Differentialekvationer: Homogena, linjära, av ordning 2, med

Differentialekvationer:
Homogena, linjära, av ordning 2,
med konstanta koefficienter
Differentialekvationer på formen
y 00 + a y 0 + b y = 0
löses genom att finna rötterna till den karakteristiska ekvationen
r2 + a r + b = 0.
• Om det finns reella rötter r1 6= r2 så är
lösningen
y = A er1 x + B er2 x.
• En dubbelrot r = r1 = r2 ger
y = (A x + B) er x.
• Komplexa rötter r = α ± i β ger
y = eα x(A cos βx + B sin βx).
Sats 1
Om yp är någon lösning
kulärlösning) till ekvationen
(en
y 00 + a y 0 + b y = f (x)
parti-
(1)
och yh är den allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation
y 00 + a y 0 + b y = 0
så är
y = yh + yp
den allmänna lösningen till (1).
Lösning av differentialekvationer
på formen
y 00 + a y 0 + b y = f (x)
(*)
Fall 1 f (x) polynom av grad n. Om b 6= 0,
ansätt yp som ett godtyckligt polynom
av grad n.
Om b = 0, ansätt ett polynom av gradtal
n + 1, utan konstant koefficient.
Fall 2 f (x) = Q(x) ec x, Q(x) polynom av
grad n. Ansätt yp = z ec x, sätt in i (*),
dividera bort ec x och använd Fall 1 för
att finna z.
Lösning av differentialekvationer
på formen
y 00 + a y 0 + b y = f (x)
Fall 3 f1(x) = P (x) eαx cos βx,
eller f2(x) = P (x) eαx sin βx,
där P (x) är ett polynom.
Låt f (x) = P (x) e(α+i β)x
Då är f1(x) = Re f (x)
och f2(x) = Im f (x).
Lös
u00 + a u0 + b u = f (x)
enligt Fall 2. Då är
yp = Re up lösning till (1),
yp = Im up lösning till (2).
Fall 4 f (x) = f1(x) + f2(x)
Låt y1 lösa
y 00 + a y 0 + b y = f1,
och y2 lösa
y 00 + a y 0 + b y = f2,
Då
har
vi
partikulärlösning
y p = y1 + y2 ,
(*)
(1)
(2)
Linjära differentialekvationer
av högre ordning
Sats 2
Varje linjär homogen differentialekvation
av ordning n har n st. linjärt oberoende
lösningar.
Om y1, y2,. . . , yn är n st. linjärt oberoende lösningar så kan varje lösning till
ekvationen skrivas som
y = A1 y1 + A2 y2 + · · · + An yn.
där A1, A2,. . . , An är konstanter.
Differentialekvationer: Homogena,
linjära, med konstanta koefficienter
Differentialekvation
y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0
karakteristiska ekvation
r n + an−1 r n−1 + · · · + a1 r + a0 = 0.
Låt r0 vara en rot.
• r0 reell med multiplicitet 1 ger
lösningen: er0 x
• r0 reell med multiplicitet m0 ger
er0 x, x er0 x,. . . , xm0−1er0 x
• r0 = α ± i β med multiplicitet 1 ger
eαx cos βx, eαx sin βx
• r0 = α ± i β med multiplicitet m0 ger
eαx cos βx, x eαx cos βx,..., xm0−1eαx cos βx
eαx sin βx, x eαx sin βx,..., xm0−1eαx sin βx
Sammantaget får vi n st. linj. ober. lösningar
som sätts samman enligt Sats 2.