Mängdlära - IDA.LiU.se

Grunder i matematik och logik (2017)
Mängdlära
Marco Kuhlmann
1 Grundläggande begrepp
Mängder och element
2.01
En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal
(ℕ) och mängden av heltal (ℤ); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De
objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
2.02
Det är vanligt att använda sig av stora bokstäver för att beteckna mängder, och av
små bokstäver för att beteckna element. (Vi kommer dock in på mängder som har
mängder som element ganska snart.)
2.03
Man skriver 𝑎 ∈ 𝐴 som en förkortning för ”objektet 𝑎 tillhör mängden 𝐴” och 𝑎 ∉ 𝐴
som en förkortning för ”objektet 𝑎 tillhör inte mängden 𝐴”. Till exempel gäller att
5 ∈ ℕ (5 är ett naturligt tal) och √5 ∉ ℕ (kvadratroten ur 5 är inte ett naturligt tal).
2.04
Givet mängden 𝐴 = {2, 4, 6, 8}. Avgör om påståendena är sanna eller falska.
a) 6 ∈ 𝐴
b) 4,6 ∈ 𝐴
c) 8 ∉ 𝐴
b) falskt
c) falskt
Lösning:
a) sant
Hur man beskriver mängder
2.05
Man kan beskriva en mängd genom att räkna upp dess element mellan klammerparenteser (”måsvingar”). Här kommer, som exempel, mängden av sanningsvärden,
mängden av alla medlemmar i Beatles år 1964 och mängden av alla naturliga tal.
𝔹 = {sant, falskt}
𝐵 = {John, Paul, George, Ringo}
1
ℕ = {0, 1, 2, … }
2.06
Man kan också beskriva en mängd genom att specificera vilken egenskap som utmärker de element som tillhör mängden. Exempel:
𝐵 = { 𝑥 ∣ 𝑥 var en medlem i Beatles år 1964 }
Detta ska läsas som: ”Mängden 𝐵 är mängden av alla 𝑥 sådana att 𝑥 var en medlem i
Beatles år 1964.” Denna notation kallas för mängdbyggare.
2.07
Skriv följande mängder genom att räkna upp deras element:
a) 𝐴 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, 3 ≤ 𝑛 ≤ 12 }
b) 𝐵 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 är ett jämnt tal, 𝑛 < 8 }
c) 𝐶 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 är en delare till 86 }
Lösning:
a) 𝐴 = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
b) 𝐵 = {2, 4, 6}
c) 𝐶 = {1, 2, 43, 86}
2.08
Skriv följande mängder med hjälp av mängdbyggare:
a) 𝐴 är mängden av alla jämna naturliga tal mellan 13 och 29.
b) 𝐵 är mängden av alla heltalskvadrater mellan 2 och 85.
c) 𝐶 är mängden av alla triangeltal mellan 3 och 30.
Lösning:
a) 𝐴 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 är jämnt, 13 ≤ 𝑛 ≤ 29 }
b) 𝐵 = { 𝑛2 ∣ 𝑛 ∈ ℤ, 2 ≤ 𝑛2 ≤ 85 }
c) 𝐶 = { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett triangeltal, 3 ≤ 𝑛 ≤ 30 }
2.09
Ersätt symbolen ○ med antingen ∈ eller ∉ så att påståendena blir sanna:
a) 6 ○ {2, 4, 6, 8}
c) 5050 ○ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett triangeltal }
b) 1 ○ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett primtal }
d) 8 ○ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett reellt tal }
2
Lösning:
2.10
a) 6 ∈ {2, 4, 6, 8}
c) 5050 ∈ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett triangeltal }
b) 1 ∉ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett primtal }
d) 8 ∈ { 𝑛 ∣ 𝑛 är ett reellt tal }
Användning av mängdbyggaren kan ge upphov till Russell’s paradox (efter britten
Bertrand Russell, 1872–1970), som visar att man måste vara försiktig när man definierar vad man menar med en mängd. Betrakta mängden
𝑅 = {𝐴 ∣ 𝐴 ∉ 𝐴}
Eftersom 𝑅 är mängden av alla mängder som inte innehåller sig själva kan det inte vara
fallet att 𝑅 ∈ 𝑅. Låt oss alltså anta motsatsen, att 𝑅 ∉ 𝑅. Då uppfyller 𝑅 egenskapen
som utmärker de element som tillhör 𝑅, alltså måste det gälla att 𝑅 ∈ 𝑅. Paradox!
