Föreläsning IV

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Föreläsning IV
Mikael P. Sundqvist
FÖRELÄSNING IV
Reella talkroppen, (ℝ, +, ⋅)
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
⋆ Slutenhet under addition och multiplikation: För alla a ∈ ℝ, b ∈ ℝ gäller
a + b ∈ ℝ och a ⋅ b ∈ ℝ.
⋆ Associativitet: För alla a , b , c i ℝ gäller a + (b + c) = (a + b) + c och
a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c .
⋆ Kommutativitet: För alla a och b i ℝ gäller a + b = b + a och a ⋅ b = b ⋅ a .
⋆ Existens av identitetelement: Det finns element 0 och 1 så att a + 0 = a
och a ⋅ 1 = a för alla a ∈ ℝ.
⋆ Existens av invers: För varje a ∈ ℝ finns −a ∈ ℝ så att a + (−a) = 0.
Och för alla a ≠ 0 finns a −1 ∈ ℝ så att a ⋅ a −1 = 1.
⋆ Distributivitet: För alla a , b , c i ℝ gäller a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c .
De reella talen har ytterligare egenskaper (till exempel att vi kan ordna dem)
som vi kan få anledning att återkomma till.
Bevis av att (−𝟏) ⋅ (−𝟏) = 𝟏
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Vi använder kända räkneregler för reella tal:
(−1) ⋅ (−1) = 0 + (−1) ⋅ (−1)
= 1 + (−1) + (−1) ⋅ (−1)
= 1 + (−1) ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1)
= 1 + (−1) ⋅ (1 + (−1))
= 1 + (−1) ⋅ 0
=1+0
= 1.
FÖRELÄSNING IV
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Vad är ett polynom?
Definition
Ett polynom p(x) i x är ett uttryck som kan skrivas på formen
p(x) = an x n + an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0 .
Här sägs an , an−1 , …, a1 och a0 vara polynomets koefficienter, vilka just nu
antas vara reella tal. Om an ≠ 0 så säger vi att p(x) har grad n (vi skriver
deg p(x) = n ), och att an är dess högstagradskoefficient.
Exempel Polynomet p(x) = x 5 + √2x 2 − 3x +
med högstagradskoefficient ett.
Exempel
1
2
är ett femtegradspolynom,
p(x) = (x − 1)2 = x 2 − 2x + 1 är också ett polynom.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Nollställe till polynom
Definition
p(α) = 0.
Exempel
FÖRELÄSNING IV
Det reella talet α sägs vara ett nollställe till ett polynom p(x) om
Det gäller att −1 är ett nollställe till polynomet
p(x) = x 3 + 5x 2 + 8x + 4.
1
-3
-2
-1
-1
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Faktorisering
Definition Proceduren att uttrycka ett polynom som en produkt av (två eller
flera) polynom kallas för faktorisering.
Exempel 2.19
x 2 − 2x − 3 = x(x − 3) + x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Exempel 2.20
Exempel 2.21
Faktorisera polynomet x 3 − 4x .
Faktorisera polynomet x 2 + 4x + 4.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Kvadratkomplettering
”Använd kvadreringsregel för att göra sig av med linjära termer”
(x + a)2 = x 2 + 2ax + a 2
Exempel 2.22
Kvadratkomplettera polynomet
Exempel 2.23
Kvadratkomplettera polynomet
x 2 + 4x − 5.
x 2 − 7x + 13.
FÖRELÄSNING IV
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Och sen då? Konjugatregeln!
x 2 − a 2 = (x + a)(x − a)
Exempel 2.22
Faktorisera polynomet
Exempel 2.23
Faktorisera polynomet
x 2 + 4x − 5.
x 2 − 7x + 13.
FÖRELÄSNING IV
Nollställen ↔ faktorisering
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Vi såg nyss att polynomet p(x) = x 2 + 4x − 5 kunde faktoriseras som
x 2 + 4x − 5 = (x + 5)(x − 1).
Kan vi härur finna nollställena till p(x)?
Ja! De måste vara x = −5 och x = 1. Kolla att p(−5) = 0 och p(1) = 0!
Vi ser att om vi kan faktorisera ett polynom så kan vi också finna dess nollställen.
Omvändningen gäller också, och sammanfattas i Faktorsatsen:
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Faktorsatsen
Sats 2.2 Antag att p(x) är ett polynom och α är ett tal. Då gäller det att α
är ett nollställe till p(x) om och endast om (x − α) är en faktor till p(x).
Detta kan även skrivas
p(α) = 0 ⟺ p(x) = (x − α)q(x) för något polynom q(x).
Vi skall snart bevisa faktorsatsen, men först introducerar vi rationella uttryck.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Vad är ett rationellt uttryck?
