Mekanik 2

Mekanik 2
Live-LATEX:ad av Anton Mårtensson
2012-05-08
I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
ṗ = mr̈ = F
Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk mekanik.
T ex L̇ = M fås ur ovanstående genom att dela upp en kropp i masselement och
utnyttja stelkroppsvillkoret. Vi har också stött på ekvationen i diverse förklädnader.
• Uttryckt i diverse olika koordinatsystem.
• Arbete–energy-principen.
• Impuls–rörelsemängd.
• Impulsmoment–rörelsemängdsmoment.
Vi skall introducera en alternativ formulering av den klassiska mekaniken: analytisk
mekanik.
Vi kommer att formulera Lagranges ekvationer och visa att dessa följer från en
fundamental princip som kallas verkansprincipen.
Idag
• Illustrerande exempel utan motivering.
• Introducera nya begrepp.
• Generaliserade koordinater.
• Generaliserade hastigheter.
• Generaliserade krafter.
• Generaliserade rörelsemängder.
1
Exempel En massa fäst i en fjäder med en frihetsgrad.
Rörelseekvationen kan fås från Newtons andra lag:
F = ma ⇒ mẍ = −kx
Istället formar vi den till synes underliga kombinationen L = T − V som vi kallar
för systemets Lagrangian. I vårt fall är T = 12 mx2 och V = 12 kx2 .
Sedan introducerar vi (omotiverat) Lagranges ekvation:
( )
∂L
d ∂L
−
=0
dt ∂ ẋ
∂x
I vårt fall:
∂L
= mẋ
∂ ẋ
∂L
= −kx
∂x
⇒ mẍ + kx = 0
dvs samma som förut.
Generaliserade koordinater
Antalet frihetsgrader bestämmer hur många rörelsevariabler som behövs för att
beskriva det.
Om antalet frihetsgrader är N kallar vi varje uppsättning rörelsevariabler q 1 , q 2 , · · · , q N
för en uppsättning generaliserade koordinater.
Exempel
En stel kropp i planet har tre frihetsgrader. Vi kan använda (xc , yc , θ) som generaliserade koordinater där (xc , yc ) beskriver masscentrums läge och θ kroppens rotation
relativt godtycklig axel.
Generaliserade hastigheter
Defineras intuitivt från de generaliserade koordinaterna.
v i = q̇ i
Notera att enheten på v i beror på enheten hos q i .
2
Exempel
Med polära koordinater (r, ϕ) som generaliserade koordinater för en partikel i planet
fås generaliserade hastigheter (ṙ, ϕ̇) medan den verkliga hastighetsvektorn är (ṙ, rϕ̇).
Generaliserade krafter
Studera ett system med N frihetsgrader. Detta kan beskrivas med N stycken kartesiska koordinater x1 , x2 , · · · , xN .
Alternativt kan samma system beskrivas med en uppsättning generaliserade koordinater q 1 , q 2 , · · · , q N .
Då de beskriver samma system måste det finnas en transformation mellan dessa.
xi = xi (q 1 , q 2 , · · · , q N ) = xi (q)
(för enkelhetens skull bortses från tidsberoende)
En förändring dq i rörelsevektorn q ger motsvarande förflyttning i alla xi enligt
dxi =
N
∑
∂xi
j=1
∂q j
dq j
Det infinitisemala arbetet dW som uträttas av en kraft F under en sådan förflyttning
är en summa av termer
dW =
N
∑
i
i
F dx =
i=1
=
N
∑
F
i=1
( N
N
∑
∑
j=1
i=1
=
N
∑
∂xi
Fi j
∂q
i
N
∑
∂xi
j=1
∂q j
dq j
)
dq j
Fj dq j
j=1
F j är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade koordinaten q j .
Exempel
Betrakta en matematisk pendel med längd l. Välj vinkeln ϕ från vertikalaxeln som
generaliserad koordinat.
Antag att massan förflyttas vinkeln dϕ under inverkan av en kraft F . Den förflyttade
sträckan blir dr = l dϕ êϕ och det uträttade arbetet
dW = F dr = Fϕ l dϕ
3
Fϕ = Fϕ l
Dvs Fϕ = Fϕ l är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade
koordinaten ϕ.
Allmänn slutsats
Den generaliserade kraft som associeras med en vinkelkoordinat är ett vridmoment.
Om kraften är konservativ kan den skrivas i termer av en potential
Fi = −
∂V
∂xi
.
Vad gäller för en generaliserad kraft?
F =
j
N
∑
i=1
∂x
Fi j
q
i
=
N
∑
−
i=1
∂V ∂xi
∂V
=− j
i
j
∂x ∂q
∂q
Kinetisk energi och generaliserad rörelsemängd
Betrakta en partikel i rummet (dvs N = 3). Den kinetiska energin
1 ∑ i 2
T = m
(ẋ )
2 i=1
3
med transformation xi (q) (utan tidsberoende, fast det spelar ingen roll).
∑ ∂xi
d
ẋ = (xi ) =
q̇ j
j
dt
∂q
i=1
3
i
så
[ 3
]
3
3
1 ∑ ∑ ∂xi j ∑ ∂xi k
T = m
q̇
q̇
2 i=1 i=1 ∂q j k=1 ∂q k
3
1 ∑
= m
Ajk (q)q̇ j q̇ k
2 j,k=1
med
Ajk =
3
∑
∂xi ∂xi
i=1
∂q j ∂q k
Alltså kan T skrivas i matrisform
T =
1
m q̇ TA q̇
2
där A är en symmetrisk matris.
4
Exempel
Plan rörelse med polära koordinater (r, ϕ) eller med kartesiska koordinater (x, y).
Transformationen är
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ
Matriselementen för A kan räknas ut
∂x ∂x ∂y ∂y
Arr =
+
= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
∂r ∂r ∂r ∂r
∂x ∂x ∂y ∂y
Aϕϕ =
+
= r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ = r2
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
∂x ∂x ∂y ∂y
Arϕ = Aϕr =
+
= cos ϕ(−r sin ϕ) + sin ϕr cos ϕ = 0
∂r ∂ϕ ∂r ∂ϕ
(
)
1 0
⇒A=
0 r2
Den kinetiska energin blir
(
) 1
1 (
T = m ṙ ϕ̇
0
2
( )
) ṙ
1 (
= m ṙ ϕ̇
=
r2 ϕ̇
2
0
r2
)( )
ṙ
ϕ̇
1
m(ṙ2 + r2 ϕ̇2 )
2
När man differentierar den kinetiska energin m a p en (vanlig) hastighet får man
∂T
= mẋi
∂ ẋi
Vi definerar den generaliserade rörelsemängden
∂T
ρi = i
∂ q̇
Exempel
Polära koordinater igen:
1
T = m(ṙ2 + r2 ϕ̇2 )
2
dvs generaliserade rörelsemängden är
∂T
= mṙ
∂ ṙ
∂T
ρϕ =
= mr2 ϕ̇
∂ ϕ̇
ρr =
Dvs generaliserad rörelsemängd associerad med en vinkelkoordinat är ett rörelsemängdsmoment.
5