Anmälan om medverkan vid matematikbiennalen

183
Hur barn utvecklar förståelse för multiplikation och division
Hur barn utvecklar förståelse för multiplikation och division
I föredraget ges en översikt av internationell forskning om hur barn utvecklar förståelse och
kompetens när det gäller lösning av multiplikations- och divisionsproblem. Vilka
lösningsmetoder använder de och hur beror dessa på problemets struktur och talområde? Hur kan
vi på bästa sätt stimulera utvecklingen av denna kompetens?
Ingemar Holgersson är lektor i matematik och fysik vid Högskolan Kristianstad och arbetar
med lärarutbildning i matematik på alla stadier.
Föreläsning
Föredraget tar sin utgångspunkt i ett par undersökningar som visar att mindre barn även utan
formell skolning i multiplikation och division kan hantera problem som normalt brukar lösas
med hjälp av dessa räknesätt. Den ena (Carpenter e.a., 1993) är en amerikansk undersökning, där
barn i åldrarna 5 – 6 år, regelbundet fått arbeta med problemlösning. Den andra (Mulligan &
Mitchelmore, 1997) är en australiensisk undersökning av hur ett antal flickor i åk 2 och 3 löser
problem före och efter undervisning i multiplikation.
Fokus i båda undersökningarna ligger på vilka strategier barn utvecklar om de får tillfälle att
fundera över multiplikations- och divisionshändelser innan de utsätts för en mer systematisk, och
formell undervisning. Detta förutsätter att de har tillgång till konkret materiel med vars hjälp de
kan modellera den situation som beskrivs i ett problem.
De lösningsstrategier barn använder kan klassificeras på olika sätt. Ett är genom de
modelleringsmetoder som de använder. Ett annat är genom att titta på vilka beräkningsmetoder
de ger uttryck för. Problemen i sig klassificeras oftast genom att man studerar deras semantiska
eller logiska struktur. En del bygger på likformiga grupper, andra kan innebära en multiplikativ
jämförelse eller ta sin grund i ett rektangulärt mönster. Åter andra kan innebära att man räknar
antalet kombinationer som uppstår när man kombinerar två olika saker med varandra.
Vilka samband finns det mellan olika problemtyper och de lösningsstrategier som barnen
utvecklar? Vid additions- och subtraktionshändelser vet man att lösningsstragierna i form av
vilken modelleringsmetod som används i stor utsträckning bestäms av vilken sorts problem som
ges. I multiplikation och division antyder den australiensiska undersökningen att detta samband
inte är lika markant, utan att de beräkningsmetoder som blir möjliga är mer avgörande an själva
modelleringen.
De beräkningsmetoder barnen använder kan klassificeras som direkt räkning (dvs en och en),
olika former för upprepad addition (som genererar en sekvens av t ex 3, 6, 9 etc) och en ”mer
avancerad” som bygger på att man genererar en ny relation mellan talen, en multiplikativ
relation. Dessa metoder går också igen vid divisionsproblem med tillägg av upprepad subtraktion
(dvs att en sekvens genereras ”baklänges”).
I föreläsningen diskuteras olika problemtyper och beräkningsmetoder mer i detalj. Fram träder
en bild av den betydelse som förmågan att räkna i skutt betyder som brygga från ett additivt
tänkande till ett multiplikativt tänkande.
Avslutningsvis diskuteras några idéer om hur denna övergång kan stimuleras och underlättas,
bl a de av Andrejs Dunkels intoducerade multiplikationsmattorna (Dunkels e.a., 1989).
Referenser
Carpenter, T.P., Ansell, E., franke, M.L., Fennema, E. & Weisbeck, L. (1993). Models of
problem solving: a study of kindergarten children’s problem-solving processes. Journal of
Research in Mathematics Education 24, 427-440.
Dunkels, A., Unenge, J. & Wyndhamn, J. (1989) Rutinfärdigheter. Täljaren. Utbildningsförlaget:
Stockholm.
Mulligan, J.T. & Mitchelmore, M.C. (1997). Young children’s intuitive models of multiplication
and division. Journal of Research in Mathematics Education, 28, 331-354.
184
Matematiska modeller och beräkningar inom biologi, ekologi och
medicin
Inom biologi, ekologi och medicin finns en mängd spännande områden som lämpar sig
väl för matematisk modellering. Bland dessa områden finns populationsekologi, där man
studera konkurrens inom och mellan arter, men också växelverkan mellan rovdjur och
bytesdjur. Det sistnämnda är intressant då det leder till oscillationer i båda
populationerna. Andra biologiska områden är biogeofysik, där man bland annat studerar
giftspridning i ekosystem och utbyte av koldioxid mellan luft, jord och hav. Inom
medicin kan man nämna farmakokinetik, där omsättning av läkemedel i kroppen står i
fokus, samt infektionsepidemiologi. Gemensamt för alla dessa områden är att processerna
kan modelleras med differentialekvationer.
Jag kommer att visa hur dessa ekvationer enkelt kan lösas och åskådliggöras med
matemematisk programvara såsom MATLAB, OCTAVE (fritt tillgängligt) och MAPLE.
Vi kommer även att titta på det fritt tillgängliga programpaketet POPULOS; Models of
Ecology (hemsida http://ecology.umn.edu/populos), som är ett utmärkt verktyg för att
utforska fundamentala principer inom ekologi, evolution och populationsbiologi.
Per Jönsson, arbetar vid Teknik och Samhälle, Malmö högskola
Föreläsning
185
Pilotprojekt i förskolan
Inom stimulans- och utvecklingsprojektet Matematik från början genomför NCM ett
pilotprojekt i matematik för lärare och barn i åldern 1 till 5 år.
Det är viktigt att uppmärksamma barns möte med matematik, att underlätta
erfarenhetsutbyte och reflektion om hur barns lärande iakttas, analyseras och utvecklas.
Vi vill uppmärksamma upptäckter av matematikens spännande, kreativa och utvecklande
sidor i tex vardagssitua-tioner och lyfta fram lekens betydelse, variation och mångfald i
barns lärande.
Syftet är att utarbeta ett kompetensutvecklingsprogram för förskolans lärare som
fördjupar och vidgar det kunnande i matematik och didaktik som lärare behöver för
att kunna stimulera och utmana barns intresse för och lärande i matematik enligt
Lpfö 98.
Elisabet Doverborg är förskollärare, högskoleadjunkt och forskare
Lillemor Emanuelsson är lågstadielärare och högskoleadjunkt
Görel Sterner är förskollärare, lågstadielärare och specialpedagog
De arbetar vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, Göteborgs Universitet
Föreläsning
Syfte och bakgrund
Inom ramen för projektet Matematik från början genomför NCM ett
kompetensutvecklings-program för förskolans lärare, kallat Pilotprojektet.
Projektets syfte och mål är att









Uppmärksamma barns möte med matematik och betydelsen för fortsatt lärande
Ge erfarenhetsutbyte, reflektion, inspiration kring tidig matematikutveckling
Ge kompetensutveckling i hur barns kunnande iakttas, analyseras och utvecklas
Initiera, stödja diskussion i arbetslag om hur barns kunskapsutveckling kan
kommuniceras
Visa matematikens spännande, kreativa, utvecklande sidor
Lyfta fram lekens betydelse för lärandet
Lyfta fram variationen i barns erfarenheter och tänkande och dess betydelse för
lärande
Ge ökade möjligheter att tidigt hjälpa barn i behov av särskilda stödinsatser
Stödja nätverk i kompetensutveckling även efter den aktuella satsningen
NCM som har utarbetat ett kompetensutvecklingsprogram för förskolans lärare, de som
arbetar med barn 1-6 år, genomför också en pilotstudie under 2003 och vt 2004.
Pilotprojektet har som mål att fördjupa och vidga det kunnande och den didaktik som
lärare behöver för att kunna utmana barns intresse för och lärande i matematik enligt
Lpfö 98 och målen för projektet Matematik från början. Utprövningen som pågår
omfattar ett 30-tal förskoleavdelningar fördelade över landet från Övertorneå till
Vetlanda. Ett antal förskoleavdelningar som medvetet arbetar med matematik och ett
antal avdelningar där lärarna har mindre erfarenhet av att arbeta med matematik på
förskolan ingår. Uppläggningen förutsätter att samtliga i arbetslaget är med vid alla
träffar och att man aktivt deltar i kompetensutvecklingen. Lärarna prövar olika uppgifter
tillsammans med barnen, inhämtar litteratur, skriver loggbok samt gör kontinuerliga
barnintervjuer och observationer. Även de pedagogiska ledarna/föreståndarna är
engagerade i projektet och har åtminstone deltagit vid de två första träffarna då projektet
startades.
Ansvarsfördelning
NCM svarar för kompetensutvecklingen inkl medverkan av handledare och kostnader för
baslitteratur enligt kompetensutvecklingsprogrammet samt framtagning och produktion
av textmaterial. NCM ansvarar även för att Pilotprojektet dokumenteras och utvärderas.
Kommuner/ enheter svarar enligt tecknat och godkänt avtal för att lärarna ges tid att
deltaga i kompetensutvecklingen inkl ev vikariekostnader och resor samt möjlighet att
genomföra Pilotprojektet enligt planen och medverka i utvärderingen.
Utvärdering
Lärarna kommer också att delta i en utvärdering av Pilotprojektet, t ex genom att de
besvarar enkäter och deltar i intervjuer. En lägesbeskrivning har gjorts innan projektet
påbörjades och motsvarande görs när det avslutas. Fyra av arbetslagen kommer att
intervjuas och följas både vid handledarträffar och vid arbetslagsmöten. Utvärderingen av
lärarnas lärande görs och kommer att presenteras i en C-uppsats. Dessutom kommer
barnens lärande att följas och jämföras med barn som går i förskolor där lärarna inte
deltar i kompetensutvecklings-programmet. Denna utvärdering kommer också att
redovisas i en C-uppsats.
Förskolans matematik
Förskolans- och skolans läroplaner överensstämmer till sin struktur. De speglar en
gemensam syn på kunskap, utveckling och lärande. Förskolans uppgift är att lägga
grunden för det livslånga lärandet och erbjuda barn en verksamhet där omsorg, fostran
och lärande bildar en helhet. Utgångspunkten för allt arbete i förskolan, så även arbetet
med matematik, bör utgå från förskolans tradition, det vill säga leken, rutiner och
temaarbete. Barn möter matematik under hela sin förskoletid och det första mötet med ett
matematikinnehåll kan vara avgörande för hur synen på matematik utvecklas. Redan
under de tidiga förskoleåren har barnen ett informellt kunnande i och om matematik
vilket skall tas tillvara och utgöra utgångspunkten för det fortsatta arbetet med
matematik. Enligt förskolans läroplan skall barnen tillägna sig nyanserade innebörder i
begrepp, erfara samband och förstå sin omvärld. Ett sätt för barnen att förstå denna är att
varsebli vissa företeelser och att kunna uttrycka dessa med hjälp av matematikens språk.
Läroplanen för förskolan uttrycker att förskolan skall sträva efter att varje barn
 Utvecklar självständighet och tillit till sin egen förmåga
 Utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla
sammanhang
 Utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och
form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum ( Lpfö 98, s 12-13)
Barn som går i någon form av förskoleverksamhet skall enligt läroplanen för förskolan
ges möjlighet att utveckla en förståelse för tal, mätning, form och rum. Om detta skall bli
möjligt för barnen måste de få möta många vardagsnära utmaningar så att de kan erfara
den matematik som finns i deras omvärld.
Lärarnas betydelse för barns matematiklärande
Läroplanen betonar också att alla som arbetar i förskolan skall utmana barns nyfikenhet
och begynnande förståelse för matematik. Vad innebär matematik för det lilla barnet?
Svaret på den frågan är beroende av hur lärare i förskolan ser på matematik. Olika
forskningsstudier visar på lärarens stora betydelse för barns lärande i och om matematik.
Lärarna i förskolan behöver både ett ämneskunnande och ett didaktiskt kunnande. Även i
Skolverkets kvalitetsgranskning om Lusten att lära med fokus på matematik, framhålls
från alla håll lärarens betydelse för att utmana elevers lust för lärande. Matematik har
tidigare inte haft någon framträdande roll i förskolan, men att matematik i dag skall vara
ett innehåll i förskolan är nog ändå de flesta lärare överens om. Vi vet att lärares
kunskaper och sätt att tänka om matematik har betydelse för vad de faktiskt gör. Därför är
det viktigt för dem själva att göra sig medvetna om sina sätt att tänka om matematik och
förskolebarn. Detta leder många gånger till ett förändrat perspektiv på förskolebarns
matematiklärande.
Pilotprojektets innehåll
Under maj månad 2003 startades pilotprojektet ute på förskolorna. Samtliga fem
handledare besökte sina förskoleavdelningar och träffade var och en av de lärare som
skulle deltaga i projektet. Under en halvdag eller kväll introducerades projektet för
lärarna och de pedagogiska ledarna. Vid denna träff gjordes en lägesbeskrivning med
hjälp av att alla besvarade en enkät, beskrev matematiken i en bild och dokumenterade
den matematik som var och en mött under just denna dag.
Under ht 2003 träffades grupperna vid tre tillfällen tillsammans med sina handledare och
vid ytterligare tre tillfällen träffades grupperna fast då utan handledare. Samma antal
träffar är planerade för vt 2004.
Lärarna prövar olika uppgifter tillsammans med barnen, studerar litteratur, skriver
loggbok samt gör kontinuerliga barnintervjuer och observationer mellan träffarna. Detta
för att skapa möjligheter för barnen att utveckla en förståelse för begreppen tal, mätning,
form, tid och rum. För att kunna göra detta utifrån barns perspektiv och utifrån det som
fascinerar barn är samtal-dialog mellan lärare- barn viktiga redskap, likaså att
systematiskt ta vara på barns dokumentation och utmana barns tänkande och lust att lära
matematik. Eftersom många lärare uttrycker att de har bristande ämnes- och didaktiskt
kunnande har det under höstterminens gång skett en fördjupning inom områdena
taluppfattning, mätning och rumsuppfattning samt sortering, tabeller och diagram.
