Variabelsubstitution.
Vi påminner först om envariabelfallet:
g( b)
b
g( a)
a
∫ f ( x) dx = ∫ f ( g(t))g' (t)dt
Det finns en liknande formel i två variabler
som både är betydligt svårare att visa och
som kräver lite fler förutsättningar. Antag att
Φ = (g, h):E → D är en C1-bijektion där D och E
antas begränsade. Då gäller ( f kontinuerlig)
∫ ∫ f(x,y)dxdy = ∫ ∫ f (g(u, v), h(u,v)) | J
D
E
∂g
d(g, h) ∂u
= ∂h
där JΦ =
d(u, v)
∂u
Φ
| dudv
∂g
∂v = ∂g ∂h − ∂h ∂g .
∂h ∂u ∂v ∂u ∂v
∂v
Variabelsubstitutionsformeln för trippelintegraler ser ut så här:
∫∫∫
D
fdxdydz = ∫∫∫ f Φ | JΦ | dudvdw
E
där Φ: E → D är en C1-bijektion.
En intuitiv motivering för formeln:
Antag att vi delar upp D och E i småbitar
D = U Dα och E = U Eα så att Φ α är en
bijektion mellan Dα och Eα . Enligt tolkningen av funktionaldeterminant som areaförstoringsfaktor gäller µ(Dα ) ≈| J Φ | µ(Eα ) där JΦ
beräknas i någon punkt i Eα . Om vi använder approximation med Riemannsummor fås
∫ ∫ f (x,y)dxdy ≈ ∑ f (x , y )µ (D ) ≈
≈ ∑ f (g(uα , vα ), h(uα ,vα )) | J | µ(Eα ) ≈
α
D
α
α
Φ
≈ ∫ ∫E f (g(u, v), h(u, v)) | JΦ | dudv
∫ ∫ (x + y ) dxdy där
D = {(x, y):1 ≤ x − y ≤ 4, xy ≤1, x > 0, y > 0} .
Ex 1.
2
2 3
D
2
2
För trippel-integraler använder man i stället
rymdpolära eller sfäriska koordinater:
r definieras här som längden av vektorn u ,
θ är vinkeln mellan u och z -axeln, och ϕ är
vinkeln mellan projektionen av u på xy planet och positiva x -axeln (i positiv led). Vi
kan anta att 0 ≤ r, 0 ≤ θ ≤ π ,0 ≤ ϕ ≤ 2π.
För att kunna utföra variabelsubstitutioner
måste vi beräkna Jacobianen:
sin θ cos ϕ r cosθ cosϕ −rsinθ sin ϕ
d(x, y, z)
2
J=
= sin θ sin ϕ r cosθ sin ϕ rsin θ cos ϕ = r sin θ .
d(r, θ ,ϕ )
cos θ
−rsin θ
0
2
1≤ x + y 2 +z 2 ≤ 4
2
2 π
e
0
r
π
∫∫
2
−r 2
=
∫
1
0
re
−r
2π
= ∫1
2
e
dxdydz =
2
2
2
x + y +z
∫∫∫
Ex 2.
2
−( x + y + z )
2
r2 sinθ dϕdθdr =
2π
dr ∫ sin θ dθ ∫ dϕ = 2π( e − e
0
−1
−4
).
0
Det föreligger nu inga hinder för att generalisera integrationsteorin till fyra, fem eller n
dimensioner. Sådana integraler är mycket
vanligt förekommande i tillämpningarna.
Ex 3. Beräkna kvadruppel-integralen
∫ (x + y + z + w ) dxdydzdw.
2
x 2 + y 2 + z 2 +w 2 ≤1
2
2
2 3
(Observera att man vid integraler i dimension ≥4 oftast bara skriver ett ∫ .)
Även i det här fallet är det enklast att
införa ”rymdpolära” koordinater:
⎧ x = rsin ψ sin ϕ cosθ
⎪ y = rsinψ sinϕ sin θ d(x, y,z,w)
3
2
= r sin ψ sin ϕ
⎨
z = rsinψ cosϕ
d(r,ψ , ϕ ,θ )
⎪
⎩w = r cosψ
ψ är vinkeln mellan vektorn (x, y, z, w) och
w -axeln och ϕ , θ definieras som vanligt m a p
projektionen av (x, y, z, w) ned på xyz -rummet.
När antalet dimensioner n är stort blir det besvärligt att hålla reda på vinkel-variablerna.
Man brukar slå ihop dem till ett ”yt-mått” dσ
n−1
n−1
på enhets-sfären S och skriva dV = r drdσ .
Speciellt får vi om h bara beror på r =| x | :
n −1
R
n −1
h(|
x
|)dV
=
σ
(S
)
h(r)r
dr
(jrf Ex 2).
∫| x |≤ R
∫0
Ex 4. Beräkna µn =
∫
1dxn för alla n≥1.
| x | ≤1
Generaliserade dubbelintegraler.
Precis som i envariabelteorin kan man ha behov av att utvidga integralen till ickekompakta
mängder och obegränsade funktioner. Dessa
generaliserade integraler är dock snarare
gränsvärden än riktiga integraler.
2
2
2
2
−x −y
−x −y
e2 2 2 dxdy =
∫∫R2 e dxdy = Rlim
→∞ ∫∫x + y ≤ R
Ex 5.
2π
R
2
2 R
−r
1 −r
= lim ∫ dθ ∫ e rdr = 2π lim − 2 e
= π.
r →∞ 0
R→ ∞
0
[
]
0
I detta exempel är det naturligt att betrakta
planet R2 som ett gränsfall av cirkelskivor.
För allmännare områden behöver vi
Definition. En uttömmande följd i D är en växande följd av kompakta mängder Dn sådan att
U ∞n=1 Dn = D och sådan att för varje kompakt
K ⊂ D det finns ett tal n så att K ⊂ Dn .
Definition. Låt f ≥ 0 .
∫∫
fdxdy
=
lim
fdxdy
.
∫∫
D
D
Om f = f + − f − där f + , f− ≥ 0 ,
n→ ∞
∫∫
sin x + y
dxdy .
Ex 6. ∫∫R2 2 2
x + y +1
2
Ex 7.
2
∫∫ x dxdy .
2
|y |≤ (1+ x 2 ) −2
n
f = ∫∫ f+ − ∫∫ f− .
D
D
D
