast är bestämt till en
konstant multipel.
31
3.8.4
Desargues sats
Sedan återupptäckten, på 1800-talet, av Desargues sats är det en fundamentalsats inom den
projektiva geometrin. Låt oss börja med att studera hur två trianglar är perspektiviska med
varandra med avseende på en specifik punkt.
C'
C
B'
B
O
A
A'
Figur 23.
Perspektiviska trianglar
I figur 23 är de två trianglarna placerade så att linjerna genom korresponderande hörn, AA' ,
BB' och CC ' , har den gemensamma skärningspunkten O. Trianglarna ∆ABC och ∆A' B' C ' är
perspektiviska med avseende på perspektivcentrum O. Detta innebär att, om en person
befinner sig i punkten O och tittar på triangeln ABC kommer personen ej att se den bakre
triangeln A´B´C´. Står personen däremot i någon annan punkt kommer båda trianglarna att
vara åtminstone delvis synliga.
Den franske matematikern Gerard Desargues försökte finna svar på de frågor som fanns kring
perspektivlärorna och det han fann genom studier av perspektiviska trianglar formulerade han
i en betydelsefull sats.
Desargues sats.
Låt två trianglar ABC och A´B´C´ vara givna i P2(R), så att A ≠ A´ , B ≠ B´ och C ≠ C´ . Låt
förlängningen av trianglarnas korresponderande sidor skära varandra i tre punkter, så
kommer dessa tre skärningspunkter att ligga på en rät linje.
C'
B'
C
B
O
A'
A
P
Q
R
Figur 24.
Desargues sats
32
Låt oss börja med att studera de linjer som formar triangel ∆ABC respektive triangel
∆A' B ' C ' . Vi hoppas finna ett samband mellan dessa linjer som är oändligt långa.
Linjerna AB och A' B' ligger i det gemensamma plan som ∆OAB tillhör. Detta gör att
linjerna AB och A' B' skär varandra i punkten P.
På motsvarande sätt bildas punkterna Q och R då linjerna AC och A'C ' respektive BC och
B'C ' skär varandra.
Låt punkterna P, Q och R tillhöra dels ABC-planet (π) och dels A' B' C ' -planet (π’). Detta ger,
med avseende på att två plan skär varandra i en gemensam linje, att punkterna P, Q och R
ligger på en rät linje.
Omvänt betyder Desargues sats att två trianglar är perspektiviska om de linjer som
sammanbinder hörnen parvis skär varandra i en punkt, så kommer trianglarnas sidor, eller
dess förlängning, att skära varandra i tre punkter. Dessa tre punkter kommer då att ligga på
samma linje, Desargues linje.
Genom tillägget att även oändlighetspunkterna skall ingå i det projektiva planet, se 3.8.2,
erhåller vi en skärningspunkt mellan två, till synes parallella linjer. Detta gör att vi återigen
kan finna de tre punkterna som ger oss Desargues linje.
Om vi studerar ingående punkter och linjer i en Desarguesfigur finner vi att både punkterna
och linjerna är 10 stycken till antalet. Vi finner även att det finns tre punkter på varje linje och
att tre linjer går genom samma punkt, det vill säga att det finns ett inbördes förhållande mellan
punkterna och linjerna.
Om punkten för perspektivcentrum, O, väljs godtyckligt i en Desarguesfigur kommer vi ändå
att finna de perspektiviska trianglarna samt den räta linje som innehåller punkterna P, Q och
R. Om O väljs i var och en av de tio punkterna, som ingår i figur 24, kan den som vill finna de
olika perspektiviska trianglarna samt de tre punkterna på Desargues linje. Omvänt kan man
välja en av linjerna som Desargues linje och därefter finna de perspektiviska trianglarna och
dess perspektivcentrum [Ulin, 2000].
33
34
Kapitel 4
Jämförelse av geometrin i läromedel för
gymnasieskolan (1962-1999)
4.1
Inledning
I denna del av uppsatsen studeras skillnader och likheter i olika läroböcker från olika
tidsepoker. Dessutom diskuteras hur geometrins historiska utveckling, som beskrivits i kapitel
två av denna uppsats, illustreras i läroböckerna. Vi ställer också frågan hur avsnitt geometrins
historia kan utnyttjas för att stimulera elever till fortsatt kunskapsinhämtning i matematik.
Begreppet geometri skapar många olika associationer beroende på vem som svarar. Många
associerar geometri med areor och volymer medan andra kommer ihåg hur de, i skolan,
arbetade med Euklides geometri.
Den Euklidiska geometrin, som härstammar från 300 f kr, har haft en stor betydelse för
matematikundervisningen i skolorna. Kunskaper i denna inriktning gav eleverna goda
kunskaper i geometri, dels som ämne men även färdigheter i logiskt tänkande. Geometrin
kunde av eleverna kännas onödig. Problemlösning och bevisföring, som många inte klarade
av, gjorde att eleverna tappade glädjen för att lära sig matematik [Lindahl, 1987 &
Nilsson,1996].
Under en matematikkonferens i anslutning till andra världskriget höjdes röster för ”Ut med
Euklides”. Detta berodde på att många elever inte förstod vad de räknade i matematiken. I
samband med att Den nya matematiken, som kom under 1960-talet, förändrades matematiken
i de svenska skolorna. Nordiska Kommittén för Modernisering av matematikundervisningen
ledde arbetet i de nordiska länderna. De presenterade olika försökstexter som senare låg till
grund för de nya kursplanerna som infördes i grundskolan och gymnasieskolan [Nilsson,
1996].
