Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Föreläsning 1: Tal, mängder och slutledningar
Jonas Wickman
Tal
Tal är organiserade efter några grundläggande egenskaper:
Naturliga tal, N
De naturliga talen betecknas med N och innehåller alla positiva heltal, N = 1, 2, 3, . . ..
Exempel: 1, 34, 5679 är alla naturliga tal.
I vissa sammanhang tillåts även talet 0 att tillhöra N, men inte i den här kursen.
Heltal, Z
De hela talen betecknas med Z, och innehåller även 0 och de negativa heltalen, Z = . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,
Exempel: -3, 0, -27 är alla heltal.
Alla naturliga tal är heltal.
Rationella tal, Q
De rationella talen betecknas med Q och innehåller alla ‘bråktal’, dvs alla tal som kan skrivas som
en kvot mellan ett heltal och ett naturligt tal.
Exempel: 14 ,
−34
.
77
Alla heltal är rationella tal eftersom tex talet 4 kan skrivas som 41 .
1
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Reella tal, R
De reella talen betecknas med R, och innehåller alla decimaltal, med potentiellt oändligt många
decimaler.
√
Exempel: 2, π, e.
Alla rationella tal är reella tal. De reella tal som inte är rationella kallas för irrationella.
Komplexa tal, C
De komplexa talen betecknas med C, och vi återkommer till dessa senare i kursen.
Decimaltal
Decimaltal är inte en egen klass av tal, utan ett sätt att skriva tal på. Till exempel kan vi skriva
1
4
= 0,4 eller
= 0,25
10
4
På svenska används kommatecken som decimalavgränsare, och på engelska används punkttecken.
Alla rationella tal kan skrivas som periodiska decimaltal. Till exempel kan vi skriva:
11
= 0,407407407407407 . . . = 0,407
27
111
= 0,41111111 . . . = 0,41
270
Här representerar de siffror som skrivs med ett horisontellt streck över sig att de repeterar i samma
mönster oändligt många gånger.
Irrationella tal kan ej skrivas på detta sett då deras decimaler aldrig bildar ett periodiskt mönster.
Till exempel gäller att
π = 3,141592653589793238462643383279502884197 . . .
Att avgöra vilket sorts tal det gäller
Det är inte alltid uppenbart vilket sorts tal man har att göra med. Ibland räcker dock en kort
uträkning:
2
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel: Avgör om
35 2
−
21 3
är ett naturligt tal.
Lösning: Vi använder kända räkneregler för att förenkla uttrycket:
35 2
5 2
5−2
3
− = − =
= =1
21 3
3 3
3
3
Svar: Ja, det är ett naturligt tal, eftersom 1 är ett naturligt tal.
Ibland är det svårare:
Exempel: Antag att π är ett irrationellt tal. Avgör om
π
2
är ett irrationellt tal.
Lösning: Vi argumenterar genom att anta att π/2 är rationellt och ser om vi kan hitta en
motsägelse. Om π/2 är rationellt måste det finnas ett heltal a och ett naturligt tal b som är
sådana att
π
a
= ,
2
b
enligt definitionen av rationella tal. Men detta medför att:
π=
2a
,
b
Men om a är ett heltal måste 2a också vara ett heltal, och 2a/b måste således vara ett rationellt
tal. Enligt antagande är dock π irrationellt, och vi har hittat en motsägelse. Således måste det
gälla att π/2 är ett irrationellt tal.
Svar: π/2 är irrationellt.
Mängder
Alla begrepp kan inte definieras. Inom matematiken tillåts ofta begreppet mängd att förbli odefinierat. En mängd är en samling eller uppsättning av objekt. Mängden beskrivs av de objekt, som
kallas element, som mängden innehåller. Till exempel kan vi ha en mängd frukt som utgörs av en
banan, ett äpple och en apelsin. De mest grundläggande mängderna inom matematik utgörs av
tal.
3
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel: Följande är exempel på mängder:
A = {1, 2, 3}. Mängden A består av elementen 1, 2, och 3.
B = { 21 , π, −3, 8}. Mängden B består av elementen 12 , π, -3, och 8.
Vi avgränsar mängden med måsvingar {}, och element inom mängden med kommatecken. Inbördes
ordning på elementen, eller duplicering av element förändrar inte mängden. Vi har alltså att:
A = {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {1, 1, 2, 3}, etc
Mängder kan även innehålla oändligt många element:
Exempel: Mängder med oändligt många element:
N = {1, 2, 3, . . .}
Mängden av alla naturliga tal
Z = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Mängden av alla heltal
Q = {Alla kvoter av heltal}
Mängden av alla rationella tal
R = {Alla reella tal}
Mängden av alla reella tal
Vi kan också ha en mängd som inte innehåller några element alls. Detta betecknas med A = ∅,
och utläses “A är lika med tomma mängden”.
Relationer för mängder
Tillhörighet, ∈
Den grundläggande relationen mellan mängder och element är tillhörighet. Vi säger att ett element
tillhör en mängd, och skriver tex 1 ∈ {1, 2, 3}. Om ett element inte tillhör en mängd skriver vi
4∈
/ {1, 2, 3}. Till exempel gäller således att 56 ∈ N, −2 ∈
/ N, 1/4 ∈ Q.