Skolverkets Analysschema, före skolår 6, är en del av den obligatoriska litteraturen och
de olika matematikområdena har indelats på samma sätt som i Analysschemat.
Naturligtvis eftersträvar vi att matematik skall ses som en helhet där olika aspekter av
matematik kan urskiljas samtidigt i en och samma situation. Barn uttrycker sitt
matematikkunnande och tänkande i handling, bild, ord och med olika symboler vilket kan
observeras i situationer som lek, vid måltider, i temat och i andra sammanhang.
Under föreläsningen kommer vi att ge rika exempel på hur vi har utmanat lärarnas
tänkande i och om matematik och hur lärarna i sin tur utmanat barnens tänkande i och om
matematik. Vi kommer också att djupare presentera innehållet i de olika träffarna och
också visa på lärarnas lärande så som det framträder i deras loggböcker. Dessutom
kommer vi att ge exempel på barnens dokumentation och diskutera hur lärarna skapat
tillfällen, i förskolans vardag, för att utmana barnens lust att lära matematik.
187
Alla lärare är mattelärare
Om formell och informell samverkan mellan matematik och andra ämnen.
För att ytterligare stärka matematikkunnandet måste lärare i alla ämnen, och i alla skolår,
ta de chanser att tala matematik som naturligt bjuds inom ramen för ordinarie ämnesstoff.
Detta kräver inte att alla lärare vidareutbildar sig inom matematik, men att ett
grundläggande förhållningssätt får genomsyra hela verksamheten.
Martin de Ron är grundskollärare 4-9 Ma/No, anställd vid Kunskapsskolan i Kista samt
vid avdelningen för språk och litteratur vid Lärarhögskolan i Stockholm
Föreläsning
Svenska elevers matematikresultat, liksom deras intresse för ämnet, placerar sig vid flera
mätningar ungefär i mitten av OECD-länderna. Regeringens ambition är att dessa resultat
skall vara ledande. Som ett led i arbetet att åstadkomma detta har regeringen bland annat
gett Matematikdelegationen uppdraget att föreslå åtgärder i syfte att stärka och utveckla
matematikkunnande och matematikundervisning i svenska skolor, från förskola till
högskola.
För att förbättra såväl elevers attityder som resultat, menar jag att det inte räcker med att
matematiklärarna hittar nya vägar, samtliga personalgrupper i skolan behöver deltaga i
detta arbete. För att åstadkomma att såväl skolledare som vaktmästare, lärare i alla
ämnen, restaurangpersonal och fritidspedagoger bidrar till utvecklandet av
matematikkunnande såväl som till en positiv bild av ämnet och dess roll i vardagen krävs
naturligtvis ett visst mått av kompetensutveckling, men också, och kanske viktigare, ett
grundläggande förhållningssätt som genomsyrar hela verksamheten i stort som i smått.
Ett sådant förhållningssätt innebär att alla som verkar i skolan medvetet maximerar de
faktorer som gynnar utvecklandet av matematikkunskaper och bland annat tar till vara
varje chans att tala matematik med eleverna (eller för all del studenterna på högskolan).
På samma sätt som det idag är en självklarhet att lärare i alla ämnen skall organisera
undervisningen så att elevernas språkliga förmåga tränas, utvecklas och blir till ett
redskap för lärande borde det alltså vara självklart att alla har ett ansvar att utmana
elevernas matematiska tänkande, oavsett skolämne.
Alla lärare blir på detta vis mattelärare. Den ansvarige, och naturligtvis i ämnet
välutbildade, matematikläraren skall förstås lägga upp den planerade och organiserade
matteundervisningen, men varje dag ställs eleverna inför en mängd problem av
matematisk karaktär, på raster och på lektionstid, på gården och i skolrestaurangen, på
förmiddagar och på eftermiddagar, på idrottstimmar och på studiebesök…
Jag vill ge exempel på hur vi kan fånga upp dessa informella tillfällen till
matematiktänkande, från förskola till högskola.
189
Introduktion av måttenheter
eller tudelning/fördubbling en ”bortglömd” metod, eller
introduktion av bråk, eller en metod att lösa %-uppgifter
eller…
En workshop där deltagarna gör en resa i tid och rum, ställs inför problem som de aktivt
löser och använder resultatet till att lösa ytterligare problem med.
Kurt-Evert Alvinsson, Trelleborg
lärare på högstadiet i ma, fy och tk, dessutom speciallärare
Workshop
Pedagogisk tanke: Praktisk problemlösning
fördjupad förståelse
Syftet med detta moment är att ge eleverna......
* en historisk återblick på några måttenheter
* ökad förståelse för behovet av måttenheter
* en minskad ”respekt” för måttenheter.
Det är många gånger tillfälligheter som gör att en måttenhet är just
så stor som den är och egentligen kan man ju mäta med vad som helst.
* möjlighet att själva vara med att utifrån en definition av en fot
tillverka ett ”fotmätdon” samt att utföra mätningar med detta.
* möjligheter att ”aktivt” lösa praktiska problem
* ett praktiskt ex på hur man kan minska mätfelen vid mätning och
diskutera hur noggrant man egentligen bör mäta.
* en möjlighet att utan mätdon mäta avstånd med den egna kroppen (meter)
* övning i att mäta med ”ögonen”. Att förfina sin avståndsbedömningsförmåga upp till 100 m (~ längden av en fotbollsplan)
* en praktisk övning i att själva använda bråk på ett naturligt sätt.
(”delning” av foten för noggrannare mätning) Denna övning ger förståelse
för hur man förr i tiden använde bråken i praktiken.
* möjlighet att tillsammans i gruppen praktiskt lösa uppgifter.
Ex: ”Hur mycket väger egentligen ett engelskt pund om det definieras som vikten
av 7 680 vetekorn” . Här finns möjligheter att ge eleverna en fördjupad förståelse
för positionssystemet.
Det får ju liksom inte vara t ex 7 672 vetekorn i högen. Hur vet man att man räknat
rätt?
* en praktisk metod att med hjälp av tudelning lösa uppgifter av typen.
”Hur stor är rabatten i % om ett par skor som kostat 599:- säljs för 375:- kr?”
* övning i att med hjälp av visualisering eller en kinestetisk metod snabbt utföra
tudelning (division med 2, 4, 8, 16) eller fördubbling (multiplikation med
2, 4, 8, 16) eller procentuppgifter av typen ”Hur mycket är 50%, 25%, 12,4%,
6,25% av X och kombinationer av dessa.
Då börjar vi........
Se sid 2!
Vi ska nu göra en resa i rummet, till England och i tiden, till 1500-talets
senare hälft – i skarven mellan Kopernikus och Galileo. På den tiden var
jorden fortfarande universums medelpunkt kring vilken allting rörde sig.
Så sent som 1633 anklagades Galileo för kätteri av katolska kyrkan för att
han hade påstått, som Kopernikus tidigare gjort, att jorden varje dag roterar
kring sin egen axel och årligen kretsar runt solen som de andra planeterna.
I Sverige regerade Gustav Vasa och Skåne var fortfarande danskt.
Väl framme i England visar det sig att vi hamnat mitt i en försäljning av
betesmark. Man är överens om priset, 1/4 –dels får för varje fot som ena
sidan av betesmarken är lång.
Nu tar klassen över ”spelet”. Läraren utser säljaren (helst en liten flicka
med små fötter) och köparen (en reslig påg som lever på ”stor” fot).
Klassrummets längd ex.vis kan representera den sidan av betesmarken som
skulle mätas. Säljaren mäter hur många fot som sidan är och köparen
kontrollmäter. De får olika resultat t ex 32 fot och 28 fot. Då blir ju priset
antingen 8 får som säljaren vill ha eller 7 får som köparen vill ge. Ingen av
parterna vill ge sig utan hävdar sitt mätresultat. Lyckligtvis kunde en person
C, som hört samtalet, erinra sig att han hört något om hur 1500-talslantmätarna bestämde enheten fot. Person D vet säkert sade C. Jodå, D visste.
”Stå utanför kyrkdörren efter söndagens högmässa och be 16 män att stanna,
när de kommer ut ur kyrkan, långa karlar och korta om varandra!
Låt dem sedan ställa sina vänsterfötter i en rad efter varandra. Den längd som
man på så sätt fått skall anses vara den lagligen fastställda enheten för uppmätning
av landområden och sextondelen av denna längd skall anses vara den rätta längden
av en fot.”
Nu hjälps säljare och köpare att välja ut 16 klasskamrater och de (16) ställer
sig med vänsterfötterna efter varandra. Det sätts ett märke på golvet vid den
förstes tå och ett vid den sistes häl. Nu får klassen fundera över hur man
tar reda på hur långt en fot är. Man vet hur mycket 16 fot är.
Någon elev går förmodligen fram och tar meterslinjalen och börjar mäta.
Hade vi ”metern” på 1500-talet? När fick vi den? När kom den till Sverige?
(På 1790-talet i Paris och på slutet av 1800-talet i Sverige.) Nej, vi måste
hitta på ett annat sätt. Klassen kan ibland behöva lite hjälp på traven.
Hade man tråd på den tiden? Hur gjorde man kläder? Kläder hade man väl?
o s v. Vi har alltså så småningom en tråd som är 16 fot lång. Men vi vill veta hur
lång en fot är o s v.
Ledning:
Fundera över varför man valde 16 män och inte 10 eller 20 eller .........
Så småningom får varje elev sin ”fot” och mätningarna kan börja.
Men om det nu inte går jämt upp? Och om man skall mäta
något som är mindre än 1 fot – vad gör man då?
Välkomna!
191
Matematikens rikedomar – Kryptering
Matematikens Rikedomar är ett samarbetsprojekt mellan Nationalkommittén i matematik
och NCM, med syfte att ta fram en läsebok i matematik. Vi kommer beskriva projektet i
breda
ordalag samt som ett exempel prata om ett kapitel som handlar om kryptering.
En läsebok i matematik presenteras och ett av de ingående kapitlen, Kryptering.
Ibland behöver information skrivas ner så att den bara blir åtkomlig för vissa personer.
Kryptering handlar om att skriva meddelanden och sedan förvanska texten. I denna
föreläsning presenteras några olika metoder för kryptering med spännande nedslag i
historien.
Johan Håstad är professor i teoretisk datalogi verksam vid institutionen för Numerisk
Analys och Datalogi vid KTH. Han är även ordförande i nationalkommmittén för
matematik.
Karin Wallby är mellanstadielärare och arbetar på NCM bl a med Nämnaren,
Kängurutävlingen - Matematikens Hopp och Matematikens Rikedomar.
Föreläsning
Matematikens Rikedomar är ett samarbetsprojekt mellan
Nationalkommittén i matematik och NCM, med syfte att ta fram en
läsebok i matematik. Verksamma matematiker berättar i den om några
olika delar av matematik. Avsikten med boken är att visa en delvis
annan bild av matematik än den många bär med sig och att visa vad
människor som har matematik som yrke arbetar med. Det är inte tänkt
att bli en lärobok i traditionell mening utan en bok som ska ge
upplevelser och en orientering om ett spännande ämnesområde. Den
vänder sig i första hand till blivande och verksamma lärare, men
också till intresserade gymnasieelever och andra som är intresserade
av eller nyfikna på matematik.
Som ett smakprov om innehållet kommer vi berätta om kapitlet som handlar om
kryptering.
Till en början introducerar det traditionella kryptosystem som enkel substitionen och
blankettchiffer och diskuterar säkerhet hos kryptosystem.
Att visa att ett kryptosystem är dåligt gör man lämpligen genom
att forcera systemet. Att bevisa att ett kryptosystem är bra
är svårare men vi argumenterar för att blanketchiffer är ett
säkert kryptosystem genom att visa att kryptotexten inte
ger någon information om klartexten.
Slutligen diskuterar vi lite modernare kryptosystem och som
ett historiskt intressant exempel går vi ganska ingående igenom
G-skrivaren som användes av tyskarna under andra världskriget
och forcerades av Sverige under ledning av Arne Beurling.
Kapitlet innehåller även två exempel att lösa. En klassisk enkel substitution samt en
möjlighet att sätta sig i Arne Beurlings ställe och kartlägga en modifierad G-skrivare.
194
Oändligheten i undervisningen
Oändligheten fascinerar även dagens ungdomar. Genom att läraren ger eleverna många
spännande problem som innehåller oändligheten skapas fängslande situationer som
genom många positiva upplevelser vidgar elevernas kunskap om begreppet och samtidigt
väcker deras intresse för vidare kontakt med detta.
Varför och hur är det intressant att prata om oändligheten i matematikundervisningen?
Vilka grundläggande begrepp kan man prata om i undervisningen?
Hur kan man utvidga elevernas erfarenheter och problemlösningsförmåga genom
lämpliga uppgifter?
Katalin Földesi arbetar som universitetsadjunkt på Mälardalens högskola, Institutionen
för matematik och fysik. Hon har kurser för lärarstudenter i flera matematiska och
didaktiska ämnen. Just nu är hon ansvarig även för en fortbildningskurs för
matematiklärare i Västerås.
Föreläsning
Jag själv var alltid fascinerad av begreppet oändlighet. Jag träffade på begreppet först
som ett litet barn genom min pappas kvällshögläsning i flera litterära verk men även i
ungerska folksagor. Senare har jag förstått med glädje att oändligheten finns även i
matematik. Och inte bara en typ av oändlighet utan flera olika oändligheter. Oändligt
många oändligheter finns för att börja med. Genom undervisningssituationer har jag
förstått att mitt intresse är inte isolerad utan många andra är också intresserade av
oändligheten.
Med oändligheten kan man leka tillsammans med skolbarn. Man kan börja helt naturligt
med naturliga tal: hur många naturliga tal finns? Hur många heltal finns? Hur många
jämna heltal finns? Hur många udda heltal finns? Vilka är flera: naturliga tal eller heltal?
