Hela talen 1
Hela talen (fortsättning)
Udda och jämna tal
Då a divideras med 2 blir resten endera 0 eller 1. Dvs a = 2 k eller
a = 2 k + 1. Om det förra är fallet sägs a vara jämn, annars udda.
Jämna talen 82 k k œ !< = 8… - 6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …<.
Heltalsdivision och SGD
Udda talen 82 k + 1 k œ !< = 8…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …<.
Att dividera ett naturligt tal a med ett positivt heltal b, innebär att från a
upprepade gånger dra bort b tills återstoden (resten) är mindre än b.
Illustration med a = 17, b = 3:
17 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 2
17 - 3 ÿ 5 = 2
Dvs. 17 = 3 ÿ 5 + 2.
SGD och Euklides’ algoritm
Den största gemensamma delaren till två givna heltal a, b är det största
heltal som delar både a och b:
SGDHa, bL = MaxHd d delar a och d delar bL
Om antalet subtraktioner är k och återstoden är r gäller
a = b ÿ k + r, där 0 § r < b.
(1)
Talen k och r betecknar vi fortsättningsvis med KvotHa, bL resp. RestHa, bL,
något som ger (1) utseendet
a = b ÿ KvotHa, bL + RestHa, bL, där 0 § RestHa, bL < b.
En rekursiv version av divisionsalgoritmen presenteras nedanför, och
därefter en testkörning av densamma:
KvotHa, bL = OmHa < b, 0, 1 + KvotHa - b, bLL
RestHa, bL = OmHa < b, a, RestHa - b, bLL
KvotH29, 6L = 1 + KvotH23, 6L = 1 + 1 + KvotH17, 6L
= 1 + 1 + 1 + KvotH11, 6L
= 1 + 1 + 1 + 1 + KvotH5, 6L
= 1+1+1+1+0 = 4
EXEMPEL 1 SGDH24, 18L = 6.
Notera att om man dividerar a med b, a = b k + r, så är de gemensamma
delarna till b, r desamma som de gemensamma delarna till a, b. Varför?
SVAR: Eftersom a är en linär kombination av b, r så följer (lemma 1) att varje
delare till b, r även är delare till a, och därmed till både a och b. Omvänt: Eftersom
r är en linär kombination av a, b (r = a + b ÿ H-kL) så följer (lemma 1 igen) att varje
delare till a, b även är delare till r, och därmed till både b och r.
Speciellt följer att SGDHa, bL = SGDHb, RestHa, bLL. Notera också att varje
heltal delar 0 och sig själv. Därför är SGDHa, 0L = a. Dessa två likheter utgör
rekursionssteg respektive basfall i en mer än två tusen år gammal algoritm.
EUKLIDES ALGORITM
Om a < 0 då …?
Att dividera ett negativt heltal a med ett positivt heltal b, innebär att till a
upprepade gånger lägga b tills resultatet r uppfyller 0 § r < b.
Illustration med a = -17, b = 3:
-17 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 1
-17 + 3 ÿ 6 = 1
Dvs -17 = 3 ÿ H-6L + 1.
SGDHa, 0L = a
SGDHa, bL = SGDHb, RestHa, bLL
EUKLIDES ALGORITM
första talet
Udda och jämna tal
2
andra talet
SGDHa , b L = x a + y b
432
198
GCDH432, 198L =
GCDH198, 36L =
GCDH36, 18L =
18
Hela talen 1
3
Hela talen 1
SGDHa , b L = x a + y b
Genom att köra Euklides algoritm först framlänges och sedan baklänges får
man fram SGDHa, bL som en s.k. lineär kombination av a och b.
SGDHa, bL
= SGDH432, 198L
= SGDH198, 36L
= SGDH36, 18L
= 18
H2L
a = b ÿ 2 + 36
b = 5 ÿ 36 + 18
36 = 2 ÿ 18 + 0
H1L
H2L
H1L
= b - 5 ÿ 36 = b - 5 ÿ Ha - b ÿ 2L = 11 b - 5 a
Relativt prima
a och b sägs vara relativt prima om SGDHa, bL = 1.
T.ex. är 4, 9 relativt prima.
Fundamentalsatsen
Vi ska nu bevisa entydigheten i fundamentalsatsen, men först ett lemma
som vi behöver för entydighetsbeviset. Antag att p är ett primtal. Då gäller
Lemma 2
p\a b ï
p \ a eller p \ b
BEVIS (Fallbevis) Endera är a delbart med p eller så är a inte det.
Fall 1. Om a är delbart med p, så är vi klara med beviset.
Fall 2. Annars (om a inte är delbart med p) så är
SGDHp, aL = 1.
(2)
Ty de enda delarna i primtalet p är 1 och p. Så förutom 1 är p den enda
tänkbara gemensamma delaren till p och a. Men p utgår, eftersom a inte är
delbart med p. Av (2) följer (genom Euklides algoritm fram och baklänges)
att man kan hitta x, y sådana att
x p + y a = 1.
(3)
Efter multiplikation med b erhålls
x p b + y a b = b.
(4)
(4) visar att b är en lineär kombination av talen p och a b, och eftersom p
delar båda dessa tal följer att p delar själva kombinationen, dvs. b. Detta
bevisar lemmat. ·
(4) visar att b är en lineär kombination av talen p och a b, och eftersom p
delar båda dessa tal följer att p delar själva kombinationen, dvs. b. Detta
bevisar lemmat. ·
Mer allmänt gäller
Följdsats
p \ Ia1 ÿ a2 ÿ … ÿ ak M ï
4
p \ a1 eller p \ a2 eller … eller p \ ak
vilket kan bevisas med induktion där lemma 2 spelar en huvudroll.
Därmed är vi redo att bevisa enydigheten i fundamentalsatsen.
ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS
Varje naturligt tal > 1 kan skrivas som en primtalsprodukt, och produkten
är entydig om vi bortser från ordningen mellan primtalsfaktorerna.
BEVIS (av entydigheten)
Antag att
p1 ÿ p2 ÿ … ÿ pr = q1 ÿ q2 ÿ … ÿ qs
(5)
beskriver två primtalsfaktoriseringar av ett tal > 1.
Om vi för varje pi kan visa att pi = qk för något qk , så är satsen bevisad.
Av (5) följer för varje pi att
pi \ q1 ÿ q2 ÿ … ÿ qs
(6)
vilket tillsammans med följdsatsen ger oss
pi \ qk för något qk .
(7)
Således är pi ÿ a = qk för något a. Närmare bestämt är a = 1. Ty annars
skulle inte qk vara ett primtal. Alltså är pi = qk . ·
ANM Det är mycket beräkningskrävande att hitta primtalsfaktorerna i
stora tal. Ett faktum som s.k. RSA-kryptering bygger på. Att reda ut ifall
stora tal är primtal är inte alls lika krävande.
