Problemdemonstration 1.nb

Problemdemonstration 1.nb
Problemdemonstration 1
Divisorsummor och perfekta tal
x är perfekt? i s =
Divisorsumma till x i r
x ! r? i s
Om man för ett sammansatt tal x adderar x:s alla äkta delare till talet 1,
så blir summan (divisorsumman) i sällsynta fall lika med x.
x
4
6
8
9
10
12
14
15
16
18
20
21
22
24
25
26
27
28
x:s äkta delare
82<
82, 3<
82, 4<
83<
82, 5<
82, 3, 4, 6<
82, 7<
83, 5<
82, 4, 8<
82, 3, 6, 9<
82, 4, 5, 10<
83, 7<
82, 11<
82, 3, 4, 6, 8, 12<
85<
82, 13<
83, 9<
82, 4, 7, 14<
x: s divisorsumma
1+2 ! 3
1+2+3 ! 6
1+2+4 ! 7
1+3 ! 4
1+2+5 ! 8
1 + 2 + 3 + 4 + 6 ! 16
1 + 2 + 7 ! 10
1+3+5 ! 9
1 + 2 + 4 + 8 ! 15
1 + 2 + 3 + 6 + 9 ! 21
1 + 2 + 4 + 5 + 10 ! 22
1 + 3 + 7 ! 11
1 + 2 + 11 ! 14
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 ! 36
1+5 ! 6
1 + 2 + 13 ! 16
1 + 3 + 9 ! 13
1 + 2 + 4 + 7 + 14 ! 28
När det inträffar sägs x vara perfekt.
Det är okänt hur många perfekta tal det finns.
Idag känner man fyrtioåtta stycken, varav de två minsta är 6 och 28.
Nästkommande två är 496 och 8128.
Det fyrtioåttonde är över 25 miljoner siffror långt. Puh!
Att reda ut om x är perfekt är inte svårt. Man behöver bara beräkna
summan av 1 och x:s samtliga äkta delare, och därefter kontrollera om x
är lika med nämnda summa. Så här:
x är perfekt? i s =
Divisorsumma till x i r
x ! r? i s
Divisorsumma till x i r =
r!1
d!2
Sålänge d < x {
Om x är delbar med d så Addera d till r
Öka d}
2
Divisorsumma till x i r =
r!1
d!2
Sålänge d < x {
Om x är delbar med d så Addera d till r
Öka d}
Perfekta tals primtalsfaktorer
Man kan konstatera att primtalsfaktoriseringarna av de fyra minsta
perfekta talen innehåller enbart 2:or samt ett s.k. Mersenneprimtal, ett
primtal som nästan är en tvåpotens.
6 ! 2 ÿ 3 ! 2 ÿ I22 - 1M
28 ! 2 ÿ 2 ÿ 7 ! 22 ÿ 7 ! 22 ÿ I23 - 1M
496 ! 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 31 ! 24 ÿ 31 ! 24 ÿ I25 - 1M
8128 ! 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 2 ÿ 127 ! 26 ÿ 127 ! 26 ÿ I27 - 1M
Ser du mönstret i högerleden? Jag menar
2k-1 ÿ I2k - 1M , där k och 2k - 1 är primtal
(1)
Det är känt att 2k-1 ÿ I2k - 1M är ett jämnt perfekt tal om och endast om
k och 2k - 1 är primtal. Alltså finns det inga andra jämna perfekta tal än
de som har mönstret (1). Vad gäller udda perfekta tal, så är det okänt
om det finns något.
Notera till sist att (1) är lika med en produkt mellan två på varandra
följande tal dividerat med två:
¤
2k-1 ÿ I2k - 1M !
1 k k
1
2 ÿ I2 - 1M ! Hn + 1L ÿ n för n = 2k - 1
2
2
(2)
Tal på formen 1 Hn + 1L ÿ n återkommer nedanför.
2
Summor och triangeltal
När man räknar antalet kulor i trianglar som har n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 resp.
7 kulrader, uppträder talen 1, 6, 10, 15, 21, 28. Se figuren nedanför.
Talen, som av de gamla grekerna kallades för triangeltal, har en tendens
att dyka upp i kombinatoriska sammanhang. Lägg märke till att de två
perfekta talen 6 och 28 återfinns här. Vi ska se att detta inte är en slump.
3
När man räknar antalet kulor i trianglar som har n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 resp.
Problemdemonstration 1.nb
7 kulrader, uppträder talen 1, 6, 10, 15, 21, 28. Se figuren nedanför.
Talen, som av de gamla grekerna kallades för triangeltal, har en tendens
att dyka upp i kombinatoriska sammanhang. Lägg märke till att de två
perfekta talen 6 och 28 återfinns här. Vi ska se att detta inte är en slump.
n
1
2
triangeltal
1!1
1+2 ! 3
3
1+2+3 ! 6
4
1 + 2 + 3 + 4 ! 10
5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 ! 15
6
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ! 21
7
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ! 28
Den första proceduren nedanför beräknar det n:te triangeltalet. Och den
andra undersöker om x är ett triangeltal. Det senare går till så att det
ena triangeltalet efter det andra beräknas, tills det senast beräknade triangeltalet inte längre är mindre än x. När slingan avbryts kan vi sålunda
vara säkra på att det senast beräknade triangeltalet är större än x, eller
lika med x. När procedurens sista rad har körts vet vi vilket av alternativen som gäller.