Jämna heltal eller udda heltal? Hur kan man låta olika tal bilda par för att kunna jämföra
dem? Många är mycket överraskade över att trots att alla jämna heltal är heltal, ändå är
de lika många…
Man kan ge många intressanta uppgifter som är lätta att utvidga till oändligheten… På
föreläsningen tänkte jag visa några, tillsammans med lösningen naturligtvis.
Jag ger nu ett exempel, ni kan själv fundera på och kanske komma på lösningen.
Uppgiften i den första varianten innehåller (nästan) ingenting som är kopplad till
oändligheten.
Sudda tal
Vi skriver upp följande tal:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Sedan suddar vi två godtyckliga tal och skriver upp deras skillnad. Kan det hända att det
sista talet är 0 ?
Trots att uppgiften är enkel, lösningen är inte alls trivial. Man kan pröva många gånger
att skriva upp dessa tal och sedan sudda och skriva och sudda och skriva tills man får ett
enda tal. Många tror att det är lätt att få 0 på slutet…
Om man kommer på lösningen, efteråt är det mycket lättare att utvidga uppgiften till
oändligheten. Pröva!
Om man har tröttnat på heltal, man kan fortsätta med rationella tal och fråga: Hur många
rationella tal finns? Hur vet man det? Man kanske tror att det finns flera rationella tal än
heltal. Men det är inte så, det får man se på föreläsningen.
Man kan rita mycket också på en vanlig tallinje, många olika talföljder och undersöka
vad är det som händer om talföljden slutar inte utan fortsätter och fortsätter. Man kan leka
på samma sätt med irrationella tal också. Alldeles för många elever tror att det finns bara
tre irrationella tal: 2 , e och π. Dessa tre speciella tal är ganska isolerade i deras
begreppsvärld. Genom att använda tallinjen för att illustrera många irrationella tal på ett
enkelt sätt utvecklar man deras talbegrepp också.
Nästa överraskningen kan vara att det finns flera irrationella tal än rationella tal och det är
inte svårt att visa. Alla vet att rationella och irrationella tal tillsammans bildar reella tal.
Man kan tro att det finns flera reella tal än irrationella tal men det är inte så.
Då kanske det bara finns två olika typer av oändligheten: en som man kan koppla till
naturliga tal och en annan som man kan koppla till irrationella tal ? Det vore en trygg
värld, eller hur? Men verkligheten är mycket mer komplicerad och vi fortsätter på
föreläsningen den här resan in i oändlighetens värld.
Vi har redan pratat om en vanlig tallinje i samband med oändligheten. Men en linje är en
grundfigur i den euklidiska geometrins värld. Sträckor och cirklar tillhör också dit. Dessa
välkända figurer kan vara mycket mer spännande kanske om man frågar:
Hur många punkter finns på en linje?
På en halvlinje?
Vilken figur har flera punkter, en linje eller en halvlinje?
Och två sträckor? Om man har två sträckor, är det inte så att på den största sträckan finns
flera punkter än på den minsta?
Samma frågor kan man ställa i samband med cirklar och ellipser?
Slutligen tänkte jag berätta om en intressant geometriuppgift som man kan ta upp i flera
olika sammanhang i undervisningen och som är kopplad till trianglar, talföljder, omkrets
och area…
Jag är övertygad om att genom att arbeta med dessa frågor i matematikundervisningen då
och då hjälper man eleverna att utvidga deras syn inte bara på matematiken utan på andra
område också, t.ex. litteratur.
195
Svensk matematikundervisning med ungerska ögon
Efter många år som matematiklärare i Ungern hamnade jag i den svenska matematikundervisningen. Som nybliven student, matematiklärare och fyrabarnsmor fick jag
enastående möjligheter för många rika erfarenheter i den svenska
matematikundervisningen. Detta skulle jag vilja dela med mig av.
Katalin Földesi arbetar som universitetsadjunkt på Mälardalens högskola, Institutionen
för matematik och fysik. Hon har kurser för lärarstudenter i flera matematiska och
didaktiska ämnen. Just nu är hon ansvarig även för en fortbildningskurs för
matematiklärare i Västerås.
Föreläsning
Som barn fick jag två olika erfarenheter i samband med matematik. Till en början gick
jag på en vanlig grundskola på landsbygden med vanlig matematikundervisning som
innehöll mycket beräkningar, men vid 10 års ålder deltog jag på en några dagars
sommarkurs för matematiklärare som leddes av Z. Paul Dienes. Jag var en av
barndeltagarna. Vi fick många intressanta uppgifter att lösa med hjälp av experimentella
metoder. Borden var fullpackade med olika redskap. Vi använde varken någon bok eller
anteckningar eller skrivmedel. Vi läste hemskt mycket matematik under dessa dagar på
ett okonventionellt och roligt sätt. Han levde i USA och med hjälp av honom spreds nya
metoder i matematikundervisningen i Ungern och ledde till ett omfattande didaktiskt
experimentellt arbete. Det här arbetet gick långsamt framåt, tog flera decennier och
resulterade i nya kursplaner och ett nytt sätt att undervisa matematik, först och främst i
förskolan och i grundskolan.
Efter grundskolan gick jag i en speciell matematikklass i Budapest på gymnasieskolan
Mihály Fazekas. Tanken var att ge intresserade elever möjlighet att läsa mycket mer
matematik än bara det obligatoriska. Dessa fyra år genom många positiva upplevelser i
matematikens värld gav en gedigen kunskap för fortsätta studier. I många fall bestämdes
yrkesvalet genom att man valde yrken där det var en fördel att kunna mer matematik,
men även utstickarna använde matematiken senare antingen på ett direkt eller indirekt
sätt.
Efter gymnasieskolan utbildade jag mig till gymnasielärare i matematik och fysik.
Samtidigt har jag kompetens för att undervisa matematik på högstadiet. Under
universitetsåren ledde jag flera studiecirklar i matematik både för grundskoleelever och
för gymnasieelever. Jag har även arbetat med förskolebarn och fick mycket positiva
erfarenheter när det gäller att leka matematik med dem.
Efter universitetsstudierna jobbade jag på flera universitet och högskolor som lärare i
matematik. Hela tiden har jag haft kontakt med skolundervisningen. Jag har undervisat i
många matematiska och didaktiska ämnen och även översyn av lärarstuderandes
praktikbesök tillhörde mina arbetsuppgifter.
1989 flyttade jag med familjen till Sverige utan att kunna svenska. Vi hade då fyra barn
mellan 4 och 14 år. Enligt dåvarande regler behövde jag kämpa hårt för att komma in i
det svenska arbetslivet. Under den här tiden följde jag med stort intresse våra barns
skolgång, speciellt i matematik och fick möjlighet att kunna göra flera skolbesök på alla
möjliga nivåer från förskola till universitet. Jag gick ett år på Uppsala Universitets
pedagogiska institution för att skaffa mig behörighet som gymnasielärare i matematik och
fysik.
Jag började arbeta med arbetslösa vuxna som skaffade sig gymnasiebehörighet i några
ämnen, både i Stockholm och i Uppsala. Jag har undervisat på Komvux i Uppsala. Helt
andra synvinklar fick jag genom ett annat arbete: 8 månader som församlingspedagog i
en församling med omfattande ungdomsarbete. Efteråt arbetade jag som gymnasielärare i
matematik och fysik på Polhemsskolan i Gävle. Under dessa sex år har jag alltid haft
både mycket starka och mycket svaga elever. Även på Högskolan i Gävle fick jag
möjlighet att hålla några kurser och blev involverad i lärarutbildningen som handledare.
För ett år sen började jag arbeta på Mälardalens Högskola i Eskilstuna på institutionen i
matematik och fysik. Under det här året har jag haft flera matematiska och
matematikdidaktiska kurser. Jag är mycket intresserad av utvecklingsfrågor i
matematikundervisningen långt utöver de vanliga arbetsuppgifterna och därför fortbildar
jag mig kontinuerligt genom att delta på olika konferenser, seminarier och genom
kontinuerlig läsning. Genom hela min uppväxt och utbildning representerar jag ett
konstruktivistiskt synsätt med ett sociokulturellt perspektiv.
Genom mitt dagliga arbete har jag skaffat mig bekantskap med alla styrdokument som
gäller den svenska matematikundervisningen. Jag har funderat mycket över läroplanerna
och kursplanerna. Trots att förståelse poängteras flera gånger i dessa dokument upplever
jag ändå att läroböckerna innehåller ett föråldrat sätt att se på matematik. En stor samling
av olika algoritmer med starkt begränsade exempel på tillämpningen. Det resulterar i att
duktiga elever i matematik blir duktiga i att beräkna rutinuppgifter på ett rutinmässigt sätt
men blir rådlösa när de hamnar i en mer eller mindre ovanlig situation i matematik. Jag
beundrar alla elever som håller ut och fortfarande tycker att matematik är roligt. Enligt
mina personliga erfarenheter består de flesta prov – även nationella prov - av likartade
massuppgifter som mäter elevernas förmåga att lösa uppgifter på en mycket smal skala.
Elevernas egen tankeförmåga utmanas inte, erkänns inte och utvecklas inte. Många
gånger nöjer man sig med en enda lösning till en uppgift. Att en uppgift har flera olika
lösningar som visar helt olika sidor av matematik hamnar i skuggan. Även på flera
tävlingar mottogs bara en lösning på en uppgift. Konsekvensen blir förödande. De
svenska läroplanen och kursplanen innehåller många bra tankar men vad gäller det
matematiska innehållet koncentrerar det sig nästan helt på en blivande teknisk utbildning.
Analysen eller förberedelsen till analysen dominerar i mycket större utsträckning stoffet
än andelen elever som går på en teknisk utbildning. Jag anser att det faktum att endast en
liten del av eleverna idag väljer en matematik- eller teknikrelaterad utbildning beror till
stor del av att läroplanen är ensidig och för formulerat för vuxna. Jag har läst i flera
dokument historien om den så kallade ”nya matematiken”, även har hört många
personliga kommentarer. Trots misslyckandet är jag övertygad om att den här korta
epoken innehöll flera viktiga moderna bitar i matematik som idag vore nödvändiga och
mycket användbara för att utveckla elevernas tankesätt i allmänhet men även i
matematik. Dessa delar är till exempel:
1. mängdteori, först och främst klassisk
2. matematisk logik
3.
4.
5.
6.
7.
talteori
kombinatorik och grafteori
Euklidisk geometri och flera moderna geometrier
diskret matematik
inblick i modern matematik
1. Den klassiska mängdteorin är inte bara grunden till nästan all matematik utan ger ett
viktigt bidrag till lösningen av många praktiska problem och underlättar förståelsen av
många matematiska begrepp. Undervisningen är väl beprövad på alla nivåer. Jag är
övertygad om att det vore lätt att anpassa alla dessa värdefulla experimentella resultat till
dagens svenska förhållanden. Tyvärr innehåller den här viktiga grenen av matematik
endast ett fåtal problem i slutet olika kapitel i läroböckerna och några tävlingsuppgifter.
Att kunna operera med olika mängder vore viktigt för studier i datalogi. Tyvärr kommer
mängdteorin alldeles för sent, på gymnasieskolans sista kurs, Diskret matematik.
2. Matematisk logik förekommer i den sista matematikkursen på gymnasieskolan under
namnet Diskret matematik men efter flera års arbete med de svenska elevernas bristande
förmåga i att kunna tänka logiskt vore det mycket bättre om man började med matematisk
logik redan i grundskolans tidigare år. Då vore det mycket lättare att undvika
förvånansvärt envisa logiska fel i olika uppgift- och problemlösningar. Väl utprövade
internationella erfarenheter visar att den här grenen av matematik kan ingå i den vanliga
matematikundervisningen redan vid tidig ålder. Naturligtvis behöver man tänka på att
undvika formalitetens fallgropar och anpassa uppgifterna efter elevernas tankeförmåga.
3. Talteori är också en viktig del av matematik som hamnade i skuggan enligt de senaste
kursplanerna. Jag kan vara bara ledsen för det. Det är så tacksamt att syssla mycket mer
med elementär talteori. Även grundskolebarn i tidig ålder kan göra det med glädje. Det är
lätt att ge spännande och roliga uppgifter som fördjupar och utvidgar elevernas
begreppsvärld och på ett roligt och lekfullt sätt förbereder även algebran. Jag är
övertygad om att man kunde slippa många senare problem i algebra om man vågade satsa
mer på talteori.
4. Kombinatorik och grafteori. Om man tittar på kursplaner och på mänga läroböcker,
båda bitar förekommer bara sporadiskt. Det enda undantaget är kombinatorik, som dyker
upp för sent igen, i kursen Diskret matematik. Ibland hittar man några roliga uppgifter
eller en liten läsning för nöjes skull. Mycket mer kunde man göra redan vid en tidig ålder
bland annat för att utveckla och behålla elevernas intresse för matematik. Genom många
olika, lättformulerade problem vore det lättare att stimulera den sinande lusten som dyker
upp enligt rapporterna efter några år på grundskolan hos grundskolebarn.
5. Euklidisk geometri och flera moderna geometrier. Jag blev chockad när jag skaffade
mig bekantskap med dagens geometri i dagens skola trots att jag tror att jag förstår
historien bakom det. Den pedagogiska historien. Enligt mig återger geometristoffet i
kursplanerna inte det som är det viktigaste hos Euklides och som blev en rik
inspirationskälla långt framåt i tiden efter honom. Det som är kvar är en koncentration på
geometrins ”mätbara” bitar, en försjunkning i att mäta och beräkna grundfigurernas
omkrets, area, volym och begränsningsyta. Nu är jag lite elak eftersom det finns litegrann
kvar först och främst i MAA och MAB-kurser. Som är synd att den ”praktiska”
inriktningen tog över i dessa kurser. Vore det inte möjligt att låta geometrin vara mer
geometrisk med flera möjligheter som ger eleverna möjlighet att använda visualisering på
ett mycket mer varierande sätt, använda fantasin och kreativiteten, samtidigt som man
övar saklig argumentation - bevis om man vill använda ett mer allvarligt ord - och
samtidigt gå in i logikens värld genom uppgifter där är det helt naturligt att man kan göra
skillnad mellan närliggande men ändå inte ekvivalenta begrepp, det speciella och det
allmänna osv. Många elever som är sämre i algebra skulle kunna vara bra i geometri och
tvärtom. Vore det omöjligt att låta eleverna få ett inblick åtminstone till andra geometrier
också? Det är så lätt att vara hemmablind, om de fick möjlighet att lära känna lite andra
geometrier också, skulle det kanske gå lättare att förstå den första geometrin bättre?
