183 Hur barn utvecklar förståelse för multiplikation och division Hur barn utvecklar förståelse för multiplikation och division I föredraget ges en översikt av internationell forskning om hur barn utvecklar förståelse och kompetens när det gäller lösning av multiplikations- och divisionsproblem. Vilka lösningsmetoder använder de och hur beror dessa på problemets struktur och talområde? Hur kan vi på bästa sätt stimulera utvecklingen av denna kompetens? Ingemar Holgersson är lektor i matematik och fysik vid Högskolan Kristianstad och arbetar med lärarutbildning i matematik på alla stadier. Föreläsning Föredraget tar sin utgångspunkt i ett par undersökningar som visar att mindre barn även utan formell skolning i multiplikation och division kan hantera problem som normalt brukar lösas med hjälp av dessa räknesätt. Den ena (Carpenter e.a., 1993) är en amerikansk undersökning, där barn i åldrarna 5 – 6 år, regelbundet fått arbeta med problemlösning. Den andra (Mulligan & Mitchelmore, 1997) är en australiensisk undersökning av hur ett antal flickor i åk 2 och 3 löser problem före och efter undervisning i multiplikation. Fokus i båda undersökningarna ligger på vilka strategier barn utvecklar om de får tillfälle att fundera över multiplikations- och divisionshändelser innan de utsätts för en mer systematisk, och formell undervisning. Detta förutsätter att de har tillgång till konkret materiel med vars hjälp de kan modellera den situation som beskrivs i ett problem. De lösningsstrategier barn använder kan klassificeras på olika sätt. Ett är genom de modelleringsmetoder som de använder. Ett annat är genom att titta på vilka beräkningsmetoder de ger uttryck för. Problemen i sig klassificeras oftast genom att man studerar deras semantiska eller logiska struktur. En del bygger på likformiga grupper, andra kan innebära en multiplikativ jämförelse eller ta sin grund i ett rektangulärt mönster. Åter andra kan innebära att man räknar antalet kombinationer som uppstår när man kombinerar två olika saker med varandra. Vilka samband finns det mellan olika problemtyper och de lösningsstrategier som barnen utvecklar? Vid additions- och subtraktionshändelser vet man att lösningsstragierna i form av vilken modelleringsmetod som används i stor utsträckning bestäms av vilken sorts problem som ges. I multiplikation och division antyder den australiensiska undersökningen att detta samband inte är lika markant, utan att de beräkningsmetoder som blir möjliga är mer avgörande an själva modelleringen. De beräkningsmetoder barnen använder kan klassificeras som direkt räkning (dvs en och en), olika former för upprepad addition (som genererar en sekvens av t ex 3, 6, 9 etc) och en ”mer avancerad” som bygger på att man genererar en ny relation mellan talen, en multiplikativ relation. Dessa metoder går också igen vid divisionsproblem med tillägg av upprepad subtraktion (dvs att en sekvens genereras ”baklänges”). I föreläsningen diskuteras olika problemtyper och beräkningsmetoder mer i detalj. Fram träder en bild av den betydelse som förmågan att räkna i skutt betyder som brygga från ett additivt tänkande till ett multiplikativt tänkande. Avslutningsvis diskuteras några idéer om hur denna övergång kan stimuleras och underlättas, bl a de av Andrejs Dunkels intoducerade multiplikationsmattorna (Dunkels e.a., 1989). Referenser Carpenter, T.P., Ansell, E., franke, M.L., Fennema, E. & Weisbeck, L. (1993). Models of problem solving: a study of kindergarten children’s problem-solving processes. Journal of Research in Mathematics Education 24, 427-440. Dunkels, A., Unenge, J. & Wyndhamn, J. (1989) Rutinfärdigheter. Täljaren. Utbildningsförlaget: Stockholm. Mulligan, J.T. & Mitchelmore, M.C. (1997). Young children’s intuitive models of multiplication and division. Journal of Research in Mathematics Education, 28, 331-354. 184 Matematiska modeller och beräkningar inom biologi, ekologi och medicin Inom biologi, ekologi och medicin finns en mängd spännande områden som lämpar sig väl för matematisk modellering. Bland dessa områden finns populationsekologi, där man studera konkurrens inom och mellan arter, men också växelverkan mellan rovdjur och bytesdjur. Det sistnämnda är intressant då det leder till oscillationer i båda populationerna. Andra biologiska områden är biogeofysik, där man bland annat studerar giftspridning i ekosystem och utbyte av koldioxid mellan luft, jord och hav. Inom medicin kan man nämna farmakokinetik, där omsättning av läkemedel i kroppen står i fokus, samt infektionsepidemiologi. Gemensamt för alla dessa områden är att processerna kan modelleras med differentialekvationer. Jag kommer att visa hur dessa ekvationer enkelt kan lösas och åskådliggöras med matemematisk programvara såsom MATLAB, OCTAVE (fritt tillgängligt) och MAPLE. Vi kommer även att titta på det fritt tillgängliga programpaketet POPULOS; Models of Ecology (hemsida http://ecology.umn.edu/populos), som är ett utmärkt verktyg för att utforska fundamentala principer inom ekologi, evolution och populationsbiologi. Per Jönsson, arbetar vid Teknik och Samhälle, Malmö högskola Föreläsning 185 Pilotprojekt i förskolan Inom stimulans- och utvecklingsprojektet Matematik från början genomför NCM ett pilotprojekt i matematik för lärare och barn i åldern 1 till 5 år. Det är viktigt att uppmärksamma barns möte med matematik, att underlätta erfarenhetsutbyte och reflektion om hur barns lärande iakttas, analyseras och utvecklas. Vi vill uppmärksamma upptäckter av matematikens spännande, kreativa och utvecklande sidor i tex vardagssitua-tioner och lyfta fram lekens betydelse, variation och mångfald i barns lärande. Syftet är att utarbeta ett kompetensutvecklingsprogram för förskolans lärare som fördjupar och vidgar det kunnande i matematik och didaktik som lärare behöver för att kunna stimulera och utmana barns intresse för och lärande i matematik enligt Lpfö 98. Elisabet Doverborg är förskollärare, högskoleadjunkt och forskare Lillemor Emanuelsson är lågstadielärare och högskoleadjunkt Görel Sterner är förskollärare, lågstadielärare och specialpedagog De arbetar vid Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, Göteborgs Universitet Föreläsning Syfte och bakgrund Inom ramen för projektet Matematik från början genomför NCM ett kompetensutvecklings-program för förskolans lärare, kallat Pilotprojektet. Projektets syfte och mål är att Uppmärksamma barns möte med matematik och betydelsen för fortsatt lärande Ge erfarenhetsutbyte, reflektion, inspiration kring tidig matematikutveckling Ge kompetensutveckling i hur barns kunnande iakttas, analyseras och utvecklas Initiera, stödja diskussion i arbetslag om hur barns kunskapsutveckling kan kommuniceras Visa matematikens spännande, kreativa, utvecklande sidor Lyfta fram lekens betydelse för lärandet Lyfta fram variationen i barns erfarenheter och tänkande och dess betydelse för lärande Ge ökade möjligheter att tidigt hjälpa barn i behov av särskilda stödinsatser Stödja nätverk i kompetensutveckling även efter den aktuella satsningen NCM som har utarbetat ett kompetensutvecklingsprogram för förskolans lärare, de som arbetar med barn 1-6 år, genomför också en pilotstudie under 2003 och vt 2004. Pilotprojektet har som mål att fördjupa och vidga det kunnande och den didaktik som lärare behöver för att kunna utmana barns intresse för och lärande i matematik enligt Lpfö 98 och målen för projektet Matematik från början. Utprövningen som pågår omfattar ett 30-tal förskoleavdelningar fördelade över landet från Övertorneå till Vetlanda. Ett antal förskoleavdelningar som medvetet arbetar med matematik och ett antal avdelningar där lärarna har mindre erfarenhet av att arbeta med matematik på förskolan ingår. Uppläggningen förutsätter att samtliga i arbetslaget är med vid alla träffar och att man aktivt deltar i kompetensutvecklingen. Lärarna prövar olika uppgifter tillsammans med barnen, inhämtar litteratur, skriver loggbok samt gör kontinuerliga barnintervjuer och observationer. Även de pedagogiska ledarna/föreståndarna är engagerade i projektet och har åtminstone deltagit vid de två första träffarna då projektet startades. Ansvarsfördelning NCM svarar för kompetensutvecklingen inkl medverkan av handledare och kostnader för baslitteratur enligt kompetensutvecklingsprogrammet samt framtagning och produktion av textmaterial. NCM ansvarar även för att Pilotprojektet dokumenteras och utvärderas. Kommuner/ enheter svarar enligt tecknat och godkänt avtal för att lärarna ges tid att deltaga i kompetensutvecklingen inkl ev vikariekostnader och resor samt möjlighet att genomföra Pilotprojektet enligt planen och medverka i utvärderingen. Utvärdering Lärarna kommer också att delta i en utvärdering av Pilotprojektet, t ex genom att de besvarar enkäter och deltar i intervjuer. En lägesbeskrivning har gjorts innan projektet påbörjades och motsvarande görs när det avslutas. Fyra av arbetslagen kommer att intervjuas och följas både vid handledarträffar och vid arbetslagsmöten. Utvärderingen av lärarnas lärande görs och kommer att presenteras i en C-uppsats. Dessutom kommer barnens lärande att följas och jämföras med barn som går i förskolor där lärarna inte deltar i kompetensutvecklings-programmet. Denna utvärdering kommer också att redovisas i en C-uppsats. Förskolans matematik Förskolans- och skolans läroplaner överensstämmer till sin struktur. De speglar en gemensam syn på kunskap, utveckling och lärande. Förskolans uppgift är att lägga grunden för det livslånga lärandet och erbjuda barn en verksamhet där omsorg, fostran och lärande bildar en helhet. Utgångspunkten för allt arbete i förskolan, så även arbetet med matematik, bör utgå från förskolans tradition, det vill säga leken, rutiner och temaarbete. Barn möter matematik under hela sin förskoletid och det första mötet med ett matematikinnehåll kan vara avgörande för hur synen på matematik utvecklas. Redan under de tidiga förskoleåren har barnen ett informellt kunnande i och om matematik vilket skall tas tillvara och utgöra utgångspunkten för det fortsatta arbetet med matematik. Enligt förskolans läroplan skall barnen tillägna sig nyanserade innebörder i begrepp, erfara samband och förstå sin omvärld. Ett sätt för barnen att förstå denna är att varsebli vissa företeelser och att kunna uttrycka dessa med hjälp av matematikens språk. Läroplanen för förskolan uttrycker att förskolan skall sträva efter att varje barn Utvecklar självständighet och tillit till sin egen förmåga Utvecklar sin förmåga att upptäcka och använda matematik i meningsfulla sammanhang Utvecklar sin förståelse för grundläggande egenskaper i begreppen tal, mätning och form samt sin förmåga att orientera sig i tid och rum ( Lpfö 98, s 12-13) Barn som går i någon form av förskoleverksamhet skall enligt läroplanen för förskolan ges möjlighet att utveckla en förståelse för