Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Föreläsning 2: Logiska konnektiv, definitioner, satser och
bevis
Jonas Wickman
Logiska konnektiv
Lokiska konnektiv binder samman ett eller flera påståenden till nya påståenden. Vi har redan sett
implikationer, =⇒ , ekvivalenser ⇐⇒ , och negationer ¬. Ett påstående kan ha sanningsvärdena
SANT eller FALSKT, och konnektiv används för att utröna vad som händer med sanningshalten
i de sammansatta påståenden som konnektiven ger.
Hur konnektiven fungerar ses enklast i en s.k. sanningsvärdestabell. För negation ges tabellen av:
A
S
F
¬A
F
S
För påståenden som bygger på mer än ett påstående måste vi ta alla kombinationer av sant och
falskt för dessa påståenden. För ekvivalens kan vi göra en tabell som ser ut som följer:
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
A ⇐⇒ B
S
F
F
S
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
A =⇒ B
S
F
S
S
Tabellen för implikation ser ut som:
1
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Detta kan tyckas förvirrande, eftersom det innebär att om A är falsk, blir implikationen alltid
sann, oavsett om B är falsk eller sann. Detta är för att logiker har valt en “oskyldig tills skyldighet
bevisats” approach till problemet. Bekymret uppstår eftersom att veta att B är sann samt att
A =⇒ B är sann inte säger något om sanningshalten i A. Det kan vara antingen sant eller falskt.
Man har således valt att definiera tabellen som ovan.
Två andra vanliga konnektiv är disjunktion, ∨, vilket betyder ungefär ‘eller’, och konjunktion, ∧
vilket betyder ungefär ‘och’. Sanningsvärdestabellen för disjunktion ser ut som:
A
S
S
F
F
A∨B
S
S
S
F
B
S
F
S
F
Observera att disjunktionen är sann när både A och B är sanna, så det är ett ‘inklusivt eller’.
För konjunktion gäller att:
A
S
S
F
F
A∧B
S
F
F
F
B
S
F
S
F
Vi kan använda dessa tabeller för att förstå under vilka förutsättningar mer komplicerade utsagor
är sanna beroende på sanningsvärdet i de inblandade utsagorna:
Exempel: För vilka sanningsvärden för utsagorna A och B är utsagan (¬A ∨ B) =⇒ B
sann?
Lösning: Vi börjar med att skriva ut sanningsvärdena för A och B och tar sedan en kolumn
i taget:
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
¬A
F
F
S
S
(¬A ∨ B)
S
F
S
S
(¬A ∨ B) =⇒ B
S
S
S
F
Svar: Påståendet (¬A ∨ B) =⇒ B är sant så länge inte både A och B är falska.
2
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Vi säger att två påståenden är logiskt ekvivalenta om de har samma sanningsvärde på alla rader
i tabellen.
Exempel: Visa att påståendena A =⇒ B och ¬B =⇒ ¬A är logiskt ekvivalenta.
Lösning: Vi skriver en sanningsvärdestabell:
A
S
S
F
F
B
S
F
S
F
¬A
F
F
S
S
¬B
F
S
F
S
A =⇒ B
S
F
S
S
¬B =⇒ ¬A
S
F
S
S
Från detta kan vi se att A =⇒ B om och endast om ¬B =⇒ ¬A och de är således logiskt
ekvivalenta.
Kvantifikatorer, ∃, ∀
Det är ofta inom matematiken praktiskt att på ett kompakt sätt kunna påpeka att något existerar,
eller att en egenskap gäller för alla objekt av en specifik klass. Detta görs genom existenskvantifikatorn, ∃, och allkvantifikatorn, ∀. Deras användning visas enklast genom exempel:
Exempel: Existens- och allkvantifikatorn.