6. Diskret matematik. Det är bara att glädjas över att det finns en sådan kurs i dagens
gymnasieskola. Jag anser att man borde försöka placera så många bitar som möjligt av
den här kursen i tidigare nivåer. Många situationer kan kännas naturliga även för mindre
barn att fundera över, ha ett överblick över hur många olika fall finns och det är lätt att ge
uppgifter av en mycket varierande svårighetsgrad.
7. Det finns gott om exempel i olika läroböcker på mycket korta men ändå bra
sammanfattningar som gäller dagens matematik. Men först och främst så räcker det inte
för intresserade elever. Kan de inte få mer redan under grundkurserna på ett
intresseväckande men ändå underhållande sätt? Vore det inte värt ett försök att skriva och
låta eleverna få det som en komplement till kursböckerna?
Jag ger ett exempel i varje punkt för att bättre belysa vad det är jag tänker på.
Jag tänkte avsluta den här föreläsningen med tre tankar till.
1. Begreppsbildningen i matematik upplever jag som ett nästan helt och hållet
försummat område. Om man tittar igenom många läroböcker, försöker de inleda
eller belysa ett nytt begrepp på ett så kortfattat sätt som möjligt och många gånger
fortsätta efter en sida med tillämpningar. Resultatet är att många elever och även
studenter har inte alls klara och användbara begrepp, efter ett tag strävar de inte
alls efter det, utan de är för det mesta inställda på nya metoder och först och främst
på nya algoritmer att lära känna och kunna använda så snabbt som möjligt – allt
annat är bara onödig snack och slöseri. Men utan klara och användbara begrepp är
deras matematiska värld mycket lös och på grund av detta de kan ramla och fastna
i vilket ögonblick som helst. Begreppsbildningen behöver mer tid och mer verbal
kommunikation, men det är lönt. På den här punkten behöver de flesta elever
lärarens aktiva och kunniga hjälp. Det kan man inte spara. Jag själv saknar djupt
tiden undervisningstiden som skulle krävas för att satsa mer på
begreppsbildningen på alla nivåer.
2. Upptäcka, uppmana och ”mata” intresserade elever med spännande matematik på
alla nivåer. Våga försöka satsa mer på t.ex. studiecirklar eller elevföreningar för
matteintresserade elever. Att kanske syssla med matematik utanför de vanliga
skoltimmarna, under friare former, i mindre grupper, vore en oerhört bra möjlighet
för deras matematiska utveckling. Jag kommer aldrig att glömma många sådana
timmar med ”mina” elever när vi har suttit i källaren i en liten lokal med tavla och
antingen försökte vi lösa problem eller ibland fick en föreläsning. Stämningen och
deras reaktioner var oglömbara… Många gånger var jag tvungen att jag skicka
hem dem…
3. Uppmana och löna elevernas spontaneitet och individualitet mycket mer än idag.
Även på mattelektionerna. Det är mycket bra att ”prata” matte men det räcker inte.
Man behöver ett medvetet, genomtänkt och erkänt elev- och lärararbete på varje
nivå. Jag har träffat många elever som var eller snarare blev rädda för matematik.
Att satsa mycket mer på elevernas fria associationer och använda dem så långt
som det går vore nyttigt för hela matteutbildningen.
197
Matematikens rikedomar: datorskärmens geometri
En introduktion till digital geometri, som är en geometri under utveckling, lika exakt som
den Euklidiska, annorlunda men med vissa likheter. Föreläsningen har anknytning till
bokprojektet Matematikens rikedomar.
Christer Kiselman är professor i matematik vid Uppsala universitet. Han forskar på
komplex analys och geometri och digital geometri. Han är ledamot av regeringens
matematikdelegation och vice preses i Esperantoakademien.
Föreläsning
Punkter, räta linjer och plan har människan studerat i över två tusen år, och vissa kurvor,
som ellipser och hyperblar, har varit föremål för vår nyfikenhet nästan lika länge.
Allmännare kurvor, som lemniskator och kardioider, har studerats i flera hundra år.
Studiet av sådana kurvor grundar sig på att vi kan rita dem på papper och få idéer från
handritade bilder. Men med datorerna har vi fått ett nytt sätt att rita. På en datorskärm
ser vi bilder, och bilderna består av små bildelement eller pixlar, som ögat sätter ihop till
geometriska objekt. En rät linje blir då inte det som Euklides avsåg med en rät linje, utan
en ändlig mängd av prickar på skärmen, som ögat ändå fogar ihop till ett
sammanhängande linjestycke. En kurva är likaså enändlig mängd av bildelement.
Finns det en geometri för dessa bilder på datorskärmen? Svaret är ja. Vi behöver inte
nöja oss med att uppfatta bilderna som mer eller mindre noggranna approximationer av
ideala räta linjer eller kurvor,utan kan behandla dessa ändliga punktmängder med samma
exakthet som Euklides hade i sin geometri. Detta är den digitala geometrin. Den är ung
jämfört med Euklides'.
Azriel Rosenfeld gav år 1974 en definition av begreppet digital rät linje. Erik Melin fann
år 2003 en annan digitalisering av räta linjer, som respekterar Khalimskys topologi (jag
skall förklara vad den är i föredraget). Vi kan också tala om kurvor i det digitala planet.
Vi kan ta vilket begrepp som helst i den euklidiska geometrin och försöka översätta det
till den digitala geometrin, och se om ett visst resultat i den euklidiska geometrin blir sant
i den digitala.
Speciellt skall vi titta på Jordans kurvsats. Denna sats handlar om kurvor i det euklidiska
planet och säger att en sluten enkel kurva delar planet i två delar: en inre och en yttre
komponent. Beviset är svårt. Om man nu har en kurva i det digitala planet -- den består
alltså av ändligt många punkter -- kan den då dela in planet i två delar? Svaret är ja. Det
resultatet bevisades av Efim Khalimsky
(E. D. Halimskij, 1970).
Vi skall beskriva några begrepp inom den digitala geometrin och illustrera dem genom att
diskutera Khalimskys digitala version av Jordans kurvsats. Men för att nå dit måste man
ompröva en del invanda föreställningar.
Det är nu för tiden lätt att motivera den digitala geometrin med dess tillämpningar inom
datorgrafik och bildanalys. Men det kan vara värt att notera att Khalimsky införde sin
topologi redan 1969, synbarligen utan några sådan tillämpningar i åtanke.
198
Om geometri och geometriundervisning
Några exempel på en ”vertikal undervisningsgång. Föreläsningen, med inslag av workshop, vill
visa på värdet av att matematiklärare i alla skolår har kännedom om hur samma innehåll
återkommer på olika nivåer genom skolåren.
Ingvar O. Persson är lärarutbildare i matematikdidaktik vid Lärarhögskolan i Stockholm. Han
arbetar också med fortbildningsuppdrag och kurser i matematikämnets didaktik.
Föreläsning och workshop
En undervisning, grundad på förståelse, ställer stora krav på den undervisande läraren. ”Du kan
lära andra det du själv lärt dig, men du kan inte få någon annan att förstå det du inte själv
förstått”, är ett talesätt i detta sammanhang.
Mot denna bakgrund kan det vara värdefullt för den lärande eleven om alla som undervisar i
matematik är väl förtrogna med såväl det matematikinnehåll som eleven mött tidigare, det som
nu är aktuellt för undervisning samt det matematikinnehåll som väntar eleven i de kommande
studierna/verksamhet. Ju mer läraren vet om detta, desto större är möjligheterna att fatta kloka
undervisningsbeslut, när läraren väljer att undervisa som hon/han gör.
Begrepp och moment inom matematikundervisningen återkommer vid olika tillfällen för eleven
på vägen genom skolan från år ett till avslutade gymnasiestudier. Som exempel kan nämnas
procentbegreppet som behandlas återkommande vi olika tillfällen och med olika metoder. Om
den tidigare behandlingen av stoffet har gjorts på ett reflekterat sätt, kan elevernas
ingångskunskaper utgöra en god grund för ett fortsatt utvecklat arbete inom momentet.
Vid arbete med olika typer av problemlösning, kan lösningar genomföras på helt olika sätt, bland
annat beroende på vilka metoder eleven förfogar över vid det aktuella tillfället. Geometriavsnittet
ger möjligheter att visa hur samma exempel kan behandlas på olika sätt från speciella till
generella metoder.
Under detta arbetspass kommer bland annat att visas exempel på hur volymsbegreppet kan
behandlas på olika sätt med en ökande grad av generalisering vid olika tidpunkter i utbildningen.
200
Matematik är väl ingen konst – eller?
Så kallas ett samarbetsprojekt mellan matematik, bild och design, som genomförs med
elever från tekniska och estetiska programmen vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg.
Målsättningen är att hitta nya vägar inom matematikundervisningen och väcka intresse
och fascination för sambanden mellan matematiska förhållanden och konst.
”… matematik kan vara både ett språk och ett redskap. Matematiken är ett viktigt verktyg
för lärande och kunnande i andra gymnasieämnen, inte bara i fysik och kemi, utan även
iandra ämnen som biologi, ekonomi, samhällskunskap och bild” SOU 2002: 120 sid 168
Broar byggs mellan olika ämnen och olika program.
Cathrine Hobroh är matematiklärare
Ulf Söderstrand är bildlärare
Båda arbetar vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg
Föreläsning
Så kallas ett samarbetsprojekt mellan matematik, bild och design, som genomförs
med lever från tekniska och estetiska programmen vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg.
Målsättningen är att hitta nya vägar inom matematikundervisningen och väcka
intresse och fascination för sambanden mellan matematiska förhållanden och konst.
Broar byggs mellan olika ämnen och olika program.
Cathrine Dunhammar Hobroh arbetar som matematiklärare och Ulf Söderstrand
som bildlärare.
Föreläsning
Ett projekt kallat ”Matematik är väl ingen konst…eller?” genomförs vid
Söderslätts-gymnasiet i Trelleborg och berör undervisningen i matematik och bild för
elever på Teknikprogrammet och Estetprogrammet.
I målen för kurs A i matematik står det att eleverna efter avslutad kurs skall ”känna
till hur matematiken påverkar vår kultur när det gäller till exempel arkitektur,
formgivning, musik och konst samt hur matematiska modeller kan beskriva förlopp och
former i naturen.”
Kanske kan man genom bild, design och konst hitta nya infallsvinklar för att
stimulera matematikundervisningen och uppnå nya insikter hos eleverna. En målsättning
har varit att försöka väcka intresse och fascination för sambanden mellan konst och
matematiska förhållanden inom ett bredare fält.
”…matematik kan vara både ett språk och ett redskap. Matematiken är ett viktigt
verk tyg för lärande och kunnande i andra gymnasieämnen, inte bara i fysik och kemi,
utan även i andra ämnen som biologi, ekonomi, samhällskunskap och bild” SOU 2002:
120 sid 168.
Skolverket vill att matematikundervisningen förnyas. ”Det är hög tid att blåsa liv i
matematikundervisningen. Alldeles för många elever tappar lusten och skyr ämnet mest
av alla. För mycket mekaniskt räknande i böcker är en förklaring enligt Skolverket”
SDS 25 jan 2003 A sid 36
Projektet sammanfaller väl med Skolverkets utredning Lusten att lära – med fokus
på matematik och dess intention att hitta nya vägar inom matematikundervisningen.
Arbetssättet kan sammanfattas i tre punkter. Konstverk, skulpturer m.m. har använts
som illustration till matematiken.
Här följer några exempel.
När vi sysslade med geometri studerade vi olika verk som innehåller geometriska
figurer. Rafaels ”Madonna” är uppbyggd som en triangel, likaså Archimboldos
”Bibliotekarien”.
Josef Albers målade kvadrater t.ex. ”Komposition med gul kvadrat”
Hilma af Klint målade cirklar t.ex. ”Svanen nr 17”
I Wassily Kandinskys ”Spetsar i bågform” förekommer flera olika geometriska figurer.
Lenny Clarhälls skulpturer, ”Fyra Malanganer”, består av cirkelsegment.
1. Bilder och konstverk har utgjort arbetsunderlag till matematiska uppgifter.
Här följer några exempel.
Koordinatsystem har lagts in i bilder av Piet Mondrian och Olle Baertling och
eleverna har angett koordinater och räta linjens ekvation.
Vi mätte på en bild av Pietro Peruginos tavla ”Jungfru Maria med Jesusbarnet”
då vi sysslade med procent och fann att konstnären använt sig av gyllene snittet.
Vi mätte på ett vykort föreställande Peter Tillbergs ”Blir du lönsam lille vän?”
och bestämde skalan då vi visste storleken på Tillbergs stora konstverk. Eleverna
beräknade hur stor apparaten skulle bli i verkligheten om den uppfördes i den
skala som anges på GAN:s konstverk ”Apparat för magasinering av solljus”.
3. Vi har studerat och gjort beräkningar som rör geometriska och matematiska
konstruktioner som ligger bakom tillkomsten av konstverk, skulpturer, vaser, möbler och
byggnadsverk. Här har vi använt oss av kunskaper från bl.a. C, D och E-kursen.
Här följer några exempel.