2.11
Två mängder 𝐴 och 𝐵 räknas som lika (𝐴 = 𝐵) om och endast om de innehåller exakt
samma element. Detta kallas för extensionalitetsprincipen. Denna princip innebär
att vi inte tar hänsyn till hur vi beskriver en mängd; det enda som är viktigt är vilka
element som ingår i mängden.
2.12
Ersätt symbolen ○ med antingen = eller ≠ så att påståendena blir sanna:
a) {1, 2, 3} ○ {3, 2, 1}
c) { |𝑛| ∣ 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≠ 0 } ○ ℕ
b) {1, 1} ○ {1}
d) { 2𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ } ○ ℕ
Lösning:
a) {1, 2, 3} = {3, 2, 1}
c) { |𝑛| ∣ 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≠ 0 } = ℕ
b) {1, 1} = {1}
d) { 2𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ } ≠ ℕ
Den tomma mängden
2.13
Den tomma mängden är mängden som inte innehåller några element och skrivs ∅.
2.14
Vilka av följande mängder är den tomma mängden?
a) 𝐴 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛2 = 5 }
c) 𝐶 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℤ, |𝑛| = 0 }
b) 𝐵 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℝ, 𝑛2 = 5 }
d) 𝐷 = { 𝑛 ∣ 𝑛 ∈ ℕ, |𝑛| = 0 }
3
Lösning:
2.15
a) 𝐴 = ∅
c) 𝐶 = {0}
b) 𝐵 = {−√5, +√5}
d) 𝐷 = ∅
Ett vanligt misstag är att blanda ihop ∅ (den tomma mängden) och {∅} (mängden
som innehåller den tomma mängden som sitt enda element). Observera:
∅ ∈ ∅ är falskt
∅ ∈ {∅} är sant
Kardinalitet
2.16
Storleken hos en mängd 𝐴 kallas för 𝐴:s kardinalitet och skrivs |𝐴|. För ändligt stora
mängder anger |𝐴| antalet element i 𝐴. För oändligt stora mängder finns det ingen
självklar definition av ”storlek”.
2 Relationer mellan mängder
Delmängdsrelationen
2.17
En mängd 𝐴 är en delmängd till en mängd 𝐵 om och endast om varje element i 𝐴 är
ett element i 𝐵. Vi skriver 𝐴 ⊆ 𝐵 som en förkortning för ”𝐴 är en delmängd till 𝐵”
och 𝐴 ⊈ 𝐵 som en förkortning för ”𝐴 är inte en delmängd till 𝐵”.
2.18
Ange alla delmängder till 𝐴 = {svart, vit}.
Lösning: Vi måste hitta alla möjliga mängder där varje element också ingå i mängden
𝐴. Det finns tre sådana mängder som innehåller minst ett element: {svart}, {vit} och
{svart, vit}. Dessutom så är den tomma mängden ∅ en delmängd till 𝐴. Därmed finns
det alltså totalt fyra delmängder till 𝐴.
2.19
Följande bokstäver används för att beteckna fem stycken standardmängder: ℕ, ℤ,
ℚ, ℝ, ℂ. Vilka mängder står dessa symboler för? Beskriv deras relation till varandra
med hjälp av delmängdsrelationen.
Lösning: Symbolerna står för mängderna av alla naturliga tal (ℕ, exempel: 5), heltal (ℤ,
exempel: −5), rationella tal (ℚ, exempel: 15 ), reella tal (ℝ, exempel: √5) och komplexa
tal (ℂ, exempel: 7 + 3𝑖). Deras relationer till varandra är:
ℕ⊆ℤ⊆ℚ⊆ℝ⊆ℂ
4
𝑈
𝐴
𝑈
𝐵
𝐵
𝐴
(a) 𝐴 ⊆ 𝐵
(b) 𝐴 ‖ 𝐵
Figur 1: Två relationer mellan mängder: ”är delmängd till” och ”är disjunkt till”.
Venndiagram
2.20
Delmängdsrelationen kan beskrivas med ett venndiagram (efter britten John Venn,
1834–1923); se figur 1a. I dessa diagram representeras mängder genom cirklar. Cirklarnas placering representerar relationerna mellan mängderna.