tal, mätning, form och rum. Om detta skall bli möjligt för barnen måste de få möta många vardagsnära utmaningar så att de kan erfara den matematik som finns i deras omvärld. Lärarnas betydelse för barns matematiklärande Läroplanen betonar också att alla som arbetar i förskolan skall utmana barns nyfikenhet och begynnande förståelse för matematik. Vad innebär matematik för det lilla barnet? Svaret på den frågan är beroende av hur lärare i förskolan ser på matematik. Olika forskningsstudier visar på lärarens stora betydelse för barns lärande i och om matematik. Lärarna i förskolan behöver både ett ämneskunnande och ett didaktiskt kunnande. Även i Skolverkets kvalitetsgranskning om Lusten att lära med fokus på matematik, framhålls från alla håll lärarens betydelse för att utmana elevers lust för lärande. Matematik har tidigare inte haft någon framträdande roll i förskolan, men att matematik i dag skall vara ett innehåll i förskolan är nog ändå de flesta lärare överens om. Vi vet att lärares kunskaper och sätt att tänka om matematik har betydelse för vad de faktiskt gör. Därför är det viktigt för dem själva att göra sig medvetna om sina sätt att tänka om matematik och förskolebarn. Detta leder många gånger till ett förändrat perspektiv på förskolebarns matematiklärande. Pilotprojektets innehåll Under maj månad 2003 startades pilotprojektet ute på förskolorna. Samtliga fem handledare besökte sina förskoleavdelningar och träffade var och en av de lärare som skulle deltaga i projektet. Under en halvdag eller kväll introducerades projektet för lärarna och de pedagogiska ledarna. Vid denna träff gjordes en lägesbeskrivning med hjälp av att alla besvarade en enkät, beskrev matematiken i en bild och dokumenterade den matematik som var och en mött under just denna dag. Under ht 2003 träffades grupperna vid tre tillfällen tillsammans med sina handledare och vid ytterligare tre tillfällen träffades grupperna fast då utan handledare. Samma antal träffar är planerade för vt 2004. Lärarna prövar olika uppgifter tillsammans med barnen, studerar litteratur, skriver loggbok samt gör kontinuerliga barnintervjuer och observationer mellan träffarna. Detta för att skapa möjligheter för barnen att utveckla en förståelse för begreppen tal, mätning, form, tid och rum. För att kunna göra detta utifrån barns perspektiv och utifrån det som fascinerar barn är samtal-dialog mellan lärare- barn viktiga redskap, likaså att systematiskt ta vara på barns dokumentation och utmana barns tänkande och lust att lära matematik. Eftersom många lärare uttrycker att de har bristande ämnes- och didaktiskt kunnande har det under höstterminens gång skett en fördjupning inom områdena taluppfattning, mätning och rumsuppfattning samt sortering, tabeller och diagram. Skolverkets Analysschema, före skolår 6, är en del av den obligatoriska litteraturen och de olika matematikområdena har indelats på samma sätt som i Analysschemat. Naturligtvis eftersträvar vi att matematik skall ses som en helhet där olika aspekter av matematik kan urskiljas samtidigt i en och samma situation. Barn uttrycker sitt matematikkunnande och tänkande i handling, bild, ord och med olika symboler vilket kan observeras i situationer som lek, vid måltider, i temat och i andra sammanhang. Under föreläsningen kommer vi att ge rika exempel på hur vi har utmanat lärarnas tänkande i och om matematik och hur lärarna i sin tur utmanat barnens tänkande i och om matematik. Vi kommer också att djupare presentera innehållet i de olika träffarna och också visa på lärarnas lärande så som det framträder i deras loggböcker. Dessutom kommer vi att ge exempel på barnens dokumentation och diskutera hur lärarna skapat tillfällen, i förskolans vardag, för att utmana barnens lust att lära matematik. 187 Alla lärare är mattelärare Om formell och informell samverkan mellan matematik och andra ämnen. För att ytterligare stärka matematikkunnandet måste lärare i alla ämnen, och i alla skolår, ta de chanser att tala matematik som naturligt bjuds inom ramen för ordinarie ämnesstoff. Detta kräver inte att alla lärare vidareutbildar sig inom matematik, men att ett grundläggande förhållningssätt får genomsyra hela verksamheten. Martin de Ron är grundskollärare 4-9 Ma/No, anställd vid Kunskapsskolan i Kista samt vid avdelningen för språk och litteratur vid Lärarhögskolan i Stockholm Föreläsning Svenska elevers matematikresultat, liksom deras intresse för ämnet, placerar sig vid flera mätningar ungefär i mitten av OECD-länderna. Regeringens ambition är att dessa resultat skall vara ledande. Som ett led i arbetet att åstadkomma detta har regeringen bland annat gett Matematikdelegationen uppdraget att föreslå åtgärder i syfte att stärka och utveckla matematikkunnande och matematikundervisning i svenska skolor, från förskola till högskola. För att förbättra såväl elevers attityder som resultat, menar jag att det inte räcker med att matematiklärarna hittar nya vägar, samtliga personalgrupper i skolan behöver deltaga i detta arbete. För att åstadkomma att såväl skolledare som vaktmästare, lärare i alla ämnen, restaurangpersonal och fritidspedagoger bidrar till utvecklandet av matematikkunnande såväl som till en positiv bild av ämnet och dess roll i vardagen krävs naturligtvis ett visst mått av kompetensutveckling, men också, och kanske viktigare, ett grundläggande förhållningssätt som genomsyrar hela verksamheten i stort som i smått. Ett sådant förhållningssätt innebär att alla som verkar i skolan medvetet maximerar de faktorer som gynnar utvecklandet av matematikkunskaper och bland annat tar till vara varje chans att tala matematik med eleverna (eller för all del studenterna på högskolan). På samma sätt som det idag är en självklarhet att lärare i alla ämnen skall organisera undervisningen så att elevernas språkliga förmåga tränas, utvecklas och blir till ett redskap för lärande borde det alltså vara självklart att alla har ett ansvar att utmana elevernas matematiska tänkande, oavsett skolämne. Alla lärare blir på detta vis mattelärare. Den ansvarige, och naturligtvis i ämnet välutbildade, matematikläraren skall förstås lägga upp den planerade och organiserade matteundervisningen, men varje dag ställs eleverna inför en mängd problem av matematisk karaktär, på raster och på lektionstid, på gården och i skolrestaurangen, på förmiddagar och på eftermiddagar, på idrottstimmar och på studiebesök… Jag vill ge exempel på hur vi kan fånga upp dessa informella tillfällen till matematiktänkande, från förskola till högskola. 189 Introduktion av måttenheter eller tudelning/fördubbling en ”bortglömd” metod, eller introduktion av bråk, eller en metod att lösa %-uppgifter eller… En workshop där deltagarna gör en resa i tid och rum, ställs inför problem som de aktivt löser och använder resultatet till att lösa ytterligare problem med. Kurt-Evert Alvinsson, Trelleborg lärare på högstadiet i ma, fy och tk, dessutom speciallärare Workshop Pedagogisk tanke: Praktisk problemlösning fördjupad förståelse Syftet med detta moment är att ge eleverna...... * en historisk återblick på några måttenheter * ökad förståelse för behovet av måttenheter * en minskad ”respekt” för måttenheter. Det är många gånger tillfälligheter som gör att en måttenhet är just så stor som den är och egentligen kan man ju mäta med vad som helst. * möjlighet att själva vara med att utifrån en definition av en fot tillverka ett ”fotmätdon” samt att utföra mätningar med detta. * möjligheter att ”aktivt” lösa praktiska problem * ett praktiskt ex på hur man kan minska mätfelen vid mätning och diskutera hur noggrant man egentligen bör mäta. * en möjlighet att utan mätdon mäta avstånd med den egna kroppen (meter) * övning i att mäta med ”ögonen”. Att förfina sin avståndsbedömningsförmåga upp till 100 m (~ längden av en fotbollsplan) * en praktisk övning i att själva använda bråk på ett naturligt sätt. (”delning” av foten för noggrannare mätning) Denna övning ger förståelse för hur man förr i tiden använde bråken i praktiken. * möjlighet att tillsammans i gruppen praktiskt lösa uppgifter. Ex: ”Hur mycket väger egentligen ett engelskt pund om det definieras som vikten av 7 680 vetekorn” . Här finns möjligheter att ge eleverna en fördjupad förståelse för positionssystemet. Det får ju liksom inte vara t ex 7 672 vetekorn i högen. Hur vet man att man räknat rätt? * en praktisk metod att med hjälp av tudelning lösa uppgifter av typen. ”Hur stor är rabatten i % om ett par skor som kostat 599:- säljs för 375:- kr?” * övning i att med hjälp av visualisering eller en kinestetisk metod snabbt utföra tudelning (division med 2, 4, 8, 16) eller fördubbling (multiplikation med 2, 4, 8, 16) eller procentuppgifter av typen ”Hur mycket är 50%, 25%, 12,4%, 6,25% av X och kombinationer av dessa. Då börjar vi........ Se sid 2! Vi ska nu göra en resa i rummet, till England och i tiden, till 1500-talets senare hälft – i skarven mellan Kopernikus och Galileo. På den tiden var jorden fortfarande universums medelpunkt kring vilken allting rörde sig. Så sent som 1633 anklagades Galileo för kätteri av katolska kyrkan för att han hade påstått, som Kopernikus tidigare gjort, att jorden varje dag roterar kring sin egen axel och årligen kretsar runt solen som de andra planeterna. I Sverige regerade Gustav Vasa och Skåne var fortfarande danskt. Väl framme i England visar det sig att vi hamnat mitt i en försäljning av betesmark. Man är överens om priset, 1/4 –dels får för varje fot som ena sidan av betesmarken är lång. Nu tar klassen över ”spelet”. Läraren utser säljaren (helst en liten flicka med små fötter) och köparen (en reslig påg som lever på ”stor” fot). Klassrummets längd ex.vis kan representera den sidan av betesmarken som skulle mätas. Säljaren mäter hur många fot som sidan är och köparen kontrollmäter. De får olika resultat t ex 32 fot och 28 fot. Då blir ju priset antingen 8 får som säljaren vill ha eller 7 får som köparen vill ge. Ingen av parterna vill ge sig utan hävdar sitt mätresultat. Lyckligtvis kunde en person C, som hört samtalet, erinra sig att han hört något om hur 1500-talslantmätarna bestämde enheten fot. Person D vet säkert sade C. Jodå, D visste. ”Stå utanför kyrkdörren efter söndagens högmässa och be 16 män att stanna, när de kommer ut ur kyrkan, långa karlar och korta om varandra! Låt dem sedan ställa sina vänsterfötter i en rad efter varandra. Den längd som man på så sätt fått skall anses vara den lagligen fastställda enheten för uppmätning av landområden och sextondelen av denna längd skall anses vara den rätta längden av en fot.” Nu hjälps säljare och köpare att välja ut 16 klasskamrater och de (16) ställer sig med vänsterfötterna efter varandra. Det sätts ett märke på golvet vid den förstes tå och ett vid den sistes häl. Nu får klassen fundera över hur man tar reda på hur långt en fot är. Man vet hur mycket 16 fot är. Någon elev går förmodligen fram och tar meterslinjalen och börjar mäta. Hade vi ”metern” på 1500-talet? När fick vi den? När kom den till Sverige? (På 1790-talet i Paris och på slutet av 1800-talet i Sverige.) Nej, vi måste hitta på ett annat sätt. Klassen kan ibland behöva lite hjälp på traven. Hade man tråd på den tiden? Hur gjorde man kläder? Kläder hade man väl? o s v. Vi har alltså så småningom en tråd som är 16 fot lång. Men vi vill veta hur lång en fot är o s v. Ledning: Fundera över varför man valde 16 män och inte 10 eller 20 eller ......... Så småningom får varje elev sin ”fot” och mätningarna kan börja. Men om det nu inte går jämt upp? Och om man skall mäta något som är mindre än 1 fot – vad gör man då? Välkomna! 