”Jesu dop” av Piero della Francesca
”Hetluft” av Lenny Clarhäll
”Gateway” av Eero Saarinen
”Superellipsen” av Piet Hein
Efter genomgånget moment i matematiken, där konsten kommit in, har vi tittat på
och pratat om konstverk och konstnärer. Under bild- och designlektionerna har eleverna
sedan fått fördjupa sig i konsten, diskutera och analysera olika konstnärers kreativa
tillvägagångssätt och olika konstriktningar. Dessa resonemang har sedan legat till grund
för olika praktiska arbetsuppgifter som fördjupning och som experimenterande inslag,
varvat med studiebesök. Eleverna har fått möta konstnärer, formgivare och kreatörer från
olika arbetsområden. Bild-, svensk- och datalärare har varit involverade i projektet
Samverkan har även påbörjats med skolans Industriprogram och Byggprogram.
202
Hur man bygger en bro och deltar i matematiktävlingen KappAbel
Matematiktävlingen KappAbel för skolår 8 visar att matematik är roligt, vackert och
nyttigt. Hela klassen arbetar gemensamt med tävlingen. Den stimulerar till diskussion och
samarbete, främjar inlärning genom ett undersökande och utforskande arbetssätt samt
skapar variation i undervisningen. Vi visar uppgifter, det svenska laget från Kubikskolan
som vann den nordiska finalen, projektarbetet med en klaffbro och matematiken bakom.
Gerd Ripa är matematiklärare och rektor på Kubikskolan i Helsingborg. Är med i
Matematikdelegationen
Bengt Åhlander Har varit lärare i Ma och Fy på Östrabo, Uddevalla gymnasieskola,
numera rektor på samma skola. Medlem i Svenska Kommittén för Matematikutbildning,
SKM.
Representanter för klassen som vann
Workshop
Hur man bygger en bro och deltar i matematiktävlingen KappAbel
År 2000 hade Norge en stor final i matematiktävlingen KappAbel i Arendal Norge. Där
hade man samlat alla vinnare i varje fylke i Norge och det blev ungefär 18 klasslag som
deltog. Vid denna konferens började man prata om att inbjuda hela norden till tävlingen.
Förra året deltog Sverige, Island och Danmark förutom Norge. I år hoppas vi få med
Finland och kanske Färöarna. Den har blivit en nordisk angelägenhet eftersom Nordiska
Ministerrådet beviljat pengar för verksamheten. I september 2003 hölls den första
nordiska finalen med fyra landslag och där Sverige tog hem bägge deltävlingarna, både
problemlösningen och projektarbetet. På våren hade vi haft en nationell final för att utse
det svenska laget som skulle få åka till Norge och den nordiska finalen.
Förutom problemlösning ska varje klass genomföra ett projektarbete med olika teman.
Förra året var temat ”Matematik och teknik” medan det i år är ”Matematik och musik”.
Det är år 8 i grundskolan som får delta i tävlingen.
Vi kommer att under presentationen få ta del av det svenska laget som presenterar sitt
projektarbete och därefter kommer alla få vara med i problemlösningen för att man ska
kunna skaffa sig en bild av vilken sorts matematik det handlar om.
Några smakprov finns nedan:
Problem givet vid den nordiska finalen:
Guldkedjan:
Sonen till en rik guldsmed lämnade hemmet efter sin fars bortgång. Allt han tog med sig
var en guldkedja som bestod av 129 länkar. Han hyrde en lägenhet i centrum av staden.
Som hyra för lägenheten var han tvungen att varje vecka betala en länka av guldkedjan.
Hyresvärdinna ville vid slutet av vecka ett ha en länk av guldkedjan i sin ägo, och efter
två veckor två länkar osv.
Sonen förstod att han var tvungen att klippa upp ett antal länkar av kedjan för att kunna
betala veckohyran på detta sätt- Vilket är det minsta antal länkar som han måste klippa
upp och hur långa skulle de olika bitarna av kedjan bli om han ville hyra i 129 veckor?
Sonen kunde byta länkar med hyresvärdinnan dvs. få tidigare betalda länkar i retur bara
hyresvärdinnan efter n veckor hade n länkar.
Fler problem kommer att visas upp.
I Sverige finns det idag en KappAbelgrupp som består av fem personer. Det är
lärarföreningarna SMaL och LMNT som arbetar med tävlingen nationellt. Hemsidan är
www.kappabel.com
Helena Lilja ordf. i SMaL, Maria Linderoth SMal, Karin Pettersen LMNT
Gerd Ripa, Bengt Åhlander
203
Lärakademin:
”Samverkan mellan stadier i ett matematiskt didaktiskt lärande 1-16 år”
Lärakademin ”Samverkan mellan stadier i ett matematiskt didaktiskt lärande 1-16
år” är en av de 54 Lärakademier som är en nationell satsning för att främja
skolutveckling i Myndigheten i skolutveckling och Lärarförbundets regi.
Lärakademin består av praktiknära lärare från förskola och grundskola, skolledare,
skolutvecklare, lärarutbildare i matematik och forskare i pedagogik vid Klågerups
skolenhet, Svedala kommun, Malmö Högskola och Högskolan Kristianstad.
Lärakademin genomför en implementering i ett samverkans perspektiv mellan förskola
och grundskola, inom kunskapsområdet matematik ur ett didaktiskt lärande och
forskande perspektiv.
I föreläsningen vill lärakademin belysa och inspirera till skolutveckling genom att lyfta och
beskriva de erfarenheter som förbättringsarbetet erfordrar bl.a.
Hur samverkan mellan stadierna organiseras för att få vidare/återkoppling i lärandet och
forskandet i matematik utifrån Lpo94 och Lpfö98. Där en lärande process med lust, eget
skapande och med inflytande uppstår och består hos eleven/elevgruppen.
Vilka betydande roller skolledning, skolutvecklare, lärare, lärarutbildare, forskare har i
samverkan med varandra för att en skolutveckling och förbättring skall kunna ske inom
kunskapsområdet matematik på den enskilda skolenheten.
Vilken kompetensutveckling som yrkas på för skolledare, lärare och föräldrar för att
utveckla ett pedagogiskt förhållningssätt ur ett matematiskt didaktiskt perspektiv.
Det beskrivs också i föreläsningen om de samverkanspartners Klågerups skolenhet har etablerat,
för att skapa skolutveckling inom matematik i ett didaktiskt perspektiv nationellt och
internationellt.
Annika Palmgren arbetar vid Klågerups skolenhet, Svedala kommun, Nationell
skolutvecklare/ Lärakademiföreståndare, Lärakademier i Myndigheten för skolutveckling
och Lärarförbundets regi. Skolutveckling.
Föreläsning
204
Räkna med mindre matte
Vikingaskolan i Lund har arbetat med ämnesövergripande undervisning sedan 1997. I
detta arbete är strävan att integrera andra ämnen i matematikämnet såväl vad gäller mål
som stoff. Att en samverkan över ämnesgränserna kan förbättra
matematikundervisningens kvalité betonas i Skolverkets rapport ”Lusten att lära med
fokus på matematik”.
Patricia Wågensand, Lotta Janhall, Birgitta Sigeman, Robert Göransson, Maria
Vasquez och Pelle Persson är grundskollärare och arbetar bland annat med att utveckla
matematikundervisningen i sjuan, åttan och nian på Vikingaskolan i Lund. I sin
lärargärning ser de sig i första hand som pedagoger och i andra hand som
ämnesföreträdare. De arbetar dagligen med ämnesövergripande undervisning.
Föreläsning och workshop
Inledning
Barn lär bättre när lärandet sker i ett sammanhang. En viktig del i det ämnesövergripande
arbetet på Vikingaskolan är att skapa helheter inom vilka det är möjligt för eleverna att
förstå och ta ansvar för det arbete de utför. Skolarbetet bedrivs i tematisk form, ämnena
utgör antingen delar av en helhet eller är själva en sådan. Terminerna delas upp i olika
arbetsområden vars innehåll bestäms i en terminsplanering och framställs i en
arbetsområdesbeskrivning. Målet och syftet med undervisningen dikterar i vilken grad
olika ämnen integreras. Eleverna planerar själva stora delar av arbetstiden i skolan, har
långa sammanhängande arbetspass och är delaktiga i planering av innehåll och metoder.
Lärarna arbetar i arbetslag med ett gemensamt ansvar för alla elever och ett särskilt
ansvar för ett mindre antal i egenskap av handledare.1 Denna organisation har medfört
färre mattelektioner, dock ej mindre matematik.
Matematik och lärande
Ju längre tid en elev går i skolan desto större blir sannolikheten att lusten att lära
matematik minskar. Den naturliga nyfikenhet till ämnet som de flesta elever har när de
kommer till skolan är under de senare skolåren totalt förändrad. En stor grupp elever kan
inte se någon koppling mellan matteundervisningen och sin egen verklighet.2 Många
gånger lär eleverna enbart för att klara prov och få belöning i form av betyg. Deras
problemlösningsförmåga inriktas på hur läraren tänker och inte på det egentliga
innehållet i skolarbetet. Denna ytinlärning medför ett passivt förhållningssätt vilket i sin
tur leder till att förståelsen blir lidande. Att organisera skolarbetet så att det anknyter till
elevernas verklighet och blir tydligt både vad gäller innehåll och sammanhang är därför
av största vikt. Eleverna måste förstå vad de ska göra och varför de ska göra på det ena
eller det andra sättet för att de ska kunna relatera det de redan vet till det skolarbete som
pågår.
1
2
För en detaljerad beskrivning av organisationen se: Krantz, Persson, Sex, godis och mobiltelefoner.
Skolverket, Lusten att lära med fokus på matematik, s.39.
Ämnesintegration
Det är sällan så att verklighetens problem följer skolans ämnesgränser, matematiken
utgör här inget undantag. Ett faktum som kraftigt försvårar de flesta lärares möjlighet att
binda samman skolarbetet med den verklighet som eleverna upplever utanför skolan. Den
som vill sammankoppla undervisningen till skolbarnens verklighet har därför starka skäl
att låta matematiken smälta samman med skolans övriga ämnen. En integration mellan
skolans olika ämnen lyfts fram som eftersträvansvärd både i grundskolans läroplan och i
dess kursplaner. Själva ämnesindelningen är bara ett sätt att organisera utbildningens
innehåll och syftar inte till att skapa gränser mellan ämnena. Det finns en tydlig
gemensam bas i styrdokumenten på vilken det absolut är möjligt att bygga en integrerad
undervisning.3
Exemplet Ungdomsbomässan
Under höstterminen 2003 arbetade Vikingaskolans åttor med ett arbetsområde som fick
namnet ”Ungdomsbomässan”. Eleverna ingick i ett fingerat projekt i vilket de hade till
uppgift att skapa ett fungerande ungdomsboende i verklig miljö. I samarbete med
stadsbyggnadskontoret kopplades arbetet till en planerad utbyggnad av ett område öster
om Vikingaskolan. Målet för eleverna var att planera, rita och konstruera ett fungerande
ungdomskvarter på detta område. De arbetade i grupp med ett gemensamt mål och ett
tydligt individuellt ansvar. Teknik, bild, svenska, No, hemkunskap och So integrerades
med matematiken. Arbetet pågick under fem veckor och avslutades med en
ungdomsbomässa där eleverna presenterade sitt arbete för ett stort antal vuxna besökare.
Elevinstruktion
Ett utvecklande av elevens problemlösningsförmåga betonas både i grundskolans
läroplan och i dess kursplan i matematik. Arbetsområdet ungdomsbomässan gav goda
möjligheter att arbeta med just problemlösning. En tydlig ram för arbetet sattes av
lärarna, se nedan. Inom denna ram fick eleverna sedan arbeta för att nå målet.
Du ingår i ett projektteam som har till uppgift att skapa ett fungerande ungdomsboende i
verklig miljö. Det estetiska ska prioriteras i projektet. Du ska arbeta både enskilt och i
grupp.
Enskilt
Du ska planera och göra en ritning över en bostad i skala 1:50
Du ska göra en ritning av bostadens fasader i skala 1:50
Du ska inreda bostaden (på ritningen)
Du ska räkna ut inredningskostnaderna för bostaden
Du ska göra en presentation av din inredning
Du ska göra en perspektivritning av ett rum i bostaden
Du ska bygga en modell av bostaden i skala 1:50
3
Lpo 94, s. 8 & 11, Skolverket, Grundskolan, kursplaner och betygskriterier 2000, s. 6.
Du ska göra en tomt till bostaden i skala 1:50
Grupp
Ni ska göra en karta över kvarteret i skala 1:100
Ni ska planera så att kvarteret fungerar (vägar, el/varmvatten, telefon/Internet,
sophämtning och uppvärmning) samt räkna ut driftskostnaderna för varje hus
Ni ska med hjälp av kartor, skisser, ritningar etc. förklara hur kvarteret är tänkt att
fungera
Ni ska göra och presentera en undersökning om något som kan förbättras i
Lineroområdet
Som framgår av listan ovan gavs eleverna ett antal öppna problem med koppling till den
verklighet som fanns såväl i deras hem som i den kommande utbyggnaden av om rådet
öster om Vikingaskolan. Under arbetets gång tillfördes ett antal problem. Bland annat
blev eleverna tvungna att byta fönster och måla om sina hus.
Resultat
Det fanns ett genuint intresse hos eleverna att fundera på sitt framtida boende. Detta
innebar att de arbetade och lärde sig utan att fundera på om lärarna fick vad de ville. Det
fanns en inre belöning i det arbete som utfördes. Att få fantisera om ett eget framtida
boende var viktigare än eventuella yttre belöningar. Tankar på misslyckanden sköts åt
sidan av ivern att göra sitt bästa. Den avslutande mässan på vilken eleverna skulle
redovisa sitt arbete spelade en viss roll för motivationen men den drivande kraften var
problemlösandet i sig. Målet för arbetet var i elevernas medvetanden dessutom
överordnat skolämnena. Eleverna frågade sig inte om det de gjorde var matematik utan
fokus var på att lösa de problem som de hade ställts inför. Det ämnesövergripande arbetet
ledde till att eleverna räknade med mindre matte!
