En introduktion till logik
Rasmus Blanck
[email protected]
FT1200, LC1510 och LGFI52
VT2017
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda
och bearbeta dessa ljusbilder.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Vad är logik?
Slogan: Logik undersöker vilka argument som är giltiga.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Professorn dricker kaffe eller te
Hon dricker inte te
Professorn dricker kaffe
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser inte
Det regnar
Dessa argument handlar om vitt skilda saker, men har samma form:
(Premiss 1) P eller Q
(Premiss 2) inte P
(Slutsats) Q
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Vad är ett giltigt argument?
Preliminär definition: Om premisserna är sanna så måste slutsatsen
vara sann.
Eller: Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser är
sanna, men där slutsatsen inte är sann.
Logik är studiet av giltiga argument, där giltigheten beror på
argumentents form, snarare än på dess innehåll.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Argumenten ovan är båda giltiga, och giltiga i kraft av sin form.
De har samma form, och vi gör detta tydligt genom att ersätta
påståendena med schematiska bokstäver.
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
P eller Q
inte P
Q
Om första premissen är sann så är (minst en av) P och Q sann, i
kraft av betydelsen hos eller. Om andra premissen är sann så är P
falsk, i kraft av betydelsen hos inte. Men då är Q sann, så
argumentet är giltigt.
Alla konkreta instanser av detta argument är alltså giltiga.
Notation: Premisser Slutsats.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Ogiltiga argument
(Premiss 1)
(Premiss 2)
(Slutsats)
Det regnar eller blåser
Det blåser eller haglar
Det regnar eller haglar
P eller Q
Q eller R
P eller R
Motexempel: “Det blåser” gör båda premisserna sanna, men har
ingen bäring på slutsatsen.
Alltså är argument av denna form ogiltiga—det finns fall där alla
premisser är sanna men där slutsatsen samtidigt är falsk.
Notation: Premisser 2 Slutsats.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Vår preliminära defintition av giltiga argument (eller relationen
logisk konsekvens, som den också kallas) är både en praktiskt och
teoretiskt användbar definition.
För att den skall fungera har vi dock tvingats göra vissa val, och
dessa val har även andra konsekvenser...
Bivalens: Vi har antagit att varje påstående har precis ett av två
sanningsvärden: sann eller falsk.
Sanningsfunktionalitet: De logiska konstanter vi använt är
sanningsfunktioner : sanningsvärdet hos en komplex sats bestäms
entydigt av sanningsvärdena hos delarna, och sättet på vilka de
satts samman.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Ex falso quodlibet (ur det falska vadsomhelst)
(Premiss 1) Det regnar
(Premiss 2) Det regnar inte
(Slutsats) Fiskar har päls
Enligt vår definition är detta ett giltigt argument! Dock är det
tämligen oanvändbart.
Kom ihåg: Det finns ingen möjlig situation där samtliga premisser
är sanna, men där slutsatsen inte är sann.
Eftersom det inte finns någon situation i vilken båda premisserna
är sanna samtidigt, så kan det inte heller finnas någon situation
där båda premisserna är sanna samtidigt som slutsatsen är falsk.
Alltså: giltigt!
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Monotonicitet: Om ett argument är giltigt så fortsätter det vara
giltigt även om vi lägger till ytterligare premisser.
Om det inte finns någon situation i vilken alla premisser är sanna
men slutsatsen falsk, så kan det inte heller finnas en situation där
dessa premisser plus ytterligare några premisser är sanna och
slutsatsen falsk.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Symbolisk logik
Negation
icke P
¬P
Disjunktion
P eller Q
(P ∨ Q)
Konjunktion
P och Q
(P ∧ Q)
Implikation
Om P så Q
(P → Q)
Parenteserna används för att göra mer komplexa satser entydigt
läsbara. Jfr användningen av parenteser i matematik.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Meningen av de logiska symbolerna ges genom att vi anger
sanningsvillkor för komplexa satser, i termer av sanningsvärden hos
delsatserna.
Dessa villkor kan sammanfattas i en sanningsvärdestabell:
ϕ ψ (ϕ ∧ ψ)
S S
S
S F
F
F S
F
F F
F
Varje rad beskriver en tilldelning av sanningsvärden till delsatserna.