191 Matematikens rikedomar – Kryptering Matematikens Rikedomar är ett samarbetsprojekt mellan Nationalkommittén i matematik och NCM, med syfte att ta fram en läsebok i matematik. Vi kommer beskriva projektet i breda ordalag samt som ett exempel prata om ett kapitel som handlar om kryptering. En läsebok i matematik presenteras och ett av de ingående kapitlen, Kryptering. Ibland behöver information skrivas ner så att den bara blir åtkomlig för vissa personer. Kryptering handlar om att skriva meddelanden och sedan förvanska texten. I denna föreläsning presenteras några olika metoder för kryptering med spännande nedslag i historien. Johan Håstad är professor i teoretisk datalogi verksam vid institutionen för Numerisk Analys och Datalogi vid KTH. Han är även ordförande i nationalkommmittén för matematik. Karin Wallby är mellanstadielärare och arbetar på NCM bl a med Nämnaren, Kängurutävlingen - Matematikens Hopp och Matematikens Rikedomar. Föreläsning Matematikens Rikedomar är ett samarbetsprojekt mellan Nationalkommittén i matematik och NCM, med syfte att ta fram en läsebok i matematik. Verksamma matematiker berättar i den om några olika delar av matematik. Avsikten med boken är att visa en delvis annan bild av matematik än den många bär med sig och att visa vad människor som har matematik som yrke arbetar med. Det är inte tänkt att bli en lärobok i traditionell mening utan en bok som ska ge upplevelser och en orientering om ett spännande ämnesområde. Den vänder sig i första hand till blivande och verksamma lärare, men också till intresserade gymnasieelever och andra som är intresserade av eller nyfikna på matematik. Som ett smakprov om innehållet kommer vi berätta om kapitlet som handlar om kryptering. Till en början introducerar det traditionella kryptosystem som enkel substitionen och blankettchiffer och diskuterar säkerhet hos kryptosystem. Att visa att ett kryptosystem är dåligt gör man lämpligen genom att forcera systemet. Att bevisa att ett kryptosystem är bra är svårare men vi argumenterar för att blanketchiffer är ett säkert kryptosystem genom att visa att kryptotexten inte ger någon information om klartexten. Slutligen diskuterar vi lite modernare kryptosystem och som ett historiskt intressant exempel går vi ganska ingående igenom G-skrivaren som användes av tyskarna under andra världskriget och forcerades av Sverige under ledning av Arne Beurling. Kapitlet innehåller även två exempel att lösa. En klassisk enkel substitution samt en möjlighet att sätta sig i Arne Beurlings ställe och kartlägga en modifierad G-skrivare. 194 Oändligheten i undervisningen Oändligheten fascinerar även dagens ungdomar. Genom att läraren ger eleverna många spännande problem som innehåller oändligheten skapas fängslande situationer som genom många positiva upplevelser vidgar elevernas kunskap om begreppet och samtidigt väcker deras intresse för vidare kontakt med detta. Varför och hur är det intressant att prata om oändligheten i matematikundervisningen? Vilka grundläggande begrepp kan man prata om i undervisningen? Hur kan man utvidga elevernas erfarenheter och problemlösningsförmåga genom lämpliga uppgifter? Katalin Földesi arbetar som universitetsadjunkt på Mälardalens högskola, Institutionen för matematik och fysik. Hon har kurser för lärarstudenter i flera matematiska och didaktiska ämnen. Just nu är hon ansvarig även för en fortbildningskurs för matematiklärare i Västerås. Föreläsning Jag själv var alltid fascinerad av begreppet oändlighet. Jag träffade på begreppet först som ett litet barn genom min pappas kvällshögläsning i flera litterära verk men även i ungerska folksagor. Senare har jag förstått med glädje att oändligheten finns även i matematik. Och inte bara en typ av oändlighet utan flera olika oändligheter. Oändligt många oändligheter finns för att börja med. Genom undervisningssituationer har jag förstått att mitt intresse är inte isolerad utan många andra är också intresserade av oändligheten. Med oändligheten kan man leka tillsammans med skolbarn. Man kan börja helt naturligt med naturliga tal: hur många naturliga tal finns? Hur många heltal finns? Hur många jämna heltal finns? Hur många udda heltal finns? Vilka är flera: naturliga tal eller heltal? Jämna heltal eller udda heltal? Hur kan man låta olika tal bilda par för att kunna jämföra dem? Många är mycket överraskade över att trots att alla jämna heltal är heltal, ändå är de lika många… Man kan ge många intressanta uppgifter som är lätta att utvidga till oändligheten… På föreläsningen tänkte jag visa några, tillsammans med lösningen naturligtvis. Jag ger nu ett exempel, ni kan själv fundera på och kanske komma på lösningen. Uppgiften i den första varianten innehåller (nästan) ingenting som är kopplad till oändligheten. Sudda tal Vi skriver upp följande tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Sedan suddar vi två godtyckliga tal och skriver upp deras skillnad. Kan det hända att det sista talet är 0 ? Trots att uppgiften är enkel, lösningen är inte alls trivial. Man kan pröva många gånger att skriva upp dessa tal och sedan sudda och skriva och sudda och skriva tills man får ett enda tal. Många tror att det är lätt att få 0 på slutet… Om man kommer på lösningen, efteråt är det mycket lättare att utvidga uppgiften till oändligheten. Pröva! Om man har tröttnat på heltal, man kan fortsätta med rationella tal och fråga: Hur många rationella tal finns? Hur vet man det? Man kanske tror att det finns flera rationella tal än heltal. Men det är inte så, det får man se på föreläsningen. Man kan rita mycket också på en vanlig tallinje, många olika talföljder och undersöka vad är det som händer om talföljden slutar inte utan fortsätter och fortsätter. Man kan leka på samma sätt med irrationella tal också. Alldeles för många elever tror att det finns bara tre irrationella tal: 2 , e och π. Dessa tre speciella tal är ganska isolerade i deras begreppsvärld. Genom att använda tallinjen för att illustrera många irrationella tal på ett enkelt sätt utvecklar man deras talbegrepp också. Nästa överraskningen kan vara att det finns flera irrationella tal än rationella tal och det är inte svårt att visa. Alla vet att rationella och irrationella tal tillsammans bildar reella tal. Man kan tro att det finns flera reella tal än irrationella tal men det är inte så. Då kanske det bara finns två olika typer av oändligheten: en som man kan koppla till naturliga tal och en annan som man kan koppla till irrationella tal ? Det vore en trygg värld, eller hur? Men verkligheten är mycket mer komplicerad och vi fortsätter på föreläsningen den här resan in i oändlighetens värld. Vi har redan pratat om en vanlig tallinje i samband med oändligheten. Men en linje är en grundfigur i den euklidiska geometrins värld. Sträckor och cirklar tillhör också dit. Dessa välkända figurer kan vara mycket mer spännande kanske om man frågar: Hur många punkter finns på en linje? På en halvlinje? Vilken figur har flera punkter, en linje eller en halvlinje? Och två sträckor? Om man har två sträckor, är det inte så att på den största sträckan finns flera punkter än på den minsta? Samma frågor kan man ställa i samband med cirklar och ellipser? Slutligen tänkte jag berätta om en intressant geometriuppgift som man kan ta upp i flera olika sammanhang i undervisningen och som är kopplad till trianglar, talföljder, omkrets och area… Jag är övertygad om att genom att arbeta med dessa frågor i matematikundervisningen då och då hjälper man eleverna att utvidga deras syn inte bara på matematiken utan på andra område också, t.ex. litteratur. 195 Svensk matematikundervisning med ungerska ögon Efter många år som matematiklärare i Ungern hamnade jag i den svenska matematikundervisningen. Som nybliven student, matematiklärare och fyrabarnsmor fick jag enastående möjligheter för många rika erfarenheter i den svenska matematikundervisningen. Detta skulle jag vilja dela med mig av. Katalin Földesi arbetar som universitetsadjunkt på Mälardalens högskola, Institutionen för matematik och fysik. Hon har kurser för lärarstudenter i flera matematiska och didaktiska ämnen. Just nu är hon ansvarig även för en fortbildningskurs för matematiklärare i Västerås. Föreläsning Som barn fick jag två olika erfarenheter i samband med matematik. Till en början gick jag på en vanlig grundskola på landsbygden med vanlig matematikundervisning som innehöll mycket beräkningar, men vid 10 års ålder deltog jag på en några dagars sommarkurs för matematiklärare som leddes av Z. Paul Dienes. Jag var en av barndeltagarna. Vi fick många intressanta uppgifter att lösa med hjälp av experimentella metoder. Borden var fullpackade med olika redskap. Vi använde varken någon bok eller anteckningar eller skrivmedel. Vi läste hemskt mycket matematik under dessa dagar på ett okonventionellt och roligt sätt. Han levde i USA och med hjälp av honom spreds nya metoder i matematikundervisningen i Ungern och ledde till ett omfattande didaktiskt experimentellt arbete. Det här arbetet gick långsamt framåt, tog flera decennier och resulterade i nya kursplaner och ett nytt sätt att undervisa matematik, först och främst i förskolan och i grundskolan. Efter grundskolan gick jag i en speciell matematikklass i Budapest på gymnasieskolan Mihály Fazekas. Tanken var att ge intresserade elever möjlighet att läsa mycket mer matematik än bara det obligatoriska. Dessa fyra år genom många positiva upplevelser i matematikens värld gav en gedigen kunskap för fortsätta studier. I många fall bestämdes yrkesvalet genom att man valde yrken där det var en fördel att kunna mer matematik, men även utstickarna använde matematiken senare antingen på ett direkt eller indirekt sätt. Efter gymnasieskolan utbildade jag mig till gymnasielärare i matematik och fysik. Samtidigt har jag kompetens för att undervisa matematik på högstadiet. Under universitetsåren ledde jag flera studiecirklar i matematik både för grundskoleelever och för gymnasieelever. Jag har även arbetat med förskolebarn och fick mycket positiva erfarenheter när det gäller att leka matematik med dem. Efter universitetsstudierna jobbade jag på flera universitet och högskolor som lärare i matematik. Hela tiden har jag haft kontakt med skolundervisningen. Jag har undervisat i många matematiska och didaktiska ämnen och även översyn av lärarstuderandes praktikbesök tillhörde mina arbetsuppgifter. 