2.21
Den omgivande rektangeln i ett venndiagram beskriver mängden som innehåller
alla i sammanhanget relevanta objekt. Denna mängd kallas även för universalmängd
eller grundmängd och skrivs ibland 𝑈. Vilka element ingår i universalmängden
framgår oftast ur sammanhanget; men vill man vara riktigt noggrann så anger man
grundmängden när man specificerar mängder. Använder man en ”mängdbyggare” så
brukar man skriva grundmängden till vänster om det lodrätta strecket. Till exempel:
𝐽 = { 𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 är jämt }
Vi kommer för det mesta inte ange 𝑈 i mängdbyggarna eller venndiagrammen.
Egenskaper hos delmängdsrelationen
2.22
Hur visar man att 𝐴 inte är delmängd till 𝐵?
Lösning: För att visa att 𝐴 inte är delmängd till 𝐵 måste vi hitta ett element i 𝐴 som
inte finns med i 𝐵.
2.23
Förklara varför 𝐴 = 𝐵 implicerar att 𝐴 ⊆ 𝐵.
Lösning: Om 𝐴 = 𝐵 innehåller 𝐴 och 𝐵 samma element. Då gäller 𝑎 ∈ 𝐵 för alla
element 𝑎 ∈ 𝐴, vilket är kravet i definitionen av delmängdsrelationen.
2.24
Varför är den tomma mängden delmängd till alla mängder?
Lösning: För att visa ∅ ⊆ 𝐴 måste vi visa att varje element i ∅ är ett element i 𝐴.
Men den tomma mängden innehåller ju inga element, så påståendet gäller på ett
trivialt sätt. (Ett liknande påstående är: ”Varje Hollywood-film som jag någonsin har
medverkat i har fått en Oscar.”)
5
2.25
Förklara skillnaden mellan påståendena ∅ ⊆ 𝐴 och ∅ ∈ 𝐴.
Lösning: Påståendet ∅ ⊆ 𝐴 säger att den tomma mängden är en delmängd till mängden 𝐴. Detta påståendet är sant för godtyckliga mängder 𝐴 (som vi har bevisat i 2.24).
Påståendet ”∅ ∈ 𝐴” säger att den tomma mängden är ett av elementen i 𝐴. Detta
gäller inte för godtyckliga mängder. En mängd som det gäller för är {∅}.
2.26
Det vanligaste sättet att visa en likhet 𝐴 = 𝐵 är att dela upp beviset och visa
(i) 𝐴 ⊆ 𝐵
och
(ii) 𝐵 ⊆ 𝐴
Förklara varför detta bevis fungerar.
Lösning: Om 𝐴 ⊆ 𝐵 så är alla element i 𝐴 även element i 𝐵; om 𝐵 ⊆ 𝐴 så är alla
element i 𝐵 även element i 𝐴. Då följer att 𝐴 = 𝐵 genom extensionalitetsprincipen.
2.27
Om 𝐴 och 𝐵 är (ändligt stora) mängder så att 𝐴 ⊆ 𝐵 gäller, vad gäller då för deras
kardinaliteter?
Lösning: |𝐴| ≤ |𝐵|
2.28
Om varje element i 𝐴 också är ett element i 𝐵, men 𝐵 innehåller element som inte är
element i 𝐴, så säger man att 𝐴 är en äkta delmängd till 𝐵 och skriver 𝐴 ⊂ 𝐵.
2.29
Säg att 𝐴 ⊂ 𝐵. Gäller då även 𝐴 ⊆ 𝐵?
Lösning: Ja. Om 𝐴 ⊂ 𝐵 så uppfyller 𝐴 kraven på en delmängd till 𝐵. (Varje element i
𝐴 är ett element i 𝐵.)
Potensmängden
2.30
Potensmängden till en mängd 𝐴 är mängden som består av alla delmängder till 𝐴.
Potensmängden till 𝐴 skrivs ofta 𝑃(𝐴).
2.31
Vad är potensmängden till mängden {0, 1, 2}?
Lösning: Potensmängden till {0, 1, 2} är mängden av alla delmängder till {0, 1, 2}, så
𝑃({0, 1, 2}) = {∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}
2.32
Vad är potensmängden till den tomma mängden?
Lösning: {∅}
6
2.33
Om en mängd 𝐴 har 𝑛 element, hur många element har då 𝐴:s potensmängd?
