Vecka 3 Sammanfattning

Vecka 3 Sammanfattning
Harald Westling, wharald
David Carlsson, davicar
Jonas Oskarsson, osjonas
Emil Malmquist, emilmal
Carl Borgsten, borcarl
9 februari 2017
1
1
Dubbelintegraler
Innan har vi räknat med enkelintegraler, intuitivt har vi sett en enkelintegral
som den totala arean under en funktion mellan två x-koordinater. För dubbelintegraler kan vi nästan använda samma idé, fast istället för att beräkna
area under en graf beräknar dubbelintegralen RR
volymen under en funktionsyta. En dubbelintegral skrivs på följande sätt: D f (x,y)dxdy.
D är då ett snällt begränsat område i xy-planet. Om vi målar upp en funktionsyta som är begränsad till sin projektion på xy-planet i form av D, där
D är en rektangel enligt figur 1, då representerar dubbelintegralen volymen
av rummet under funktionsytan z = f (x,y) till xy-planet. Volymen kan få
ett negativt värde om funktionsytan ligger under xy-planet. Snittar vi denna
volymen enligt det gröna området i figur 1 så får vi en tunn bit som är dx
tjock och har en area som beror på x som vi kallar A(X). Volymen för denna
tunna bit kan vi kalla dv. Eftersom dx är extremt liten så kan vi uppskatta
arean under f (x,y) alltså A(x) med en enkelintergral mellan c och d. Tänk
nu att vi delar upp hela volymen under funktionsytan i extremt många dv
och för att sedan få den totala volymen lägger vi ihop alla våra dv men en
till enkelintegral. Men denna gång rör vi oss i i x-led mellan a och b. Då får
vi följande uträkningar:


dv






= A(x) · dx
Z d
⇒ dv = (






 A(x)
f (x,y)dy)dx
c
=
Z d
(1)
f (x,y)dy
c
Integrerar dv i x-led och sätter sen in dv från ovan:
ZZ
f (x,y)dxdy =
D
Z b
dv =
Z b Z d
(
a
a
2
c
f (x,y)dy)dx
(2)
Figur 1: Bilden illustrerar en snällt begränsad funktionsyta som är markerat
med rött i bilden. Funktionsytan i sin tur är projicerad till xy-planet där skuggan bildar ett rektangulärt begränsat område D. Hos D är a och b gränerna
för x-koordinaten, c och d är gränserna för y-koordinaten. Det grönt markerade området är en skiva av volymen under funktionsytan till xy-planet med
tjocklek dx.
I figur 1 ses att området kan skivas antingen med x eller y först vilket
också ses i Fubinis sats för rektanglar. Området som är en rektangel kan
man dela upp i små rektanglar och integrera varje liten rektangel. Fubinis
sats säger: låt 2 → , vara en integrerbar funktion och D={(x,y) ∈ 2 , a ≤
R
R
R
3
x ≤ b, c ≤ y ≤ d} en rektangel. Då gäller det att:
ZZ
f (x,y)dxdy =
D
Z b Z d
(
a
f (x,y)dy)dx =
c
Z d Z b
(
c
f (x,y)dx)dy.
(3)
a
Den andra likheten i ekvation (3) säger att det inte spelar någon roll om
vi integrerar över x eller y först om funktionen uppfyller kraven för satsen.
För att utöka denna sats från rektanglar till reguljära områden så görs några
små förändringar i satsen. Låt f: 2 → , vara en kontinuerlig funktion
och D={(x,y) ∈ 2 a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}. Då gäller att
R
R
ZZ
f (x,y)dxdy =
D
R
Z b Z β(x)
(
a
f (x,y)dy)dx.
(4)
α(x)
I ekvation (4) ses att andra likheten har slutat gälla. Ideen med att dela
upp det i ett rutnät och integrera alla små rektanglar funkar även för områden
som inte är rektangulära utan över godtyckliga områden där man kan dela
in randen i små rektanglar där den sammanlagda arean av dessa rektanglar
är godtyckligt liten.
2
Integration med hjälp av nivåkurvor
För att lösa integraler på formen:
ZZ
h(g(x,y)) dxdy
(5)
D
där h är en kontinuerlig funktion av en variabel och D är området mellan två
nivåkurvor till g dvs:
Da,b = (x,y)|a ≤ g(x,y) ≤ b
(6)
Så kan man använda sig av följande metod:
Låt A(u) = arean av området Du , där:
Du = {(x,y)|0 ≤ g(x,y) ≤ u}
Då är
ZZ
h(g(x,y)) dxdy =
D
Z b
h(u)A0 (u) du
(7)
(8)
a
Därmed har dubbelintegralen gjorts om till en enkelintegral. För att denna
metod skall vara användbar så behöver areafunktionen A(u) vara lätt att
beräkna.
4
3
3.1
Koordinatbyten
Allmänna koordinatbyten
För att lösa vissa integraler så kan det lämpa sig att byta koordinater. Det
finns en(sats för allmänna koordinatbyten som lyder:
x = g(u,v)
Låt
vara en bijektiv C 1 - avbildning av ett öppet begränsat
y = h(u,v)
kvadrerbart område E i uv-planet på ett motsvarande område D i xy-planet,
d(x,y)
sådan att J(u,v) = d(u,v)
6= 0 i E. Då är
ZZ
f (x,y)dxdy =
D
ZZ
E
f (g(u,v),h(u,v)) J(u,v) dudv,
(9)
om funktionerna under integraltecknet är integrerbara i respektive område.
3.2
Polära koordinater
(
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
Polära koordinater lämpar sig att använda när det man integrerar över är
en skiva eller en sektor av en skiva. För
från Cartesiska- till
koordinatbytet
polära koordinater så blir Jacobianen J(r,θ) =r ⇒
ZZ
f (x,y)dxdy =
ZZ
3.3
f (x(r,θ), y(r,θ))rdrdθ
(10)
E
D
Cylindriska koordinater
Det finns även något som heter trippelintegraler. Trippelintegraler liknar
dubbelintegraler med skillnaden att de beror på tre variabler över ett område
i 3 . Cylindriska koordinater liknar polära koordinater med undantaget att
de finns en höjd z. Eftersom dz är densamma så blir:
R
ZZZ
f (x,y,z)dxdydz =
ZZZ
D
f (x(r,θ), y(r,θ),z)rdrdθdz
(11)
E
Vilket kan jämföras med koordinatbytet till polära (11):
3.4
Sfäriska koordinater
Ibland har man mer användning av sfäriska koordinater till exempel om man
har en kropp som liknar en sfär. Sfäriska koordinater använder sig av (ρ,θ,φ)
5
där:


ρ

=avståndet från origo,
θ =vinkeln
till
positiva
z-axeln,



φ =vinkeln mellan positiva x-axeln och radiens projektion på xy-planet
Detta leder till att de Cartesiska koordinaterna (x,y,z) kan skrivas:


z


= cos θ · ρ
y = ρ sin θ · sin φ



x = ρ sin θ · cos φ
Slutligen får man ett koordinatbyte enligt nedan med J(ρ,θ,φ) = ρ2 sin θ
ZZZ
f (x,y,z)dxdydz =
D
ZZZ
f (x(ρ,θ,φ),y(ρ,θ,φ),z(ρ,θ,φ))ρ2 sin(θ)dρdθdφ
E
(12)
4
Generaliserade dubbelintegraler
Integration över obegränsade områden eller av obegränsade funktioner behandlas på samma vis för multipelintegraler som enkelintegraler.Ett exempel
på en viktig generaliserad integral som härleds genom generaliserade dubbelintegraler är Gauss sats:
Z ∞
2
e−x dx =
−∞
6
√
π
(13)