Egenskapsbeskrivning, :
Vi kan beskriva en mängd genom att beskriva egenskaper hos elementen som tillhör mängden.
Formellt skriver vi:
A = {x : P (x)}
4
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Detta betyder att mängden A utgörs av alla element x som uppfyller egenskapen P . Till exempel
så är A = {x : x är jämnt} mängden av alla jämna tal och A = {x : x > 0} mängden av alla
positiva tal. Vi använder ofta skrivsättet
A = {x ∈ B : P (x)}
Tex, A = {x ∈ N : x > 5} för att beskriva alla naturliga tal större än 5.
Delmängder, ⊆, ⊂, =
Definition: Delmängd
Vi säger att en mängd A är delmängd av en mängd B om alla element i A även är element i B,
och betcknar detta med
A ⊆ B.
Exempel: Låt A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, och C = {1, 2, 3}. Då gäller att:
A⊆B
B⊇A
C⊆B
Definition: Mängdlikhet
Två mängder A och B sägs vara lika om A ⊆ B och B ⊆ A, vilket skrivs A = B.
Definition: Äkta delmängd
Vi säger att A är en äkta delmängd till B om A ⊆ B och A 6= B, vilket skrivs A ⊂ B.
Exempel: Låt A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}, och C = {1, 2, 3}. Då gäller att:
A⊂B
B=C
Märk dock att emedan B är delmängd av C så är B ej en äkta delmängd av C.
5
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Mängdoperationer, ∪, ∩, \
Vi kan konstruera nya mängder från befintliga mängder.
Definition: Union
Unionen mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns i
antingen A eller B (eller i båda). Detta betecknas:
C = A ∪ B = {x : x ∈ A eller x ∈ B}.
Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att:
C = A ∪ B = {1, 2, 3, 7, 9}
Definition: Snitt
Snittet mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns i
både A och B. Detta betecknas:
C = A ∩ B = {x : x ∈ A och x ∈ B}.
Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att:
C = A ∩ B = {3}
Obs: Notera att mängdklamrarna är nödvändiga även om mängden enbart innehåller ett element. {3} och 3 är två olika typer av objekt.
Definition: Differens
Differensen mellan två mängder A och B ger en ny mängd C som består av alla element som finns
i A men inte i B. Detta betecknas:
C = A \ B = {x : x ∈ A och x ∈
/ B}.
6
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel: Låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Då gäller att:
C = A \ B = {1, 2}
D = B \ A = {7, 9}
Univers och Venndiagram
Det är ofta praktiskt att ha en mängd som alla andra mängder betracktas vara en delmängd av.
Vi kallar en sådan mängd ett univers.
Definition: Komplement
Låt A vara en delmängd till universet U . Vi skriver Ac för komplementet till A som definieras som
alla element i U som inte finns i A, dvs U \ A.
Exempel: Låt A = {3, 7, 9} och U = {1, 2, 3, . . . , 9} Då gäller att:
Ac = {1, 2, 4, 5, 6, 8}
Ett Venndiagram är en visualisering av hur mängder förhåller sig till varandra och till ett univers.
Låt U = N och låt A = {1, 2, 3} och B = {3, 7, 9}. Vi kan visualisera dessa mängder i ett
Venndiagram genom att rita upp:
7
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
U
2
3
7
A
B
1
9
Exempel: Låt A, B vara som ovan. Rita ett Venndiagram, och skugga snittet mellan A och
B:
Lösning: Snittet är det område där A överlappar B:
U
2
3
A
7
B
1
9
8
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Slutledningar
Betrakta utsagan/påståendet:
“Om det är söndag så är jag ledig”
Vi kan bryta upp detta påstående i mindre delar:
A: “Det är söndag”
B: “Jag är ledig”
Vi vill sedan beskriva att om A gäller så gäller även B för att få vårt ursprungliga påstående.
Detta skrivs som
A |=⇒
{z } B
“Det är söndag” medför “Jag är ledig”
Implikation
På detta sätt gör vi slutledningar
A =⇒ B: “Om det är söndag är jag ledig”
A: “Det är söndag”.
B “Alltså är jag ledig”
Vi kan från vårt ursprungliga påstående inte dra slutledningen att det är söndag bara för att vi
är lediga. Vi kan dock dra slutsatsen att det inte är söndag om vi inte är lediga. Vi beskriver
¬A
|{z}
: “Det är inte söndag”
¬B
|{z}
: “Jag är inte ledig”
“Icke-A”
“Icke-B”
Från vårt ursprungliga påstående kan vi dra slutsatsen:
A =⇒ B: “Om det är söndag så är jag ledig”
¬B: “Jag är inte ledig”.
¬A “Alltså är det inte söndag”
Definition: Ekvivalens
Vi säger att två påståenden A och B är ekvivalenta och skriver A ⇐⇒ B om det gäller att
A =⇒ B och B =⇒ A.
Med ord kan vi säga
A ⇐⇒ B: “Om och endast om det är söndag är jag ledig”
9
Föreläsning 1
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Exempel:
x > 0 ⇐⇒
x
>0
2
Detta gäller eftersom
x
> 0 =⇒ x > 0
2
och
x > 0 =⇒
x
>0
2
10