Lösning: Potensmängden till 𝐴 består av alla delmängder till 𝐴. Varje delmängd 𝐵 ⊆ 𝐴
kan entydigt beskrivas genom att för varje element 𝑎 ∈ 𝐴 ställa frågan: Är 𝑎 ∈ 𝐵, ja
eller nej? På denna fråga finns det två svar, så om |𝐴| = 𝑛 så finns det sammanlagt
𝑛
2 ⋅ ⋯ ⋅ 2 = ∏ 2 = 2𝑛
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
𝑖=1
𝑛 gånger
olika möjligheter att svara. Detta visar att |𝑃(𝐴)| = 2𝑛 .
Disjunkthetsrelationen
2.34
Två mängder 𝐴 och 𝐵 är disjunkta om de inte har några gemensamma element.
Ibland ser man notationen 𝐴 ‖ 𝐵 som förkortning för ”𝐴 och 𝐵 är disjunkta”.
2.35
Rita ett venndiagram som illustrerar disjunkthetsrelationen.
Lösning: Se Figur 1b.
3 Mängdoperationer
2.36
Man kan räkna med mängder på ungefär samma sätt som man kan räkna med tal.
När vi räknar med tal har vi operationer som addition och multiplikation. När vi
räknar med mängder har vi operationerna union, snitt, differens och komplement.
Dessa operationer illustreras genom venndiagrammen i Figur 2.
2.37
Unionen mellan två mängder 𝐴 och 𝐵 är den mängd som består av alla element som
ingår i 𝐴, 𝐵 eller båda mängderna. Unionen mellan 𝐴 och 𝐵 betecknas 𝐴 ∪ 𝐵. Med
hjälp av symbolen för logisk disjunktion kan vi skriva:
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
2.38
Snittet mellan två mängder 𝐴 och 𝐵 är den mängd som består av alla element som
ingår i båda mängderna. Snittet mellan 𝐴 och 𝐵 betecknas 𝐴 ∩ 𝐵. Med hjälp av
symbolen för logisk konjunktion kan vi skriva:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
7
𝐴
𝐵
(a) 𝐴 ∪ 𝐵 är skuggad
𝐴
𝐵
𝐴
(b) 𝐴 ∩ 𝐵 är skuggad
𝐵
𝐴
(d) 𝐴c är skuggad
(c) 𝐴 ⧵ 𝐵 är skuggad
Figur 2: Mängdoperationer
2.39
Differensen mellan två mängder 𝐴 och 𝐵 är den mängd som består av alla element
som ingår i 𝐴 men inte i 𝐵. Differensen mellan 𝐴 och 𝐵 betecknas 𝐴 ⧵ 𝐵. Med hjälp
av en mängdbyggare kan vi skriva:
𝐴 ⧵ 𝐵 = {𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
2.40
Komplementet till en mängd 𝐴 är den mängd som består av alla element som ingår i
universalmängden 𝑈 men inte i 𝐴. Komplementet till 𝐴 betecknas 𝐴c . Med hjälp av
en mängdbyggare kan vi skriva:
𝐴c = { 𝑥 ∣ 𝑥 ∈ 𝑈 och 𝑥 ∉ 𝐴 } = 𝑈 ⧵ 𝐴
2.41
Låt 𝐴 = {1, 2, 4, 6, 8} och 𝐵 = {1, 3, 5, 7}. Bestäm
a) 𝐴 ∪ 𝐵
b) 𝐴 ∩ 𝐵
c) 𝐴 ⧵ 𝐵
b) {1}
c) {2, 4, 6, 8}
Lösning:
a) {1, … , 8}
2.42
För mängderna 𝐴, 𝐵 och 𝐶 gäller att
𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
𝐵 = {2, 4, 6}
8
𝐶 = {1, 3, 5}
8
𝐴
9
4
12
3
𝐶
7
5
10
𝐵
Figur 3: Bild till uppgift 2.43
Ange om följande påståenden är sanna eller falska.
a) 𝐵 ⊆ 𝐴
c) 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
b) 𝐴 = 𝐵 ∪ 𝐶
d) 𝐵 ⧵ 𝐴 = 𝐶
Lösning:
2.43
a) sant
c) sant
b) sant
d) falskt
Talen i figur 3 anger antalet element i vardera sektor av venndiagrammet. Bestäm
antalet element i
a) 𝐴 ∪ 𝐵
c) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)
b) 𝐴 ∩ 𝐵
d) 𝐴c
Lösning:
2.44
a) 9 + 12 + 3 + 4 + 10 + 5 = 43
c) 12 + 3 + 4 = 19
b) 3 + 12 = 15
d) 8 + 10 + 5 + 7 = 30
Man kan visa att |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|. Förklara varför termen |𝐴 ∩ 𝐵| måste
subtraheras.
