Lösningsförslag till tentamensskrivning i Aritmetik, algebra och geometri, 7,5hp, tisdagen den 15 januari 2008
1. zz = (−4 + 5i)(−4 − 5i) = 16 − 25i2 = 16 + 25 = 41
2.
³√
=
=
3.
13 −
³³√
13 −
´2 ³√
12
√
12
13 +
´ ³√
13 +
√
´2
12
√
´´2
12
(13 − 12)2 = 1
1 + 63 +
1 + 12 + 13
=
1
1
3 · 1 +3
3 · 10
3
√
2
6
=
3
11
6
3·
3
10
=
11
6
9
10
=
11 10
55
·
=
6 9
27
4.
61000 + 112000
≡ (−2)1000 + 32000 = 21000 + 91000 = 8 · 2997 + 91000
≡ 0 + 11000 = 0 + 1 = 1 (mod 8)
Eftersom det är tisdag i dag, så är det alltså onsdag om 61000 + 112000
dagar.
5. ∆ABC är inskriven i cirkeln, så ∧C = 90◦ eftersom det är en randvinkel
som står på en halvcirkelbåge. Vi vet att ∧B = 30◦ , vilket ger ∧A = 60◦ .
Kalla cirkelns medelpunkt för M . Då gäller att |AM | = |AB|/2 = 1.
Dra sträckan M C. Eftersom |AM | = |M C| (båda är radie i cirkeln) och
∧A = 60◦ , så är ∆AM C liksidig. Därmed är |AC| = 1.
√
√
√
Pythagoras
sats ger |BC| = 22 − 12 = 3. Vi får T = bh/2 = 1 · 3/2 =
√
3/2 a.e.
1
6. Vi söker en polynomekvation med heltalskoefficienter, där α är rot.
s√
√
5− 2
3
α =
2
√
√
5− 2
α3 =
√ 2√
3
2α =
5− 2
√
6
4α = 5 − 2 10 + 2
√
4α6 − 7 = −2 10
16α12 − 56α6 + 49 = 4 · 10
16α12 − 56α6 + 9 = 0
Det fanns en sådan ekvation med α som rot och vi har därmed visat att
α är algebraiskt.
7. Låt p1 och p2 vara två på varandra följande udda primtal. Eftersom båda
talen är udda, så är summan p1 + p2 jämn och innehåller därmed faktorn
2. Därför kan vi skriva p1 + p2 = 2n, för något heltal n där p1 < n < p2 .
Eftersom det inte finns något primtal mellan p1 och p2 , så är n inte ett
primtal. Därmed kan n skrivas som en produkt av minst två primfaktorer.
Tillsammans med den första faktorn 2, så ger det att p1 + p2 kan skrivas
som en produkt av minst tre primfaktorer.
8.
a) Rita en cirkel där A är medelpunkt och B ligger på randen. Rita en
ny cirkel där B är medelpunkt och A ligger på randen. Dra en linje L
genom cirklarnas skärningspunkter. L är mittpunktsnormal till AB.
b) Dra mittpunktsnormalerna till AB, BC och AC. De skär varandra
i en punkt M . Rita en cirkel där M är medelpunkt och A ligger på
randen. Då kommer även B och C att ligga på cirkelns rand och
därmed är cirkeln omskriven ∆ABC.
9. Förutsättningen är att vi har ett tal n som har resten 3 vid division med 6.
Slutsatsen är att då har även n2 resten 3 vid division med 6.
10.
a) Ja, det är bevisat i texten. Påståendet säger ju att slutsatsen från
satsen gäller, om förutsättningen i satsen är uppfylld.
b) Nej, det är inte bevisat. Satsen innehåller inte ens detta påstående,
som “går åt andra hållet” jämfört påståendet i a).
c) Nej, det är inte bevisat. Det här är bara en annan formulering av
påståendet i b).
2
11. Påståendet n2 ≡ 3 (mod 6) om n ≡ 3 (mod 6) är redan bevisat i texten.
Nu ska vi undersöka om n2 ≡ 3 (mod 6) medför att n ≡ 3 (mod 6). Vi
kan kontrollera detta genom att se om n2 ≡ 3 (mod 6) kan inträffa även
om n 6≡ 3 (mod 6). Låt k och m vara heltal.
n = 6k + 1
n = 6k + 2
=⇒
=⇒
n = 6k + 4
n = 6k + 5
n = 6k
=⇒
=⇒
=⇒
n2 = (6k + 1)2 = 6(6k 2 + 2k) + 1 = 6m + 1
n2 = 6m + 4
n2 = 6m + 4
n2 = 6m + 1
n2 = 6m
Alltså är n2 ≡ 3 (mod 6) endast om n ≡ 3 (mod 6). Påståendet är alltså
sant.
3