∃x ∈ N : x > 5 “Det existerar ett naturligt tal sådant att talet är större än 5”
∀x ∈ N : x > 0 “För alla naturliga tal gäller att talen är större än 0”
∃x ∈ R : x2 < x “Det existerar ett reellt tal sådant att talet är större än sin egen kvadrat”
∀x ∈ R : 0x = 0 “För alla reella tal gäller att 0 gånger det talet är lika med 0”
Det går också att sätta samman kvantifikatorerna till mer komplicerade påståenden:
Exempel: Påståenden med mer än en kvantifikator.
∀x ∈ N ∃y ∈ R : y 2 = x “För varje naturligt tal x existerar ett reelt tal y sådant att y i
kvadrat är lika med x”
3
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Det kan ofta vara användbart att känna till vad negationen av dessa kvantifikatorer är. Om vi
har ett påstående ∃x : P (x) “Det existerar ett tal x sådant att det uppfyller egenskapen P ”, eller
∀x : P (x) “Alla tal x uppfyller egenskapen P ”, vad är negationen av dessa påståenden?
Exempel: Negationen av påståendet “Alla studenter har bruna ögon” måste vara “Inte alla
studenter har bruna ögon”, vilket är ekvivalent med påståendet “Det existerar en student som
inte har bruna ögon”.
Detta leder oss till att formulera följande:
¬(∀x : P (x)) ⇐⇒ (∃x : ¬P (x))
¬(∃x : P (x)) ⇐⇒ (∀x : ¬P (x))
Eller med ord:
Negationen till påståendet “För alla x gäller P ” är “Det existerar ett x för vilket icke-P gäller”
Negationen till påståendet “Det existerar ett x för vilket P gäller” är “För alla x gäller icke-P ”
Exempel: Är påståendet ∀x ∈ R : x > 0 sant?
Lösning: Vi visar att påståendet är falskt genom att visa att negationen av påståendet är
sant. Detta ger:
¬(∀x ∈ R : x > 0) ⇐⇒ (∃x ∈ R : x ≤ 0)
Vi behöver nu enbart hitta ett reellt tal mindre än eller lika med 0, låt säga -1.
Svar: Påståendet är falskt, eftersom negationen av påståendet är sant, eftersom det existerar
ett reellt tal mindre än 0.
Exempel: Skriv “alla rationella tal är reella tal” och dess negation på formelspråk.
Lösning:
Påstående: ∀x ∈ Q : x ∈ R.
Negation: ∃x ∈ Q : x ∈
/ R.
Exempel: Skriv “Det finns ett reellt tal som är lika med sig själv plus 1” och dess negation
på formelspråk.
Lösning:
4
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
Påstående: ∃x ∈ R : x = x + 1
Negation: ∀x ∈ R : x 6= x + 1
Definitioner, satser och bevis
Definitioner
En definition inom matematik fungerar ungefär som en matematisk glosa. Definitionen bör klargöra
vad ett nytt begrepp man vill införa innebär. Låt oss som exempel titta på definitionen för ett
jämt tal:
Definition: Jämnt tal
Ett heltal n är jämnt om det existerar ett annat heltal m sådant att n = 2m.
Vi kan nu använda frasen “jämnt tal” med en precis mening utan att varje gång behöva skriva
exakt vad vi menar.
Satser
Till skillnad från definitioner säger satser något om ett förhållande mellan matematiska objekt,
som man inte på förhand vet är sant. För att demonstrera att en sats är giltig krävs ett bevis.
Dessa bevis använder sig av kända definitioner, andra satser man vet är sanna, och uträkningar
för att visa att ens sats är giltig. Exempel:
Sats:
Talet 8 är ett jämnt tal.
Denna sats ger ett förhållande mellan talet 8, och begreppet “jämnt tal”. För att visa att satsen
är sann använder vi vår definition:
Sats:
Talet 8 är ett jämnt tal.
Bevis: Eftersom 8 = 2 · 4, och talet 4 är ett heltal ser vi att talet 8 uppfyller definitionen av att
vara ett jämnt tal.