I och med att den Euklidiska geometrin byttes till andra geometriska övningar innebar det inte
att undervisningen blev bättre. Det allt större kursinnehållet och uppgifternas svårighetsgrad
gjorde att eleverna tappade sin glädje för problemlösning och många andra elever tappade sitt
intresse för matematiken som helhet. Detta konstaterades av Skolöverstyrelsen som utformade
nya läroplaner samt gjorde uppgifterna enklare [Nilsson, 1996].
Utvecklingstendensen inom matematiken visade dock att nedtoningen av Euklides geometri
gjorde att många elever saknade viktiga kunskaper och därigenom återinfördes geometrin i
gymnasieskolornas matematikundervisning. Enligt [Lindahl, 1987] infördes geometrin i 1987års matematikkurser.
Under senare tid, som vi sett i tidigare avsnitt, har dock geometrin utvecklats i olika
inriktningar som visat att Euklides geometri inte är lika självklar som man under många år
trodde.
35
4.2
Läromedel i matematik från olika tidpunkter
Geometri är den inriktning inom matematiken som studerats i denna studie. Fyra olika
läromedel från olika årtionden har lästs och jämförts. I dessa läromedel har vissa skillnader
noterats i framläggningen, dels av allmän karaktär och dels med avseende på geometri
avsnitten. De läromedel som ingår i denna studie har varit i bruk under respektive år och den
senaste läroboken används fortfarande. Följande läromedel har studerats:
1962;
Algebra och Geometri 1 – för realgymnasiet (Hedström, Rendahl och
Ekbom, 1962)
1978;
Matematik för gymnasieskolan: NT1 Huvudbok (Nyman, Emanuelsson,
Bergman och Bergström, 1978)
1982;
Matematik: Gymnasieskolan NT1 (Björk, Brolin och Ljungström, 1982)
1999;
Matematik 3000: Kurs A och B, lärobok Naturvetenskap och teknik (Björk och
Brolin, 1999)
I följande avsnitt har beskrivs dels iakttagelserna och dels kommenteras iakttagelserna för
respektive lärobok. I de avslutande styckena återfinns några sammanfattande kommentarer.
4.3
Allmänna iakttagelser och jämförelser av läroböckerna
De allmänna iakttagelserna och jämförelserna som är gjorda i respektive böcker ger en
översiktlig bild över skillnaderna mellan olika läromedel. I en eventuell framtida studie kan
det vara av vikt att studera skillnaderna närmare. I följande avsnitt finns en sammanställning
av några av de områden som visar på observerbara skillnader mellan de fyra läromedlen.
4.3.1
Geometri som matematiskt avsnitt
Som vi läste i inledningen till kapitel 4 har geometri till och från varit del av skolornas
läroplan. Varje lärobok har ett eget upplägg. I detta avsnitt skall vi se hur geometrin finns
representerade i respektive läromedel. För varje lärobok finns även en översiktlig bild hur
författarna till respektive böcker presenterar de teoretiska avsnitten. I avsnitt 4.3.3 finns en
reflektion kring läroböckernas upplägg av teoriavsnittens tillhörande övningsuppgifter.
1962;
Läroboken Algebra och Geometri 1 är uppdelad i tre delar. Den första delen
behandlar Algebra och de återstående delarna behandlar dels Geometrisk
översikt och likformighetslära och dels Planimetri.
I förordet till denna lärobok skrivs följande:
”Då Pythagoras’ sats numera ej behöver genomgås i realskolans högsta klass, har det varit
nödvändigt att ändra en del problem vid införandet av kvadratrötter.”
[Hedström/Rendahl/Ekbom, 1962, sIII].
Då ytterligare referenslitteratur och översiktsbild om matematikundervisningen
saknas från denna tid är det svårt att förstå innebörden av detta citat. Tolkningen
av detta är att det inte är förrän i innestående läsår som Pythagoras sats skall
bevisas. Pythagoras sats återfinns i kapitlet om Likformighetslära.
Avsnittet om Geometrisk översikt och likformighetslära innehåller ett kapitel för
vartdera avsnittet. Upplägget är innebär att först presentera ett kort teoretiskt
avsnitt med efterföljande problemlösning innan nästa teoretiska avsnitt tar vid.
36
I den tredje delen, Planimetri, återfinns fyra kapitel och ett avslutande kapitel
med Blandade uppgifter. De fyra kapitlen är; Triangeln, Fyrhörningen, Två
tilläggssatser samt Cirkel. Även i denna del följer upplägget att först presentera
ett teoretiskt avsnitt följt av problem att lösa.
1978;
Enligt författarna till Matematik för gymnasieskolan är läroboken anpassad till
elektronikens tidsålder. Miniräknaren har blivit ett allt vanligare hjälpmedel för
skolornas matematikundervisning. I förordet av 1978-års lärobok kan man läsa
följande citat:
”Miniräknaren har snabbt blivit ett allmänt använt hjälpmedel i skolans
matematikundervisning. Detta medför, att numeriska beräkningar kan utföras snabbare och
säkrare än förut och det bör förhoppningsvis ge större möjligheter att uppfylla läroplanens
målsättning gällande begreppsbildning och ge utrymme för ett noggrannare studium av
matematisk teori, något som otvivelaktigt är av värde för förståelsen av matematiken och
förmågan att tillämpa den.”
Miniräknarens betydelse för detta läromedel är tydligt då det finns illustrationer
till eleverna för hur de skall trycka för att få fram svaret.