1989 flyttade jag med familjen till Sverige utan att kunna svenska. Vi hade då fyra barn mellan 4 och 14 år. Enligt dåvarande regler behövde jag kämpa hårt för att komma in i det svenska arbetslivet. Under den här tiden följde jag med stort intresse våra barns skolgång, speciellt i matematik och fick möjlighet att kunna göra flera skolbesök på alla möjliga nivåer från förskola till universitet. Jag gick ett år på Uppsala Universitets pedagogiska institution för att skaffa mig behörighet som gymnasielärare i matematik och fysik. Jag började arbeta med arbetslösa vuxna som skaffade sig gymnasiebehörighet i några ämnen, både i Stockholm och i Uppsala. Jag har undervisat på Komvux i Uppsala. Helt andra synvinklar fick jag genom ett annat arbete: 8 månader som församlingspedagog i en församling med omfattande ungdomsarbete. Efteråt arbetade jag som gymnasielärare i matematik och fysik på Polhemsskolan i Gävle. Under dessa sex år har jag alltid haft både mycket starka och mycket svaga elever. Även på Högskolan i Gävle fick jag möjlighet att hålla några kurser och blev involverad i lärarutbildningen som handledare. För ett år sen började jag arbeta på Mälardalens Högskola i Eskilstuna på institutionen i matematik och fysik. Under det här året har jag haft flera matematiska och matematikdidaktiska kurser. Jag är mycket intresserad av utvecklingsfrågor i matematikundervisningen långt utöver de vanliga arbetsuppgifterna och därför fortbildar jag mig kontinuerligt genom att delta på olika konferenser, seminarier och genom kontinuerlig läsning. Genom hela min uppväxt och utbildning representerar jag ett konstruktivistiskt synsätt med ett sociokulturellt perspektiv. Genom mitt dagliga arbete har jag skaffat mig bekantskap med alla styrdokument som gäller den svenska matematikundervisningen. Jag har funderat mycket över läroplanerna och kursplanerna. Trots att förståelse poängteras flera gånger i dessa dokument upplever jag ändå att läroböckerna innehåller ett föråldrat sätt att se på matematik. En stor samling av olika algoritmer med starkt begränsade exempel på tillämpningen. Det resulterar i att duktiga elever i matematik blir duktiga i att beräkna rutinuppgifter på ett rutinmässigt sätt men blir rådlösa när de hamnar i en mer eller mindre ovanlig situation i matematik. Jag beundrar alla elever som håller ut och fortfarande tycker att matematik är roligt. Enligt mina personliga erfarenheter består de flesta prov – även nationella prov - av likartade massuppgifter som mäter elevernas förmåga att lösa uppgifter på en mycket smal skala. Elevernas egen tankeförmåga utmanas inte, erkänns inte och utvecklas inte. Många gånger nöjer man sig med en enda lösning till en uppgift. Att en uppgift har flera olika lösningar som visar helt olika sidor av matematik hamnar i skuggan. Även på flera tävlingar mottogs bara en lösning på en uppgift. Konsekvensen blir förödande. De svenska läroplanen och kursplanen innehåller många bra tankar men vad gäller det matematiska innehållet koncentrerar det sig nästan helt på en blivande teknisk utbildning. Analysen eller förberedelsen till analysen dominerar i mycket större utsträckning stoffet än andelen elever som går på en teknisk utbildning. Jag anser att det faktum att endast en liten del av eleverna idag väljer en matematik- eller teknikrelaterad utbildning beror till stor del av att läroplanen är ensidig och för formulerat för vuxna. Jag har läst i flera dokument historien om den så kallade ”nya matematiken”, även har hört många personliga kommentarer. Trots misslyckandet är jag övertygad om att den här korta epoken innehöll flera viktiga moderna bitar i matematik som idag vore nödvändiga och mycket användbara för att utveckla elevernas tankesätt i allmänhet men även i matematik. Dessa delar är till exempel: 1. mängdteori, först och främst klassisk 2. matematisk logik 3. 4. 5. 6. 7. talteori kombinatorik och grafteori Euklidisk geometri och flera moderna geometrier diskret matematik inblick i modern matematik 1. Den klassiska mängdteorin är inte bara grunden till nästan all matematik utan ger ett viktigt bidrag till lösningen av många praktiska problem och underlättar förståelsen av många matematiska begrepp. Undervisningen är väl beprövad på alla nivåer. Jag är övertygad om att det vore lätt att anpassa alla dessa värdefulla experimentella resultat till dagens svenska förhållanden. Tyvärr innehåller den här viktiga grenen av matematik endast ett fåtal problem i slutet olika kapitel i läroböckerna och några tävlingsuppgifter. Att kunna operera med olika mängder vore viktigt för studier i datalogi. Tyvärr kommer mängdteorin alldeles för sent, på gymnasieskolans sista kurs, Diskret matematik. 2. Matematisk logik förekommer i den sista matematikkursen på gymnasieskolan under namnet Diskret matematik men efter flera års arbete med de svenska elevernas bristande förmåga i att kunna tänka logiskt vore det mycket bättre om man började med matematisk logik redan i grundskolans tidigare år. Då vore det mycket lättare att undvika förvånansvärt envisa logiska fel i olika uppgift- och problemlösningar. Väl utprövade internationella erfarenheter visar att den här grenen av matematik kan ingå i den vanliga matematikundervisningen redan vid tidig ålder. Naturligtvis behöver man tänka på att undvika formalitetens fallgropar och anpassa uppgifterna efter elevernas tankeförmåga. 3. Talteori är också en viktig del av matematik som hamnade i skuggan enligt de senaste kursplanerna. Jag kan vara bara ledsen för det. Det är så tacksamt att syssla mycket mer med elementär talteori. Även grundskolebarn i tidig ålder kan göra det med glädje. Det är lätt att ge spännande och roliga uppgifter som fördjupar och utvidgar elevernas begreppsvärld och på ett roligt och lekfullt sätt förbereder även algebran. Jag är övertygad om att man kunde slippa många senare problem i algebra om man vågade satsa mer på talteori. 4. Kombinatorik och grafteori. Om man tittar på kursplaner och på mänga läroböcker, båda bitar förekommer bara sporadiskt. Det enda undantaget är kombinatorik, som dyker upp för sent igen, i kursen Diskret matematik. Ibland hittar man några roliga uppgifter eller en liten läsning för nöjes skull. Mycket mer kunde man göra redan vid en tidig ålder bland annat för att utveckla och behålla elevernas intresse för matematik. Genom många olika, lättformulerade problem vore det lättare att stimulera den sinande lusten som dyker upp enligt rapporterna efter några år på grundskolan hos grundskolebarn. 5. Euklidisk geometri och flera moderna geometrier. Jag blev chockad när jag skaffade mig bekantskap med dagens geometri i dagens skola trots att jag tror att jag förstår historien bakom det. Den pedagogiska historien. Enligt mig återger geometristoffet i kursplanerna inte det som är det viktigaste hos Euklides och som blev en rik inspirationskälla långt framåt i tiden efter honom. Det som är kvar är en koncentration på geometrins ”mätbara” bitar, en försjunkning i att mäta och beräkna grundfigurernas omkrets, area, volym och begränsningsyta. Nu är jag lite elak eftersom det finns litegrann kvar först och främst i MAA och MAB-kurser. Som är synd att den ”praktiska” inriktningen tog över i dessa kurser. Vore det inte möjligt att låta geometrin vara mer geometrisk med flera möjligheter som ger eleverna möjlighet att använda visualisering på ett mycket mer varierande sätt, använda fantasin och kreativiteten, samtidigt som man övar saklig argumentation - bevis om man vill använda ett mer allvarligt ord - och samtidigt gå in i logikens värld genom uppgifter där är det helt naturligt att man kan göra skillnad mellan närliggande men ändå inte ekvivalenta begrepp, det speciella och det allmänna osv. Många elever som är sämre i algebra skulle kunna vara bra i geometri och tvärtom. Vore det omöjligt att låta eleverna få ett inblick åtminstone till andra geometrier också? Det är så lätt att vara hemmablind, om de fick möjlighet att lära känna lite andra geometrier också, skulle det kanske gå lättare att förstå den första geometrin bättre? 6. Diskret matematik. Det är bara att glädjas över att det finns en sådan kurs i dagens gymnasieskola. Jag anser att man borde försöka placera så många bitar som möjligt av den här kursen i tidigare nivåer. Många situationer kan kännas naturliga även för mindre barn att fundera över, ha ett överblick över hur många olika fall finns och det är lätt att ge uppgifter av en mycket varierande svårighetsgrad. 7. Det finns gott om exempel i olika läroböcker på mycket korta men ändå bra sammanfattningar som gäller dagens matematik. Men först och främst så räcker det inte för intresserade elever. Kan de inte få mer redan under grundkurserna på ett intresseväckande men ändå underhållande sätt? Vore det inte värt ett försök att skriva och låta eleverna få det som en komplement till kursböckerna? Jag ger ett exempel i varje punkt för att bättre belysa vad det är jag tänker på. Jag tänkte avsluta den här föreläsningen med tre tankar till. 1. Begreppsbildningen i matematik upplever jag som ett nästan helt och hållet försummat område. Om man tittar igenom många läroböcker, försöker de inleda eller belysa ett nytt begrepp på ett så kortfattat sätt som möjligt och många gånger fortsätta efter en sida med tillämpningar. Resultatet är att många elever och även studenter har inte alls klara och användbara begrepp, efter ett tag strävar de inte alls efter det, utan de är för det mesta inställda på nya metoder och först och främst på nya algoritmer att lära känna och kunna använda så snabbt som möjligt – allt annat är bara onödig snack och slöseri. Men utan klara och användbara begrepp är deras matematiska värld mycket lös och på grund av detta de kan ramla och fastna i vilket ögonblick som helst. Begreppsbildningen behöver mer tid och mer verbal kommunikation, men det är lönt. På den här punkten behöver de flesta elever lärarens aktiva och kunniga hjälp. Det kan man inte spara. Jag själv saknar djupt tiden undervisningstiden som skulle krävas för att satsa mer på begreppsbildningen på alla nivåer. 