(Differentialekvationer II, vt11: F4, fr 21 januari)
Vi repeterade lösningen av (homogena) linjära ODE med konstanta koefficienter, se ZV4.3 eller tidigare kurser. För en n:e ordningens ekvation är den
allmänna lösningen
y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x),
där c1 , c2 , . . . är godtyckliga konstanter, entydigt bestämda av y(x).
y1 (x), y2 (x), . . . är lösningar som kan bestämmas med hjälp av den karakteristiska ekvationen.
Linjära system av första ordningens ODE (ZC8.1)
Sats: (Global och entydig lösbarhet för linjära system)
Låt A(t) och f (t) vara kontinuerliga funktioner av t i intervallet I och t0 ∈ I.
n×n
n×1
n
Då har för alla x0 ∈ Rn (eller
( C ) begynnelsevärdesproblemet
0
x = A(t)x + f (t)
x(t0 ) = x0
en entydig lösning x(t) i hela intervallet I.
Superpositionsprincipen för homogena linjära system:
Om X = (x1 x2 . . . xk ), där xi :na alla uppfyller x 0 = A(t)x (så X 0 = A(t)X),
n×k
så gör x = Xc = c1 x1 + · · · + ck xk också det, för varje konstant c .
k×1
Sats: Om X = (x1 x2 . . . xn ), där
n×n
x 0i
0
= A(t)xi (dvs X = A(t)X) och A(t)
är kontinuerlig i I, är wronskideterminanten W (x1 , . . . , xn )(t) = det X(t)
antingen = 0 för alla t ∈ I eller 6= 0 för alla t ∈ I. {x1 (t), . . . , xn (t)} är
alltså linjärt oberoende för alla t ∈ I om den är det för något t ∈ I.
Om W (x1 , . . . , xn )(t) 6= 0 kallas {x1 , . . . , xn } en fundamentalmängd lösningar
och Φ(t) = (x1 . . . xn ) en fundamentalmatris för den homogena
ekvationen.
(
0
Φ = A(t)Φ
Φ(t) är en fundamentalmatris för ekvationen precis om
det Φ(t0 ) 6= 0
n×n
Sats: Om A(t) är kontinuerlig i I, finns ett sådant Φ i I.
Den allmänna lösningen till ekvationen x 0 = A(t)x + f (t) är då xp + Φ(t)c,
xp en (”partikulär–”)lösning, c godtycklig konstant.
n×1
Om f (t) ≡ 0 (dvs ekvationen homogen) kan man ta xp (t) ≡ 0.
Speciellt för n:e ordningens linjära ODE, (ZC4.1):
En linjär ODE skrivs L(y) = 0 (homogen ekvation) eller L(y) = g(x) (inhomogen), med differentialoperatorn L = an (x)D n +. . .+a1 (x)D+a0 (x).
Sats: (Global och entydig lösbarhet för linjära ODE)
Om an (x), . . . , a1 (x), a0 (x), g(x) är definierade och kontinuerliga i ett intervall I och an (x) 6= 0 för alla x ∈ I har begynnelsevärdesproblemet
(
L(y) = g(x)
x ∈ I och
för 0
0
(n−1)
y0 , . . . , yn−1 ∈ R (eller C)
y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y
(x0 ) = yn−1
en entydig lösning y(x) i hela intervallet I.
Superpositionsprincipen (för linjära, homogena ODE):
Om y1 , y2 , . . . , yk uppfyller L(y) = 0, så gör y = c1 y1 + · · · + ck yk också det.
Wronskideterminanten av funktionerna f1 , . . . , fn :
f1
f2
...
fn f0
0
f
...
fn0
1
2
..
.. W (f1 , . . . , fn )(x) = ..
.
.
.
(n−1)
(n−1)
(n−1) f1
f2
... fn
Då gäller f1 , . . . , fn linjärt beroende ⇒ W (f1 , . . . , fn )(x) = 0, alla x ∈ I.
Sats: Om y1 , . . . , yn är lösningar till L(y) = 0 i I gäller
y1 , . . . , yn är linjärt oberoende ⇔ W (y1 , . . . , yn )(x) 6= 0, alla x ∈ I,
y1 , . . . , yn är linjärt beroende ⇔ W (y1 , . . . , yn )(x) = 0, alla x ∈ I.
En fundamentalmängd lösningar till L(y) = 0 är en mängd {y1 , y2 , . . . , yn }
av n stycken linjärt oberoende lösningar.
Sats: L(y) = 0 har en fundamentalmängd lösningar (om ai (x) uppfyller
samma villkor som i existens- och entydighetssatsen).
Sats: Om {y1 , . . . , yn } är en fundamentalmängd lösningar till L(y) = 0, kan
varje lösning skrivas y = c1 y1 + . . . + cn yn (allmänna lösningen).
Fundamentalmängden är alltså en bas för lösningarna.
I motsats till fallet med konstanta koefficienter finns inget enkelt sätt att finna
en fundamentalmängd lösningar.
Sats: Allmänna lösningen till L(y) = g är y = yh + yp , där
yh är allmänna lösningen till den homogena ekvationen L(y) = 0 och
yp är en lösning till L(y) = g (en ”partikulärlösning”).
Sats: Om L(ypi ) = gi och yp = c1 yp1 +. . .+ck ypk så är L(yp ) = c1 g1 +. . .+ck gk .
