Elevers kunskaper i geometri Madeleine Löwing Elevers kunskaper i mätning och geometri Resultaten från interna=onella undersök-­‐
ningar, såsom TIMSS, visar aC svenska elever lyckas mindre bra i geometri. Även forskningsresultat, en detaljerad kartläggning av 20 000 svenska elevers kunskaper i mätning och geometri, pekar åt samma håll. För aC kartlägga elevers kunskaper i mätning och geometri använde vi Skolverkets bedömningsstöd, Diamant, eC diagnosmaterial för årskurserna F – 9 ATT VÅGA SE -­‐ OCH KUNNA TA ANSVAR Mätning och geometri Madeleine Löwing Några övergripande resultat AllXör många elever klarar inte aC arbeta med grundläggande geometriska begrepp på högstadiet. De saknade eC funk=onellt språk (terminologi) för aC kommunicera geometri och behärskar inte innebörden i geometriska begrepp som romb, rätblock och cylinder. Varför är det så? Det finns två tänkbara svar på frågan: • E_er det mindre lyckade försöket aC introducera avbildningsgeometri i slutet av 1960-­‐talet har det saknats en genomtänkt geometrididak=k. • Målen i läroplanen Lpo 94 var vagt formulerade, vilket ledde =ll bristande kon=nuitet i undervisningen. Mål för årskurs 9: -­‐ Geometriska objekt och dess inbördes rela=oner. Geometriska egenskaper hos dessa objekt -­‐ Avbildning och konstruk=on av geometriska objekt. Skala vid förminskning och förstoring av två-­‐ och tredimensionella objekt. Mål för årskurs 6: -­‐ Grundläggande geometriska objekt, däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes rela=oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. -­‐ Konstruk=on av geometriska objekt. Skala och dessa användning i vardagliga situa=oner. Mål för årskurs 3 -­‐ Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes rela=oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. -­‐ Konstruk=on av geometriska objekt. Skala vid enkel förstoring och förminskning. (mina markeringar) Mål för årskurs 9: -­‐ Likformighet och symmetri i planet. -­‐ Metoder för beräkning av area, omkrets och volym samt enhetsbyten i samband med dessa -­‐ Geometriska satser och formler och behovet av argumenta=on för dess gil=ghet. Mål för årskurs 6: -­‐ Symmetri i vardagen, i konsten och i naturen samt hur symmetri kan konstrueras -­‐ Metoder för hur omkrets och area hos olika tvådimensionella geometriska figurer kan bestämmas och uppskaCas -­‐ Jämförelse, uppskaCning och mätning av längd, area, volym, massa, =d och vinkel med vanliga måCenheter. Mätningar med användning av nu=da och äldre metoder. Mål för årskurs 3: -­‐ Vanliga lägesord för aC beskriva objekts läge i rummet -­‐ Symmetri, =ll exempel i bilder och i naturen och hur symmetri kan konstrueras -­‐ Jämförelse och uppskaCningar av matema=ska storheter. Mätning av längd, massa, volym och =d med nu=da och äldre måCenheter. Mätandets idé När man börjar mäta längd bör deCa ske i tre steg som sedan håller ända fram =ll volym: • direkt jämförelse • indirekt jämförelse med pinne eller snöre a ≥ b ≥ c => a ≥ c • med hela enheter 1 cm och 1 m. När eleverna kan mäta inför man besiffrad linjal – måCband. Areamätning När man mäter area går det =ll på motsvarande säC: • Direkt jämförelse • Genom aC klippa och klistrar och jämföra med känd yta. (Konserva=on av area, Piaget ) • Jämförelse med areaenhet (areamall) • Indirekt, via längdmätning och beräkning enligt formel EC exempel från kartläggningen Rita en rektangel som har dubbelt så stor area som den här rektangeln. Varannan elev i 5:an, 6:an och 7:an svarade så här: Eleverna kunde alltså inte skilja mellan skala 2:1 och dubbelt så stor area. En enkel lösning är aC rita en godtycklig rektangel som består av 16 rutor. De flesta elever verkar leta e_er färdiga formler istället för aC tolka den givna uppgi_en och använda sin fantasi: Bestäm arean av det skuggade området Lösningsfrekvenserna i årskurs 6 och 7 var 45% respek=ve 48% Varför ser det ut så här? De flesta lärare vi talat med säger aC en stor del av geometrin sparas =ll årskurs 9 Det visar sig aC elevernas kunskaper i geometri står s=lla under flera år. Eleverna saknar därför grundläggande begrepp och en känsla för geometri när de kommer =ll högstadiet. EC exempel Redan i förskoleklassen arbetar man med de plana figurerna triangel, kvadrat och cirkel. Men man diskuterar inte figurernas egenskaper med eleverna. Elever uppfaCar därför trianglar som liksidiga figurer och fyrhörningar enbart som kvadrater eller rektanglar. En konsekvenserna av deCa är aC bara varannan elev i årskurs 6 kunde lösa följande uppgi_: Bilden 5ll höger är förminskad. Vilken skala är bilden ritad i? Fyll i rutan under bilden. Bild av föremålet i skala 1:1 Bild i skala 1 : Vår tolkning av deCa är aC eleverna i yngre åldrar får arbeta med helheter men aC de inte lär sig se de delar helheterna är uppbyggda av. DeCa är centralt för aC kunna beskriva objektets egenskaper. Grundläggande begrepp som symmetri och parallell och ”kongruent” tas upp alldeles för sent i undervisningen. EC alterna=vt förslag När man inleder undervisningen om fyrhör-­‐
