Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Föreläsning 6: Binomialsatsen, vinklar, pythagoras sats och
trigonometriska funktioner
Jonas Wickman
Binomialsatsen
Vi vet hur vi ska beräkna (a + b)2 , enligt den s.k. första kvadreringsregeln. Denna kvadreringsregel
är ett specialfall av en mer allmän regel, som vi kallar Binomialsatsen, som ger ett uttryck för hur
vi beräknar (a + b)n , n ∈ N. För att förstå satsens innebörd behöver vi litet ny notation:
Definition: Fakultet (!)
Låt n vara ett naturligt tal. Då är
n! =
n
Y
i = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1.
i=1
Vi läser detta som “n fakultet”. Vi definierar dessutom 0! = 1.
Exempel: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Sats: Räkneregel för fakultet
Vi anväder ofta att:
n! = n · (n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! etc
Definition: Binomialkoefficienter
Låt n och k vara två icke-negativa heltal där k ≤ n. Då är binomialkoefficienterna
!
n
n!
=
k
k!(n − k)!
Vi läser detta som “n välj k” eller “n över k”.
Detta uttryck förekommer ofta inom kombinatoriken och tex så är
kan välja 2 distinkta element ur en mängd med 3 element.
1
3
2
det antal sätt på vilket vi
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel: Beräkna
7
4
.
Lösning: Vi beräknar:
!
7
7!
7·6·5·4·3·2·1
7·6·5
7·5
=
=
=
=
= 35
4
4!(7 − 4)!
(4 · 3 · 2 · 1)(3 · 2 · 1)
3·2·1
1
Vi har följande räkneregler för binomialkoefficienterna:
Sats: Räkneregler, binomialkoefficienter
För alla n och k ≤ n.
!
n
n
=
k
n−k
!
!
!
n
n
=
=1
0
n
!
!
n
n
=
=n
n−1
1
Vi har nu de verktyg vi behöver för att formulera binomialsatsen:
Sats: Binomialsatsen
Låt n ∈ N ∪ {0} och a, b ∈ R. Då gäller att:
n
(a + b) =
n
X
!
n n−k k
a b .
k
k=0
Exempel: Beräkna (a + b)3 .
Lösning: Vi använder binomialsatsen och beräknar:
3
(a + b) =
3
X
k=0
!
!
3 3−k k
a b =
k
!
!
!
3 3−0 0
3 3−1 1
3 3−2 2
3 3−3 3
=
a b +
a b +
a b +
a b =
0
1
2
3
= 1 · a3 b0 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + 1 · a0 b3 =
2
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
För att kunna bevisa binomialsatsen behöver vi en ytterligare räkneregel för binomialkoefficienter:
Sats:
För n, k ∈ N ∪ {0} : k ≤ n gäller
!
!
!
n
n
n+1
.
+
=
k−1
k
k
Bevis: Vi skriver ut uttrycken och beräknar:
!
!
n
n
n!
n!
+
=
+
k−1
k
(k − 1)!(n − (k − 1))! k!(n − k)!
=
n!
n−k+1
n!
k
+
=
k (k − 1)!(n − k + 1)! n − k + 1 k!(n − k)!
=
kn!
(n − k + 1)n!
+
=
k!(n − k + 1)! k!(n − k + 1)!
=
n!(k + n − k + 1)
=
k!(n − k + 1)!
=
n!(n + 1)!
=
k!(n + 1 − k)!
!
n+1
(n + 1)!
=
.
=
k!(n + 1 − k)!
k
V.S.V.
Sats: Bevis av binomialsatsen
Vi använder induktion.
P (1): Vi visar att satsen är sann för n = 1.
1
1 1 0
1 0 1 X
1 1−k k
(a + b) = a + b =
ab +
ab =
a b
0
1
k=0 k
!
!
!
1
Så satsen gäller för P (1).
P (m) =⇒ P (m + 1): Vi antar att satsen är sann för n = m, och visar att detta medför att den
är sann för n = m + 1.
3
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
(a + b)m+1 = (a + b)(a + b)m =
(induktionsantagande)
m
X
= (a + b)
k=0
=a
m
X
k=0
=
m
X
k=0
!
m m−k k
a
b
k
m
X
m m−k k
m m−k k
a
b +b
a
b
k
k=0 k
!
!
m
m m−k+1 k X
m m−k k+1
a
b +
a
b
= {∗}
k
k=0 k
!
!
Vi genomför ett indexbyte i den andra termen där vi låter j = k + 1 ⇐⇒ k = j − 1 vilket ger att
den andra termen blir:
m
X
k=0
m+1
m+1
X
X
X
m
m
m
m m−k k+1 m+1
am−k+1 bk
am−j+1 bj =
am−(j−1) bj−1+1 =
a
b
=
k
−
1
j
−
1
j
−
1
k
j=1
j=1
k=1
!
