— ett anmärkningsvärt år
JØRGEN KONGSTED
För 36 år sedan skrev George Orwell sin berömda roman 1984. Nu är vi där!
Jörgen Kongsted, Skovlunde i Danmark, berättar i sin artikel om hur man kan
räkna på talet 1984. Artikeln har varit införd i danska tidskriften MATEMATIK
(nr 1, 1984). För översättningen svarar Bo Rosén.
Om man vill visa något av årtalets egendomligheter för yngre elever, kan man t ex börja med att
skriva 31 på tavlan. Under talet skriver man
samma tal igen. Addera talen. Addera den erhållna summan med sig själv. Upprepa proceduren
tills man når ett aktuellt tal!
31 - 62 - 124 - 248 - 496 - 992 - 1984.
Högst märkvärdigt! Man kan också utveckla
det på följande sätt. Börja med att skriva talet 64,
därunder det dubbla talet (128), under det det
dubbla, o s v. Fortsätt på det sättet tills man
första gången överskrider 1 000. Addera talen.
Resultatet blir:
64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 = 1984!
Om man är trött på att addera, kan man gå
ännu ett steg i den ovan avbrutna talföljden
(2 048) och subtrahera första talet (64) från detta
tal.
Förklaringen till detta trolleri är självklart enkel, då
1984 = 31 • 64, och 64 = 26 svarar mot en
sexdubbling.
Den andra förklaringen är att
31 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16,
och då det hela ska multipliceras med 64 får man
den angivna fördubblingssumman. Slutligen kan
man konstatera att
31 = 25 - 1
och efter multiplikation med 64 (= 26) får man
att
1984 = 26 (25 - 1) = 211 - 26 = 2 048 - 64.
Årtalet kan alltså skrivas som en produkt av en
potens med basen 2 och en potens med basen 2 så
när som på ett. De närmast föregående årtalen av
liknande slag var 1536, 1792 och 1920. De kommande är 2016, 2032 och 2040. För närvarande är
det långt mellan sådana tal som ovan, men om
cirka 60 år kommer säkert någon att förundra sig
över att det här slaget av tal uppträder klumpvis:
2040, 2044, 2046 och 2048 är alla av det slaget.
Permutationer
På elementär nivå är det ju också inspirerande att
se på årtalets 24 permutationer, varav en var
aktuell för 36 år sedan, då boken med titeln 1984
skrevs. När kommer det nästa gång en permutation av årtalet 1984?
Man kan knappast föreställa sig världen år
4189 eller 9841! Men detta avhåller oss inte från
att titta på egenskaper hos de permuterade årtalen.
I varje tal döljer det sig en samling problem.
Som hjälp vid lösandet kan jag tala om att det
bland de olika talen finns 3 primtal: 1 489, 8 419
och 8 941 samt ett kvadrattal 1 849 (ovanligt
bland fyrsiffriga årtal!)
I samlingen finns fyra tal som är det dubbla av
ett primtal: 1 894, 4 918 och 8 914. De två som är
besläktade, 9 148 och 1 948, är båda fyra gånger
ett primtal.
Släktskap med 496
Då 1984 = 4 • 496 kan det vara tillåtet att titta
närmare på detta intressanta tal. 496 hör till
triangeltalen.
Uppdelning i addender
Uppdelningen av ett tal i ekvidistanta addender
beror på antalet av olika faktorer. För talet 1984
finns det inte så många. 31 anger antalet led,
medan 64 hela tiden är mittalet. Det allmänna
uttrycket för en sådan följd av differenser med
summan 1984 blir:
Då det ska vara 31 led, ska man gå 15 steg åt
vartdera hållet. Om man använder 2-potenser
som differens, får man en summa som är lika
med årtalet.
(Alla led med 64 är "upphävda" av motsvarande negativa tal.)
Om man tycker att detta är för enkelt kan man
ju undersöka om det är möjligt att skriva 1984
som en summa av jämnt växande differenser.
Egendomligt nog visar det sig att den till synes
mer krävande uppgiften har flera lösningar. Lösningsmetoden är svårare än den föregående, så vi
låter den vara. Men några "smukke resultater"
är väl värda att titta på. Låt oss se på lösningar
med bara fyra termer.
Men det mest anmärkningsvärda är dock att
496 är ett så kallat fullkomligt tal. (Även kallat
rikt tal.)
De fullkomliga talen
Ett fullkomligt tal är ett tal sådant att summan av
talets faktorer är lika med dubbla summan av
talet. 6 är ett fullkomligt tal, ty det har faktorerna
1, 2, 3 och 6. Summan av dessa är 12. Om man
undantar den högsta faktorn får man talet självt.
28 är också ett fullkomligt tal.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
6 och 28 var kända som fullkomliga tal redan
under forntiden och anses ha haft betydelse för
mytologi och tidräkning. Jorden skapades på 6
dagar och därför är det 6 vardagar i veckan. En
månad varade ursprungligen i 4 veckor, d v s 28
dagar.
