UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Inger Sigstam
INDUKTIONSAXIOMET
Anta att för varje naturligt tal n har vi ett påstående Pn (som handlar om n). Vi önskar
bevisa att Pn är sann för varje n ∈ N. I denna situation kan man ha nytta av det s. k.
induktionsaxiomet:
Induktionsaxiomet
Låt Pn vara ett påstående som beror på det naturliga talet n. Antag att
(1) Påståendet P0 är sant.
(2) Implikationen
Pp =⇒ Pp+1
är sann för varje heltal p ≥ 0.
Då är Pn sann för alla naturliga tal n ≥ 0.
Vi illustrerar hur induktionsaxiomet kan användas med ett exempel.
Exempel 1: Visa att
1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2n+1 − 1
för alla naturliga tal n.
Lösning: Påstendet Pn kan skrivas nk=0 2k = 2n+1 − 1. Vänsterledet kallar vi Vn , och
P
högerledet kallar vi Hn . Dvs Vn = nk=0 2k och Hn = 2n+1 − 1. Vi ska bevisa att Vn = Hn
för alla naturliga tal n genom att använda induktionsaxiomet. Vi måste därför visa (1)
och (2). Att visa (1), dvs att P0 är sann, kallas för att göra bassteget, och att visa
implikationen i (2) kallas för att göra induktionssteget.
Bas: Vi måste visa att V0 = H0 . Men V0 = 20 = 1 och H0 = 20+1 − 1 = 2 − 1 = 1, så
basen stämmer.
P
I induktionssteget visar man att om påståendet gäller för ett visst heltal p, så gäller det
också för nästa heltal p + 1. Man börjar med att anta att Pp är sann för ett (godtyckligt)
heltal p ≥ 0. Detta kallas för att göra ett induktionsantagande. Därefter gör man själva
induktionssteget, som alltså innebär att bevisa att Pp+1 är sann. Man får då använda sig
av att Pp är sann, som man har antagit i induktionsantagandet. Om man lyckas med det
har man bevisat implikationen i (2).
Induktionsantagande: Vp = Hp för ett visst (men godtyckligt) heltal p ≥ 0.
Induktionssteg: Vi måste visa att Vp+1 = Hp+1 . Vi har
p
Vp+1 = 1 + 2 + 4 + . . . + 2 + 2
p+1
=(
p
X
2k ) + 2p+1 = Vp + 2p+1 = [enl.Ind.Ant.]
k=0
= Hp + 2p+1 = 2p+1 − 1 + 2p+1 = 2 · 2p+1 − 1 = 2p+2 − 1 = Hp+1 .
Alltså har vi visat att om Pp är sann, så gäller också att Pp+1 är sann.
Slutsats: Vi har nu visat både (1) och (2). Enligt induktionsaxiomet följer nu att Pn ,
dvs 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 2n = 2n+1 − 1, gäller för alla naturliga tal n. VSB.
Exempel 2: Vi ska försöka finna ett uttryck för summan av de första n udda talen. Vi ska
gissa och därefter med induktion visa att vår gissning är korrekt. Låt S(n) vara summan
av de n första udda talen. För några värden på n gäller då:
S(0)
S(1)
S(2)
S(3)
S(4)
=
=
=
=
=
0
1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
Vi upptäcker kanske att för dessa värden gäller också S(0) = 02 , S(1) = 12 , S(2) = 22 ,
S(3) = 32 och S(4) = 42 . Man vill gärna gissa att S(n) = n2 är en formel som gäller för
alla naturliga tal n. Vi bevisar med induktion att formeln faktiskt gäller! Observera först
att vi kan skriva
S(n) =
n−1
X
(2k + 1).
k=0
Vi vill alltså med induktion bevisa att
n−1
X
(2k + 1) = n2
k=0
n−1
(2k + 1), och Hn = n2 .
för alla naturliga tal n. För att förenkla skrivarbetet, låt Vn = k=0
Bas: Vi måste visa att V0 = H0 . Men V0 = 0 (tomma summan), och H0 = 02 = 0, så
basen stämmer.
P
Induktionsantagande: Vp = Hp för ett visst (men godtyckligt) heltal p ≥ 0.
Induktionssteg: Vi måste visa att Vp+1 = Hp+1 . Vi har
Vp+1 =
p+1−1
X
p
X
k=0
k=0
(2k + 1) =
(2k + 1) =
p−1
X
(2k + 1) + 2p + 1
k=0
= Vp + 2p + 1 = [enl.Ind.Ant.] = Hp + 2p + 1 = p2 + 2p + 1 = (p + 1)2 = Hp+1 .
Alltså har vi visat att om Vp = Hp , så gäller också att Vp+1 = Hp+1 .
Slutsats: Vi har alltså visat att påståendet gäller för n = 0, och att om det gäller för
ett naturligt tal p så gäller det också för p + 1. Enligt induktionsaxiomet får vi nu dra
P
2
slutsatsen att påståendet n−1
VSB.
k=0 (2k + 1) = n gäller för alla naturliga tal n.