Vidare kan man läsa i förordet att ”inom geometrin finns behov av ökad
träning” [Nyman/Emanuelsson/Bergman/Bergström, 1978]. Trots detta saknar
läroboken avsnitt med geometri som rubrik. Vid en första anblick ser det ut som
om geometrin är utelämnad i denna lärobok, men studerar man innehållsförteckningen närmare återfinner man geometriavsnitt inbakade i de övriga
avsnitten. Exempel på detta är Geometriska formler i avsnittet om Numerisk
beräkning eller Geometriska problem som kan lösas med hjälp av ekvationer,
vilka återfinns i det första avsnittet om ekvationer.
Läroboken är inte lika tydlig i avseende på den teoretiska delen som läroboken
från 1962. I avsnittet om Geometriska formler inleds med ett exempel där
beräkning av cirkelns omkrets samt längden av en cirkelbåge sker. Det finns
ingenting i exemplet som visar eleven vad han skall förstå teoretiskt. I
anslutning till nämnda exemplet finns en illustration med några vanliga formler
för beräkningar av area. Illustrationen saknar rubrik vilket försvårar förståelsen
för eleverna att inse att detta tillhör de teoretiska aspekterna.
1982;
1982-års lärobok Matematik är uppdelad i fem huvudområden där det andra
kapitlet omfattar Geometri och trigonometri. Detta avsnitt är därefter indelat
ytterligare avsnitt som behandlar i tur och ordning; Vinklar, Kongruens och
konstruktion, Likformighet samt Trigonometri i rätvinkliga trianglar.
Varje avsnitt börjar med en teoretisk del där avsnittets viktiga begrepp och
formler presenteras. Den information som författarna vill poängtera visas genom
att texten är inskriven i en blå ruta. På så sätt skapas en tydlighet till eleverna om
vad som är det väsentliga i detta avsnitt. En ny rubrik visar när ett nytt
teoriområde tas upp.
Problemlösningarna som följer, inleds med ett exempel där en komplett lösning
visas. Eleverna blir medvetna om detta genom att dessa exempel är skrivna med
blå text. Generellt finns ett löst problem före varje nytt problemområde.
1999;
1999-års lärobok Matematik 3000 behandlar gymnasieskolans två första kurser i
matematik, kurs A och kurs B. Jag har valt att enbart studera kurs A eftersom
det är den första kursen eleverna börjar med då de kommer till gymnasiet.
37
Kurs A är uppdelad i fem kapitel varav det fjärde avser kunskaper i Geometri.
Kapitlet om geometri är indelat i tre avsnitt; Vinklar, Likformighet samt
Trigonometri.
Upplägget för denna lärobok påminner om 1982-års lärobok. Varje nytt avsnitt
startar med en teoretisk genomgång där viktiga begrepp och formler är samlade i
en ruta med blå ram. Därefter följer några typexempel där även lösningarna
visas, vilket enligt författarna skall öka elevernas inlärning av de viktiga
basfärdigheterna. I likhet med 1982-års lärobok är dessa markerade med blå
text, men i denna lärobok finns alla typexemplena samlade direkt efter det
teoretiska avsnittet.
Sammanfattningsvis visar de olika läroböckerna stor variation mellan olika år om vi iakttar
synliga skillnader i böckernas upplägg. I 1978-års lärobok saknades geometri som eget avsnitt
och det var även i denna lärobok där det saknades tydliga markeringar över den teori som
kapitlet avser.
Eftersom Lars-Erik Björk och Hans Brolin är författare till både Matematik (1982) och
Matematik 3000 (1999) ser man tydliga likheter i böckernas upplägg. Det vore därför
intressant att i ett senare skede studera ytterligare läroböcker från respektive år och se hur
dessa skiljer sig från de läroböcker som ingått i denna studie.
Innehållet i matematiken styrs av de mål som finns i kursplanerna och dessa har förändrats
med åren. Kraven på elevernas kunskaper har således varierat med tiden. Kunskaper i
matematik har växt fram under lång tid och är fortfarande under utveckling [Nilsson, 1996].
4.3.2
Matematikens historia
All matematik har ett historiskt ursprung. Det är dock inte alltid som ursprunget är känt. I
utvalda läroböcker har jag studerat vilken roll matematikens historia har i läromedlens
utformning. Jag har tittat på hela bokens innehåll och iakttagit vissa skillnader mellan de olika
läroböckerna.
1962;
I 1962-års lärobok finns, i avsnittet om Geometri, inga historiska notiser över
huvud taget. Däremot finns i den föregående delen, Algebra, ett avsnitt med
historiska notiser samt problem ur äldre räkneböcker. Det finns inga kopplingar
från aktuellt avsnitt till de historiska notiserna, men en sidangivelse anger vilket
avsnitt som den historiska notisen anknyter till.
1978;
Notiser eller uppgifter som anknyter till matematikens historia saknas i 1978-års
lärobok.
1982;
I inledningen till det avsnitt som handlar om Geometri och Trigonometri finns
en kort historisk tillbakablick. Där berättas om den grekiske matematikern,
Eratosthenes, som för mer än 2000 år beräknade jordens omkrets trots att många
människor ansåg att jorden var platt.
Avsnittet om Geometriska konstruktioner inleds med kopplingen till Euklides
Elementa. Dock finns inga specifika tidsperioder angivna utan enbart att även
detta skedde för med än 2000 år sedan.
Arkimedes finns också omnämnd i läroboken. I en ruta av notiskaraktär finns
beskrivet hur Arkimedes (287-212 f .Kr) bestämde ett närmevärde till π genom
att använda sig av in- och omskrivna månghörningar.