!
!
!
där vi i sista steget enbart bytt namn på summationsindex till k igen.
Detta ger att:
{∗} =
m
X
k=0
X
m m−k+1 k m+1
m
a
b +
am−k+1) bk =
k
k
−
1
k=1
!
!
{Ta ut k = 0 och k = m + 1 ur respektive summa}
!
m m−0+1 0
=
a
b+
0
+
m
X
k=1
m
m m−k+1 k X
m
a
b +
am−k+1 bk +
k
k=1 k − 1
!
!
!
m
+
am−(m+1)+1 bm+1 =
(m + 1) − 1
=a
m+1 0
b +
m
X
k=1
"
!
!#
m
m
+
k
k−1
Vi utnyttjar sedan vårt lemma,
m
k
+
am−k+1 bk + a0 bm+1 = {∗2 }
m
k−1
=
m+1
k
samt att
m+1
1
=
m
m + 1 m+1 0 X
m + 1 m+1−k k
m + 1 0 m+1
{∗ } =
a
b +
a
b +
ab
=
0
k
m+1
k=1
!
!
!
2
{Slå ihop till en summa}
4
m+1
m+1
= 1 vilket ger
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
=
m+1
X
k=0
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
!
m + 1 m+1−k k
a
b
k
Vi har visat att P (m) =⇒ P (m + 1). Genom induktion har vi alltså visat att binomialsatsen
gäller för alla n ≥ 1.
Vi tar fallet n = 0 separat:
0
0 0 0 X
0 0−k k
(a + b)0 = 1 =
ab =
a b
0
k=0 k
!
!
Binomialsatsen gäller alltså för alla n ≥ 0.
Förutom att expandera hela uttryck kan vi hitta koefficienter för enstaka termer utan att beräkna
hela summan:
Exempel: Hitta koefficienten framför x15 -termen i (x2 − x)13 .
Lösning: Vi börjar med att skriva om (x2 − x)13 = (x2 + (−x))13 för att kunna använda
binomialsatsen.
Varje term i binomalsatsen har formen:
!
!
!
13
13 2(13−k)
13
(x2 )13−k (−x)k =
x
(−1)k xk =
(−1)k x26−2k xk =
k
k
k
!
!
13
13
=
(−1)k x26−2k+k =
(−1)k x26−k
k
k
Vi ville hitta koefficienten för x15 -termen vilket innebär att 26 − k = 15 ⇐⇒ k = 11 vilket
ger att x15 -termen har koefficienten
!
13
13 · 12
(−1)11 =
(−1) = −78
1·2
11
Svar: Koefficienten framför x15 -termen är −78.
Pascals triangel
Binomialkoefficienternas förhållande kan visualiseras med Pascals triangel:
5
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
0
0
1
0
4
0
4
1
2
2
3
1
1
2
1
3
0
1
1
2
0
1
3
2
3
3
4
2
1
4
3
1
4
4
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Varje tal i Pascals triangel erhålls genom att addera de två tal som står snett ovanför dem. Detta
illustrerar grafiskt regeln
!
!
!
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
vi visade ovan.
Vinklar
Vinklar mäter hur mycket vi har vridit på någonting. Eftersom att vrida något ett helt varv ger
samma objekt, mäts vinklar typiskt i andelar av ett varv. De vanligaste måtten på vinklar är
grader och radianer. Ett helt varv är 360 grader (360◦ ) eller 2π radianer (2π rad).
u = 45◦ =
π
4
rad
Grader används oftast till vardags, medan radianer ofta används inom matematik och dess applikationer, då det underlättar derivering och integrering av trigonometriska funktioner. Vi kan
omvandla mellan dem på följande sätt:
6
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel: Omvandla 30◦ till radianer.
Lösning: Vi vet att det ska vara lika andelar av ett helt varv i både grader och radianer, så
om x är den sökta vinkeln i radianer gäller:
30
x
2π · 30
π
=
⇐⇒ x =
=
360
2π
360
6
Svar: Vinkel 30◦ är
π
6
rad.
Låt två parallella linjer L1 och L2 skäras av en linje L.
t
L2
L1
s
v
u
L
Vi säger i detta sammanhang att:
u och v är vertikalvinklar.
v och t är likbelägna vinklar.
v och s är alternatvinklar.
u och t är alternatvinklar.
Det gäller att u = v = s = t, vilket ofta är användbart när satser angående vinklar ska bevisas.
Sats: Vinkelsumma i triangel
Vinkelsumman i en triangel är 180◦ .
