MA1202 * UPPGIFT 1

INFÖR NATIONELLA PROV
MATMAT02b
Version 1
Inför Nationella provet MATMAT02b
Vilken area har rektangeln?
(a + b)(a - b) = a 2 - b2
(
5+
)(
3 5-
)
3 = 52 - ( 3)2 = 25 - 3 = 22
Inför Nationella provet MATMAT02b
Vilken lösning har dessa ekvationer?
x  2x 1  0
2
x  2x 1  1
2
x  2x 1  4
2
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
NpMa2b Muntlig del vt 2012
Är svaret mer eller mindre än 6 h?
>>> Gå till nästa bild för att utföra beräkning. >>>
NpMa2b Muntlig del vt 2012
Efter hur lång tid är temperaturen 55°C?
MATMAT02b – UPPGIFT 0
Förenkla så långt som möjligt
bbbbb
bb

5b
2b

5
2
 2,5
MATMAT02b – UPPGIFT 1
MATMAT02b – UPPGIFT 1
MATMAT02b – UPPGIFT 2
 3x  42

3
3
MATMAT02b – UPPGIFT 2
 3x  42

3
3
MARKÖR
HÄR!
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 3
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 4
MATMAT02b – UPPGIFT 5
Andra kvadreringsregeln:
2
2
(a  b)  a  2ab  b
2
MATMAT02b – UPPGIFT 6
1
y  4x  5
(1,1)
4
MATMAT02b – UPPGIFT 6
3  42  m
3  8 m
m  38
m  5
y  4x  5
Sätt t.ex. in x = 3
Det ger y = 7
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 7
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 8
(Transversalsatsen)
MATMAT02b – UPPGIFT 8
MATMAT02b – UPPGIFT 9
RÄTT!
3x  6
x2
Vid multiplikation och division med negativt tal (ex. -2) måste man
vända på olikhetstecknet
MATMAT02b – UPPGIFT 10
144  104  x
144 - 104 = x
x = 40
MATMAT02b – UPPGIFT 10
z  x y
YTTERVINKELSATSEN
MATMAT02b – UPPGIFT 10
v
z  v  180
x  y  v  180
z  x y
YTTERVINKELSATSEN
MATMAT02b – UPPGIFT 11
MATMAT02b – UPPGIFT 11
m=3
k = -2
y = -2x + 3
Hur ser man att k = -2 ?
MATMAT02b – UPPGIFT 12
1
y  3x  4
3
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 12
MATMAT02b – UPPGIFT 13
MATMAT02b – UPPGIFT 13
2
y  x6
3
y  6
y  x  4
MATMAT02b – UPPGIFT 14
MATMAT02b – UPPGIFT 15
VAD HETER DENNA LINJE?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 15
VILKET FÖRHÅLLANDE RÅDER MELLAN Y OCH X?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 15
HUR BEROR Y AV X?
y  3x  4
-4
MATMAT02b – UPPGIFT 16
a4
MATMAT02b – UPPGIFT 17
70°
20°
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
20°
MATMAT02b – UPPGIFT 17
60°
70°
Vinkeln A = 70°
Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°
Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°
50°
MATMAT02b – UPPGIFT 18
24
OBS!
MATMAT02b – UPPGIFT 18
Hur mycket är y?
Punktens koordinater är 10,7;21,4
MATMAT02b – UPPGIFT 19
MATMAT02b – UPPGIFT 20
MATMAT02b – UPPGIFT 21
y  2 x  3
y  2  (4)  3
y  83
y  11
MATMAT02b – UPPGIFT 22
p
180  v
v
 90 
2
2
v
x
2
v
2  x2
2
p  90  x
v  2x
MÅSTE VARA SAMMA TAL
MATMAT02b – UPPGIFT 22
Alternativ lösning
 180  v 
x  90  
  180
 2 
 180  v 
x  90  
  180  0
 2 
v
x  90  180  90   0
2
x
v
0
2
v
x
2
v
2 x  2
2
2x  v v.s.v
Glenys Minier, 2014-05-06
MATMAT02b – UPPGIFT 23
KVADRERINGSREGLERNA
(a  b)  a  2ab  b
2
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 23
KVADRERINGSREGLERNA
(a  b)  a  2ab  b
2
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 24
KONJUGATREGELN
(a  b)( a  b)  a  b
2
2
MATMAT02b – UPPGIFT 25
MATMAT02b – UPPGIFT 25
ETTA - ETTA
1 1 1
 