38
1999;
I 1999-års lärobok har de historiska notiserna fått ett större utrymme än i de
tidigare läroböckerna. I förordet till lärare och elever säger man följande:
”Boken innehåller dessutom historikavsnitt med inslag som visar matematikens utveckling och
betydelse för vår kultur”.
De historiska notiserna är beskrivna i en ruta med rubriken Historik. I avsnittet
om Geometri för A-kursen finns det 3 historiska notiser, som upptar en halv
eller en hel sida i läroboken. Dessa notiser behandlar Fraktaler, Pythagoras och
Trigonometrins utveckling. Informationen i Historik rutorna är väl skriven. Den
matematiska historien beskrivs på ett överskådligt och berättande sätt så att
eleverna lätt kan ta till sig informationen. Till skillnad från 1982-års lärobok
finns även noggranna årtal angivna i de historiska notiserna.
Efter att ha studerat de fyra läroböckerna kan man tydligt se att matematikens historia har ett
betydligt större utrymme i den senaste läroboken. I aktuell läroplan, Lpf94 (Läroplan för de
frivilliga skolformerna) kan man läsa följande:
”Undervisningen skall ge ett historiskt perspektiv, som bl.a. låter eleverna utveckla beredskapen
inför framtiden, förståelsens för kunskapers relativitet och förmågan till dynamiskt tänkande.”
[Lärarförbundet, 2002, s 40]
Tolkningen av detta citat är den historiska utvecklingen skall finnas med som en del av
undervisningen, vilket överensstämmer med de iakttagelser som gjorts i läroböckerna..
Enligt [Nilsson,1996] har ungdomarna inget intresse för historiska perspektiv till
matematiken. Om exempelvis de klassiska geometriska problemen skall demonstreras, avsnitt
2.3, anser hon att först ska problemet behandlas och därefter placera in det i sitt historiska
sammanhang. Lärarens inställning till matematikens historia har stor betydelse. I början kan
eleverna anse att de historiska tillbakablickarna är oväsentliga men finna dem som en del av
matematikundervisningen om läraren kontinuerligt kopplar ihop innevarande avsnitt med den
historia som hör därtill.
”Precis som vi kan ta till oss och ”förstå” matematiska arbeten som är flera tusen år gamla,
genom att vi ”läser” det matematiska innehållet utifrån dagens generella och (för oss)
överblickbara matematik, så har förmodligen det matematiska innehållet även tidigare kunnat
överföras mellan kulturer.” .[Johansson, 2004, s498]
Ovan citat från [Johansson, 2004] visar att de tolkningar som vi idag gör behöver inte stämma
överens med de noteringar som dåtidens matematiker utförde. Vi kan dock se vikten av att
känna till matematikens historia för att kunna föra det matematiska kulturella arvet vidare.
Det historiska perspektivet visar hur matematikerna försökt lösa problem och misslyckats.
Misslyckandena har lett till att andra matematiker funnit lösningar på dessa problem och
därmed går den matematiska utvecklingen framåt.
Vidare kan diskussion föras om upplägget med historiska notiser är bra eller dåligt för
elevernas kunskapsinhämtning. I en senare studie kan det vara av intresse att se om eleverna
upplever läroböckernas upplägg på olika sätt. En undersökning om det finns elever som störs i
sin matematiska inlärning av dessa historiska notiser eller om eleverna kan bortse från dessa
och fortsatt göra goda studieresultat.
39
4.3.3
Övningsuppgifternas upplägg och nivåindelning
I avsnitt 4.3.1 gavs en kortfattad beskrivning av de teoretiska bitarnas upplägg. Denna
jämförelse mellan läromedlen avser att studera vilka skillnader som problemlösningsuppgifterna har. Vid jämförelsen av de fyra läroböckerna iakttogs en skillnad
beträffande böckernas upplägg av problem med varierad svårighetsgrad. Först görs en kort
presentation av varje läroboks uppdelning och därefter en summering av gjorda iakttagelser.
1962;
Antalet uppgifter är, enligt författarna till detta läromedel [Hedström/
Rendahl/Ekbom, 1962], omfattande för att erhålla möjlighet till variation. Det
finns dock uppgifter som är markerade med en asterisk (*), vilket innebär att de
kan hoppas över till en början. Dessa uppgifter kan senare användas för
ytterligare problemlösning. I 1962-års lärobok finns ingen annan angivelse för
uppgifternas inbördes svårighetsgrad.
I avsnittet Geometrisk översikt och likformighetslära saknas avsnitt och
uppgifter med asterisk. Däremot i avsnittet Planimetri återfinns endast ett fåtal
uppgifter som är markerade med asterisk. En uppgift med asterisk finns i
avsnittet om romber och övriga markerade problem återfinns i slutet av boken
(blandade exempel).
Markerade problem finns ej i slutet av varje avsnitt, utan det kan vara en uppgift
mitt bland övriga uppgifter.
1978;
Uppdelningen av uppgifterna i denna lärobok [Nyman/Emanuelsson
/Bergman/Bergström, 1978] med avseende på grundkurs, påbyggnadskurs och
överkurs är enligt förordet att underlätta för eleverna att arbeta självständigt. Till
största delen tillhör övningsuppgifterna grundkursen. Uppgifter tillhörande
grundkursen är omarkerade. Markeringar för påbyggnads- och överkursuppgifterna visas med olika markeringar i marginalen.
Flera avsnitt innehåller enbart uppgifter tillhörande grundkursen och i de avsnitt
där fördjupning erhålls är generellt påbyggnads- och överkursuppgifterna
samlade i slutet av varje avsnitt.