Referenser
Krantz, Johan och Persson Pelle, Sex, godis och mobiltelefoner –pedagogik underifrån,
Lund 2001
Skolverket, Grundskolan, kursplaner och betygskriterier 2000, Stockholm 2000
Skolverket, Lusten att lära med fokus på matematik
Skolverket, Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002, Lusten att lära -med fokus på
matematik, Stockholm 2003
Utbildningsdepartementet, Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen
och fritidshemmet, Lpo 94, Västerås 1998
205
Med fantasins hjälp
Med fantasins hjälp upptäcker elever t.ex. samband, mönster, tal, former, relationer. De
dokumenterar och uttrycker sina matematiska erfarenheter i kreativt skapande. ”Ju rikare
verklighet, desto mer möjlighet till fantasi, och vice versa." (Vygotskij)
Berit Bergius lågstadielärare vid Fiskebäcksskolan och Lillemor Emanuelsson lågstadielärare
och universitetsadjunkt på NCM nationellt Centrum för Matematikutbildning, Göteborgs
universitet.
Föreläsning
I Normalplanen 1878 fanns två skolämnen motsvarande dagens matematik - Räkning och
Geometri. Timplanen visar att i folkskolans fjärde klass hade
 pojkarna tre timmar räkning och två timmar geometri
 flickorna fyra timmar räkning, noll timmar geometri och en timmes skrivning
I småskolan behandlades främst huvudräkning och skriftlig räkning i addition och
subtraktion i begränsade talområden. I folkskolan ville många se mindre av ensidigt
mekaniskt räknande och mera problemlösning.
Hur ser det ut idag?
I kursplanen beskrivs matematik som…En kreativ och utforskande aktivitet som omfattar
skapande, utforskande verksamhet och intuition.
Fantasins skapande aktivitet är direkt avhängig av rikedomen och mångfalden i
människans tidigare erfarenheter, eftersom dessa erfarenheter utgör det material som
fantasikonstruktionerna byggs av. Ju rikare en människas erfarenheter är, desto mer
material förfogar hennes fantasi över. Ett barns fantasi är fattigare än en vuxen
människas, eftersom dess erfarenheter är mindre rika.
Lev S Vygotskij 1930 Fantasi och kreativitet i
barndomen.
Om det är så, blir en konsekvens att det gäller att ge elever många, rika, varierade
erfarenheter!
Jag skulle sätta
barnen i origo
och bygga
palissader
runt
periferien
om jag vore en
cirkel
Lars Hesslind 1988 Samtal Med En Kakelvägg
Vilka matematiktankar ger dikten möjligheter till?
Elever utmanas
att gå bortom
vad och hur
till
varför
hur kommer det sig
och
vad händer om
Martinez & Martinez i Mathematics Teacher dec 98, s 746
Detta är ett viktigt citat för oss! Hur kommer det sig? Vilka är sambanden? Hur vet du
att det är så? Kommer du ihåg förra gången?
För oss handlar det om att vidga elevernas tänkande, utmana, tillföra energi, men också att
koppla tillbaka till deras tidigare erfarenheter. Ett av våra mål är, att utifrån elevers omvärld och
erfarenheter, bygga upp geometriska begrepp, tal-och rumsuppfattning, mönster, samband,
relationer med mera. Genom olika undersökningar, laborationer, spel och pussel, samt
aktiviteter i många varierade situationer i interaktion med andra människor utveckla det
matematiska kunnandet. Det blir betydelsefullt att stimulera elevernas motorik, språk och bilder i
samspel samt genom att utmana kreativitet och nyfikenhet, uppmuntra till olika representationer
och stimulera alla sinnen.
Vi ger exempel på skapande möten mellan elevers fantasi och spännande, lustfylld matematik.
Det handlar om att fånga och utveckla de magiska ögonblicken. Fantasi och kreativitet är positivt
laddade ord men tas inte alltid på allvar. Vi lever i en värld full av mönster, former och
geometriska objekt. Elever saknar ofta precisa ord, uttryck och språk för att t ex uttrycka likheter
och skillnader. Vi menar att med utgångspunkt i barnets eget språk, byggs det matematiskt
korrekta språket upp. Från barnets spontana uttryck, genom upptäckter för att förstå samband,
kan symbolspråk och associationsvärld utvecklas. Genom att använda språket utvecklas begrepp,
innehåll, innebörd och uttryck.
Några exempel från den fantastiska verkliga världen… Vad nu den är för barn?
Vad händer med det nyfikna barnet före och efter mötet med cirkeln och mönster i ringen
på golvet - till konstruktion och storleksberäkning av de delar cirkelns radie bildar - och
när, varför och på vilket sätt mötte eleverna ellipsen?
Kvalitetsgranskningen av Lusten att lära – med fokus på matematik visar att unga elever sällan
behöver motiveras för matematik under de första åren i skolan. Den är ny och spännande. Barnen
väntar sig att få lära nya saker och det finns lust, nyfikenhet och intresse. Men det blir snart
svårare att hålla detta vid liv. Då kommer lärarens stora betydelse och nyckelroll in. Det gäller att
bearbeta begrepp, att utveckla synen på matematik, att utmana elever med aktiviteter, frågor,
uppmuntra dem att förklara och diskutera möjliga lösningar, göra egna upptäckter och söka nya
kunskaper. Matematik är så mycket mer än det som finns mellan pärmarna i en räknebok!
Tyvärr har många elever låga förväntningar på att skolmatematik är något mer än räkning.
Matematik kan knyta ihop alla andra ämnen och är roligt, logiskt och uppmuntrar kreativitet. Det
behövs ett estetiskt synsätt en helhetssyn med tilltro till den kreative eleven!
206
Elever gör upptäckter och finner matematiska samband i reella och fiktiva
motionsslingor
” Elever rör sig för lite. Lägg in mer idrott i det dagliga arbetet” – löd budskapet från Tomas
Östros. Arbetet beskriver två år 5-gruppers erfarenheter och lärande i bl. a. mätningar och
jämförelser av tid, avstånd och hastighet. I ritningar, ifrån början okänd skala, markerades
specifika verkliga avstånd.
Berit Bergius är lärare vid Fiskebäcksskolan i Göteborg.
Föreläsning
Kursplanen i Matematik (2000) säger att skolan i sin undervisning ska sträva
mot att eleven

får tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och använda
matematik i olika situationer
 förstår och kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder
 förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt
och skriftligt argumentera för sitt tänkande.
Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden, som ger dem underlag för att utvidga sitt
matematiska kunnande. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att utöva och kommunicera
matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse,
nya insikter och lösningar på olika problem.
Aktuell forskning om effektivt lärande betonar vikten av att utgå från det som angår och
engagerar elever. Den sociala interaktionen i lösningsprocessen är viktig för utvecklingen av
individens lärande.
När eleverna började sin hösttermin, år 5, hade media slagit upp Tomas Östros uttalande. Det var
ofta kopplat till påståenden om att skolan skurit ned idrottsundervisningen.
Visst är det viktigt att våra elever rör sig mycket! Hur ska detta kunna integreras på ett naturligt
sätt i det dagliga arbetet?
Mina funderingar ledde till att, som en del av det tema vi planerat, naturen omkring oss – sedd i
förstoringsglas, använda en motionsslinga. Vår skola ligger i nära anslutning till naturen.
Eleverna vistades ofta ute under s.k. PA de tidigare åren i skolan.
Eleverna fick uppdraget:
Rita en karta över en motionsslinga. Den går genom skogen. Någonstans längs vägen passerar du en ödestuga, vid stranden av en sjö. En bro
leder dig över en bäck.
Det tar 30 minuter för dig att jogga den slingriga slingan. Du klarar att hålla jämn fart hela
vägen, fast det finns backar.
Föreläsningen ger exempel på hur eleverna arbetade med, och redovisade, bl.a. dessa
utmaningar:
•
Hur lång är din bana? Hur vet du det? Placera ut
kilometerskyltar längs kartan över banan.
•
Om du springer 2 varv, hur långt har du då sprungit?
•
Hur många varv måste du springa, om du vill springa 1 mil? Hur lång tid tar det?
•
Hur långt kommer du på 20 minuter?
• Vid maraton springer man 4.2195 m. Hur många varv skulle du behöva springa för att vara
säker på att du sprungit lika långt?
• Jämför längden på din bana med två kamraters banor. Vilka likheter hittar du?
Skillnader?
• Ibland vill du kanske gå istället för att springa. Om du går ett varv med jämn fart, hur
lång tid skulle det ta? Hur kan du ta reda på det?
•
Du startar din träning kl 15.26 och är i mål kl 16.12. Hur länge och hur långt har du
sprungit? Var någonstans på slingan är du då?
207
Goda exempel inom matematikundervisningen för vuxna –
redovisning av en nationell kartläggning
Under 2003 har NCM genomfört en kartläggning av ”goda exempel” inom
matematikundervisning för vuxna. En enkät skickades ut till landets samtliga skolor,
utbildningsanordnare och förvaltningar inom den offentliga skolväsendet för vuxna samt
till folkbildningens organisationer.
Resultatet av denna undersökning redovisas och utgör underlag för ett samtal kring
vuxnas matematiklärande.
Lars Gustafsson, ansvarig för området vuxenutbildning och vuxnas lärande Nationellt Centrum
för Matematikutbildning, NCM, Göteborgs universitet
Föreläsning
Våren 2003 skickades ett upprop angående en kartläggning av “goda exempel” inom vuxenutbildning ut till ett stort antal anordnare av
vuxenutbildning inom det offentliga skolväsendet för vuxna och till folkbildningens organisationer. Sammanlagt cirka 1600 utskick gjordes. Ett
femtiotal svar har kommit in.
Eftersom det har kommit signaler från många håll om att enkäten inte har nått ut i de olika organisationerna bifogas skrivelsen för kännedom i
biennal-dokumentationen.
Materialet, som i skrivande stund inte har bearbetats och analyserats klart, kommer att
presenteras under seminariet.
208
Matematik med fokus på språkutveckling
Matematik är ett kommunikationsämne där eleven ska ges möjlighet att möta olika
representationsformer för att fördjupa och vidga sitt kunnande. Ett flertal konkreta
förslag på aktiviteter som kan användas i matematikundervisningen för att berika
och utveckla elevernas språk presenteras.
Elisabeth Rystedt har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik och svenska, år 4-9,
och arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon har också
varit verksam som utbildningsinspektör på Skolverket inom granskningsområdet ”Lusten
att lära” med inriktning mot matematik.
Föreläsning
Matematik – som språk
Matematik är ett språk där eleven ska ges möjlighet att möta olika uttryckssätt för att utvidga och
förstärka sin förståelse i ämnet. Lärande i matematik är en process vars mål är att kunna
abstrahera och generalisera olika situationer i matematik. För att komma dit behöver eleverna få
rika tillfällen till att använda varierande uttrycksformer som t ex konkreta modeller, teck-ningar,
diagram, bilder, matematiska symboler, vardagsspråk och matematikterminologi.
Språket i matematiken
Språket i sig är en kritisk faktor för hur elever kommer att lyckas i matematik och matematikundervisningen bör därför aktivt stödja eleverna i deras språkutveckling. Detta gäller såväl
vardagsspråket som matematikterminologin. När man uttrycker sig muntligt eller skriftligt, lyfts
tankarna upp, organiseras, blir synliga och därmed möjliga att reflektera omkring.
Syfte
Det övergripande syftet är att underlätta elevers förståelse i matematik genom att fokus
riktas på språket i och om matematik. Vissa elevers problem i matematik kanske i första
hand beror på svårigheter med förståelsen av språket i muntliga och skriftliga uppgifter,
med dess ord och begrepp. I så fall behöver elever i första hand hjälp med att utveckla
språket och begreppsbildningen och inte stöd i själva ”räknandet”. Kanske skulle
svårigheter i matematik kunna förebyggas genom en strukturerad undervisning som
berikar elevernas språkutveckling? Här avses inte i första hand att förenkla språket utan
underlätta för eleverna så de kan besegra språkliga hinder.
Lärarrollen
Lärarens roll är betydelsefull eftersom han/hon svarar för kvaliteten när eleverna
kommunicerar i matematik; genom att utmana elevernas tänkande, ställa kritiska frågor,
koppla till tidigare erfarenheter, lyfta fram matematiken och skapa lärande situationer där
eleverna kan utveckla sitt språk.
Aktiviteter
Olika aktiviteter kan prövas i matematikundervisningen så att eleverna får tillfälle att
utveckla sitt språk i och om matematik. I de två exemplen nedan uppmanas eleverna att
förklara och beskriva sitt tänkande med hjälp av olika uttrycksmedel. De kan t ex
- använda föremål som finns inne i klassrummet eller ute på skolgården,
- visa med stöd av konkret materiel (snören etc),
- bygga en eller flera modeller,
- illustrera med skisser, teckningar eller bilder,
- berätta muntligt med vardagsord eller matematikterminologi,
- skriva med vardagsspråk eller matematiska symboler.
Eleverna kan få i uppdrag att förklara på så många olika sätt som möjligt. På så sätt ger
matematikuppgiften utrymme för elevernas kreativitet och alla elever bidrar på samma
villkor oavsett om svaren har olika kvaliteter. Aktiviteten avslutas med en gemensam
diskussion där läraren hjälper eleverna att synliggöra och lyfta fram matematiken i
uppgifterna. Frågeställningarna kan varieras näst intill oändlighet beroende på elevernas
ålder och matematikinnehåll.
Svaret är givet
0,9 x 82 = 73,8
Varför?
21/0,5 = 42
Varför?
Vilket är störst och varför?
1/2 eller 1/3
Varför?
2/3 eller 3/4?
Varför?
0,25 eller 1/2
Varför?
209
Tessellationer i matematik, arkitektur och konst
Tessellationer är konsten att dela upp planet i mindre delar, t ex en digital bild, en mosaik
eller ett lapptäcke, Föredraget handlar om vilka tessellationer som är möjliga under vissa
villkor och att vissa är flitigt använda.
Borgefors Gunilla, Centrum för bildanalys, Uppsala
Gunilla Borgefors, född 1952, utbildades till civilingengör i tillämpad matematik i
Linköping med examen 1975. Under tiden 1982-1993 var hon anställd på Försvarets
forskningsanstalt i Linköping där hon så småningom blev forskningschef och
institutionschef. Hon doktorade 1986 på KTH i Stockholm och blev docent i Linköping
1992. Från 1993 är hon professor på Centrum för bildanalys, SLU, Uppsala och från
1996 dess chef.