2. Upptäcka, uppmana och ”mata” intresserade elever med spännande matematik på alla nivåer. Våga försöka satsa mer på t.ex. studiecirklar eller elevföreningar för matteintresserade elever. Att kanske syssla med matematik utanför de vanliga skoltimmarna, under friare former, i mindre grupper, vore en oerhört bra möjlighet för deras matematiska utveckling. Jag kommer aldrig att glömma många sådana timmar med ”mina” elever när vi har suttit i källaren i en liten lokal med tavla och antingen försökte vi lösa problem eller ibland fick en föreläsning. Stämningen och deras reaktioner var oglömbara… Många gånger var jag tvungen att jag skicka hem dem… 3. Uppmana och löna elevernas spontaneitet och individualitet mycket mer än idag. Även på mattelektionerna. Det är mycket bra att ”prata” matte men det räcker inte. Man behöver ett medvetet, genomtänkt och erkänt elev- och lärararbete på varje nivå. Jag har träffat många elever som var eller snarare blev rädda för matematik. Att satsa mycket mer på elevernas fria associationer och använda dem så långt som det går vore nyttigt för hela matteutbildningen. 197 Matematikens rikedomar: datorskärmens geometri En introduktion till digital geometri, som är en geometri under utveckling, lika exakt som den Euklidiska, annorlunda men med vissa likheter. Föreläsningen har anknytning till bokprojektet Matematikens rikedomar. Christer Kiselman är professor i matematik vid Uppsala universitet. Han forskar på komplex analys och geometri och digital geometri. Han är ledamot av regeringens matematikdelegation och vice preses i Esperantoakademien. Föreläsning Punkter, räta linjer och plan har människan studerat i över två tusen år, och vissa kurvor, som ellipser och hyperblar, har varit föremål för vår nyfikenhet nästan lika länge. Allmännare kurvor, som lemniskator och kardioider, har studerats i flera hundra år. Studiet av sådana kurvor grundar sig på att vi kan rita dem på papper och få idéer från handritade bilder. Men med datorerna har vi fått ett nytt sätt att rita. På en datorskärm ser vi bilder, och bilderna består av små bildelement eller pixlar, som ögat sätter ihop till geometriska objekt. En rät linje blir då inte det som Euklides avsåg med en rät linje, utan en ändlig mängd av prickar på skärmen, som ögat ändå fogar ihop till ett sammanhängande linjestycke. En kurva är likaså enändlig mängd av bildelement. Finns det en geometri för dessa bilder på datorskärmen? Svaret är ja. Vi behöver inte nöja oss med att uppfatta bilderna som mer eller mindre noggranna approximationer av ideala räta linjer eller kurvor,utan kan behandla dessa ändliga punktmängder med samma exakthet som Euklides hade i sin geometri. Detta är den digitala geometrin. Den är ung jämfört med Euklides'. Azriel Rosenfeld gav år 1974 en definition av begreppet digital rät linje. Erik Melin fann år 2003 en annan digitalisering av räta linjer, som respekterar Khalimskys topologi (jag skall förklara vad den är i föredraget). Vi kan också tala om kurvor i det digitala planet. Vi kan ta vilket begrepp som helst i den euklidiska geometrin och försöka översätta det till den digitala geometrin, och se om ett visst resultat i den euklidiska geometrin blir sant i den digitala. Speciellt skall vi titta på Jordans kurvsats. Denna sats handlar om kurvor i det euklidiska planet och säger att en sluten enkel kurva delar planet i två delar: en inre och en yttre komponent. Beviset är svårt. Om man nu har en kurva i det digitala planet -- den består alltså av ändligt många punkter -- kan den då dela in planet i två delar? Svaret är ja. Det resultatet bevisades av Efim Khalimsky (E. D. Halimskij, 1970). Vi skall beskriva några begrepp inom den digitala geometrin och illustrera dem genom att diskutera Khalimskys digitala version av Jordans kurvsats. Men för att nå dit måste man ompröva en del invanda föreställningar. Det är nu för tiden lätt att motivera den digitala geometrin med dess tillämpningar inom datorgrafik och bildanalys. Men det kan vara värt att notera att Khalimsky införde sin topologi redan 1969, synbarligen utan några sådan tillämpningar i åtanke. 198 Om geometri och geometriundervisning Några exempel på en ”vertikal undervisningsgång. Föreläsningen, med inslag av workshop, vill visa på värdet av att matematiklärare i alla skolår har kännedom om hur samma innehåll återkommer på olika nivåer genom skolåren. Ingvar O. Persson är lärarutbildare i matematikdidaktik vid Lärarhögskolan i Stockholm. Han arbetar också med fortbildningsuppdrag och kurser i matematikämnets didaktik. Föreläsning och workshop En undervisning, grundad på förståelse, ställer stora krav på den undervisande läraren. ”Du kan lära andra det du själv lärt dig, men du kan inte få någon annan att förstå det du inte själv förstått”, är ett talesätt i detta sammanhang. Mot denna bakgrund kan det vara värdefullt för den lärande eleven om alla som undervisar i matematik är väl förtrogna med såväl det matematikinnehåll som eleven mött tidigare, det som nu är aktuellt för undervisning samt det matematikinnehåll som väntar eleven i de kommande studierna/verksamhet. Ju mer läraren vet om detta, desto större är möjligheterna att fatta kloka undervisningsbeslut, när läraren väljer att undervisa som hon/han gör. Begrepp och moment inom matematikundervisningen återkommer vid olika tillfällen för eleven på vägen genom skolan från år ett till avslutade gymnasiestudier. Som exempel kan nämnas procentbegreppet som behandlas återkommande vi olika tillfällen och med olika metoder. Om den tidigare behandlingen av stoffet har gjorts på ett reflekterat sätt, kan elevernas ingångskunskaper utgöra en god grund för ett fortsatt utvecklat arbete inom momentet. Vid arbete med olika typer av problemlösning, kan lösningar genomföras på helt olika sätt, bland annat beroende på vilka metoder eleven förfogar över vid det aktuella tillfället. Geometriavsnittet ger möjligheter att visa hur samma exempel kan behandlas på olika sätt från speciella till generella metoder. Under detta arbetspass kommer bland annat att visas exempel på hur volymsbegreppet kan behandlas på olika sätt med en ökande grad av generalisering vid olika tidpunkter i utbildningen. 200 Matematik är väl ingen konst – eller? Så kallas ett samarbetsprojekt mellan matematik, bild och design, som genomförs med elever från tekniska och estetiska programmen vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg. Målsättningen är att hitta nya vägar inom matematikundervisningen och väcka intresse och fascination för sambanden mellan matematiska förhållanden och konst. ”… matematik kan vara både ett språk och ett redskap. Matematiken är ett viktigt verktyg för lärande och kunnande i andra gymnasieämnen, inte bara i fysik och kemi, utan även iandra ämnen som biologi, ekonomi, samhällskunskap och bild” SOU 2002: 120 sid 168 Broar byggs mellan olika ämnen och olika program. Cathrine Hobroh är matematiklärare Ulf Söderstrand är bildlärare Båda arbetar vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg Föreläsning Så kallas ett samarbetsprojekt mellan matematik, bild och design, som genomförs med lever från tekniska och estetiska programmen vid Söderslättsgymnasiet i Trelleborg. Målsättningen är att hitta nya vägar inom matematikundervisningen och väcka intresse och fascination för sambanden mellan matematiska förhållanden och konst. Broar byggs mellan olika ämnen och olika program. Cathrine Dunhammar Hobroh arbetar som matematiklärare och Ulf Söderstrand som bildlärare. Föreläsning Ett projekt kallat ”Matematik är väl ingen konst…eller?” genomförs vid Söderslätts-gymnasiet i Trelleborg och berör undervisningen i matematik och bild för elever på Teknikprogrammet och Estetprogrammet. I målen för kurs A i matematik står det att eleverna efter avslutad kurs skall ”känna till hur matematiken påverkar vår kultur när det gäller till exempel arkitektur, formgivning, musik och konst samt hur matematiska modeller kan beskriva förlopp och former i naturen.” Kanske kan man genom bild, design och konst hitta nya infallsvinklar för att stimulera matematikundervisningen och uppnå nya insikter hos eleverna. En målsättning har varit att försöka väcka intresse och fascination för sambanden mellan konst och matematiska förhållanden inom ett bredare fält. ”…matematik kan vara både ett språk och ett redskap. Matematiken är ett viktigt verk tyg för lärande och kunnande i andra gymnasieämnen, inte bara i fysik och kemi, utan även i andra ämnen som biologi, ekonomi, samhällskunskap och bild” SOU 2002: 120 sid 168. Skolverket vill att matematikundervisningen förnyas. ”Det är hög tid att blåsa liv i matematikundervisningen. Alldeles för många elever tappar lusten och skyr ämnet mest av alla. För mycket mekaniskt räknande i böcker är en förklaring enligt Skolverket” SDS 25 jan 2003 A sid 36 Projektet sammanfaller väl med Skolverkets utredning Lusten att lära – med fokus på matematik och dess intention att hitta nya vägar inom matematikundervisningen. Arbetssättet kan sammanfattas i tre punkter. Konstverk, skulpturer m.m. har använts som illustration till matematiken. Här följer några exempel. När vi sysslade med geometri studerade vi olika verk som innehåller geometriska figurer. Rafaels ”Madonna” är uppbyggd som en triangel, likaså Archimboldos ”Bibliotekarien”. Josef Albers målade kvadrater t.ex. ”Komposition med gul kvadrat” Hilma af Klint målade cirklar t.ex. ”Svanen nr 17” I Wassily Kandinskys ”Spetsar i bågform” förekommer flera olika geometriska figurer. Lenny Clarhälls skulpturer, ”Fyra Malanganer”, består av cirkelsegment. 1. Bilder och konstverk har utgjort arbetsunderlag till matematiska uppgifter. Här följer några exempel. Koordinatsystem har lagts in i bilder av Piet Mondrian och Olle Baertling och eleverna har angett koordinater och räta linjens ekvation. Vi mätte på en bild av Pietro Peruginos tavla ”Jungfru Maria med Jesusbarnet” då vi sysslade med procent och fann att konstnären använt sig av gyllene snittet. Vi mätte på ett vykort föreställande Peter Tillbergs ”Blir du lönsam lille vän?” och bestämde skalan då vi visste storleken på Tillbergs stora konstverk. Eleverna beräknade hur stor apparaten skulle bli i verkligheten om den uppfördes i den skala som anges på GAN:s konstverk ”Apparat för magasinering av solljus”. 3. Vi har studerat och gjort beräkningar som rör geometriska och matematiska konstruktioner som ligger bakom tillkomsten av konstverk, skulpturer, vaser, möbler och byggnadsverk. Här har vi använt oss av kunskaper från bl.a. C, D och E-kursen. Här följer några exempel. ”Jesu dop” av Piero della Francesca ”Hetluft” av Lenny Clarhäll ”Gateway” av Eero Saarinen ”Superellipsen” av Piet Hein Efter genomgånget moment i matematiken, där konsten kommit in, har vi tittat på och pratat om konstverk och konstnärer. Under bild- och designlektionerna har eleverna sedan fått fördjupa sig i konsten, diskutera och analysera olika konstnärers kreativa tillvägagångssätt och olika konstriktningar. Dessa resonemang har sedan legat till grund för olika praktiska arbetsuppgifter som fördjupning och som experimenterande inslag, varvat med studiebesök. Eleverna har fått möta konstnärer, formgivare och kreatörer från olika arbetsområden. Bild-, svensk- och datalärare har varit involverade i projektet Samverkan har även påbörjats med skolans Industriprogram och Byggprogram. 