1982;
I förordet till 1982-års lärobok anger att det finns många uppgifter med
varierande svårighetsgrad. Även här anges elevernas självständiga arbete och
individualisering som anledning. Vissa uppgifter är markerade med en eller flera
(„), vilket innebär att dessa uppgifter har en högre svårighetsgrad. De markerade
uppgifterna finns samlade i slutet av respektive avsnitt.
De avsnitt med tillhörande övningsuppgifter är de som normalt skall ingå i
matematikundervisningen saknar markering. Däremot finns det vissa avsnitt
som märkta med („) vilket innebär att avsnitten har överkurskaraktär.
I slutet av läroboken finns ett avsnitt för repetition. Detta avsnitt innehåller de
uppgifter som finns exemplifierade under respektive avsnitt i läroboken. Genom
att studera sina egna lösningar med lärobokens lösningsförslag kan eleverna
göra en självständig repetition av hela kursens innehåll.
1999;
Övningsuppgifterna i denna lärobok är uppdelade i tre nivåer. Nivåerna A, B
och C skall motsvara betygsgränserna G, VG och MVG.
Varje kapitel, i 1999-års lärobok, avslutas med förslag på hemuppgifter som
eleverna kan arbeta med. Dessutom finns ett avsnitt för problemlösning, där
uppgifterna inte skall lösas slentrianmässigt utan där eleverna måste utveckla
40
sina strategier för problemlösning. Avslutningsvis i varje kapitel finns ett avsnitt
där eleverna skall utföra beräkningar utan miniräknarens hjälp och därigenom
erhålla viktiga grundläggande färdigheter.
Läroböckernas olika karaktärer visas tydligt i dessa böcker. Någonstans på vägen har
läroboksförfattarna fått kännedom om vilka uppgifter som eleverna finner svåra. Man kan
dock ifrågasätta vilken betydelse uppdelningen av uppgifterna har.
I det senaste läromedlet som jämförts visas tydligt innebörden av uppgifternas indelning. Här
har författarna tagit del av de kursmål och betygskriterier som utgör riktlinjer för matematiken
och skapat ett läromedel som tar hänsyn till denna bedömning. Frågan är om alla elever ser
sina möjligheter. Nivågrupperingen av uppgifterna skapar en tydlig gräns för eleverna. De
elever som inte tror sig kunna nå ett högre betyg strävar ej heller efter att försöka lösa
uppgifter på en annan nivå. Nivåindelningen skapar ett hinder för vissa elever. De elever som
kan tänka logisk missar möjligheten att lösa problem som inte kräver ett bra matematiskt
språk utan ett logiskt resonemang.
4.4
Iakttagelser och jämförelser i läroböckerna med avseende på
geometri
I kapitel 2 och 3 i denna uppsats har läsaren kunnat ta del av geometrins historiska utveckling
samt fått inblick i några områden från geometrin. I de följande avsnitten skall vi koppla ihop
geometrins historiska utveckling med det som presenteras i läromedlen.
4.4.1
Konstruktion med passare och linjal
Enigt geometrins historiska utveckling har användningen av passare och linjal varit ett viktigt
hjälpmedel för problemlösarna. Vi har läst att exempelvis de tre klassiska problemen i grekisk
geometri ej gått att lösa med dessa hjälpmedel utan istället utvecklade matematikerna olika
typer av hjälpmedel för att komma förbi problemet (avsnitt 2.5 och 3.2).
1962;
Inledningsvis i kapitlet om Geometrisk översikt finns de grundläggande
konstruktionsuppgifterna repeterade. Under tidigare skolår har eleverna fått den
kunskap som de behöver för att lösa dessa problem.
Följande fem grundläggande konstruktionsuppgifter finns angivna:
[Hedström/Rendahl/Ekbom, 1962, s167]
1.
2.
3.
4.
Att dela en given vinkel mitt itu.
Att dela en given sträcka mitt itu.
Att dra en normal till en given rät linje från en given punkt på densamma.
Att dra en normal till en given rät linje från en given punkt utanför
densamma.
5. Att upprita en vinkel, som är lika stor som en given vinkel.
1978;
Denna lärobok saknar avsnitt som behandlar konstruktionsproblem som kan
lösas med hjälp av passare och linjal.
1982;
Läroboken från 1999 innehåller ett illustrativt avsnitt i grundkursen där eleverna
skall göra geometriska konstruktioner med hjälp av passare och linjal utan
markering om avsnittets betydelse Med hjälp av illustrationer visas hur eleverna
kan konstruera följande geometriska exempel [Björk/Brolin/Ljungström, 1982,
s125-126]:
41
Exempel 1. Att rita en vinkel lika stor som en given vinkel.
Exempel 2. Att rita en bisektris, dvs en linje som delar en vinkel mitt itu.
Exempel 3. Att rita en linje som är vinkelrät mot en stäcka och som går genom
sträckans mittpunkt (en mittpunktsnormal).
Efter de tre inledande exemplen följer fyra uppgifter som eleverna skall
konstruera med hjälp av passare och linjal.
1999;
Kurs A i matematik saknar detta avsnitt dock finns det med i kapitlet
Fördjupningar. Avsnittet är i stort sett identiskt med det som presenterades i
1982-års lärobok.
I de läromedel som har jämförts har detta avsnitt kommit och gått. Läroböckerna visar att
betydelsen av att kunna lösa problem med passare och linjal har fått en mindre betydelse i de
senare läromedlen. Trots att detta avsnitt har tagits tillbaka i 1982-års lärobok visar Matematik
3000 att detta avsnitt till hör ett fördjupningsavsnitt.