Bevis:
7
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
C
L
s
t
w
v
u
A
B
I figuren ovan är L en linje parallell med linjen mellan A och B. Vi ser att s + w + t = 180◦
eftersom det är ett halvt varv. Men enligt ovan är s = u och v = t, så det måste gälla att
u + w + v = s + w + t = 180◦ .
Pythagoras sats
En rät vinkel är 90◦ eller
π
4
rad. Vi säger att en triangel är rätvinklig om den har en rät vinkel:
c
b
a
Vi indikerar att vinkeln är rät genom att rita ett hörn i stället för en båge. I en rätvinklig triangel
kalls sidan c för hypotenusan och a och b för kateter.
Sats: Pythagoras sats
Låt en rätvinklig triangel ha sidor med längd a, b och c som i figuren ovan. Då gäller att:
a2 + b 2 = c 2 .
Bevis: Betrakta följande figur uppbyggd av 4 rätvinkliga trianglar:
8
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
b
c
c
a
a
b
b
a
a
c
c
b
Den lilla kvadraten i mitten måste ha area (a − b)2 . Vi kan således skriva ytan av den stora
kvadraten på två sätt:
A = c2
A = (a − b)2 + 4
Sidan av stora kvadraten i kvadrat
ab
2
Ytan av lilla kvadraten + ytan av 4 trianglar
Vi får således att:
c2 = (a − b)2 + 4
ab
2
⇐⇒
c2 = a2 − 2ab + b2 + 2ab
⇐⇒
c 2 = a2 + b 2
V.S.V.
Avstånd och pythagoras sats
Pythagoras sats är användbar för att beräkna avstånd mellan punkter i ett plan. Låt P1 och P2
vara två punkter i ett plan med ett koordinatsystem:
9
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
y
P2
P1
x
Punkterna bestäms av sina x- och y-koordinater så att vi kan skriva P1 = (x1 , y1 ) och P2 = (x2 , y2 ).
Genom att utnyttja detta kan vi beräkna avståndet mellan punkterna:
10
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
y
y2 − y1
P2
y2
d
y1
P1
x2 − x1
x
x1
x2
Vi ser att enl. Pythagoras
sats måste d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 vilket ger att avståndet mellan
q
punkterna är d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Trigonometriska funktioner
Just som det finns samband mellan sidorna i en rätvinklig triangel, finns samband mellan vinklarna
och sidorna i en triangel. Dessa beskrivs med sinus,cosinus, och tangens.
Betrakta en enhetscirkel, dvs en cirkel med radie 1 centrerad i origo:
11
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
y
cos u
1
sin u
r=
u
P = (cos u, sin u)
x
O
Låt P vara skärningspunkten mellan en linje som går från origo till enhetscirkelns rand längs med
en vinkel u. Vinkeln mäts moturs från x-axeln. Sinus för vinkeln u definieras y-koordinaten för
skärningspunkten P . Cosinus för vinkeln u definieras som x-koordinaten för P . Vi skriver sin u
eller sin(u) för sinus, och cos u eller cos(u) för cosinus. Slutligen definierar vi tangens för vinkeln
sin u
.
som tan u = cos
u
För att se hur dessa funktioner relaterar till rätvinkliga trianglar betrakta följande figur:
12
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
c
sin u
1
b
u
u
cos u
a
Eftersom trianglarna har tre vinklar gemensamt är de likformiga, dvs proportionerna mellan sidorna är bevarade. Detta ger att:
cos u
a
= ,
1
c
b
sin u
= ,
1
c
sin u
b
= .
cos u
a
Detta ger följande samband:
a
c
b
sin u =
c
b
tan u =
a
cos u =
c
b
u
a
Med ord beskrivs detta på följande sätt:
“Sinus är motstående katet delat på hypotenusan”
“Cosinus är närliggande katet delat på hypotenusan”
“Tangens är motstående katet delat på närliggande katet”
Genom att använda oss av de samband vi hittills tagit fram kan vi beräkna värdet för de trigonometriska funktionerna för några viktiga vinklar. Följande figur hjälper oss beräkna dessa för
vinkeln π4 rad:
13
Föreläsning 6
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
√
2
1
π
4
1
Vi kan enligt våra resonemang ovan att sin π4 = cos π4 = √12 samt att tan π4 = 1. Genom att använda
liknande argument kan vi göra en tabell för ett antal vinklar:
u rad
u◦
0
0
cos u sin u tan u
1
√
0
0
π
6
30
3
2
1
2
√1
3
π
4
45
√1
2
π
3
60
1
2
√1
2
√
3
2
1
√
3
π
2
90
0
1
odef.
π
180
−1
0
0
14
