Kortfattade minnesanteckningar till föreläsningen
20 mars
Universum och allmän relativitetsteori
Om universum är fullt av stjärnor, eller galaxer, varför gör inte gravitationen
att det kollapsar? Om universum är oändligt stort, kan en galax då dras lika
mycket åt alla håll, så att kollapsen hejdas? Denna fråga kunde inte besvaras
av Newtons mekanik, men den klargjordes av den allmänna relativitetsteorin.
Relativitetsteorins ekvationer kan lösas om man gör följande antaganden,
som kallas för den “kosmologiska principen”, och är konsistenta med vad man
har observerat:
a. Universum är homogent, d.v.s. likadant överallt.
b. Universum är isotropt, d.v.s. det finns ingen utmärkt riktning.
Vi har då två separata problem:
1. Tidsutvecklingen
2. Är universum krökt (bortsett från lite ojämnheter nära stjärnor och galaxer)?
Problem 1: Tidsutveckling
Betrakta en sfär i universum med radien R, och en liten “testgalax” på randen
av sfären. När universum expanderar sväller sfären upp, testgalaxen rör sig utåt
men bromsas av gravitationen.
Vi kan jämföra med att rulla en boll uppför en backe. Den bromsas in och
rullar ner igen. Likaså, om man kastar bollen uppåt bromsar den in och faller
ner igen. Högre upp minskar gravitationen emellertid, som om backens lutning
minskar. Bollen försvinner därför om dess hastighet är större än “flykthastigheten”, som är ca. 11 km/sek vid jordytan. (Vi antar här att det inte finns någon
friktion mot luften.)
Universums utveckling enligt relativitetsteorin bestäms av Fridman–Lemaître:s
ekvationer, som här liknar vad Newtons mekanik skulle säga. Gravitationskraften utanför ett sfäriskt skal är densamma, som om hela massan i skalet varit
placerad i centrum. Gravitationskraften inuti ett skal är noll (också med oändligt många skal). Inuti sfären finns olika bidrag till gravitationen:
Materia. Om dess massa är M är den oförändrad då universum och sfären
expanderar; den blir bara mer utspädd. Lägesenergin för testgalaxen blir proportionell mot massan M och omvänt proportionell mot radien R, alltså proportionell mot −M/R (och även proportionell mot Newtons gravitationskonstant).
Minustecknet innebär att lägesenergin ökar när R ökar. “Backen” lutar alltid
uppåt, men lutning närmar sig noll då R blir mycket stor.
Strålning. Alla former av energi ger upphov till en gravitationskraft. Strålningen består av fotoner, vars våglängd, λ, ökar proportionellt mot R, då sfären
expanderar. Fotonernas energi ges av e = hc/λ, och strålningens “massekvivalent” blir därför proportionell mot 1/R. För att få bidraget till testgalaxens
lägesenergi skall vi dela med R, vilket blir proportionellt mot −1/R2 . Detta
bidrag minskar snabbare för stora R än materians, men är större för små Rvärden.
1
Om vi lägger samman bidragen från materia och strålning får vi en “backe”
som är brantare för små R, där strålningen dominerar, och mindre brant för
större R, då materian dominerar. Universums inbromsning blir starkare i det
tidiga strålningsdominerade universum. Backen lutar emellertid alltid uppåt. Det
finns ingen stabil lösning.
När Einstein presenterade relativitetsteorin, var det ingen som föreställde
sig ett icke statiskt universum. Einstein insåg att hans ekvationer forfarande var
konsistenta om han införde vad han kallade en “kosmologisk konstant”. Detta
motsvarar en energitäthet i vakuum, och kallas numera vanligen “mörk energi”.
Det ger följande bidrag till testgalaxens lägesenergi:
Mörk energi. Den mörka energin har alltid samma täthet, även om universum expanderar. Mängden mörk energi inuti sfären blir därför proportionell mot
sfärens volym, d.v.s. mot R3 . För att få testgalaxens lägesenergi delar vi igen
med R, och resultatet blir proportionellt mot −R2 . Detta motsvarar en nedförsbacke, d.v.s en kraft utåt. Den är svag för små R, men lutningen blir brantare
och brantare för stora R, alltså en allt starkare kraft utåt. Där lägesenergin
övergår från att vara dominerad av materian till att domineras av den mörka
energin, blir kraften noll, och vi får ett (instabilt) jämviktsläge.
Lemaître föreslog möjligheten att det inte finns någon mörk energi, och att
universum inte är statiskt utan expanderar från en “urcell”. Denna idé vann
emellertid inte gehör förrän Hubble visade att universum faktiskt expanderar.
Om den mörka materien inte är noll, måste den vara obegripligt liten, och
Einstein reaktion var att det här med en kosmologisk konstant var det dummaste
han gjort.
Men 1998 kom observationer som visade att universums expansion accelererar. Detta är inte möjligt utan mörk materia. Hur dessa observationer gick till
kommer Sofia att berätta. Den mörka materien är obegripligt liten, men inte
noll.
Problem 2: Är universum krökt på stor skala (bortsett från
ojämnheter kring stjärnor och galaxer)?
1. Om den effektiva masstätheten är stor, så blir testgalaxens lägesenergi
stor och negativ. Om den överväger över rörelseenergin, så att summan av dess
rörelse- och lägesenergier är negativ, så kan inte ens ljus försvinna oändligt långt
bort; det måste komma tillbaka igen. Universum är då krökt och ändligt som
jordytan.
2. Om rörelseenergin i stället överväger, och den totala energin är positiv,
blir universum krökt som en sadelyta (och oändligt stort).
3. Om totalenergin är precis noll, blir universum “plant”, och därmed också
oändligt stort.
Man brukar ange resultatet av olika observationer, med hjälp av den täthet
(kallad ρkritisk ) för vilken villkoret i fall 3 är uppfyllt, samt den skalade storheten
Ω = ρ/ρkritisk . Ω = 1 innebär alltså ett plant universum, och om det gäller i
dag gäller det också vid alla andra tider. Sofia kommer att berätta hur det varit
möjligt att bestämma de olika bidragen till Ω från “vanlig” materia, från mörk
materia och från mörk energi (ofta kallad ΩΛ ). (Bidraget från strålningen är i
dag försumbart.)
Resultatet av dessa observationerna är att universum är plant, och utvidgas,
som nämnt ovan, med accelererande hastighet. Energin i universum dominerades
2
Figur 1: Universums expansion
av strålning fram till ca. 300.000 år efter BB, sedan av (vanlig och mörk) materia
till omkring halva dess nuvarande ålder, och därefter av mörk energi.
3
Figur 2: Bestämningar av mängden materia och mörk energi i universum, i
förhållande till den kritiska tätheten.
4