Centrum för bildanalys är en för Uppsala universitet och SLU gemensam inrättning.
Efter grundexamen forskade hon inom tillämpad matematik och statistik, men från 1992
är hennes änme datoriserad bildanalys. Internationellt är hon mest känd för utvecklingen
av digitala avståndstransformer. Under senare år har forskningen koncentrerats på dels
utveckling av digital geometri i tre dimensioner och på många olika praktiska
tillämpningar av bildanalys inom skogsbruk, jordbruk, industri och medicin.
Föreläsning
Tessellationer - göra mönster av polygoner
Inledning
Människan har i alla tider varit fascinerad av mönster. Det har redan mycket tidigt varit
naturligt att sätta ihop större mönster av mindre bitar, t.ex. av olikfärgade stenar. Senare
gjordes mosaiker, inte bara av kvadratiska bitar (son på latin kallas tesserae) utan av
många andra enkla geometriska former. Högst når mosaikmönstrens mångfald utan
tvekan i den islamiska konsten. Även om rikedomen på olika geometriska mönster inte är
lika stor, hittar man ofta intressanta mönster Även när man tittar ner på golven i
europeiska kyrkor. En annan välkänd typ av mönstersammansatta av mindre delar är
broderier, där varje stygnrepresenterar en bit. Stygnen kan vara både fyrkantiga som
korsstygn, rektangulära som tvistsöm eller långa raka streck i olika riktningar som
schattersöm.
Från början var det säkert så att man hittade nya sätt att sätta ihop olika enkla former
mest av en slump. När grekerna århundradena för Kristi födelse utvecklade geometrin
blev studiet av mönster mer systematiserat och man upptäckte t.ex. att det bara finns tre
mönster som består av regelbundna månghörningar. Den första mera fullständiga
genomgången av regelbundna mönster presenteras av astronomen Johannes Kepler
(1571--1630) i boken"Harmonici Mundi" (Världsharmonin). PÅ 1900-talet tog
undersökningarna av regelbundna mönster ny fart, klassificeringen av mönster blev mer
genomarbetad och många nya intressanta mönster uppstod som följd av detta. En
någorlunda lättläst framställning av en del av resultaten finns i "Tilings and Patterns" av
B. Grünbaum och G.C. Shephard, 1987.
Inom vetenskapen används reguljära mönster framför allt inom kemin, där vissa av
mönstren uppstår bl. a. när man beskriver hur atomerna packas i kristaller. De studeras
förstås även inom den "rena" matematiken och de kan vara ett hjälpmedel inom den så
kallade gruppteorin, men främsta användningen är estetisk. Mönstren förekommer
förvånansvärt ofta som utsmyckning i arkitektur och konst.
Tessellationer
Formellt definieras en tessellation som en uppräknelig familj av slutna mängder som
täcker planet utan hål och utan överlapp. Enklare uttryckt är en tessellation ett sätt att dela
in planet i mindre delar (mängder), t.ex. i rutor. En enskild del kallas oftast en tessera,
plural tesserae. Punkter där flera polygoner möts i planet kallas vertex. Genom att lägga
begränsningar på hur tesserae får se ut och hur de får sättas samman definieras olika
klasser av tessellationer.
En klass av polygonala tessellationer är den där samtliga tesserae är exakt lika både i
storlek och form. En sådan tessellation kallas monohedral; "mono" betyder "en". Det
finns ingen begränsning av antalet olika polygoner som ger monohedrala tessellationer.
En intressant och i tessellationer mycket använd klass av polygoner är de reguljära
polygonerna, där alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. Exempel på
reguljära polygoner är kvadrat och liksidig triangel.
I de Platonska tessellationerna (efter den grekisk efilosofen Platon 300-talet f.Kr.) är alla
tesserae lika och alla vertex lika. Det finns endast tre stycken, de där tesserae Är trianglar,
kvadrater eller sexhörningar.
I de Arkimediska tessellationerna (efter den grekiske filosofen Arkimedes, 200-talet f.Kr.)
kan tesserae vara olika, men varje vertex ska vara lika. Det finns åtta stycken. Ingående
tesserae är trianglar, kvadrater, sexhörningar, åttahörningar (endast en tessellation), och
tolvhörningar.
Om vertex inte behöver vara lika kan man av trianglar, kvadrater, sexhörningar,
Åttahörningar och tolvhörningar skapa hur många olika tessellationer som helst.
En tessellation som består av reguljära polygoner kan på ett enkelt sätt ge upphov till en
helt ny tessellation. Detta gäller alltid, inte bara för Platonska och Arkimediska
tessellationer. Man placerar ett vertex i mitten på varje tessera och förbinder detta med
mittpunkten på varje annan tessera som delar en kant med den första. Den nya
tessellationen kallas dualen till den ursprungliga. De polygoner som skapas är oftast inte
reguljära. Eftersom det bara finns ett vertex i en Arkimedisk tessellation finns detbara en
enda polygon i dess duala tessellation. Den är alltså monohedral. även dessa tessellationer
dyker upp i konsten och arkitekturen. Givetvis har Även de Platonska tessellationerna
dualer, men dessa Är inga nya tessellationer. Dualen till trianglarna är sexkanterna, och
följaktligen är då dualen till sexkanterna trianglarna. Intressant nog är kvadraterna sin
egen dual, med samma kantlängd, en egenskap som denna polygonala tessellation är
ensam om.
Tessellationerna kan utvidgas genom att tillåta andra polygoner. De som använs hittills
har varit konvexa. Det finns även reguljära men icke-konvexa polygoner. Dessa liknar
regelbundna stjärnor och finns liksom de konvexa reguljära polygonerna i oändligtantal.
Det finns inga Platonska tessellationer med stjärnpolygoner, men det finns hela 21
Arkimediska.
Ett ytterligare sätt att skapa regelbundna tessellationer är att undersöka de monohedrala
tessellationerna, dvs. vilka (icke-reguljära) polygoner som ensamma kan tessellera planet.
Man kan räkna ut att alla trianglar och alla fyrhörningar tessellerar planet, och att inga
konvexa polygoner med fler Än sex sidor gör det. För konvexa pentagoner och hexagoner
och för icke-konvexa polygoner Är detta ett svårt problem. Den holländske konstnären
M.C. Escher (1898-1972) var expert på att skapa tessellationer av mångsidiga polygoner,
där tesserae har en igenkännlig form, t.ex. fåglar, fiskar, reptiler.
Om man vill prova att skapa egna tessellationer med reguljära polygoner är det lämpligt
att konstruera ett stort antal trianglar, kvadrater, sexhörningar och tolvhörningar.
Bibliografi
Mycket lite finns tyvärr skrivet på svenska om reguljära tessellationer.
Den första bok som behandlar tessellationer på ett systematisktvetenskapligt sätt Är
förmodligen Keplers arbete. Den latinska texten är kanske väl svårgenomtränglig, men de
illustrerande träsnitten är intressanta. Åtskilligt som finns i denna bok har återupptäckts
många hundra år senare och då trotts vara nyheter!
• J Kepler: Harmonices mvndi, Liber II: De congrventiafigvrarvm harmonicarvm, 1619.
Den främsta boken om tessellationer är utan tvekan "Tilings andPatterns". Det är en
grundläggande matematisk framställning, men ändå relativt lättläst och med många
exempel.
• B Grnenbaum and G C Shepard: Tilings andpatterns, W~H Freeman and Company,
New York 1987.
Samma författarpar har Även skrivit en serie strikt vetenskapligaartiklar, dÄr man
undersöker vilka tessellationer som finns om manförutsÄtter olika typer av
regelbundenhet. De Är intelÄttlÄsta, men innehÅller illustrationer av mÅnga intressanta
mönster.
• B Grünenbaum and G C Shepard: The eighty-one types of isohedraltilings in the plane,
Math. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol.82, part 2, Sep. 1977, s. 177-196.
• B Grünenbaum and G C Shepard: The ninety-one types of isagonaltilings in the plane,
Trans. American Math. Soc., Vol.242, Aug. 1978, s. 335-353.
• B Grünenbaum and G C Shepard: Isohedral tilings of the plane bypolygons, Comment.
Math, Helvetici, Vol. 53, 1978, s. 542-571.
• B Grünenbaum and G C Shepard: Isotoxal tilings, Pacific Journal of Mathematics, Vol.
76, No. 2,1978, s. 407-432.
Denna serie vetenskapliga artiklar innehåller illustrationer av de många mönster som
behandlas:
• O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene I,
Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XVIII, H.4, 1969, s. 273-290.
• O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene II,
Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XIX, H.2, 1970, s. 19-38.
• O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene III,
Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XIX, H.6, 1970, s. 97-122.
I mitten av 1970-talet fanns en serie artiklar om tessellationer i tidskriften "Scientific
American". De behandlar framför allt monohedralatessellationer. I artikeln frÅn 1977
visar en kalifornisk hemmafru att matematikernas påstående i de första artiklarna var fel.
Detta utvecklas vidare i Doris Schattschneiders artikel nedan.
• M Gardner: On tesselating the plane with convex polygon tiles, Scientific American,
July 1975, s. 112-121.
• M Gardner: A random assortment of puzzles, together with reader responses to earlier
problems, Scientific American, Dec.1975, s. 116-119.
• M Gardner: Extraordinary periodic tiling that enriches the theory of tiles,Scientific
American, Jan. 1977, s. 110-121.
• D Schattschneider: In praise of amateurs, The Mathematical Gardner, 1981, s. 140-166.
Denna serie små lättlästa rikt illustrerade böcker visar på mönster från romerska
mosaiker, europeiska kyrkor och islamsk konst, utan att gå in på den bakomliggande
matematiken.
• R Field: Geometric patterns from Roman mosaics, Tarquin Publications, Stradbroke
1988.
• R Field: Geometric patterns from churches &cathedrals, Tarquin Publications,
Stradbroke 1996.
• R Field: Geometric patterns from Islamic art &architecture, Tarquin Publications,
Stradbroke 1998.
Gunilla Borgefors
Centrum för bildanalys, SLU
Lägerhyddsvägen 3, 752 37 Uppsala
[email protected]
213
Matematik i förskolan – en bro mellan erfarenheter, begrepp och
matematik
Vad innebär matematik för förskolebarn? Exempel på hur begrepp inom t ex
taluppfattning och rumsuppfattning kan grundläggas för de yngsta barnen.
Margareta Forsbäck arbetar som lärarutbildare på Lärarhögskolan i Stockholm och med
pilotprojektet för förskolan vid NCM
Föreläsning
Att synliggöra matematiken i barnets vardag.
Varje dag träffar både barn och vuxna på matematik i många olika former. För att hjälpa
barnet att upptäcka all denna matematik och bygga upp begreppsförståelse och ett bra
ordförråd, behöver vi vuxna vara lika tydliga med matematiken som med allt annat vi
förtydligar, visar och lär våra barn. En medveten vuxen ger medvetna barn, så det är dags
att ta fram ”Matteglasögonen” och börja upptäcka matematiken i vardagen tillsammans
med barnen.
Nyfikna barn
Barn är upptäckare och intresserade av allt som finns omkring dem. Att jämföra, storleksordna och sortera leksaker, kläder och böcker ger många tillfällen att ”prata” matte.
De upprepar gärna ramsor även om de inte förstår allt de säger. Räkneramsan kan de
därför lätt lära sig genom att upprepa och om de dessutom får utföra något för varje
räkneord, t ex gå uppför en trappa med ett steg i taget och räkna stegen, kan de tidigt
uppfatta att varje räkneord hör ihop med en rörelse eller ett föremål.
Barns kunskap blir ofta tydligare för dem om den har känslomässig anknytning. ”Två det
är du och jag” förklarade Kalle.
Barns första mattelärare
Långt innan barnen börjar skolan träffar de på vuxna eller äldre barn som tar dem med till
matematikens värld. Det är viktigt att vi då strukturerar de begrepp vi presenterar för
barnen så att de kan utveckla förståelse för begreppen och få lämpliga utmaningar efter
den kunskapsnivå de just då befinner sig på.
Hur vi bemöter barnen när de prövar och frågar är viktigt. Den vuxnes attityd påverkar
barnens inställning till matematiken.
På många förskolor arbetar man idag med små barn och matematik, men det är inte alltid
som medvetenheten och progressionen är tydlig.
Sortera och beskriva
En bra grund för många matematiska begrepp är att kunna beskriva egenskaper hos olika
föremål och att kunna sortera efter olika kriterier. Man kan t ex låta barnen sortera sina
leksaker på olika sätt när de städar undan för dagen, de kan sortera sina strumpor och
skor.
Att ”se” hur många det är och inte alltid räkna
Vuxna grupperar ofta omedvetet föremål som de ska uppskatta antalet av medan barn
räknar dem ett och ett (och ibland samma föremål flera gånger). Med hjälp av en vanlig
tärning kan vi göra barnen uppmärksamma på att det går bra att ”se” hur många prickar
tärningen visar utan att räkna dem. ”Jag ser att jag har slagit en sexa och då får jag slå
om.” Denna kunskap kan barnen sedan använda även i andra sammanhang.
Rumsuppfattning och mätning
I samtal och lekar kan vi uppmuntra barnen att använda ord som anger läge och riktning.
Genom att använda deras leksaker kan vi prata om olika geometriska former (gärna
tredimensionella till att börja med) och deras egenskaper.
Barnens leksaker är också utmärkta för att jämföra storlek och vikt. Här kan vi lägga
grunden för att förstå mätandets princip inom olika mätbegrepp och mäta med med icke
standardiserade enheter som kottar och kaplastavar, löv eller handflator osv.
Dokumentation
Det barnen gör och sätter ord på blir ännu tydligare för dem om de också får dokumentera
sina kunskaper på något sätt. Detta kan ske genom att de visar med konkreta föremål eller
så småningom genom att de ritar enkla bilder.