202 Hur man bygger en bro och deltar i matematiktävlingen KappAbel Matematiktävlingen KappAbel för skolår 8 visar att matematik är roligt, vackert och nyttigt. Hela klassen arbetar gemensamt med tävlingen. Den stimulerar till diskussion och samarbete, främjar inlärning genom ett undersökande och utforskande arbetssätt samt skapar variation i undervisningen. Vi visar uppgifter, det svenska laget från Kubikskolan som vann den nordiska finalen, projektarbetet med en klaffbro och matematiken bakom. Gerd Ripa är matematiklärare och rektor på Kubikskolan i Helsingborg. Är med i Matematikdelegationen Bengt Åhlander Har varit lärare i Ma och Fy på Östrabo, Uddevalla gymnasieskola, numera rektor på samma skola. Medlem i Svenska Kommittén för Matematikutbildning, SKM. Representanter för klassen som vann Workshop Hur man bygger en bro och deltar i matematiktävlingen KappAbel År 2000 hade Norge en stor final i matematiktävlingen KappAbel i Arendal Norge. Där hade man samlat alla vinnare i varje fylke i Norge och det blev ungefär 18 klasslag som deltog. Vid denna konferens började man prata om att inbjuda hela norden till tävlingen. Förra året deltog Sverige, Island och Danmark förutom Norge. I år hoppas vi få med Finland och kanske Färöarna. Den har blivit en nordisk angelägenhet eftersom Nordiska Ministerrådet beviljat pengar för verksamheten. I september 2003 hölls den första nordiska finalen med fyra landslag och där Sverige tog hem bägge deltävlingarna, både problemlösningen och projektarbetet. På våren hade vi haft en nationell final för att utse det svenska laget som skulle få åka till Norge och den nordiska finalen. Förutom problemlösning ska varje klass genomföra ett projektarbete med olika teman. Förra året var temat ”Matematik och teknik” medan det i år är ”Matematik och musik”. Det är år 8 i grundskolan som får delta i tävlingen. Vi kommer att under presentationen få ta del av det svenska laget som presenterar sitt projektarbete och därefter kommer alla få vara med i problemlösningen för att man ska kunna skaffa sig en bild av vilken sorts matematik det handlar om. Några smakprov finns nedan: Problem givet vid den nordiska finalen: Guldkedjan: Sonen till en rik guldsmed lämnade hemmet efter sin fars bortgång. Allt han tog med sig var en guldkedja som bestod av 129 länkar. Han hyrde en lägenhet i centrum av staden. Som hyra för lägenheten var han tvungen att varje vecka betala en länka av guldkedjan. Hyresvärdinna ville vid slutet av vecka ett ha en länk av guldkedjan i sin ägo, och efter två veckor två länkar osv. Sonen förstod att han var tvungen att klippa upp ett antal länkar av kedjan för att kunna betala veckohyran på detta sätt- Vilket är det minsta antal länkar som han måste klippa upp och hur långa skulle de olika bitarna av kedjan bli om han ville hyra i 129 veckor? Sonen kunde byta länkar med hyresvärdinnan dvs. få tidigare betalda länkar i retur bara hyresvärdinnan efter n veckor hade n länkar. Fler problem kommer att visas upp. I Sverige finns det idag en KappAbelgrupp som består av fem personer. Det är lärarföreningarna SMaL och LMNT som arbetar med tävlingen nationellt. Hemsidan är www.kappabel.com Helena Lilja ordf. i SMaL, Maria Linderoth SMal, Karin Pettersen LMNT Gerd Ripa, Bengt Åhlander 203 Lärakademin: ”Samverkan mellan stadier i ett matematiskt didaktiskt lärande 1-16 år” Lärakademin ”Samverkan mellan stadier i ett matematiskt didaktiskt lärande 1-16 år” är en av de 54 Lärakademier som är en nationell satsning för att främja skolutveckling i Myndigheten i skolutveckling och Lärarförbundets regi. Lärakademin består av praktiknära lärare från förskola och grundskola, skolledare, skolutvecklare, lärarutbildare i matematik och forskare i pedagogik vid Klågerups skolenhet, Svedala kommun, Malmö Högskola och Högskolan Kristianstad. Lärakademin genomför en implementering i ett samverkans perspektiv mellan förskola och grundskola, inom kunskapsområdet matematik ur ett didaktiskt lärande och forskande perspektiv. I föreläsningen vill lärakademin belysa och inspirera till skolutveckling genom att lyfta och beskriva de erfarenheter som förbättringsarbetet erfordrar bl.a. Hur samverkan mellan stadierna organiseras för att få vidare/återkoppling i lärandet och forskandet i matematik utifrån Lpo94 och Lpfö98. Där en lärande process med lust, eget skapande och med inflytande uppstår och består hos eleven/elevgruppen. Vilka betydande roller skolledning, skolutvecklare, lärare, lärarutbildare, forskare har i samverkan med varandra för att en skolutveckling och förbättring skall kunna ske inom kunskapsområdet matematik på den enskilda skolenheten. Vilken kompetensutveckling som yrkas på för skolledare, lärare och föräldrar för att utveckla ett pedagogiskt förhållningssätt ur ett matematiskt didaktiskt perspektiv. Det beskrivs också i föreläsningen om de samverkanspartners Klågerups skolenhet har etablerat, för att skapa skolutveckling inom matematik i ett didaktiskt perspektiv nationellt och internationellt. Annika Palmgren arbetar vid Klågerups skolenhet, Svedala kommun, Nationell skolutvecklare/ Lärakademiföreståndare, Lärakademier i Myndigheten för skolutveckling och Lärarförbundets regi. Skolutveckling. Föreläsning 204 Räkna med mindre matte Vikingaskolan i Lund har arbetat med ämnesövergripande undervisning sedan 1997. I detta arbete är strävan att integrera andra ämnen i matematikämnet såväl vad gäller mål som stoff. Att en samverkan över ämnesgränserna kan förbättra matematikundervisningens kvalité betonas i Skolverkets rapport ”Lusten att lära med fokus på matematik”. Patricia Wågensand, Lotta Janhall, Birgitta Sigeman, Robert Göransson, Maria Vasquez och Pelle Persson är grundskollärare och arbetar bland annat med att utveckla matematikundervisningen i sjuan, åttan och nian på Vikingaskolan i Lund. I sin lärargärning ser de sig i första hand som pedagoger och i andra hand som ämnesföreträdare. De arbetar dagligen med ämnesövergripande undervisning. Föreläsning och workshop Inledning Barn lär bättre när lärandet sker i ett sammanhang. En viktig del i det ämnesövergripande arbetet på Vikingaskolan är att skapa helheter inom vilka det är möjligt för eleverna att förstå och ta ansvar för det arbete de utför. Skolarbetet bedrivs i tematisk form, ämnena utgör antingen delar av en helhet eller är själva en sådan. Terminerna delas upp i olika arbetsområden vars innehåll bestäms i en terminsplanering och framställs i en arbetsområdesbeskrivning. Målet och syftet med undervisningen dikterar i vilken grad olika ämnen integreras. Eleverna planerar själva stora delar av arbetstiden i skolan, har långa sammanhängande arbetspass och är delaktiga i planering av innehåll och metoder. Lärarna arbetar i arbetslag med ett gemensamt ansvar för alla elever och ett särskilt ansvar för ett mindre antal i egenskap av handledare.1 Denna organisation har medfört färre mattelektioner, dock ej mindre matematik. Matematik och lärande Ju längre tid en elev går i skolan desto större blir sannolikheten att lusten att lära matematik minskar. Den naturliga nyfikenhet till ämnet som de flesta elever har när de kommer till skolan är under de senare skolåren totalt förändrad. En stor grupp elever kan inte se någon koppling mellan matteundervisningen och sin egen verklighet.2 Många gånger lär eleverna enbart för att klara prov och få belöning i form av betyg. Deras problemlösningsförmåga inriktas på hur läraren tänker och inte på det egentliga innehållet i skolarbetet. Denna ytinlärning medför ett passivt förhållningssätt vilket i sin tur leder till att förståelsen blir lidande. Att organisera skolarbetet så att det anknyter till elevernas verklighet och blir tydligt både vad gäller innehåll och sammanhang är därför av största vikt. Eleverna måste förstå vad de ska göra och varför de ska göra på det ena eller det andra sättet för att de ska kunna relatera det de redan vet till det skolarbete som pågår. 1 2 För en detaljerad beskrivning av organisationen se: Krantz, Persson, Sex, godis och mobiltelefoner. Skolverket, Lusten att lära med fokus på matematik, s.39. Ämnesintegration Det är sällan så att verklighetens problem följer skolans ämnesgränser, matematiken utgör här inget undantag. Ett faktum som kraftigt försvårar de flesta lärares möjlighet att binda samman skolarbetet med den verklighet som eleverna upplever utanför skolan. Den som vill sammankoppla undervisningen till skolbarnens verklighet har därför starka skäl att låta matematiken smälta samman med skolans övriga ämnen. En integration mellan skolans olika ämnen lyfts fram som eftersträvansvärd både i grundskolans läroplan och i dess kursplaner. Själva ämnesindelningen är bara ett sätt att organisera utbildningens innehåll och syftar inte till att skapa gränser mellan ämnena. Det finns en tydlig gemensam bas i styrdokumenten på vilken det absolut är möjligt att bygga en integrerad undervisning.3 Exemplet Ungdomsbomässan Under höstterminen 2003 arbetade Vikingaskolans åttor med ett arbetsområde som fick namnet ”Ungdomsbomässan”. Eleverna ingick i ett fingerat projekt i vilket de hade till uppgift att skapa ett fungerande ungdomsboende i verklig miljö. I samarbete med stadsbyggnadskontoret kopplades arbetet till en planerad utbyggnad av ett område öster om Vikingaskolan. Målet för eleverna var att planera, rita och konstruera ett fungerande ungdomskvarter på detta område. De arbetade i grupp med ett gemensamt mål och ett tydligt individuellt ansvar. Teknik, bild, svenska, No, hemkunskap och So integrerades med matematiken. Arbetet pågick under fem veckor och avslutades med en ungdomsbomässa där eleverna presenterade sitt arbete för ett stort antal vuxna besökare. Elevinstruktion Ett utvecklande av elevens problemlösningsförmåga betonas både i grundskolans läroplan och i dess kursplan i matematik. Arbetsområdet ungdomsbomässan gav goda möjligheter att arbeta med just problemlösning. En tydlig ram för arbetet sattes av lärarna, se nedan. Inom denna ram fick eleverna sedan arbeta för att nå målet. Du ingår i ett projektteam som har till uppgift att skapa ett fungerande ungdomsboende i verklig miljö. Det estetiska ska prioriteras i projektet. Du ska arbeta både enskilt och i grupp. Enskilt Du ska planera och göra en ritning över en bostad i skala 1:50 Du ska göra en ritning av bostadens fasader i skala 1:50 Du ska inreda bostaden (på ritningen) Du ska räkna ut inredningskostnaderna för bostaden Du ska göra en presentation av din inredning Du ska göra en perspektivritning av ett rum i bostaden Du ska bygga en modell av bostaden i skala 1:50 3 Lpo 94, s. 8 & 11, Skolverket, Grundskolan, kursplaner och betygskriterier 2000, s. 6. Du ska göra en tomt till bostaden i skala 1:50 Grupp Ni ska göra en karta över kvarteret i skala 1:100 Ni ska planera så att kvarteret fungerar (vägar, el/varmvatten, telefon/Internet, sophämtning