Flerdimensionell analys (FMA430)
Anders Källén
Föreläsning 1
Innehåll: Grundläggande strukturer
Kapitel 1 och 2
1) Grundläggande begrepp
2) Att rita mängder och ytor
3) Polära och rymdpolära koordinater
Efter dagens föreläsning måste du
- gå hem och repetera både endim-kursen och kursen i linjär algebra
– fast det har du väl redan gjort
- kunna några nya mängd-begrepp
- veta vad polära koordinater är i olika dimensioner
om referensstrålen är den positiva x-axeln. Notera att 0 ≤ θ <
2π. Problemet med vinkeln är detsamma som att beskriva enhetscirkeln m.h.a. en vinkel.
3. I rummet blir problemet detsamma som att beskriva punkter på
en enhetssfär i form av två vinklar, alltså samma problem som
att beskriva lägen på jordytan. Detta görs i form av latitud och
longitud. Dock har man i matematiken valt att införa en variant
av detta som kallas rymdpolära koordinater där latitud mäts inte från ekvatorn utan från nordpolen:
Några nya begrepp
- En omgivning av en punkt är innehållet i en cirkelskiva (intervall,
klot, etc) med punkten som medelpunkt.
- En inre punkt i en mängd M är en punkt sådan att det finns omgivning till den som ligger helt i M
- En mängd är öppen om alla punkter i den är inre punkter.
- En mängd är sluten om dess komplement är öppet
- En punkt är en randpunkt till en mängd M om varje omgivning till
den innehåller både punkter från M och från dess komplement.
- En mängd är kompakt om den är både sluten och begränsad.
Anmärkning En mängd är sluten om alla randpunkter tillhör mängden och öppen om ingen punkt på randen ligger i mängden
Exempel Vilka egenskaper har mängden {( x, y); 4x2 + 9y2 ≤ 1}?
Mängen {( x, y); 4x2 + 9y2 > 1}? Är mängden {( x, y); 1 ≤ y < 2}
öppen eller sluten? (Vad gäller för mängden av rationella tal?)
Vi ser att
x = r sin θ cos φ,
Att rita mängder och ytor
Exempel Rita mängden {( x, y); 0 ≤ x ≤ y ≤ 1} och mängden
{( x, y); | x | + |y| ≤ 1}.
Exempel Rita skålen z = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤ 1. Hur beskriver du
innehållet i skålen?
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
Vinklarna varierar enligt: 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ φ < 2π.
Exempel Beskriv i rymdpolära koordinater kroppen som ges av
q
x 2 + y2 ≤ z ≤
q
4 − x 2 − y2 .
Exempel Skissera ytan z = x2 − y2 . Tänk på kartor och deras nivåkurvor! Ytan kallas en sadelyta - varför?
Skissera också kroppen i xyz-rummet.
Svaret (första uppgiften) är 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π/4, 0 ≤ φ ≤ 2π.
Polära och rymdpolära koordinater
Att fundera på till nästa gång
Att ange en punkts läge i cartesiska koordinater kräver att vi först
lagt ut ett koordinatsystem (helst ON-system). Inklusive en fixpunkt,
origo.
Ett annat sätt att ange en punkts läge i förhållande till en fixpunkt
(origo) är att ange
1. Avståndet till punkten (betecknat r och alltid ≥ 0). Detta görs i
princip likadant i alla dimensioner.
2. Riktningen till punkten. Detta är mer komplicerat – vi vill göra
det i form av vinklar och de måste då mätas relativt något.
Så här gör vi i olika dimensioner:
1. I en dimension ligger punkten antingen till höger (+1) eller
vänster (−1) om origo. En punkt till höger beskrivs som +r och
en punkt till vänster som −r.
2. I planet, lägg ut en referensstråle från origo (riktningen till polstjärnan - fast i planet). Alla riktningar från origo kan anges som
vinkeln (moturs - konvention) relativt denna. Vinkeln betecknas
θ och
x = r cos θ, y = r sin θ
Fundera på följande om relationen mellan en funktion av en variabel
och en funktion av två variabler:
- Grafen av funktionen f ( x ) är kurvan y = f ( x ). Vad är grafen av
funktionen f ( x, y)?
- Tangenten till grafen y = f ( x ) i punkten ( a, f ( a)) är en rät linje. Vad
är motsvarigheten för en funktion av två variabler?
- Vad mätte differentialen d f ( a)? Vad borde motsvarande “sak” vara
för funktionen f ( x, y)?