6 6 36
TVÅA - ETTA
1 1 1
 
6 6 36
ETTA - TVÅA
1 1 1
 
6 6 36
1
a)
12
b ) 11 (1)  11 1 (10)  1  9
jämför
3
1

36 12
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
a) Den ena sidan är x cm. Skriv ett uttryck för den andra sidan.
•Hela omkretsen är 48 cm.
•Halva omkretsen är 24 cm.
•Om ena sidan är x cm, så är den andra sidan…
•… (24 – x) cm
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
b) Skriv ett uttryck för arean y cm².
y  x  (24  x)
y  24 x  x
2
Sidan × sidan
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
c) För vilka värden på x är y = 0?
24 x  x  0
2
x(24  x)  0
x1  0
x2  24
”Nollproduktmetoden”
d) För vilket värde på x är y störst?
x  12
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
e) Vilken är den största arean?
y  24 x  x
24 12  12  288  144  144
2
Största arean är 144 cm²
2
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
f) Vilka värden på x är möjliga?
0  x  24
MATMAT02b – UPPGIFT 26
(24 – x)
En tråd som är 48 cm böjs till en
rektangel.
y  24 x  x 2
ymax  144
12
x1  0
6
xsym  12
x2  24
MATMAT02b – UPPGIFT 27
VAD HETER DENNA LINJE?
MATMAT02b – UPPGIFT 28
VAD HETER DENNA LINJE?
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Bok 3bc, sidan 132
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
y  500001,02
y  50000 1,22
y  61000
10
Svar:
Om 10 år är folkmängden 61 000.
EXPONENTIALFUNKTIONER
f ( x)  C  a
x
C är ”startvärde”
a är förändringsfaktor
x kan exempelvis vara tid i år
Fråga:
En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas
minska med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?
Lösning:
Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:
y  50000 0,98
y  50000  0,8170...
y  40853,6403444...
10
Svar:
Om 10 år är folkmängden c:a 41 000.
Exponentialfunktioner
C0a,7
f ( x)  5
xx
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
f ( x)  1C1 ,a2
xx
Vad vet vi om C?
Vad vet vi om a?
Exponentialfunktioner
f ( x)  1,2
x
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y  2x  5
y  2x
72
VINKELRÄTA LINJER
y  2x 1
1
y   x 1
2
1
2  ( )  1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
73
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD
Svar:
MENAS
x = -1,
MED
y = EN
0 LÖSNING?
•
Y=-x-1
74
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
 y  2x  2

y  x 1
•
 x  1

y  0
Y=-x-1
75
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
 y  2x  2

y  x 1
 x  1

y  0
Om lösningen stämmer i
båda ekvationerna så är
lösningen exakt.
Vi testar om lösningen är exakt:
Första ekvationen
2  ( 1)  2  0
Andra ekvationen
 ( 1)  1  0
Det stämmer! Hurra!
76
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=2x-3
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
77
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=2x+6
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
78
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y
f(x)=x-7
9
f(x)=-x+3
8
7
6
5
4
3
2
1
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
79
Logaritmer
Logaritmer
10  7
x
”x är 10-logaritmen för 7”
8 5
x
”x är 8-logaritmen för 5”
Logaritmer
10 77
lg
x7
lg 7  0,845
10
0 ,845
Enligt räknaren…
7
Logaritmer
(1) lg
3  4  lg3  lg 4
(1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]
(2)
lg( 4 / 3)  lg 4  lg 3
(2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]
(3)
lg 34  4  lg 3
(3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]
Logaritmlagar
Exempel:
 
lg 5  3  lg 5
3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
lg( 5  3)  lg 5  lg 3
TESTA!
Logaritmlagar
Exempel:
5
lg    lg 5  lg 3
3
TESTA!
Logaritmer med olika baser
3  81
4
4  log 3 81
4 är 3-logaritmen för 81
4 är den exponent till 3 som ger 81
4 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81
Logariter – ett exempel
7  17
x
lg 7  lg 17
x  lg 7  lg17
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
x
Logaritmer – ett exempel
x  lg 7 lg17

lg 7
lg 7
lg17
x
lg 7
x  1, 45598364109...
På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109
Logaritmer – ett exempel
lg17
 17 
Är x 
och lg   samma sak?
lg 7
 7
Hur kan man kontrollera det?
Negativ exponent
Youtube - Negativ exponent
Negativ exponent
103 = 1000
10
1
 1 
= 0,1  1 
 10 
102 = 100
1
= 10
0
= 1
10
10
10
10
2
3
1 
 1
= 0,01  2 

