Exempel: Linjärkombination Givet vektorerna " −1 1 v1 = # " och v2 = # 2 1 så illustreras linjärkombinationerna y = x1 v 1 + x 2 v 2 för skiftande värden på x1 och x2 av 3v + v — 2 2 1 3v1 w 3v2 2v2 2v1 u v1 v2 0 v1 — v2 —v2 — 2v1 + v2 —v1 — 2v2 — 2v1 Bestäm värden på x1 och x2 så att " | −7/2 2 # {z =w } " = x1 −1 1 # | {z } =v 1 " + x2 2 1 # | {z } =v 2 Vektorekvationer Vektorekvationen x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b som talar om vilka linjärkombinationer av a1, a2, . . . , an som ger vektorn b, har samma lösningar som ekvationssystemet vars utökade matris är a1 a2 . . . an b . Speciellt gäller att b endast kan bildas av linjärkombinationen om ekvationssystemet är lösbart. Linjära höljet Definition Om v 1, v 2, . . . , v p alla tillhör Rn, så benämns mängden av alla linjärkombinationer av v 1, v 2, . . . , v p för det linjära höljet av vektorerna v 1, v 2, . . . , v p med beteckning Span{v 1, v 2, . . . , v p}. Dvs det linjära höljet är alla vektorer som kan skrivas på formen c1 v 1 + c2 v 2 + · · · + c p v p . Observera att 0 alltid ingår i det linjära höljet. Exempel Linjära höljet av två vektorer i R3, dvs Span(u, v): x3 5u 3u u v 2v 3v x1 x2 Matris-vektor-multiplikation Om A är en m × n-matris (dvs m rader och n kolonner), med kolonner a1, a2, . . . , an, dvs A= h a1 a2 . . . an i och x ∈ Rn är vektorn x= x1 x2 ... xn så definierar vi produkten Ax enligt: x 1 x Ax = a1 a2 . . . an ..2 . xn = x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xn a n dvs som en linjärkombination av kolonnerna i A med elementen i x som vikter. Matrisekvationen Ax = b Sats 3: Matrisekvationen Ax = b har samma lösningar som vektorekvationen x 1 a 1 + x2 a 2 + · · · + x n a n = b och därmed också samma lösningar som det linjära ekvationssystem som har utökad matris a1 a2 . . . an b Sats 4: Existens av lösning Låt A vara en m × n-matris. Då är de följande påståendena ekvivalenta, dvs om ett är sant så är alla sanna 1. Ekvationen Ax = b har lösning för alla högerled b ∈ Rm 2. Det linjära höljet av kolonnerna i A är lika med mängen av alla vektorer av den dimensionen, dvs om A = [ a1 a2 . . . an ] så är Span{a1, a2, . . . , an} = Rm 3. A har en pivåposition på varje rad. Sats 5: Räkneregler för Ax Om A är en m × n-matris, u, v ∈ Rn och c ∈ R, då gäller 1. A(u + v) = Au + Av 2. A(c u) = c(Au) Homogena ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem är homogent om högerledet endast består av nollor, dvs A x = 0. Exempel: 2 −4 −3 x1 0 4 −6 −5 x2 = 0 −2 0 1 x3 0 vilket är samma som 2x1 − 4x2 − 3x3 = 0 4x1 − 6x2 − 5x3 = 0 −2x + x3 = 0 1 Homogena ekvationssystem har alltid den triviala lösningen x = 0. Icke-triviala lösningar existerar om och endast om det finns fria variabler. Inhomogena ekvationssystem Sats 6: Lösningsmängd Om A x = b är ett lösbart ekvationssystem, och xp är en lösning, så ges alla lösningar av x = xp + xh, där xh är alla lösningar till det homogena ekvationssystemet A x = 0.