Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
Kapitel 4.1
4101
Exempel som löses i boken.
4102
Triangelns vinkelsumma är 180º.
4103
a)
40º + 80º + x = 180º
x = 180º − 120º
x = 60º
a)
180º − 105º = 75º
(Sidovinklar)
75º + 80º + x = 180º
x = 180º − 155º
x = 25º
(Triangelns vinkelsumma)
b) 110º + 110º + 2x = 360º
2x = 360º − 220º
2x = 140º
x = 70º
4104
4107
x + 45º + 80º = 180º
x = 180º − 125º
x = 55º
b)
x + 35º + 90º = 180º
x = 180º − 125º
x = 55º
x + 100º + 70º + 110º = 360º
x = 360º − 280º
x = 80º
b) x + 58º + 87º + 75º = 360º
x = 360º − 220º
x = 140º
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
a) x + 3x + x + 15º = 180º
5x = 165º
x = 33º
b)
(Triangelns vinkelsumma)
180º − 76º = 104º
x + x + 4º + 2x – 22º + 104º
4x + 86º
4x
x
4108
(Fyrhörningens vinkelsumma)
Fyrhörningens vinkelsumma är 360º.
a)
4106
23º + 90º + x = 180º
x = 180º − 113º
x = 67º
Triangelns vinkelsumma är 180º.
a)
4105
b)
= 360º
= 360º
= 274º
= 68,5º
(Sidovinklar)
(Fyrhörningens vinkelsumma)
Ibland räcker det inte att ange vinkeln med bara en bokstav. När det finns möjlighet till
missförstånd skriver man vinkeln som ”den väg man går genom vinkeln”.
I figuren är vinkeln A samma sak som vinkeln DAB (eller BAD) ∧ A = ∧ DAB
Vi ser också att ∧ ADB = 69,3º och ∧ BDC = 106,5º − 69,3º
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
Vi bestämmer först ∧ A med hjälp av vinkelsumman i triangeln ADB. (
+ ADB)
A + 69,3º + 44,1º = 180º
A = 180º − 113,4º
A = 66,6º
∧ B kan bestämmas på samma sätt eller med hjälp av fyrhörningens vinkelsumma.
B + 66,6º + 106,5º + 114,3º
B + 287,4º
B
B
= 360º
(Fyrhörningens vinkelsumma)
= 360º
= 360º − 287,4º
= 72,6º
Svar: ∧ A är 66,6º och ∧ B är 72,6º
4109
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4110
Kontakta läraren.
4111
Kontakta läraren.
4112
Kontakta läraren.
4113
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4114
Exempel som löses i boken.
4115
Yttervinkelsatsen ger:
a)
4116
4118
b) x + 40º = 110º
x = 70º
Yttervinkelsatsen ger:
a)
4117
x = 45º + 85º
x = 130º
2x = 124º
x = 62º
b) x + 50º = 3x
2x = 50º
x = 25º
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
V = 8º + 90º
V = 98º
(Yttervinkelsatsen)
4119
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4120
Kontakta läraren.
4121
Kontakta läraren.
4122
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4123
Exempel som löses i boken.
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4124
Randvinkelsatsen ger:
a)
4125
2x = 102º
x = 51º
b)
x = 2 ⋅ 54 º
x = 108º
Randvinkelsatsen ger:
a)
2x = 60º
x = 30º
b)
4126
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4127
Kontakta läraren.
4128
Kontakta läraren.
4129
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4130
Kontakta läraren.
2x = 200º
x = 100º
Kapitel 4.2
4201
Exempel som löses i boken.
4202
Se facit. Om rektanglarna ska vara likformiga måste förhållandet mellan motsvarande
sidor vara lika. Rita första rektangeln. Gör sedan andra rektangelns sidor t ex 1,5 gånger
så långa som sidorna i första rektangeln.
4203
Vi jämför förhållandet mellan längden hos motsvarande sidor för de olika ramarna och
börjar med att jämföra de övriga ramarna med den första.
25
35
= 1, 25 och
= 1, 4
Ej likformiga
20
25
40
50
Ram 3 jämfört med ram 1:
= 2 och
=2
Likformiga
20
25
50
75
Ram 4 jämfört med ram 1:
= 2,5 och
=3
Ej likformiga
20
25
60
75
Ram 5 jämfört med ram 1:
= 3 och
=3
Likformiga
20
25
Ramarna 1, 3 och 5 är likformiga med varandra.
Är ramarna 2 och 4 likformiga? Nej, vi ser direkt av kvoterna ovan att de inte är det.
(Men vi kan förstås också kontrollera det på motsvarande sätt som ovan)
Ram 2 jämfört med ram 1:
Svar: Ramarna som är 20×25 cm, 40×50 cm och 60×75 cm är likformiga
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4204
x
16
=
0,8
4, 0
0,8 ⋅16
x=
4, 0
x = 3,2
Alternativt kan vi beräkna x genom att använda skala.