Inom vissa gymnasieprogram, exempelvis byggprogrammet, skulle eleverna kunna uppskatta
möjligheten att lära sig matematik genom att praktiskt tillämpa dem. Konstruktion med
passare och linjal är ett sådant område som skulle kunna ingå i matematikundervisning.
Kunskap om vad dessa elever lär sig utanför matematiklektionerna kan förbättra den praktiska
tillämpningen av matematiken. Det är troligt att de lär sig exempelvis snickartriangeln, den
Egyptiska triangeln, som innehåller Pythagoras tripler 3, 4 och 5. En kunskapsöverbryggande
byggundervisning tillsammans med matematiklärarna kan skapa förutsättningar för ökade
matematikkunskaper och kunskaper inom byggnadsteknik.
För att få en bredare bild av konstruktionernas betydelse behövs ytterligare studier av samtida
läroböcker. I nästa avsnitt skall vi undersöka i vilken omfattning författarna har kompletterat
läroböckerna med bilder.
4.4.2
Geometriska figurer
I samtliga läroböcker finns illustrationer i anslutning till de teoretiska avsnitten även om det, i
1978-års lärobok, är svårare att urskilja vad som utgör den teoretiska bilden. Däremot finns en
tydlig utveckling som innebär att författarna redan har skapat de bilder som kan sättas i
anslutning till ett problem. Först några observationer från de olika läroböckerna och sedan ges
ett exempel på hur illustrationen kan användas för problemlösningen.
1962;
I anslutning till de teoretiska avsnitten finns geometriska figurer som innehåller
de beteckningar som behövs för att bevisa den teoretiska satsen.
Beträffande problemlösningsuppgifterna är det i endast ett fåtal problem som det
finns en tillhörande illustration. Illustrationen är då ofta en komplicerad bild
som dels kan vara svår att formulera skriftligt och dels vara svår för eleven att
konstruera.
1978;
Många av de geometriska uppgifterna innehåller en tillhörande illustration. Det
är oftast uppgifter av liknande karaktär som saknar illustrationer. I ett inledande
exempel kan exempelvis en rätvinklig triangel visas och då saknas illustrationer
till de efterföljande uppgifter som berör rätvinkliga trianglar.
1982;
Samtliga teoretiska avsnitt innehåller förtydligande figurer.
Uppgifterna som eleverna skall lösa är av varierande slag. Vissa uppgifter
kräver att eleverna själva skapar en illustration i anslutning till deras lösningar
medan andra uppgifter ger eleverna den tillhörande illustrationen.
42
1999;
Även i denna lärobok finns åtskilliga färdiga illustrationer för elevernas hjälp
både i teoriavsnitten och för att lösa ett problem. Några uppgifter ställer högre
krav på elevernas färdigheter att rita en figur till problemet.
För att konkret visa på skillnader i läroböckerna exemplifieras detta med en presentation av
två likartade problem. I jämförelsen hämtas det första exemplet ur 1962-års lärobok. Följande
problem, som saknar illustration, är ett citat ur [Hedström/Rendahl/Ekbom, 1962, s194]:
39.
Skuggan av en flaggstång på den horisontella marken är 17,5 m lång,
samtidigt som en lodrät, meterlång käpp kastar en skugga av 1,5 m. Hur
hög är flaggstången?
Det andra exemplet på en likartad uppgift som visas i figur 25, är hämtat ur 1978-års lärobok.
Till denna uppgift har författarna kompletterat uppgiften med en illustrativ figur.
Figur 25.
Geometriskt problem, nr 249
[Nyman/Emanuelsson/Bergman/Bergström, 1978, s63]
Dessa två exempel visar två möjligheter att presentera likvärdiga problem. I det första
exemplet saknades en illustration medan i det andra exemplet har författarna valt att bilägga
en figur till uppgiften. Av läroböckernas upplägg är det dock svårt att avgöra innebörden med
att bifoga en illustration eller inte. Syftet med uppgifterna kan vara differentierade. Ett syfte
kan vara att eleverna skall utveckla en god läsförståelse och därigenom kunna skapa sina egna
illustrationer. I ett annat sammanhang kan författarna ha för avsikt att eleverna skall lära sig
hantera matematiska begrepp och formler. En illustration innebär i sådana fall en
tidsbesparing för eleverna.
Av egna iakttagelser ute i skolorna har de geometriska figurerna stor betydelse för elevernas
förståelse av ett problem. Genom att själv skapa en illustration ges eleven möjlighet att
reflektera över problemet. De färdiga illustrationerna skapar dock en situation som gör att
eleverna enbart löser problemen skriftligt. Detta gör att eleverna har svårt att gå tillbaka till
sina lösningar och förstå varför de fått ett specifikt svar. Uppmuntran till eleverna, om
figurernas betydelse, skapar en förbättrad inlärningssituation.
Behovet av att rita figurer till ett problem är ett annat område där läroboksförfattarna borde
ange sitt syfte med uppgifterna. Illustrationerna i läromedlen skall ge eleverna goda
förutsättningar att lära sig ett matematiskt område. En illustration i ett sammanhang kan ge en
tidsbesparing för eleverna men i ett annat sammanhang skapar en given figur mindre
möjligheter för eleven att förstå de matematiska begreppen. Den egna konstruktionen skapar
en minnesbild som eleverna bär med sig inför framtida matematiska uppgifter.