Låt oss nu visa två ytterligare satser som är svårare att bevisa:
Sats: Jämna tal i kvadrat
5
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
n jämnt ⇐⇒ n2 jämnt .
Bevis: Vi måste visa implikation åt båda hållen.
n jämnt =⇒ n2 jämnt . Om n är jämnt kan det skrivas som 2m för något m ∈ Z. Detta ger
att n2 = (2m)2 = 4m2 = 2(2m2 ), så n2 går att skriva som 2 gånger ett heltal och måste således
vara jämnt.
n2 jämnt =⇒ n jämnt . Vi använder oss indirekt bevisföring och visar i stället att n udda =⇒
n2 udda . Om n är udda kan vi skriva n = 2m + 1 för något m ∈ Z, vilket ger att n2 = (2m + 1)2 =
(2m)2 + 2 · 2m + 1 = 4m2 + 4m + 1 = 2(2m2 + 2m) + 1. Vi ser att n2 går att skriva som två gånger
ett heltal plus 1, så n2 måste vara udda.
Eftersom implikation gäller i båda riktningarna måste det gälla att n jämnt ⇐⇒ n2 jämnt .
Vi använder denna sats i beviset för vår nästa sats:
Sats:
Talet
√
2 är irrationellt.
Bevis: Vi måste först använda oss av definitionerna av
ger:
√
och av begreppet “irrationellt”. Detta
Det finns inte något tal k ≥ 0 sådant att k 2 = 2 och k = ab , där a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Eftersom vi vill visa att någonting inte existerar använder vi ett motsägelsebevis, där vi gör
följande antagande:
Antag att det finns heltal a, b sådana att 0 ≤ k = ab och k 2 = 2 samt att bråket
kan förkortas till 23 , men detta kan ej förkortas mer, så det kalls förkortat)
a
b
är förkortat. ( 64
Vi undersöker nu om dessa antaganden leder till en motsägelse: Från ovan kan vi se att
2=
a2
⇐⇒ 2b2 = a2 ,
2
b
eftersom b 6= 0. Från detta kan ser vi att a2 måste vara ett jämnt tal. Men enligt tidigare visad
sats vet vi att
a2 jämnt ⇐⇒ a jämnt
vilket innebär att a kan skrivas som a = 2c för något c ∈ Z. Detta ger i sin tur att:
2b2 = a2 ⇐⇒ 2b2 = (2c)2 ⇐⇒ 2b2 = 4c2 ⇐⇒ b2 = 2c2 .
Vi ser från detta att även b2 och således b också måste vara ett jämnt tal, och att b = 2d för något
d ∈ Z. Detta ger dock att
a
2c
c
=
= ,
b
2d
d
6
Föreläsning 2
Umeå universitet
Jonas Wickman
Matematikdel
Interaktionsteknik och design
ht2016
vilket motsäger antagandet att ab var förkortat. Vi kan således sluta oss till att antagandet att det
går att skriva det tal k som i kvadrat är lika med 2 som en kvot av heltal var felaktigt, och att
√
2 således måste vara ett irrationellt tal.
Sats: En av de Morgans lagar
Låt A och B vara mängder i universet S. Då gäller:
Ac ∪ B c = (A ∩ B)c .
Bevis: Vi beskriver mängderna:
Ac ∪ B c = {x : x ∈
/ A∨x∈
/ B}
(A ∩ B)c = {x : ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)}
Vi kan nu göra en sanningsvärdestabell:
x∈A
S
S
F
F
x∈B
S
F
S
F
x∈
/A
F
F
S
S
x∈
/B
F
S
F
S
x∈
/ A∨x∈
/B
F
S
S
S
x∈A∧x∈B
S
F
F
F
¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)
F
S
S
S
Vi kan se att elementbeskrivningen är ekvivalent mellan de två mängderna, så de måste beskriva
samma mängd.
7