Triangeltal n i r =
r!0
k!1
Sålänge k § n {
Addera k till r
Öka k}
x är ett triangeltal? i s =
t!0
n!1
Sålänge t < x {
Triangeltal n i t
Öka n}
t ! x? i s
EN SLUTEN FORMEL Istället för att (som i proceduren ovanför till
vänster) beräkna det n:te triangeltalet genom att lägga ihop talen
1, 2, …, n i storleksordning, kan man förstås börja med att lägga
samman det första talet och det sista, vilket ger 1 + n, sedan ta det
andra och det näst sista som också (varför då?) ger 1 + n, osv….
EN SLUTEN FORMEL Istället för att (som i proceduren ovanför till
Problemdemonstration 1.nb
4
vänster) beräkna det n:te triangeltalet genom att lägga ihop talen
1, 2, …, n i storleksordning, kan man förstås börja med att lägga
samman det första talet och det sista, vilket ger 1 + n, sedan ta det
andra och det näst sista som också (varför då?) ger 1 + n, osv….
Totalt blir det n ê 2 stycken termer av storlek n + 1. Det n:te triangeltalet
ges därför av den slutna formeln Hn + 1L ÿ n ê 2.
Men vi visade nyss (i (2)) att varje jämnt perfekt tal kan skrivas just på
formen Hn + 1L ÿ n ê 2 (där n är lika med ett Mersennprimtal). Det följer
att alla jämna perfekta tal är triangeltal.
Summor av triangeltal
Den enklaste kulpyramiden har en kula i toppen och därunder tre kulor
som bildar en triangel. Större pyramider fås genom att tillfoga flera (och
större) kultrianglar i botten. Antalet kulor i en kulpyramid är därför en
summa av triangeltal. Vi kallar nämnda antal för ett pyramidtal.
n
1
pyramidtal
1!1
2
1+3 ! 4
3
1 + 3 + 6 ! 10
En procedur som beräknar pyramidtal behöver bara addera triangeltal.
Pyramidtal n i r =
r!0
k!1
Sålänge k § n {
Triangeltal k i t
Addera t till r
Öka k}
Försök hitta en s.k. sluten formel för pyramidtalen motsvarande den
slutna formeln Hn + 1L ÿ n ê 2 för triangeltalen.
Summor av summor av … summor av ettor
5
Problemdemonstration 1.nb
Problemdemonstration 1.nb
Summor av summor av … summor av ettor
Vi ska nu visa att triangeltal och pyramidtal ingår som byggstenar i ett
omfattande byggnadsverk skapat med hjälp av 1:or allena.
Börja med att ställa upp en inledande kolumn av 1:or. Upprätta sedan
en ny kolumn till höger om den första. Fyll varje position i den nya
kolumnen med summan av de tal som finns ovanför och till vänster (om
den nämnda positionen).
Fortsätt sedan att upprätta den ena kolumnen efter den andra med
positioner fyllda enligt samma princip. Till slut får vi lika många
kolumner som rader.
kol 0 kol 1 kol 2 kol 3 kol 4 kol 5
rad 0
1
0
0
0
0
0
rad 1
1
1
0
0
0
0
rad 2
1
2
1
0
0
0
rad 3
1
3
3
1
0
0
rad 4
1
4
6
4
1
0
rad 5
1
5
10
10
5
1
Man kan konstatera att kolumn 2 innehåller triangeltal. Och det är ju
inte så konstigt – med tanke på vilka tal som adderas när man fyller i
rutorna i kolumn 2. Och i kolumn 3 hittar vi förstås pyramidtal,
eftersom varje ruta i nämnda kolumn har fyllts med en summa av
triangeltal.
T.ex. uppstår pyramidtalet 10 på rad 5 och kolumn 3 genom addition av
de markerade talen 1, 3, 6 i kolumn 2, vilka i sin tur är byggda med
hjälp av tal i kolumn 1, vilka slutligen är byggda av 1:or från kolumn 0.
För att framhäva detta kan vi skriva
10 = 1 + 3 + 6
.
= 1 + H1 + 2L + H1 + 2 + 3L
= 1 + H1 + H1 + 1LL + H1 + H1 + 1L + H1 + 1 + 1LL
10 = 1 + 3 + 6
.
= 1 + H1 + 2L + H1 + 2 + 3L
= 1 + H1 + H1 + 1LL + H1 + H1 + 1L + H1 + 1 + 1LL
Tal som beskrivs med hjälp av samma sorts tal men enklare (så är det ju
med talen i de olika positionerna), kan med fördel beräknas med en
procedur som anropar sig själv.
Proceduren nedanför – som beräknar ett tal i en godtycklig position (rad
r och kolumn k) – är konstruerad på detta sätt.
Tal i position (r, k) i t =
Om k > r så
t ! 0
annars
t ! 1
Om k > 0 så
r' ! k
k' ! k
Minska k '
Sålänge r ' < r {
Tal i position (r ', k ') i t '
Addera t ' till t
Öka r '}
Lägg märke till att de positioner som fylls med nollskilda tal bildar en
(liksidig) triangel.
Den brukar kallas Pascals triangel efter den franske matematikern Blaise
Pascal som (på 1600-talet) tillsammans med advokaten Pierre de Fermat
formulerade de första idéerna för sannolikhetsteorin. Talen i triangeln
spelar en väsentlig roll i denna teori. Det är nämligen så att det tal som
ligger på rad r i kolumn k beskriver antalet sätt att välja k element av r
element. T.ex. beskriver triangeltalet 6 (på rad 4 i kolumn 2) antalet sätt
att välja två element av fyra element, varför sannolikheten att just
Adam och Eva väljs, när två personer skall väljas på måfå ur gruppen
Adam, Kalle, Eva och Steve är 1/6.
6