43
Enligt [Grevholm, 2001] visar forskningen att eleverna behöver lösa många och olika problem
för att bli bättre att lösa problem. Elevernas förmåga utvecklas under lång tid och läraren har
en viktig roll för att förmedla betydelsen av problemlösning. En aspekt som betonas är att
eleverna behöver översättningsträning. Detta innebär att eleverna skall tränas i att dels skapa
illustrationer till uppgifterna men även att de har god läsförståelse så att de kan beskriva
uppgiften med egna ord.
En annan aspekt som beskrivs i [Grevholm, 2001] är att problemuppgifterna skall blandas så
att eleverna förbättrar sin förmåga att finna relevanta data i uppgifterna och därefter kunna
redogöra för hur de skall komma fram till lösningen av ett problem.
Läraren har också en viktig roll för elevernas bearbetning av problemen. Många har ingen
tidigare erfarenhet av problemlösning och de lär sig en lösningsmodell av läraren. Den
motiverade läraren kan ge eleverna mod att våga prova egna idéer och på så sätt ge eleverna
flera olika sätt att bemöta problemen. Bland de strategier som läraren kan ge eleverna är att
finna mönster, rita figurer, använda ändamålsenliga beteckningar samt ge eleverna redskap
för att kontrollera sina lösningar [Grevholm, 2001].
4.4.3
Pythagoras sats
I del tre visades ett bevis av Pythagoras sats som formulerats av Euklides. Genom historien
har åtskilliga bevis för Pythagoras sats presenterats. I detta avsnitt skall vi se hur de olika
läroböcker framställer denna sats.
1962;
1962-års lärobok börjar med att presentera en sats och bevis av den rätvinkliga
triangeln. Figuren från denna sats används sedan även i beviset för Pythagoras
sats.
Figur 26.
Pythagoras sats med tillhörande figur enligt 1962-års lärobok
[Hedström/Rendahl/Ekbom, 1962]
44
1978;
Presentationen av Pythagoras sats har, i denna lärobok, en helt annan betydelse.
I uppgift 182 enligt [Nyman/ Emanuelsson/Bergman/Bergström, 1978] skall
eleverna motivera Pythagoras sats utifrån den figur som finns i läroboken.
Figur 27.
1982;
Pythagoras sats enligt 1978-års lärobok
[Nyman/Emanuelsson/Bergman/Bergström, 1978, s 41]
I likhet med läroboken från 1962, bevisas Pythagoras sats i 1982-års lärobok
med hjälp av kongruenta trianglar. Vi kan dock se en skillnad i presentationen
mellan de olika läroböckerna.
Figur 28.
Pythagoras sats enligt 1982-års lärobok
[Björk/Brolin/Ljungström, 1982]
45
1999;
1999-års läromedel ger ett illustrativt bevis för Pythagoras sats. Detta bevis
använder sambandet mellan sidornas längder i en rätvinklig triangel.
Figur 29.
Pythagoras sats enligt 1999-års lärobok [Björk/Brolin, 1999]
Det är endast i den tidigaste läroboken från 1962 som Pythagoras sats visas tillsammans med
ett tydligt bevis. Visserligen förs ett resonemang i de två senaste läroböckerna men
framställningen saknar ett upplägg för att ge eleverna kunskap i hur ett bevis skall framföras.
Detta skapar en svårighet för eleverna, när de i en uppgift, skall visa hur saker förhåller sig till
varandra.
I vissa avseende är det viktigt att poängtera för eleverna hur problemlösning skall
struktureras. Strukturerna för att bevisa en sats ger eleverna viktiga kunskaper för att ställa
upp ett problem på ett lättillgängligt sätt. Genom att bara studera synbara skillnader i
läromedlen har endast en förutsättning för elevernas lärande visats. En vidare studie bör även
46
ta hänsyn till lärarnas kompetens och möjlighet att variera sin undervisning för att därigenom
skapa ytterligare en förutsättning för eleverna. Läromedlen visar ej heller vilka andra
hjälpmedel som eleverna har att tillgå för att skapa sina kunskaper. Bredvidläsningsböcker,
olika ritmateriel och räknare är några exempel på hjälpmedel som elever vid respektive års
läromedel kan ha haft tillgång till.
4.4.4 Projektiv Geometri
Under 1400-talet intresserade sig målarna för perspektivets läror. De matematiska tankarna
samlades under begreppet Projektiv geometri.
Att finna inspiration från nya områden inom geometrin, exempelvis den Projektiva geometrin,
är en möjlighet för lärare att motivera skolans elever att öka sitt intresse för att lära sig
matematik. I andra länder såsom Tyskland, England och Danmark har den projektiva
geometrin en större betydelse och [Ulin, 2000] har en förhoppning om att den projektiva
geometrin skall föras in i den svenska gymnasieskolan. Han hoppas att så sker när
matematiklärarna har tillräckligt med kunskaper inom detta område.
4.5 Framtida studier
I detta avsnitt presenteras en kort sammanfattning av de jämförelser som gjorts på
geometriavsnitten i läroböckerna och som kan vara intressanta för fortsatta studier.
De fyra läromedel, som brukats vid olika årtionden, har jämförts och vi kan konstatera att de
utgör endast en liten andel av alla läromedel som funnits att tillgå för respektive år. Dessutom
har två av läromedlena delvis samma författare vilket innebär att böckernas upplägg påminner
om varandra. I framtiden skulle det dock vara intressant att studera om det finns liknande
skillnader mellan andra läromedel som varit i bruk vid samma tidpunkter.
Läroböckernas olika upplägg med avseende på de historiska tillbakablickarna och notiserna är
ett annat intressant område för fortsatta studier. I den senaste läroboken finns de historiska
notiserna samlade i markerade rutor. Det vore intressant att se om böckernas upplägg har
betydelse för elevernas kunskapsinhämtning och om de historiska notiserna stör eller gynnar
elevernas matematiska inlärning.