och uppvärmning) samt räkna ut driftskostnaderna för varje hus Ni ska med hjälp av kartor, skisser, ritningar etc. förklara hur kvarteret är tänkt att fungera Ni ska göra och presentera en undersökning om något som kan förbättras i Lineroområdet Som framgår av listan ovan gavs eleverna ett antal öppna problem med koppling till den verklighet som fanns såväl i deras hem som i den kommande utbyggnaden av om rådet öster om Vikingaskolan. Under arbetets gång tillfördes ett antal problem. Bland annat blev eleverna tvungna att byta fönster och måla om sina hus. Resultat Det fanns ett genuint intresse hos eleverna att fundera på sitt framtida boende. Detta innebar att de arbetade och lärde sig utan att fundera på om lärarna fick vad de ville. Det fanns en inre belöning i det arbete som utfördes. Att få fantisera om ett eget framtida boende var viktigare än eventuella yttre belöningar. Tankar på misslyckanden sköts åt sidan av ivern att göra sitt bästa. Den avslutande mässan på vilken eleverna skulle redovisa sitt arbete spelade en viss roll för motivationen men den drivande kraften var problemlösandet i sig. Målet för arbetet var i elevernas medvetanden dessutom överordnat skolämnena. Eleverna frågade sig inte om det de gjorde var matematik utan fokus var på att lösa de problem som de hade ställts inför. Det ämnesövergripande arbetet ledde till att eleverna räknade med mindre matte! Referenser Krantz, Johan och Persson Pelle, Sex, godis och mobiltelefoner –pedagogik underifrån, Lund 2001 Skolverket, Grundskolan, kursplaner och betygskriterier 2000, Stockholm 2000 Skolverket, Lusten att lära med fokus på matematik Skolverket, Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002, Lusten att lära -med fokus på matematik, Stockholm 2003 Utbildningsdepartementet, Läroplan för det obligatoriska skolväsendet, förskoleklassen och fritidshemmet, Lpo 94, Västerås 1998 205 Med fantasins hjälp Med fantasins hjälp upptäcker elever t.ex. samband, mönster, tal, former, relationer. De dokumenterar och uttrycker sina matematiska erfarenheter i kreativt skapande. ”Ju rikare verklighet, desto mer möjlighet till fantasi, och vice versa." (Vygotskij) Berit Bergius lågstadielärare vid Fiskebäcksskolan och Lillemor Emanuelsson lågstadielärare och universitetsadjunkt på NCM nationellt Centrum för Matematikutbildning, Göteborgs universitet. Föreläsning I Normalplanen 1878 fanns två skolämnen motsvarande dagens matematik - Räkning och Geometri. Timplanen visar att i folkskolans fjärde klass hade pojkarna tre timmar räkning och två timmar geometri flickorna fyra timmar räkning, noll timmar geometri och en timmes skrivning I småskolan behandlades främst huvudräkning och skriftlig räkning i addition och subtraktion i begränsade talområden. I folkskolan ville många se mindre av ensidigt mekaniskt räknande och mera problemlösning. Hur ser det ut idag? I kursplanen beskrivs matematik som…En kreativ och utforskande aktivitet som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition. Fantasins skapande aktivitet är direkt avhängig av rikedomen och mångfalden i människans tidigare erfarenheter, eftersom dessa erfarenheter utgör det material som fantasikonstruktionerna byggs av. Ju rikare en människas erfarenheter är, desto mer material förfogar hennes fantasi över. Ett barns fantasi är fattigare än en vuxen människas, eftersom dess erfarenheter är mindre rika. Lev S Vygotskij 1930 Fantasi och kreativitet i barndomen. Om det är så, blir en konsekvens att det gäller att ge elever många, rika, varierade erfarenheter! Jag skulle sätta barnen i origo och bygga palissader runt periferien om jag vore en cirkel Lars Hesslind 1988 Samtal Med En Kakelvägg Vilka matematiktankar ger dikten möjligheter till? Elever utmanas att gå bortom vad och hur till varför hur kommer det sig och vad händer om Martinez & Martinez i Mathematics Teacher dec 98, s 746 Detta är ett viktigt citat för oss! Hur kommer det sig? Vilka är sambanden? Hur vet du att det är så? Kommer du ihåg förra gången? För oss handlar det om att vidga elevernas tänkande, utmana, tillföra energi, men också att koppla tillbaka till deras tidigare erfarenheter. Ett av våra mål är, att utifrån elevers omvärld och erfarenheter, bygga upp geometriska begrepp, tal-och rumsuppfattning, mönster, samband, relationer med mera. Genom olika undersökningar, laborationer, spel och pussel, samt aktiviteter i många varierade situationer i interaktion med andra människor utveckla det matematiska kunnandet. Det blir betydelsefullt att stimulera elevernas motorik, språk och bilder i samspel samt genom att utmana kreativitet och nyfikenhet, uppmuntra till olika representationer och stimulera alla sinnen. Vi ger exempel på skapande möten mellan elevers fantasi och spännande, lustfylld matematik. Det handlar om att fånga och utveckla de magiska ögonblicken. Fantasi och kreativitet är positivt laddade ord men tas inte alltid på allvar. Vi lever i en värld full av mönster, former och geometriska objekt. Elever saknar ofta precisa ord, uttryck och språk för att t ex uttrycka likheter och skillnader. Vi menar att med utgångspunkt i barnets eget språk, byggs det matematiskt korrekta språket upp. Från barnets spontana uttryck, genom upptäckter för att förstå samband, kan symbolspråk och associationsvärld utvecklas. Genom att använda språket utvecklas begrepp, innehåll, innebörd och uttryck. Några exempel från den fantastiska verkliga världen… Vad nu den är för barn? Vad händer med det nyfikna barnet före och efter mötet med cirkeln och mönster i ringen på golvet - till konstruktion och storleksberäkning av de delar cirkelns radie bildar - och när, varför och på vilket sätt mötte eleverna ellipsen? Kvalitetsgranskningen av Lusten att lära – med fokus på matematik visar att unga elever sällan behöver motiveras för matematik under de första åren i skolan. Den är ny och spännande. Barnen väntar sig att få lära nya saker och det finns lust, nyfikenhet och intresse. Men det blir snart svårare att hålla detta vid liv. Då kommer lärarens stora betydelse och nyckelroll in. Det gäller att bearbeta begrepp, att utveckla synen på matematik, att utmana elever med aktiviteter, frågor, uppmuntra dem att förklara och diskutera möjliga lösningar, göra egna upptäckter och söka nya kunskaper. Matematik är så mycket mer än det som finns mellan pärmarna i en räknebok! Tyvärr har många elever låga förväntningar på att skolmatematik är något mer än räkning. Matematik kan knyta ihop alla andra ämnen och är roligt, logiskt och uppmuntrar kreativitet. Det behövs ett estetiskt synsätt en helhetssyn med tilltro till den kreative eleven! 206 Elever gör upptäckter och finner matematiska samband i reella och fiktiva motionsslingor ” Elever rör sig för lite. Lägg in mer idrott i det dagliga arbetet” – löd budskapet från Tomas Östros. Arbetet beskriver två år 5-gruppers erfarenheter och lärande i bl. a. mätningar och jämförelser av tid, avstånd och hastighet. I ritningar, ifrån början okänd skala, markerades specifika verkliga avstånd. Berit Bergius är lärare vid Fiskebäcksskolan i Göteborg. Föreläsning Kursplanen i Matematik (2000) säger att skolan i sin undervisning ska sträva mot att eleven får tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer förstår och kan använda grundläggande matematiska begrepp och metoder förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt argumentera för sitt tänkande. Eleverna hämtar erfarenheter från omvärlden, som ger dem underlag för att utvidga sitt matematiska kunnande. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem. Aktuell forskning om effektivt lärande betonar vikten av att utgå från det som angår och engagerar elever. Den sociala interaktionen i lösningsprocessen är viktig för utvecklingen av individens lärande. När eleverna började sin hösttermin, år 5, hade media slagit upp Tomas Östros uttalande. Det var ofta kopplat till påståenden om att skolan skurit ned idrottsundervisningen. Visst är det viktigt att våra elever rör sig mycket! Hur ska detta kunna integreras på ett naturligt sätt i det dagliga arbetet? Mina funderingar ledde till att, som en del av det tema vi planerat, naturen omkring oss – sedd i förstoringsglas, använda en motionsslinga. Vår skola ligger i nära anslutning till naturen. Eleverna vistades ofta ute under s.k. PA de tidigare åren i skolan. Eleverna fick uppdraget: Rita en karta över en motionsslinga. Den går genom skogen. Någonstans längs vägen passerar du en ödestuga, vid stranden av en sjö. En bro leder dig över en bäck. Det tar 30 minuter för dig att jogga den slingriga slingan. Du klarar att hålla jämn fart hela vägen, fast det finns backar. Föreläsningen ger exempel på hur eleverna arbetade med, och redovisade, bl.a. dessa utmaningar: • Hur lång är din bana? Hur vet du det? Placera ut kilometerskyltar längs kartan över banan. • Om du springer 2 varv, hur långt har du då sprungit? • Hur många varv måste du springa, om du vill springa 1 mil? Hur lång tid tar det? • Hur långt kommer du på 20 minuter? • Vid maraton springer man 4.2195 m. Hur många varv skulle du behöva springa för att vara säker på att du sprungit lika långt? • Jämför längden på din bana med två kamraters banor. Vilka likheter hittar du? Skillnader? • Ibland vill du kanske gå istället för att springa. Om du går ett varv med jämn fart, hur lång tid skulle det ta? Hur kan du ta reda på det? • Du startar din träning kl 15.26 och är i mål kl 16.12. Hur länge och hur långt har du sprungit? Var någonstans på slingan är du då? 207 Goda exempel inom matematikundervisningen för vuxna – redovisning av en nationell kartläggning Under 2003 har NCM genomfört en kartläggning av ”goda exempel” inom matematikundervisning för vuxna. En enkät skickades ut till landets samtliga skolor, utbildningsanordnare och förvaltningar inom den offentliga skolväsendet för vuxna samt till folkbildningens organisationer. Resultatet av denna undersökning redovisas och utgör underlag för ett samtal kring vuxnas matematiklärande. Lars Gustafsson, ansvarig för området vuxenutbildning och vuxnas lärande Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, Göteborgs universitet Föreläsning Våren 2003 skickades ett upprop angående en kartläggning av “goda exempel” inom vuxenutbildning ut till ett stort antal anordnare av vuxenutbildning inom det offentliga skolväsendet för vuxna och till folkbildningens organisationer. Sammanlagt cirka 1600 utskick gjordes. Ett femtiotal svar har kommit in. Eftersom det har kommit signaler från många håll om att enkäten inte har nått ut i de olika organisationerna bifogas skrivelsen för kännedom i biennal-dokumentationen. Materialet, som i skrivande stund inte har bearbetats och analyserats klart, kommer att presenteras under seminariet. 