Litteratur:
Doverborg, E & Pramling Samuelsson, I. (1999) Förskolebarn i matematikens värld,
Stockholm, Liber AB
214
Formler och bevis från skilda tillämpningsområden
Olika typer av formler bla från naturvetenskap, sjöfart och kryptering och mer eller mindre
stringenta matematiska ”bevis” . Olika sätt att bestämma en persons ålder. Musikinslag.
Kenneth Borg är lektor i matematik på Väggaskolan i Karlshamn, läromedelsförfattare och
avgången SMaL-ordförande
Föreläsning
Välj ett positivt heltal. Om detta är udda så multiplicera med 3 och addera 1. Om talet är jämnt så
dividera med 2. Förfar på samma sätt med det nu uppkomna talet. Om du fortsätter kommer du
förr eller senare till 1, oavsett utgångstalet. Alla tal man testat ger 1 men något stringent bevis för
att detta är sant har man ej lyckats åstadkomma!
Hur många biennaler har du varit på, inklusive denna i Malmö ? Multiplicera detta antal med 2
och addera 5. Det tal du nu erhållit ska du multiplicera med 50. Om du redan fyllt år i år
ska du addera 1754, annars 1753.Minska detta tal med ditt födelseår dvs 19 nånting.
Först i det tresiffriga tal du nu erhållit står antalet biennaler, sedan din ålder, använd algebra
för att förklara det hela!
Om du bygger stora passagerarbåtar måste du ta hänsyn till följande formel som visar hur stor
andel av passagerarna som kommer att spy under olika väderförhållanden:
p = A (2 pi f) 2 T ½ / 3 där A är vågornas amplitud, f dess frekvens och T tiden på sjön…
Apropå stormar, man har nyligen kunna hitta en förklaring till de jättevågor på uppåt 30 m som
plötsligt dyker upp, en förklaring med formler från kvantmekaniken nämligen
Schrödingerekvationen.
Slutligen, i Aftonbladet efterlyste Robert Aschberg hur man ska gradera en sk farmartank dvs
en liggande cylinder. Problemet saknar exakt lösning men med hjälp av iteration fixar det sig,
på föreläsningen redovisas resultatet.
216
Mattesamtal som drivkraft till förståelse
Riv ut genomgångssidorna i läroboken! Låt eleverna upptäcka matematik utifrån sin egen
nivå. Varje lektion börjar med ett mattesamtal som tjänar som motor till ny kunskap. Det
är fruktansvärt trist om läraren börjar lektionen med en genomgång och berättar allt för
att sedan låta eleverna färdighetsträna till förbannelse.
Bengt Drath arbetar halvtid som högstadielärare på Stöpenskolan i Skövde
kommun och halvtid som fortbildare och lärarutbildare på Högskolan i
Skövde.
Föreläsning
Jag började som NO-lärare att fundera hur elever lär sig bäst. Nyckelord i detta
sammanhang blev: öppna problem, undersöka, laborativt arbete, upptäcka, samarbeta,
dokumentera och dra slutsatser. Mönstret var att eleverna fick göra sina upptäckter först
och därefter hjälpte läraren till att strukturera dessa och synliggöra viktiga begrepp.
Läroboken styrde inte utan det egna tänkandet fick utrymme i första hand.
Sedan blev det väldigt tydligt att matematikundervisningen hade ett helt motsatt mönster:
läroboken eller läraren som talade om hur allt fungerade och sedan fick eleverna
färdighetsträna, allt för att konstatera att läraren hade rätt. Förstod man inte ändå, så var
receptet att öva 50 uppgifter till.
Så här hade det sett ut för eleverna under tidigare skolår och så fortsatte det resten av
skolåren. Alla lektioner hade samma mönster och eleverna visste hur varje lektion skulle
se ut, nämligen att man fortsatte på den sida där man slutade. Detta upprepades i 10-12 år
beroende på hur snart man kunde välja bort eländet!
Min utmaning blev att försöka undervisa i matte som jag gjorde i NO. Ett första steg blev
att jobba med problemlösning i grupp efter en modell som spreds i didaktisk litteratur:
tänk enskilt - diskutera i grupp och enas om en lösning – förbered redovisning, alla i
gruppen skall vara beredda – gemensam redovisning i klassen.
Underbart! Nu kände jag att eleverna fick tänka först och vilka tankar! En ny värld
öppnades. Läroplanens ”att utgå från eleven” fick plötsligt en innebörd. Problemen gick
att lösa på olika sätt, alla lyckades med någon lösning, duktiga elever fick tänka hur
”långt de ville”, räknandet ersattes av tänkande och jag hade en utmanande uppgift att
fånga upp goda tankar och tillsammans med eleverna utveckla dessa. Nu kände jag mig
som en NO-lärare!
Men alla andra lektioner! Vad hände då? Att jobb i grupp krävde ju bra utgångsproblem
och tog i regel hela lektionen. Det var inte så lätt att upprepa detta varje lektion.
Dessutom använde jag mig av en lärobok och hade en uppsättning begrepp som skulle
hinnas med under terminen.
Jag fann en lösning som jag fortfarande praktiserar och utvecklar. Problemlösning i grupp
blev kvar men kanske bara en gång varannan vecka. Istället har jag glidit över i mycket
pararbete som inleder varje lektion och varar allt från 10 min till 30 min. Detta tillämpar
jag på allt innehåll i min kurs.
Jag kallar det för ”mattesamtal” och är noga med att inte kalla det för ”genomgång”. Det
senare ordet antyder återigen att läraren berättar först och eleverna får verifiera detta i en
massa exempel. Jag presenterar ett problem i början av lektionen som eleverna får
diskutera i paret. Därefter får de ”tänka högt” och vi får snabbt olika tankar och lösningar
på problemet.
Passar det så får eleverna skriva sina lösningstankar på tavlan. För första gången blir det
meningsfullt hur man skriver en lösning, vi andra skall ju kunna förstå tanken. Effektivt
för att utveckla detta språk. Jag får tillfälle att synliggöra goda tankar och eftersom jag
valt utgångsproblem så brukar jag nå dit jag vill. Nämligen att skapa förståelse för det
avsedda begreppet. Naturligtvis är allt inte klart för alla, men ”jorden är beredd för att
nya frön skall växa upp”. Piagets uttryck ”att störa tanken” är inte så dumt!
Efter detta tankeutbyte får eleverna räkna i boken. Men det återstår ju kanske bara halva
lektionen och då inträder nästa utmaning – att övertala eleverna att inte räkna alla
uppgifter! Kan man en uppgift är det lika bra att hoppa över den. Det betyder att man
börjar titta på innehållet i uppgifterna och kvalitet blir viktigare än kvantitet. Det här låter
ju bra, men det är en lång resa beroende på elevernas tidigare skolgång. Dessutom tycker
jag i princip att eleverna kan räkna enskilt hemma och i skolan prioriterar vi samtalet. Det
är ju här läraren finns med de didaktiska och ämnesmässiga kunskaperna.
Ofta har ju läraren abdikerat i dagens skola och istället överlåtit lärandet till eleverna i
konceptet: egen planering och jobba i egen takt. Vilket svek! Detta har tyvärr ökat när
eleverna tvingas ihop i åldersblandade grupper. Det blir ju knappast lättare att hitta
meningsfulla gemensamma mattesamtal.
När jag får eleverna i högstadiet märker jag att det är ofta de ”smarta” eleverna som har
tröttnat på bokräknandet och som uppskattar mattesamtalen. Vem ogillar då dessa
samtal? Det finns en kategori som inte vill samtala om matte, utan istället räkna i boken.
Det är de elever som har dåligt självförtroende och som inte vill blotta sin osäkerhet.
Istället är det tryggare att dölja sig bakom boken.
Hur kan man då påverka elevernas attityder till ämnet och lärandet? Jag brukar då och då
låta eleverna enskilt besvara några frågor. T.ex. ”Vad är matematik?”, ”Hur skall en
duktig elev i matte vara?”, ”Hur har du utvecklats i matte?”, ”Vad är du bäst på?” osv.
Jag samlar in elevernas svar och har nästa lektion ett samtal utifrån deras svar. Svaren är
ju anonyma men det är okey att läsa upp citat i gruppen. Detta blir väldigt starkt att höra
hur andra tänker och snart har vyerna vidgat sig.
Ofta inser eleverna att våra mattesamtal är bra för då ”får man höra olika sätt att lösa ett
problem”. En duktig elev skall ”kunna tänka smarta lösningar” och matematik ”används i
vardagen” blir nya insikter som gynnar motivationen och intresset i matematik. Även
elever som först inte tyckte om mattesamtalen ändrar uppfattning. Åtminstone inser de att
dessa är viktiga. Det blir också tydligt att undervisningen är till för eleven.
Hur har då min attityd ändrats till matematik i skolan? Återigen poppar det upp ett citat ur
LPO: ”….undervisningen syftar till att utveckla det matematiska tänkandet…” Detta är ju
ett mål som faktiskt står i LPO, som är nivån ovanför kursplanerna i våra styrdokument.
Äntligen har jag fattat innebörden. Jag märker att min nuvarande undervisning har fått
mer betoning på tänkandet och mindre på räknandet. I våra mattesamtal bannlyser vi
kom-ihåg-regler och klarar i väldigt hög grad att tänka ut lösningar. Det handlar ofta om
”reflekterad talhantering”, en kortare förklaring på ”god taluppfattning”. Jag läste
någonstans att ”matematik är konsten att undvika uträkningar”! Vissa saker klarnar
efterhand.
Jag måste också visa att tänkandet värdesätts. Alltså finns det uppgifter på proven som
lyder: ”Förklara varför triangelns area är lika med basen gångar höjden delat på två” eller
”Är 50% alltid större än 25%? Förklara!” osv.
Ser jag övergripande på vad som sker i klassrummet, så nås betydligt fler andra goda mål
numera. Utgå från eleven, synliggöra elevens tankar, tilltro till eget tänkande, träna
språket, argumentera, reflektera, kommunicera, samarbeta, upptäckande, kreativt,
utmaningar, lustfyllt och inte minst en bättre förståelse för de olika begreppen. Vackra
ord men ändå betydligt mer verkliga nu än med tidigare undervisning.
Slutligen har undervisningen blivit spännande. Jag vet ju inte hur lektionen skall utveckla
sig, förut visste ju både eleverna och jag vad som väntade. Hur var det jag började? Jo, att
försöka undervisa matte som jag undervisade i NO. Frågan är om inte mattelektionerna
blivit mer öppna. Barns tankar är fantastiska ibland! Pröva på så får du se.
217
Räkna med utemiljön
Kan matematik blandas med lek, rörelse och frisk luft? På skolgården, lekplatsen, i parken och i
skogen upptäcker vi och tar tillvara på matematiken omkring oss. Idéer och tips på hur utemiljön
kan användas på ett roligt sätt i barns möte med matematik.
Agneta Gustafsson är förskollärare, Gun-Britt Jernberg och Yvonne Johansson är
lågstadielärare vid Fjällängsskolan i Östersund.
Föreläsning
Varför matematik ute?
I utemiljön ges mängder av tillfällen att utöva matematik på ett lekfullt, varierat och
konkret sätt som gör det lättare för barn att förstå matematik. Kottar, pinnar, löv, träd,
stenar, vatten, snö och sand är några exempel på vad våra barn använt för att utveckla sin
matematiska förståelse.
Att stimulera barns intresse för naturen är också viktigt. Barnen får upptäcka att
naturen är både en rolig lek- och läroplats.
Utemiljön lämpar sig dessutom väldigt bra för samarbete, reflektion, argumentation och
språkutveckling, som är viktigt för barnens matematiska utveckling.
Mattelektion i skogen – ett exempel ur vår idébank
Vi gjorde en slumpmässig gruppindelning av barnen genom att alla
hämtade en pinne. Vi lät barnen ställa sig på ett led efter pinnens längd
med den kortaste först. Vi gav barnen följande tips. Tyckte de att de
hade en kort pinne så ställde de sig i början av ledet, mellanlång i mitten
och en lång pinne i slutet av ledet. Barnen delades in i grupper om 4-5
stycken.
Uppdraget var nu att samla kottar på tid. Barnen fick först uppskatta hur många kottar
de trodde att gruppen skulle hinna samla på tre minuter. När tiden var slut räknade barnen
kottarna och vi observerade hur de gjorde. Några av de yngsta barnen började genast
roffa åt sig kottar, medan de äldre barnen föreslog att lägga kottarna i 5-grupper eller 10grupper. Blev det lika många, fler eller färre än som skattades?
Nästa uppdrag var att se hur lång rad det kunde bli av gruppens kottar, men först skulle
det uppskattas och markeras. Därefter hjälptes barnen åt att lägga kotte vid kotte. För att
komma så nära sina markeringar som möjligt, började en del barn ändra riktning på
kottarna beroende på om det var en lång eller kort bit kvar.
Därefter skulle barnen i gruppen dela kottarna lika mellan sig och vi observerade åter
hur de gjorde. Det var roligt att se hur de löste problemet med de kottar som blev över.
Så blev det dags att ”pricka träd” med 10 kottar var. Gruppen enades om ett träd och
stegade fem steg bort från trädet. En del grupper tog första bästa träd, medan andra
diskuterade noga och valde ett mer passande träd. Träffarna räknades enskilt och barnen
turades om att föra protokoll.
I klassrummet gjorde barnen diagram över sina träffar. De reflekterade över varför en
del fått så många fler träffar än andra och kom fram till att det kanske kunde bero på
trädens olika grovlek eller stegens längd.
I övningarna kom barnen i kontakt med bl.a. jämförelser av längder, tidsbegrepp,
skattning, addition och division. Barnen fick också göra och avläsa diagram. Äldre barn
kan även öva multiplikation vid poängberäkningen genom att få olika poäng per träff.
Vår förhoppning är att ni ska hämta inspiration från vår idébank och känna det lika
roligt och stimulerande som vi och våra elever har upplevt matematiken i utemiljön.