Ur figuren ser vi att 16,0 är 4 gånger så lång som 4,0.
Alltså måste x vara 4 gånger så lång som 0,8.
Om du använder ekvation – sätt alltid x i täljaren, så får
du enklare uträkningar.
Svar: x är 3,2 cm
4205
4206
x = 110º (Motsvarande vinklar)
y
20
=
6 15
6 ⋅ 20
y =
15
y =8
Svar: x är 110º och y är 8 cm
x
50
=
225
75
225 ⋅ 50
x =
75
x = 150
Svar: x är 150 cm
4207
x
32
=
12
18
12 ⋅ 32
x=
18
64
1
x=
= 21 ≈ 21
3
3
Svar: x är 21 cm
4208
x
25
=
18 30
18 ⋅ 25
x=
30
x = 15
y
25
=
21 30
21⋅ 25
y=
30
y = 17,5
Svar: x är 15 cm, y är 17,5 cm och z är 20 cm
4209
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4210
y 16
=
30 12
30 ⋅16
y=
12
z
16
=
25 12
25 ⋅16
z =
12
100
1
y = 40
z =
= 33 ≈ 33
3
3
Svar: y är 40 cm och z är 33 cm
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
z
25
=
24
30
24 ⋅ 25
z=
30
z = 20
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4211, 4212 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4213, 4214 Exempel som löses i boken.
4215
x
60
=
30 40
30 ⋅ 60
x=
40
x = 45
Svar: x är 45 cm och y är 30 cm
a)
y
60
=
20 40
20 ⋅ 60
y =
40
y = 30
y
20
x
15
=
=
12 15
24
20
12 ⋅ 20
24 ⋅15
y=
x=
15
20
y = 16
x = 18
Svar: y är 16 cm och x är 18 cm
b)
y 100
x
120
=
=
96 120
60
100
96 ⋅100
60 ⋅120
y=
x=
120
100
y = 80
x = 72
Svar: y är 80 cm och x är 72 cm
c)
y
x
21
21
=
=
40 28
36
28
40 ⋅ 21
36 ⋅ 21
x=
y=
28
28
x = 30
y = 27
Svar: x är 30 cm och y är 27 cm
d)
4216
4217
x
8
=
9 12
9 ⋅8
x=
12
x =6
Svar: x är 6 cm
a)
x
21
=
16 28
16 ⋅ 21
x =
28
x = 12
Svar: x är 12 cm
b)
Trianglarna är likformiga om två av vinklarna är lika stora
Vi beräknar först storleken på den tredje vinkeln i a) och jämför sedan de övriga
trianglarna med den.
a) Tredje vinkeln är 180º − 83º − 41º = 56º
Vinklarna är 83º, 41º och 56º
b) Likformig med a) eftersom två vinklar är lika
c) Tredje vinkeln är 180º − 57º − 83º = 40º
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Vinklarna är 83º, 40º och 57º
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
d) Likformig med a) eftersom två vinklar är lika
Svar: Trianglarna a), b) och d) är likformiga
4218
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4219
x
28
=
12 14
x = 12 ⋅ 2
x = 24
Svar: x är 24 cm
4220
x
44, 0
=
Titta på vinklarna för att se vilka sidor som motsvarar varandra
22, 0
20, 0
22, 0 ⋅ 44, 0
x=
20, 0
x = 48,4
Svar: x är 48,4 m
4221
Exempel som löses i boken.
4222
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4223
Kontakta läraren.
4224
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4225
Kontakta läraren.
4226
Kontakta läraren.
4227
Exempel som löses i boken.
4228
Vi utnyttjar transversalsatsen.
a)
4229
x
20
=
16 10
x = 16 ⋅ 2
x = 32
Svar: x är 32 cm
b)
z
18
=
10 12
z = 10 ⋅1,5
z = 15
Svar: z är 15 cm
Vi utnyttjar topptriangelsatsen. Trianglarna är likformiga.
a)
x
3, 0 + 6, 0
=
6, 0
8, 0
8, 0 ⋅ 9, 0
x=
6, 0
x = 12,0 Svar: x är 12,0 cm
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
b)
x
8, 0
=
4, 0 5, 0
4, 0 ⋅ 8, 0
x=
5, 0
x = 6,4 Svar: x är 6,4 cm
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4230
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4231
Kontakta läraren.
4232
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4233, 4234 Exempel som löses i boken.