(Eller olika situationer, eller möjliga världar.)
Notera att symbolen ∧ bara fångar en aspekt av meningen hos
“och”. Jfr “Vatten består av väte och syre”.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
ϕ
S
F
ϕ
S
S
F
F
¬ϕ
F
S
ϕ
S
S
F
F
ψ
S
F
S
F
ψ
S
F
S
F
(ϕ ∨ ψ)
S
S
S
F
(ϕ → ψ)
S
F
S
S
Rasmus Blanck
ϕ
S
S
F
F
ϕ
S
S
F
F
ψ
S
F
S
F
En introduktion till logik
ψ
S
F
S
F
(ϕ ∧ ψ)
S
F
F
F
(ϕ ↔ ψ)
S
F
F
S
P
S
S
F
F
Q
S
F
S
F
(P ∨ Q)
S
S
S
F
¬P
F
F
S
S
Q
S
F
S
F
Det finns ingen rad (sanningsvärdestilldelning, situation, möjlig
värld) där samtliga premisser är sanna, men där slutsatsen är falsk.
Alltså är argumentet giltigt: (P ∨ Q), ¬P Q
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
P
S
S
S
S
F
F
F
F
Q
S
S
F
F
S
S
F
F
R
S
F
S
F
S
F
S
F
(P ∨ Q)
S
S
S
S
S
S
F
F
(Q ∨ R)
S
S
S
F
S
S
S
F
(P ∨ R)
S
S
S
S
S
F
S
F
Rad 6 representerar ett motexempel – en möjlighet för slutsatsen
att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna.
Alltså är argumentet ogiltigt: (P ∨ Q), (Q ∨ R) 2 (P ∨ R)
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
P
S
S
S
S
F
F
F
F
Q
S
S
F
F
S
S
F
F
R
S
F
S
F
S
F
S
F
(P ∨ Q)
S
S
S
S
S
S
F
F
(Q ∨ R)
S
S
S
F
S
S
S
F
(P ∨ R)
S
S
S
S
S
F
S
F
Rad 6 representerar ett motexempel – en möjlighet för slutsatsen
att vara falsk samtidigt som samtliga premisser är sanna.
Alltså är argumentet ogiltigt: (P ∨ Q), (Q ∨ R) 2 (P ∨ R)
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
En annan typ av argument
(P ∧ Q)
(Q ∧ R)
(P ∧ R)
Från första premissen kan vi få ut informationen P. Från andra
premissen kan vi få ut R. Därför är vi berättigade att dra
slutsatsen P ∧ R.
Två sorters principer används här:
Principer för vad som berättigar hävdandet av ett påstående
av en viss form. (Introduktionsregler.)
Principer för att få ut information ur påståenden av en viss
form. (Eliminationsregler.)
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
Introduktions- och eliminationsregler för ∧:
ϕ
ψ
∧Intro
(ϕ ∧ ψ)
(ϕ ∧ ψ)
∧Elim1
ϕ
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
(ϕ ∧ ψ)
∧Elim2
ψ
(P ∧ Q)
∧Elim1
P
(P ∧ R)
(Q ∧ R)
∧Elim2
R
∧Intro
Notation: (P ∧ Q), (Q ∧ R) ` (P ∧ R)
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
De bevisregler som visats ovan är sunda, i den meningen att om
det som står ovanför strecket är sant, så är det som står under
strecket också sant.
Alltså kommer dessa regler aldrig att kunna ta oss från en sann
premiss till en falsk slutsats.
Vi skulle kunna hävda att detta argument är giltigt för att det är
konstruerat med hjälp av regler som är korrekta.
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
När vi formellt har definierat relationen logisk konsekvens: Γ ϕ
och relationen bevisbarhet: Γ ` ϕ är det naturligt att fråga sig hur
de förhåller sig till varandra.
I den bästa av världar har vi:
Sundhet: Om Γ ` ϕ så Γ ϕ, och
Fullständighet: Om Γ ϕ så Γ ` ϕ.
Det vill säga: vi hoppas på att den syntaktiska och den semantiska
analysen av giltighet sammanfaller!
Rasmus Blanck
En introduktion till logik