Definition
Ett uttryck f(x) som kan skrivas
f(x) =
p (x )
,
q (x )
kallas för ett rationellt uttryck.
p(x), q(x) polynom,
Exempel
x3 − x
,
x2 + x − 2
Exempel 2.24
streck.
x(x − 2)(x + 2)
4
,
2
x 3 − 4x
1
−
1
x 3 + 4x 2 + 4x
Skriv det tredje rationella uttrycket ovan med ett enda bråk-
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Polynomdivision
Definition Om f(x) och g(x) är polynom och det finns ett polynom q(x)
sådant att f(x) = q(x)g(x) så säger vi att g(x) delar f(x) (alternativt är en
faktor i f(x)). Polynomet q(x) kallas för kvot.
Exempel 2.26
Polynomet x + 2 delar x 2 − 4.
Exempel Motsvarande begrepp finns för tal: 3 delar 15 eftersom det finns
15
ett tal (5) så att 15 = 5 ⋅ 3. Omskrivet: 3 = 5.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Polynomdivision
Exempel
Däremot delar inte 2 talet 15. Det finns inget heltal n så att
15 = n ⋅ 2. Vi kan dock skriva 15 = 7 ⋅ 2 + 1, eller
15
= 7 + 1.
2
2
Exempel Polynomet x + 1 delar inte x 2 − 4, då det inte finns något polynom
q(x) så att x 2 − 4 = q(x)(x + 1). Däremot kan vi skriva x 2 − 4 = (x − 1)(x +
1) − 3, eller, ekvivalent
x2 − 4
= x − 1 + −3 .
x+1
x+1
Vi har gjort en polynomdivision och fått kvot x − 1 och rest −3.
Det allmänna fallet ges av följande sats:
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Polynomdivision
FÖRELÄSNING IV
Sats 2.1 Antag att f(x) och g(x) är polynom med g(x) ≠ 0. Då finns entydigt
bestämda polynom q(x) (kvoten) och r(x) (resten) sådana att deg r(x) <
deg g(x) (eller r(x) = 0), och
f(x) = q(x)g(x) + r(x).
Kommentar
Exempel 2.28
Beviset av denna sats ingår ej i kursen.
Bestäm q(x) och r(x) då
f(x) = x 4 − 3x 2 + 3x,
Vi är nu redo att bevisa faktorsatsen.
g(x) = x 2 + 1.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Faktorsatsen
Sats 2.2 (Faktorsatsen) Antag att p(x) är ett polynom och α är ett tal. Då
gäller det att α är ett nollställe till p(x) om och endast om (x − α) är en faktor
till p(x). Detta kan även skrivas
p(α) = 0 ⟺ p(x) = (x − α)q(x) för något polynom q(x).
I beviset behöver vi satsen om polynomdivision:
Sats 2.1 Antag att f(x) och g(x) är polynom med g(x) ≠ 0. Då finns entydigt
bestämda polynom q(x) (kvoten) och r(x) (resten) sådana att deg r(x) <
deg g(x) (eller r(x) = 0), och
f(x) = q(x)g(x) + r(x).
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Tillämpning av faktorsatsen
Exempel 2.29
Finn alla nollställen till, och faktorisera polynomet
f(x) = x 3 + 5x 2 + 8x + 4.
1
-3
-2
-1
-1
FÖRELÄSNING IV
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Algebrans fundamentalsats och dess följder
I B2:
Algebrans fundamentalsats
komplext nollställe.
Varje icke-konstant polynom har minst ett
Korollarium Varje polynom p(x) = an x n + an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0 kan
faktoriseras fullständigt,
p(x) = an (x − α1 )(x − α2 )⋯(x − αn )
där α1 , α2 , …, αn är komplexa tal.
Varje polynom av grad n har alltså precis n (komplexa) nollställen.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Tillämpning av faktorsatsen
Exempel
det går)
Finn alla reella nollställen till, och faktorisera polynomet (så gott
f(x) = x 3 − 3x 2 + 4x − 12.
60
40
20
-1
1
- 20
2
3
4
5
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV
Hur gissar man lösningar?
Sats (ingår ej) Antag att koefficienterna a0 , a1 , …, an är heltal. Antag vidare
att polynomet
f(x) = an x n + an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0
p
har ett rationellt nollställe q (där p och q är heltal, och bråket är förkortat). Då
måste p dela a0 och q dela an .
Exempel
För
f(x) = x 3 − 3x 2 + 4x − 12
gäller alltså p ∈ {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} och q ∈ {1}. De tal vi behöver
pröva (för att hitta eventuella rationella nollställen) är alltså
±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IV