 10 100 
1 
 1
= 0,001  3 

 10 1000 
Typvärde
Typvärde (kallas även modalvärde) i ett
statistiskt datamaterial det värde som
förekommer flest gånger.
Medelvärde
Ett medelvärde är ett värde som används för att
representera ett genomsnitt för en mängd
värden.
2589478
M 
 6,1
7
På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…
MEDIAN
Medianen är det tal i en mängd som
storleksmässigt ligger i mitten. Av talen
1, 7, 9, 10 och 17 är
9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För
mängder med ett jämnt antal tal definieras
medianen som medelvärdet av de två tal som
ligger i mitten.
MEDIAN
 Följande värden är givna:
6
7
7
18
4
2
0
2
12
Bestäm medianen
4
2
0
2
Svar: Medianen till dessa tal är 6
6
7
7
12
18
MEDIAN
 Följande värden är givna:
7
7
4
2
0
18
12
2
Bestäm medianen
4
2
0
2
27
 4,5
2
Svar: Medianen till dessa tal är 4,5
4,5
?
7
7
12
18
Variationsbredd
Variationsbredd är:
”Det största värdet minus det minsta värdet.”
Exempel:
Värden: 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30
och 39.
Variationsbredd: 39 – 10 = 29
Lådagram
Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett
diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i
form av en låda, som rymmer den mittersta
hälften av materialet.
Q
Q
3
1
25%
Högsta värde
25%
Median
Nedre kvartil
Lägsta värde
25%
Övre kvartil
25%
Lådagram – ett exempel
Exempel på ett lådagram, som visar åldern på
tolv personer som är 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20,
21, 21, 23, 30 och 39 år gamla:
Q1 = 15, Q2 = 19 (median) & Q3 = 22
Lådagram – ett exempel
Dilbar Keram, 2014-12-16
STANDARDAVVIKELSE
Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
x
78  78  68  35  80  74  21
 62 Medelvärde
7
På räknaren: (78+78+68+35+80+74+21)/7 = 62
78-62 =
78-62 =
68-62 =
35-62 =
80-62 =
74-62 =
21-62 =
16
16
6
-27
18
12
-41
(16)² = 256
(16)² = 256
(6)² = 36
(-27)² = 729
(18)² = 324
(12)² = 144
(-41)² = 1681
256+256+36+729+324+144+1681 = 3426
3426/(7-1) = 571
571  23,9
  23,9
STANDARDAVVIKELSE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Beräkna medelvärdet
Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet
Kvadrera alla svar i (2)
Summera alla svar i (3)
Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden
Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Från formelbladet:
STANDARDAVVIKELSE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Beräkna medelvärdet
Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet
Kvadrera alla svar i (2)
Summera alla svar i (3)
Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden
Dra roten ur…
Nu har du standardavvikelsen…
Vilken är standardavvikelsen till följande talmängd?
12, 19, 22, 17, 14, 23 & 20
4,059087395...  4,1
STANDARDAVVIKELSE
Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p
(78  62)2  (78  62) 2  (68  62) 2  (35  62) 2  (80  62) 2  (74  62) 2  (21  62)2

(7  1)
  23,9
( x1  x) 2  ( x2  x) 2  ( x3  x) 2  ...  ( xn  x) 2

n 1
n

 (x
k 1
k
 x) 2
n 1
I formelsamlingen ser standardavvikelsen ut så här
Normalfördelning
μ = medelvärde, σ = standardavvikelse
x = medelvärde, s = standardavvikelse
MODELLERING – ETT EXEMPEL
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7
MODELLERING – ETT EXEMPEL
y
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
-2
2
3
4
5
6
7