Kap 4 - Statistik 1 GENOMGÅNG 4.1 Statistik ”Lögner, Förbannade Lögner och Statistik.” Ursprunget till denna ramsa sägs vara hämtat från premiärminister Benjamin Disraeli och som sedermera Mark Twain populariserade. Benjamin Disraeli föddes den 21 december 1804 och dog den 19 april 1881 - brittisk politiker och författare. Mark Twain föddes den 30 november 1835 och dog den 21 april 1910 psuedonym för Samuel Clemens, amerikansk författare och humorist. SAMMANSTÄLLNING OCH PRESENTATION AV MÄTADATA 32 SAMMANSTÄLLNING OCH PRESENTATION AV MÄTADATA SAMMANSTÄLLNING OCH PRESENTATION AV MÄTADATA Varifrån kommer talet 32? 0,38 360 137 (12/32)×360 = 135 GENOMGÅNG 4.2 LÄGESMÅTT › Typvärde › Medelvärde › Median Typvärde Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger. Medelvärde Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden. 2589478 M 6,1 7 På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286… MEDIAN Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen 1, 7, 9, 10 och 17 är 9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal tal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten. MEDIAN Följande värden är givna: 6 7 7 18 0 2 12 4 2 Bestäm medianen 4 2 0 2 Svar: Medianen till dessa tal är 6 6 7 7 12 18 MEDIAN Följande värden är givna: 7 7 0 18 4 2 12 2 Bestäm medianen 4 2 0 2 27 4,5 2 Svar: Medianen till dessa tal är 4,5 4,5 ? 7 7 12 18 SPRIDNINGSMÅTT › Variationsbredd › Lådagram (kvartiler, kvartilavstånd) › Standardavvikelse Variationsbredd Variationsbredd är: ”Det största värdet minus det minsta värdet.” Exempel: Värden: 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39. Variationsbredd: 39 – 10 = 29 Lådagram Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i form av en låda, som rymmer den mittersta hälften av materialet. 25% Högsta värde 25% Median Nedre kvartil Lägsta värde 25% Övre kvartil 25% Q3 Q1 Lådagram – ett exempel Exempel på ett lådagram, som visar åldern på tolv personer som är 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39 år gamla: Q1 = 15, Q2 = 19 (median) & Q3 = 22 Lådagram – ett exempel Dilbar Keram, 2014-12-16 BERÄKNING Du har följande talmängd? 12, 19, 22, 17 & 14 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Beräkna medelvärdet Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet Kvadrera alla svar i (2) Summera alla svar i (3) Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden Dra roten ur… 3,962322551… c:a 4,0 Vad har vi gjort? MARKÖR HÄR! STANDARDAVVIKELSE Du har följande talmängd? 12, 19, 22, 17 & 14 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Beräkna medelvärdet Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet Kvadrera alla svar i (2) Summera alla svar i (3) Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden Dra roten ur… 3,962322551… c:a 4,0 Vad har vi gjort? STANDARDAVVIKELSE Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p x 78 78 68 35 80 74 21 62 Medelvärde 7 På räknaren: (78+78+68+35+80+74+21)/7 = 62 78-62 = 78-62 = 68-62 = 35-62 = 80-62 = 74-62 = 21-62 = 16 16 6 -27 18 12 -41 (16)² = 256 (16)² = 256 (6)² = 36 (-27)² = 729 (18)² = 324 (12)² = 144 (-41)² = 1681 256+256+36+729+324+144+1681 = 3426 3426/(7-1) = 571 571 23,9 23,9 STANDARDAVVIKELSE GENOMGÅNG 4.3 NORMALFÖRDELNING NORMALFÖRDELNING Ibland ser man grekinskans ”lilla sigma” σ i stället för s som symbol för Standardavvikelse. NORMALFÖRDELNING NORMALFÖRDELNING Normalfördelning Normalfördelningen är inom matematiken den absolut viktigaste fördelningen. En normalfördelad variabel antar ofta värden som ligger nära medelvärdet och mycket sällan värden som har stor avvikelse. Därför ser normalfördelningen ut som en kulle eller en klocka och internationellt används ofta beteckningen bell curve. Normalfördelning μ = medelvärde, σ = standardavvikelse Normalfördelning Vårt gamla betygssystem byggde på normalfördelning MODELLERING MODELLERING MODELLERING – ETT EXEMPEL y 7 6 5 4 3 2 1 x -2 -1 1 -1 -2 2 3 4 5 6 7 MODELLERING – ETT EXEMPEL y 7 6 5 4 3 2 1 x -2 -1 1 -1 -2 2 3 4 5 6 7 MODELLERING – ETT EXEMPEL y 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 Vi tar hjälp av Räknaren med denna uppgift. 6 5 4 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 LineReg med TI-30X Pro Tryck [data] Under L1 mata in: 1, 3, 6, 8, 11 Under L2 mata in: 4, 7, 11, 17, 21 Tryck [2nd] + [quit] Tryck [2nd] + [data] + [4] Tryck [enter] 5 ggr Nu skall det stå: a=1,75159… och b=1,840764… Det betyder att vi har fått linjen Y = 1,75x + 1,84 (k 1,76 & m 1,84) LineReg med TI-30X Pro L1 (x) L2 (y) 1 4 3 7 6 11 8 17 11 21 MODELLERING – ETT EXEMPEL y y x 1 7 6 5 4 3 2 Vad säger räknaren? 1 x -2 -1 1 -1 -2 2 3 4 5 6 7 Matteboken.se Statistik