En sista iakttagelse att beakta vid en kommande studie är att se vilka kompetenser som olika
lärare besitter. Lärarens förmåga att stimulera elevernas lärande tillsammans med tillgången
till effektiva hjälpmedel i undervisningen skapar olika förutsättningar för de matematiska
kunskaperna. Läroböckerna som jämförts visar inte på vilka andra hjälpmedel, såsom
bredvidläsningsböcker, räknestickor och miniräknare. som eleverna haft för att utveckla sina
matematiska kunskaper.
47
48
Slutsats
Den kännedom om geometrins historiska utveckling, som vi ser den idag, har utvecklats under
lång tid. Redan på 2000-talet f.Kr började människorna att använda skrivtecken. Detta gör att
de tankar som människorna hade på den tiden kan läsas och tolkas med nya ögon. Nya
upptäckter gör att vår kunskap om geometrin kontinuerligt växer fram.
Geometrins historia ger inte bara en inblick i matematikens utveckling utan även en berättelse
av människorna bakom matematiken. Varje tidsålder har sina berättelser och vi kan vara
tacksamma för att olika vetenskapsmän och kvinnor varit drivande till att försöka förklara
universum och den värld vi lever i.
Många av de satser och bevis som brukades för länge sedan används än idag. Förvisso har
vårt sätt att beskriva matematik förändrats, men det matematiska innehållet är det samma. De
bevis som tas upp i denna uppsats visar några geometriska upptäckter som används än idag,
bland annat i skolans värld.
Läroböckerna i matematik för gymnasieskolan har ändrats genom åren. Målsättningen med
matematikundervisningen i skolorna förändras kontinuerligt. Detta gör att vissa matematiska
avsnitt, även fortsättningsvis, kommer att få större eller mindre betydelse.
49
50
Biografi
Jag heter Malin Wiklund. Jag är uppvuxen i Luleå och flyttade 1993 tillsammans med min
man till en villa på Bergnäset, Luleå. Vi har två barn tillsammans. Efter fyraårigt tekniskt
gymnasium har jag haft flera olika arbeten inom byggbranschen. Min senaste arbetsgivare
hade jag vid ett arkitektkontor, där jag under drygt 6 år arbetade som byggnadsingenjör. Efter
att ha varit ute i arbetslivet i drygt tio år kände jag mig motiverad att börja studera igen. Våren
2004 påbörjade jag mina studier på Lärarutbildningen här i Luleå. Utbildningen, som skall
leda till en examen som lärare i ämnena matematik och naturkunskap för gymnasieskolan och
grundskolans senare år, pågår. Mitt intresse för matematik gjorde att jag har valt att skriva
denna uppsats parallellt med mina lärarstudier.
51
52
Referenser
[Björk/Brolin, 1999] Björk, L-E och Brolin, H (1999). Matematik 3000: Kurs A och B,
lärobok Naturvetenskap och teknik. Natur och kultur, Stockholm. ISBN 91-27-51000-X.
[Björk/Brolin/Ljungström, 1982] Björk, L-E., Brolin, H. och Ljungström, L-F. (1982).
Matematik: Gymnasieskolan NT1. Natur och Kultur, Stockholm. ISBN 91-27-57634-5.
[Grevholm, 2001] Grevholm, B (red) (2001). Matematikdidaktik – ett nordiskt perspektiv.
Studentlitteratur, Lund. ISBN 91-44-01835-5.
[Hansen, 1998] Hansen, V L (1998). Shadows of the Circle – Conic sections, Optimal Figures
and Non-Euclidean Geometry. World Sceintific, Singapore. ISBN 981-02-3418-X.
[Hedström/Rendahl/Ekbom, 1962] Hedström, Rendahl och Ekbom (1962). Algebra och
Geometri 1 – för realgymnasiet. Svenska Bokförlaget, Bonniers boktryckeri, Stockholm.
[Holme, 2002] Holme, A (2002). Geometry – Our Cultural Heritage. Springer Verlag Berlin
Heidelberg, Germany. ISBN 3-540-41949-7.
[Johansson, 2004] Johansson, B G (2004). Matematikens historia. Studentlitteratur, Lund.
ISBN 91-44-03322-2
[Lindalh, 1987] Lindahl, G (1987). Euklides geometri. Natur och Kultur, Stockholm. ISBN
91-27-72185-X
[Lärarförbundet, 2002] Lärarens handbook. Lärarförbundet, Stockholm. ISBN 91-85096-830.
[Nilsson, 1996] Nilsson, M (1996). Matematikundervisning i gymnasieskolan, del I och II.
Lärarhögskolan i Malmö, Avdelningen för matematik.
[Nyman/Emanuelsson/Bergman/Bergström, 1978] Nyman, B., Emanuelsson, G., Bergman,
M. och Bergström, L. (1978). Matematik för gymnasieskolan: NT1 Huvudbok. Esselte
Studium. ISBN 91-24-27966-8.
[Scriba/Schreider, 2002] Scriba, C.J & Schreiber, P (2002). 5000 Jahre Geometrie: Geschiste,
Kulturen, Menschen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-67924-3.
[Thompson, 1996] Thompson, J (1996). Matematiken i historien. Studentlitteratur, Lund.
ISBN 91-44-60081-X.
[Ulin, 2000] Ulin, B (2000). Projektiv geometri – En åskådlig introduktion. Ekelunds förlag
AB, Värnamo. ISBN 91-646-1331-3
53