ningar kan man starta med fyra olika långa pinnar som sammanfogas med modellera. Här kan eleven urskilja fyra vik=ga begrepp: • Hörn och avståndet mellan hörnen • Sida (sträcka) • Vinkel (spetsig, trubbig och rät) • Diagonal Däre_er kan man bygga figurer där två sidor är parallella. Först nu har eleverna begrepp och termer som gör det möjligt aC analysera och diskutera de mer komplicerade figurerna. Parallellogrammen Om man nu väljer fyra pinnar som är parvis lika stora så kan man bygga följande figur: Genom aC klippa ut en likadan figur i papper kan eleverna laborera sig fram =ll flera intressanta egenskaper. • Motstående sidor är parallella • Motstående vinklar är lika stora • Genom aC klippa isär figuren ute_er en diagonal får man två ”kongruenta” (likadana) trianglar. Man kan också placera de parvis lika långa pinnarna så här. Man får då en symmetrisk figur. Om man använder samma pinnar men låter alla vinklar vara lika stora så får man en ny parallel-­‐
logram som kallas för rektangel. • En rektangel har två symmetrilinjer • Vinklarna är räta Om man väljer fyra pinnar som är lika stora så kan man bygga en speciell parallellogram som kallas för romb. Rombens diagonaler är sam=digt symmetrilinjer och de är vinkelräta. Symmetrilinjerna delar upp romben i två eller fyra kongruenta trianglar Om man med fyra lika stora pinnar gör en parallellogram som har fyra lika stora vinklar, så får man en figur som är både en romb och en rektangel sam=digt: Kvadraten. För aC eleven ska ha möjlighet aC urskilja egenskaper bör man gå från figurer med få egenskaper =ll figurer med många olika egenskaper Geometriska figurer Månghörningar •
•
•
•
•
•
•
Femhörning, fyrhörning Triangel – trehörning Parallelltrapets Parallellogram Romb Rektangel Kvadrat Egenskaper beskrivs med begrepp •
•
•
•
•
•
•
•
Sida, hörn Vinkel, rät, trubbig, spetsig Parallell Kongruent Symmetri Diagonal Regelbunden, Oregelbunden Omkrets Triangelns egenskaper kan ly_as fram på mot-­‐
svarande säC och man studerar egenskaper som symmetri och vinkelsumman genom aC klippa ut och vika olika trianglar. Med de begrepp man på det här säCet bygger upp kan man enkelt lösa en hel del av de uppgi_er som vållade stora svårigheter på högstadiet Några exempel I en likbent triangel ABC är vinkeln A 70°. Bestäm vinklarna B och C Lösningsfrekvenser i åk 8: 72% respek=ve 57% C 70°
A B Genom aC vika triangeln genom den symmetrilinje som går genom C och vinkelrät mot AB finner man direkt aC vinklen B = 70° Genom aC vika figuren, eller genom aC klippa ut vinklarna och foga samman dem, kan elever =digt upptäcka aC vinkelsumman är 180°. C 70°
A B EC nyC exempel Triangeln ABC är likbent. Sidan AB är 6 cm och sidan AC är 9 cm. Sträckan DE är 2 cm och parallell med AB. Hur långa är sträckorna AD och CD? Lösningsfrekvenser i åk 8: 29% och 31% C D E 2 cm
2 cm
A 6 cm B En elev som lärt sig laborera och analysera figurer letar inte e_er topptriangelsatsen utan resonerar så här: C D 2 2 cm
E cm
A 6 cm B Även följande uppgi_ är intressant: EC rektangulärt stycke kartong har måCen 21 dm x 15 dm. I varje hörn klipper man bort en kvadrat med måCen 3 dm x 3 dm. Sedan viker man resten =ll en låda. Beräkna volymen av lådan. Bara 8% av eleverna i årskurs 8 kunde lösa denna uppgi_.
Labora=on Det primära sy_et med labora=v matema=kundervisning är aC eleverna genom labora=oner ska få uppleva, skapa och (åter)upptäcka någon del av matema=ken, inte presenteras för en färdig metod. Eleven får erfara aC matema=ken inte är sta=sk, utan hur den kan växa fram utgående från givna premisser. DeCa kan väcka nyfikenhet och s=mulera eleverna =ll aC diskutera såväl resultatet som själva processen. En labora=on ger =llfälle aC bygga upp eC språk med vars hjälp man kan diskutera matema=k. En rad intressanta labora=oner kan lika väl uXöras utan material, enbart med papper. Det primära sy_et med aC laborera är inte aC ak=vera eleverna eller aC skapa varia=on i undervisningen. Väl planerade labora=oner kan emeller=d ge dessa mervärden. Slutsats: För aC lösa geometriska problem krävs det aC eleverna behärskar eC antal grundläggande geometriska begrepp samt eC språk för aC kommunicera dessa begrepp. Språk och begrepp =llägnar sig eleven bäst genom aC laborera och diskutera. DeCa måste ske kon=nuerligt och väl planerat ända från skolstarten.