4235
Vi har formeln c 2 = a 2 + b 2 där c är hypotenusan och a och b är kateter
a)
c 2 = 302 + 162 = 1156
b)
c = 1156 = 34
Svar: Hypotenusan är 34 m
4236
c 2 = 48,12 + 22,12 = 2802, 02
c = 2802, 02 ≈ 52,934
Svar: Hypotenusan är 52,9 m
Rektangelns andra sida är katet i en rätvinklig triangel
och vi använder Pythagoras sats:
a 2 + 162 = 342
a 2 = 342 − 162 = 900
a = 900 = 30
Svar: Andra sidan är 30 cm
4237
Vi undersöker om a 2 + b 2 = c 2 I så fall är triangeln rätvinklig.
a)
4238
a 2 + b 2 = 122 + 352 = 1369
c 2 = 37 2 = 1369
Svar: Triangeln är rätvinklig
b) a 2 + b 2 = 222 + 242 = 1060
c 2 = 342 = 1156
Svar: Triangeln är inte rätvinklig
c 2 = a 2 + b 2 där c är hypotenusan och a och b är kateter
a)
c 2 = 202 + 152 = 625
c)
c = 625 = 25
Svar: Hypotenusan är 25 m
b)
c 2 = 3,12 + 9, 7 2 = 103, 7
c = 208, 08 ≈ 14, 425
Svar: Hypotenusan är 14,4 m
d)
c = 103, 7 ≈ 10,183
Svar: Hypotenusan är 10,2 m
4239
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
c 2 = 10, 22 + 10, 22 = 208, 08
c 2 = 9, 07 2 + 13,112 = 254,137
c = 254,137 ≈ 15,9417
Svar: Hypotenusan är 15,94 m
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4240
4241
Om a 2 + b 2 = c 2 så är triangeln rätvinklig.
a)
a 2 + b 2 = 452 + 242 = 2601
c 2 = 512 = 2601
Svar: Triangeln är rätvinklig
c) a 2 + b 2 = 492 + 1682 = 30625
c 2 = 1752 = 30625
Svar: Triangeln är rätvinklig
b)
a 2 + b 2 = 552 + 1322 = 20449
c 2 = 1532 = 23409
Svar: Triangeln är inte rätvinklig
d) a 2 + b 2 = 1352 + 722 = 23409
c 2 = 1512 = 22801
Svar: Triangeln är inte rätvinklig
a)
x 2 + 27,32 = 30,52
b)
x = 30,52 − 27,32
x = 13,6
4242
x = 25,32 + 13, 22
x ≈ 28,5
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4243
Rita figur till ”lästal” även om det finns i
boken. Figuren gör det enklare att lösa
uppgiften och det är mindre risk att du
tänker ”krokigt”.
Vi sätter längden av halva basen
som x och använder Pythagoras
sats:
Lös hellre färre uppgifter, men gör dem
ordentligt.
x 2 + 6,32 = 15, 22
x 2 = 15, 22 − 6,32
Då halva basen är 13,833 m är hela basen
x = 15, 22 − 6,32
x ≈ 13,833
Spar siffrorna i miniräknaren!
4244
2 ⋅13,833 m = 27, 666 m ≈ 27,7 m
Svar: Basen är 27,7 m
Halva basen är 1,1 m. Pythagoras sats ger:
2,4 m
1,12 + h 2 = 2, 42
h
h
2,2 m
4245
x 2 = 25,32 + 13, 22
h = 2, 42 − 1,12
h ≈ 2,133
Svar: Höjden är 2,1 m
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4246
x cm
40 cm
Vi beräknar längden på diagonalen med Pythagoras
sats:
56 cm
x 2 = 402 + 562
x = 402 + 562
x ≈ 68,82 Spar siffrorna i miniräknaren!
68,82
tum ≈ 27, 094 tum ≈ 27 tum
2,54
Svar: TV-apparaten har storleken 27 tum
Diagonalen är 68,82 cm =
4247
Kontakta läraren.
4248
Kontakta läraren.
4249, 4350 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4251
Exempel som löses i boken.
4252
Pythagoras sats ger:
2
a) x 2 + 302 = ( x + 18 ) kvadreringsregeln b)
Svar: Sidan x är 16 m
Pythagoras sats ger:
2
602 + ( x − 50 ) = x 2
a)
3600 + x 2 − 100 x + 2500 = x 2
−100 x = −6100
x = 61
Svar: Sidan x är 61 m
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
2
x 2 + x 2 − 14 x + 49 = 9409 allt till vänster
2x 2 – 14x – 9360 = 0 dela med 2
x 2 – 7x – 4680 = 0 använd formeln
7
49
x = ±
+ 4680
2
4
7 137
x = ±
2 2
x1 = 72 ( x2 = – 65)
Svar: Sidan x är 72 cm
x 2 + 900 = x 2 + 36x + 324 minus x 2
36x = 900 – 324
x = 16
4253
x 2 + ( x − 7 ) = 97 2
b)
x 2 + ( x − 41) = 852
2
x 2 + x 2 − 82 x + 1681 = 7225
2x 2 – 82x – 5544 = 0
x 2 – 41x – 2772 = 0
41
1681
x=
±
+ 2772
2
4
41 113
±
x=
2
2
x1 = 77 ( x2 = – 36)
Svar: Sidan x är 77 cm
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4254, 4255 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
Kapitel 4.3
4301
Exempel som löses i boken. Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4302, 4303 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4304
Kontakta läraren.