Lösning: Utan detta räknas de gemensamma elementen av 𝐴 och 𝐵 två gånger, dels
som element i 𝐴, dels som element i 𝐵. De gemensamma elementen är elementen i
snittet 𝐴 ∩ 𝐵. För att få ett korrekt uttryck måste vi alltså subtrahera |𝐴 ∩ 𝐵| många
element från |𝐴| + |𝐵|.
9
𝐴
𝐶
𝐵
Figur 4: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) är skuggad.
2.45
Ange två oändliga mängder vars snitt är den tomma mängden.
Lösning: 𝐴 = { 𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 är jämnt }, 𝐵 = { 𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 är udda }
2.46
Precis som för operationer som addition och multiplikation finns det räkneregler för
mängdoperationer. Ett exempel är distributivitetslagen:
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
Hur kan vi bevisa detta? Ett sätt är att bevisa ömsesidig inklusion, dvs. att
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
och
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) ⊆ 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
Ett annat sätt är att rita ett venndiagram för de tre mängderna och övertyga sig om att
det vänstra uttrycket beskriver samma område i diagrammet som det högra uttrycket
(se Figur 4).
4 Par och tupler
2.47
Det kartesiska koordinatsystemet är ett koordinatsystem som i planet består av en
𝑥-axel och en 𝑦-axel som skär varandra vinkelrätt. Man brukar rita 𝑥-axeln från
vänster till höger och 𝑦-axeln nerifrån uppåt. Genom att markera enhetslängder för
båda axlarna definierar man ett rutnät. Varje punkt på detta nät kan skrivas som
(𝑥, 𝑦), där 𝑥 anger koordinaten på 𝑥-axeln och 𝑦 anger koordinaten på 𝑦-axeln. Ett
exempel på ett koordinatsystem visas i Figur 5.
2.48
Rita in punkterna för koordinaterna (2, 2), (2, 3) och (3, 2)!
2.49
Koordinater som dessa är exempel på ordnade par. I ett ordnat par (𝑥, 𝑦) kallar man 𝑥
och 𝑦 parets komponenter. Notera att (2, 3) ≠ (3, 2)! Det vill säga, ordningen mellan
komponenterna spelar en roll.
10
𝑦
4
(2, 3)
3
(3, 2)
2
(1, 1)
1
0
𝑥
1
2
3
4
5
Figur 5: Ett koordinatsystem.
2.50
Ett pars komponenter behöver inte vara tal. Låt 𝐴 och 𝐵 vara godtyckliga mängder.
Mängden av alla par (𝑎, 𝑏) där 𝑎 ∈ 𝐴 och 𝑏 ∈ 𝐵 kallas för produktmängden av 𝐴
och 𝐵. Den skrivs 𝐴 × 𝐵 och kan beskrivas genom mängdbyggaren
𝐴 × 𝐵 = { (𝑎, 𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 }
I exemplet hade vi två mängder 𝑋 och 𝑌:
𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5}
2.51
𝑌 = {1, 2, 3, 4}
𝑋 × 𝑌 = { (𝑥, 𝑦) ∣ 𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 }
Låt 𝐴 och 𝐵 vara godtyckliga mängder. Betrakta produktmängden 𝐴 × 𝐵. Hur många
element har den?
Lösning: Om 𝐴 har 𝑚 element och 𝐵 har 𝑛 element så har produktmängden 𝐴 × 𝐵
exakt 𝑚 gånger 𝑛 element. (Och det passar ju bra ihop med beteckningen ”produktmängd”!) Observera att om en av mängderna är tom, så kan man inte bilda några par,
så produktmängden blir tom den också: Om 𝑚 = 0 eller 𝑛 = 0 så är 𝑚𝑛 = 0.
2.52
För att beskriva en tredimensionell rymd snarare än ett tvådimensionellt plan lägger
man till en 𝑧-axel vinkelrätt mot (𝑥, 𝑦)-planet. Även här har vi punkter, men dessa har
nu tre koordinater. Man kan kalla dem för triplar. På samma sätt kan man definiera
quadrupler, quintupler, och mera allmänt 𝑛-tupler.
11