Tisdag v. 1
Trigonometriska funktioner:
Vi behandlar här
och
. Vi definierar de två förstnämnda mha enhetscirkeln som i
figuren nedan. Sedan definierar vi
.
Pythagoras sats ger att
.
Denna likhet kallas för den trigonometriska ettan.
Man brukar låta vinkeln
Ett helt varv är
anges i radianer.
radianer.
Slutsatser från enhetscirkeln:
Rita ut vinklarna
och
i figuren ovan!
1)
2)
3)
4)
5)
Punkt 4) säger att
är en udda funktion och att
Punkt 5) säger att både
och
är
är en jämn funktion.
– periodiska, dvs att deras grafer upprepar sig.
Additionsformlerna:
1)
2)
En minnesregel är att både sinus och summa börjar på s!
Sätter vi in
istället för så får vi formler för
minnas 1) och 2).
och
, så det räcker att
Bevis: Se sid. 50 i Adams (7:e uppl.).
Additionsformlerna ger oss nu formlerna för dubbla vinkeln:
1)
2)
(Vi använder trig. ettan)
Detta ger också de s.k. formlerna för halva vinkeln:
1)
2)
Sinussatsen och cosinussatsen:
Sinussatsen:
där A,B,C är sidorna i en triangel och
och a,b,c är de respektive motstående vinklarna
Cosinussatsen:
Observera likheten med Pythagoras sats. Termen
Om
är denna term , ty
kan betraktas som en felterm.
, så då får vi precis Pythagoras sats!
Bevis: För att bevisa sinussatsen observera bara att
nedan. Detta bevisar den andra likheten, men den första följer av symmetri.
För cosinussatsen använder vi Pythagoras sats: Om
i figurerna
har vi
(pythagoras, ena figuren). Annars har vi
(pythagoras, den andra figuren).
Båda fall ger samma sak eftersom
.
Vi förenklar vidare genom att använda att
och den trigonometriska ettan:
.
ex. Om vi vet
1)
Två sidor och en vinkel i en triangel
2)
Tre sidor
eller
3)
En sida och två vinklar
Så kan vi räkna ut alla sidor och vinklar i denna triangel.
Lite mer om
:
Perioden för
är :
Eftersom
, är
ex. Lös ekvationen
.
En lösning är
, och därför är
Detta beror på att
till
den allmäna lösningen.
är växande på alla intervall den är definierad på och växer från
. Därför antar den varje värde exakt en gång per period.
ex. Lös ekvationen
.
Denna ekvation kan skrivas som
Låt
. Detta ger också att
. Vi söker efter en lösning i första kvadranten.
.
Alltså måste vi lösa
.
Kvadrering ger att
,
Vi kan lösa ut
.
. Svar:
Vi kan inte svara bättre, för
ex. Lös ekvationen
är inte en rationell multipel av .
.
Vi vet att
, så eftersom
Men då är också
Eftersom
intervallet
en udda funktion.
är udda är
en lösning.
en lösning.
är omväxlande växande och avtagande och periodisk, så antar den varje värde i
precis 2 gånger per period. Alltså är lösningen
eller
.