6 och 28 ligger ganska nära varandra i talföljden, men så fortsätter det inte. Nästa fullkomliga
tal är det ovan aktuella 496. Att visa att det är ett
fullkomligt tal är en bra uppgift. För de fullkomliga talen finns det en utvecklad teori, som jag ska
slå ett slag för här: 496 = 16 • 31, vilket kan
skrivas 24 • (25 - 1). 28 kan skrivas 22 • (23 - 1)
och 6 = 2 • (22 - 1).
Det är relativt enkelt att bevisa att ett tal är
fullkomligt, om det kan skrivas på formeln
2P-1 • (2P - 1), där p är ett primtal. Problemet är
därmed återfört till att bestämma primtal av detta
slag — de så kallade Mersenneprimtalen. Med
hjälp av datorer är det ständigt en jakt på tal av
denna typ — för närvarande har man hittat 28.
Men låt oss försöka att finna ännu några
fullkomliga tal. Nästa Mersenneprimtal efter 31
är 127.
64 • 127 = 8 128 är ett fullkomligt tal. Det femte
talet av detta slag blir
212.• (213 - 1) = 4 096 • 8 191 = 33 550 336 och
det sjätte är i miljardklassen: 8 589 869 056.
Karaktäristiskt för de kända fullkomliga talen
är att de slutar på 6 eller 28. Om det finns olika
fullkomliga tal vet man inte, men om det gör det
är det bevisat att det i så fall ska vara större än
1044!
Pythagoreiska taltripplar
Då 84 och 1 984 inte är primtal, kan det säkert
finnas pythagoreiska taltripplar i vilka dessa ingår. Den enklaste trippeln av sådana tal är 3, 4, 5.
Om man vill att 84 ska ingå i en trippel multiplicerar man bara med 28. Detta ger 84, 112, 140.
Av detta följer att 842 + 1122 = 1402. Man kan
också välja att multiplicera med 21. Detta ger
trippeln 63, 84, 105 och 632 + 842 = 1052. Om
man vill att 1 984 ska vara med, multipliceras
grundtrippeln med välkända 496, vilket ger
1 4882 + 1 9842 = 2 4802.
Ännu mer intressant är att det också är möjligt
att få de två talen att ingå i primtalset, d v s talset
i vilka de tre talen inte har någon gemensam
faktor. De enklaste ser ut på följande sätt:
842 + 132 = 852 och
1 9842 + 632 = 1 9852
Till på köpet får man nästa årtal också!
De två första inträffar den 23 oktober respektive
den 8 juli. Som kuriosa kan nämnas att både den
12 mars och 8 juli 1983 var primtalsdatum!
Finns det månne något kvadrattal bland årets
366 tal? Nej, men det är nära. 70 • 484 = 263268
och 240 • 584 = 488493.
I tre fall framhålls i datumet vilket år det rör
sig om:
200384 = 101 • 1984
150784 = 76 • 1984
101184 = 51 • 1984.
För övrigt
Årets datumtal
Ett normalt år har som bekant 365 dagar. En
legend berättar att talet blev utvalt för att det
både är
102 + 112 + 122 och 132 + 142.
Skottårets antal dagar, 366, måste naturligtvis
ha en liknande mystisk egenskap. Det visar sig
också att
366 = 82 + 92 + 102 + 112.
1984 kan skrivas som summan av två triangeltal, 1 081 + 903, och därför gäller följande
vackra resultat:
Lite mer stoff för att arbeta med tal får man om
man betraktar de 366 datumtalen. 70484 är t ex
ett datumtal för den 7 april 1984. Det är en
intressant uppgift att analysera dagens tal genom
att t ex dela upp det i faktorer. Antalet faktorer
varierar starkt. Då samtliga tal har talet 4 som en
faktor kan man inte få färre antal faktorer än 6.
41 gånger under året har datumtalet 6 faktorer.
Det maximala antalet faktorer är 84, vilket inträffar den 12 mars då 120384 = 26 • 32 • 11 • 19.
Det oftast förekommande antalet faktorer är
12 (81 gånger) och därnäst 24 (52 gånger). Bara
vid ett tillfälle finns det 54, 80 eller 84 faktorer.
Till slut måste vi också göra en magisk kvadrat. I
det nedre vänstra hörnet finns årtalet, och kvadraten är uppbyggd av de 49 första naturliga
talen. Det är tillåtet att kontrollera att summan
av talen i varje rad, i varje kolonn och i var och
en av de stora diagonalerna är lika. Men den
kritiske invänder kanske att det hade varit snyggare om årtalet hade stått i mitten av översta
raden. Inget problem! Subtrahera 1 från samtliga
49 tal och önskan blir uppfylld!