4305, 4306, 4307, 4308 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4309
Kontakta läraren.
4310
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4311, 4312 Exempel som löses i boken.
4313, 4314 Se lösningsförslag i facit.
4315
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4316, 4317 Se lösningsförslag i facit.
4318
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4319
Se lösningsförslag i facit.
4320
Kontakta läraren.
4321
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
Kapitel 4.4
4401
Exempel som löses i boken.
4402
Avståndet d =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2
2
a) Avståndet mellan (2, 3) och (10, 9) =
(10 − 2 ) + ( 9 − 3)
2
2
= 82 + 6 2 =
64 + 36 = 100 = 10
Det spelar matematiskt sett ingen
roll vilken av punkterna du kallar 1
och vilken du kallar 2, men i fråga
om grafer brukar det kännas logiskt
att tänka från vänster till höger.
b) Avståndet mellan (2, −7 ) och (7, 5) =
( 7 − 2 ) + ( 5 − ( −7 ) )
2
2
= 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 13
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
c) Avståndet mellan ( −2 , 0) och (1, 4) =
(1 − ( −2 ) ) + ( 4 − 0 )
2
2
= 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
d) Avståndet mellan ( −10 , −20 ) och ( −2 , −5 ) =
( −2 − ( −10 ) ) + ( −5 − ( −20 ) )
2
4403
2
=
( −2 + 10 ) + ( −5 + 20 )
2
2
= 82 + 152 = 289 = 17
Vi beräknar längden av alla fyra sidorna:
AB =
BC =
CD =
DA =
( 6 − ( −1) ) + ( 5 − 3) = 7 + 2 = 49 + 4 = 53
( −1 − ( −3) ) + ( 3 − ( −4 ) ) = 2 + 7 = 4 + 49 =
( 4 − ( −3) ) + ( −2 − ( −4 ) ) = 7 + 2 = 49 + 4 =
( 6 − 4 ) + ( 5 − ( −2 ) ) = 2 + 7 = 4 + 49 = 53
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
53
2
2
2
53
2
2
Svar: Alla sidor är lika långa. Figuren är en romb, VSB
4404
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4405
Kontakta läraren.
4406
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4407
Kontakta läraren.
4408
Kontakta läraren.
4409
Exempel som löses i boken.
4410
x-koordinaten för mittpunkten är enligt mittpunktsformeln: xm = ( x1 + x2 ) / 2
y-koordinaten för mittpunkten är enligt mittpunktsformeln: ym = ( y1 + y2 ) / 2
a) xm = ( 2 + 7 ) / 2 = 4,5
ym = ( 3 + 15 ) / 2 = 9
Svar: Mittpunkten har koordinaterna (4,5; 9)
b) xm = (1 + 6 ) / 2 = 3,5
ym = ( −6 + 6 ) / 2 = 0
Svar: Mittpunkten har koordinaterna (3,5; 0)
c) xm = ( −1 + 2 ) / 2 = 0,5
ym = ( 0 + 4 ) / 2 = 2
Svar: Mittpunkten har koordinaterna (0,5; 2)
d) xm = ( −5 + 7 ) / 2 = 1
ym = ( −2 + 8 ) / 2 = 3
Svar: Mittpunkten har koordinaterna (1, 3)
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 4
4411
Se lösningsförslag i facit.
4412
Vi bestämmer först koordinaterna för mittpunkten på sträckan ( − 3, 2) och (11, 14)
och sedan koordinaterna för mittpunkten på varje halva.
För hela sträckan är xm = ( −3 + 11) / 2 = 4 och ym = ( 2 + 14 ) / 2 = 8
Mitt emellan ( − 3, 2) och (4, 8) är xm = ( −3 + 4 ) / 2 = 0,5 och ym = ( 2 + 8 ) / 2 = 5
Mitt emellan (4, 8) och (11,14) är xm = ( 4 + 11) / 2 = 7,5 och ym = ( 8 + 14 ) / 2 = 11
Svar: Delningspunkterna har koordinaterna (0,5; 5), (4, 8) och (7,5; 11)
4413
Kontakta läraren.
4414
Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.
4415
Kontakta läraren.
© NATIONELLT CENTRUM FÖR FLEXIBELT LÄRANDE, 2003