208 Matematik med fokus på språkutveckling Matematik är ett kommunikationsämne där eleven ska ges möjlighet att möta olika representationsformer för att fördjupa och vidga sitt kunnande. Ett flertal konkreta förslag på aktiviteter som kan användas i matematikundervisningen för att berika och utveckla elevernas språk presenteras. Elisabeth Rystedt har tidigare tjänstgjort som lärare i matematik och svenska, år 4-9, och arbetar nu på Nationellt Centrum för Matematikutbildning (NCM). Hon har också varit verksam som utbildningsinspektör på Skolverket inom granskningsområdet ”Lusten att lära” med inriktning mot matematik. Föreläsning Matematik – som språk Matematik är ett språk där eleven ska ges möjlighet att möta olika uttryckssätt för att utvidga och förstärka sin förståelse i ämnet. Lärande i matematik är en process vars mål är att kunna abstrahera och generalisera olika situationer i matematik. För att komma dit behöver eleverna få rika tillfällen till att använda varierande uttrycksformer som t ex konkreta modeller, teck-ningar, diagram, bilder, matematiska symboler, vardagsspråk och matematikterminologi. Språket i matematiken Språket i sig är en kritisk faktor för hur elever kommer att lyckas i matematik och matematikundervisningen bör därför aktivt stödja eleverna i deras språkutveckling. Detta gäller såväl vardagsspråket som matematikterminologin. När man uttrycker sig muntligt eller skriftligt, lyfts tankarna upp, organiseras, blir synliga och därmed möjliga att reflektera omkring. Syfte Det övergripande syftet är att underlätta elevers förståelse i matematik genom att fokus riktas på språket i och om matematik. Vissa elevers problem i matematik kanske i första hand beror på svårigheter med förståelsen av språket i muntliga och skriftliga uppgifter, med dess ord och begrepp. I så fall behöver elever i första hand hjälp med att utveckla språket och begreppsbildningen och inte stöd i själva ”räknandet”. Kanske skulle svårigheter i matematik kunna förebyggas genom en strukturerad undervisning som berikar elevernas språkutveckling? Här avses inte i första hand att förenkla språket utan underlätta för eleverna så de kan besegra språkliga hinder. Lärarrollen Lärarens roll är betydelsefull eftersom han/hon svarar för kvaliteten när eleverna kommunicerar i matematik; genom att utmana elevernas tänkande, ställa kritiska frågor, koppla till tidigare erfarenheter, lyfta fram matematiken och skapa lärande situationer där eleverna kan utveckla sitt språk. Aktiviteter Olika aktiviteter kan prövas i matematikundervisningen så att eleverna får tillfälle att utveckla sitt språk i och om matematik. I de två exemplen nedan uppmanas eleverna att förklara och beskriva sitt tänkande med hjälp av olika uttrycksmedel. De kan t ex - använda föremål som finns inne i klassrummet eller ute på skolgården, - visa med stöd av konkret materiel (snören etc), - bygga en eller flera modeller, - illustrera med skisser, teckningar eller bilder, - berätta muntligt med vardagsord eller matematikterminologi, - skriva med vardagsspråk eller matematiska symboler. Eleverna kan få i uppdrag att förklara på så många olika sätt som möjligt. På så sätt ger matematikuppgiften utrymme för elevernas kreativitet och alla elever bidrar på samma villkor oavsett om svaren har olika kvaliteter. Aktiviteten avslutas med en gemensam diskussion där läraren hjälper eleverna att synliggöra och lyfta fram matematiken i uppgifterna. Frågeställningarna kan varieras näst intill oändlighet beroende på elevernas ålder och matematikinnehåll. Svaret är givet 0,9 x 82 = 73,8 Varför? 21/0,5 = 42 Varför? Vilket är störst och varför? 1/2 eller 1/3 Varför? 2/3 eller 3/4? Varför? 0,25 eller 1/2 Varför? 209 Tessellationer i matematik, arkitektur och konst Tessellationer är konsten att dela upp planet i mindre delar, t ex en digital bild, en mosaik eller ett lapptäcke, Föredraget handlar om vilka tessellationer som är möjliga under vissa villkor och att vissa är flitigt använda. Borgefors Gunilla, Centrum för bildanalys, Uppsala Gunilla Borgefors, född 1952, utbildades till civilingengör i tillämpad matematik i Linköping med examen 1975. Under tiden 1982-1993 var hon anställd på Försvarets forskningsanstalt i Linköping där hon så småningom blev forskningschef och institutionschef. Hon doktorade 1986 på KTH i Stockholm och blev docent i Linköping 1992. Från 1993 är hon professor på Centrum för bildanalys, SLU, Uppsala och från 1996 dess chef. Centrum för bildanalys är en för Uppsala universitet och SLU gemensam inrättning. Efter grundexamen forskade hon inom tillämpad matematik och statistik, men från 1992 är hennes änme datoriserad bildanalys. Internationellt är hon mest känd för utvecklingen av digitala avståndstransformer. Under senare år har forskningen koncentrerats på dels utveckling av digital geometri i tre dimensioner och på många olika praktiska tillämpningar av bildanalys inom skogsbruk, jordbruk, industri och medicin. Föreläsning Tessellationer - göra mönster av polygoner Inledning Människan har i alla tider varit fascinerad av mönster. Det har redan mycket tidigt varit naturligt att sätta ihop större mönster av mindre bitar, t.ex. av olikfärgade stenar. Senare gjordes mosaiker, inte bara av kvadratiska bitar (son på latin kallas tesserae) utan av många andra enkla geometriska former. Högst når mosaikmönstrens mångfald utan tvekan i den islamiska konsten. Även om rikedomen på olika geometriska mönster inte är lika stor, hittar man ofta intressanta mönster Även när man tittar ner på golven i europeiska kyrkor. En annan välkänd typ av mönstersammansatta av mindre delar är broderier, där varje stygnrepresenterar en bit. Stygnen kan vara både fyrkantiga som korsstygn, rektangulära som tvistsöm eller långa raka streck i olika riktningar som schattersöm. Från början var det säkert så att man hittade nya sätt att sätta ihop olika enkla former mest av en slump. När grekerna århundradena för Kristi födelse utvecklade geometrin blev studiet av mönster mer systematiserat och man upptäckte t.ex. att det bara finns tre mönster som består av regelbundna månghörningar. Den första mera fullständiga genomgången av regelbundna mönster presenteras av astronomen Johannes Kepler (1571--1630) i boken"Harmonici Mundi" (Världsharmonin). PÅ 1900-talet tog undersökningarna av regelbundna mönster ny fart, klassificeringen av mönster blev mer genomarbetad och många nya intressanta mönster uppstod som följd av detta. En någorlunda lättläst framställning av en del av resultaten finns i "Tilings and Patterns" av B. Grünbaum och G.C. Shephard, 1987. Inom vetenskapen används reguljära mönster framför allt inom kemin, där vissa av mönstren uppstår bl. a. när man beskriver hur atomerna packas i kristaller. De studeras förstås även inom den "rena" matematiken och de kan vara ett hjälpmedel inom den så kallade gruppteorin, men främsta användningen är estetisk. Mönstren förekommer förvånansvärt ofta som utsmyckning i arkitektur och konst. Tessellationer Formellt definieras en tessellation som en uppräknelig familj av slutna mängder som täcker planet utan hål och utan överlapp. Enklare uttryckt är en tessellation ett sätt att dela in planet i mindre delar (mängder), t.ex. i rutor. En enskild del kallas oftast en tessera, plural tesserae. Punkter där flera polygoner möts i planet kallas vertex. Genom att lägga begränsningar på hur tesserae får se ut och hur de får sättas samman definieras olika klasser av tessellationer. En klass av polygonala tessellationer är den där samtliga tesserae är exakt lika både i storlek och form. En sådan tessellation kallas monohedral; "mono" betyder "en". Det finns ingen begränsning av antalet olika polygoner som ger monohedrala tessellationer. En intressant och i tessellationer mycket använd klass av polygoner är de reguljära polygonerna, där alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika stora. Exempel på reguljära polygoner är kvadrat och liksidig triangel. I de Platonska tessellationerna (efter den grekisk efilosofen Platon 300-talet f.Kr.) är alla tesserae lika och alla vertex lika. Det finns endast tre stycken, de där tesserae Är trianglar, kvadrater eller sexhörningar. I de Arkimediska tessellationerna (efter den grekiske filosofen Arkimedes, 200-talet f.Kr.) kan tesserae vara olika, men varje vertex ska vara lika. Det finns åtta stycken. Ingående tesserae är trianglar, kvadrater, sexhörningar, åttahörningar (endast en tessellation), och tolvhörningar. Om vertex inte behöver vara lika kan man av trianglar, kvadrater, sexhörningar, Åttahörningar och tolvhörningar skapa hur många olika tessellationer som helst. En tessellation som består av reguljära polygoner kan på ett enkelt sätt ge upphov till en helt ny tessellation. Detta gäller alltid, inte bara för Platonska och Arkimediska tessellationer. Man placerar ett vertex i mitten på varje tessera och förbinder detta med mittpunkten på varje annan tessera som delar en kant med den första. Den nya tessellationen kallas dualen till den ursprungliga. De polygoner som skapas är oftast inte reguljära. Eftersom det bara finns ett vertex i en Arkimedisk tessellation finns detbara en enda polygon i dess duala tessellation. Den är alltså monohedral. även dessa tessellationer dyker upp i konsten och arkitekturen. Givetvis har Även de Platonska tessellationerna dualer, men dessa Är inga nya tessellationer. Dualen till trianglarna är sexkanterna, och följaktligen är då dualen till sexkanterna trianglarna. Intressant nog är kvadraterna sin egen dual, med samma kantlängd, en egenskap som denna polygonala tessellation är ensam om. Tessellationerna kan utvidgas genom att tillåta andra polygoner. De som använs hittills har varit konvexa. Det finns även reguljära men icke-konvexa polygoner. Dessa liknar regelbundna stjärnor och finns liksom de konvexa reguljära polygonerna i oändligtantal. Det finns inga Platonska tessellationer med stjärnpolygoner, men det finns hela 21 Arkimediska. Ett ytterligare sätt att skapa regelbundna tessellationer är att undersöka de monohedrala tessellationerna, dvs. vilka (icke-reguljära) polygoner som ensamma kan tessellera planet. Man kan räkna ut att alla trianglar och alla fyrhörningar tessellerar planet, och att inga konvexa polygoner med fler Än sex sidor gör det. För konvexa pentagoner och hexagoner och för icke-konvexa polygoner Är detta ett svårt problem. Den holländske konstnären M.C. Escher (1898-1972) var expert på att skapa tessellationer av mångsidiga polygoner, där tesserae har en igenkännlig form, t.ex. fåglar, fiskar, reptiler. Om man vill prova att skapa egna tessellationer med reguljära polygoner är det lämpligt att konstruera ett stort antal trianglar, kvadrater, sexhörningar och tolvhörningar. Bibliografi Mycket lite finns tyvärr skrivet på svenska om reguljära tessellationer. Den första bok som behandlar tessellationer på ett systematisktvetenskapligt sätt Är förmodligen Keplers arbete. Den latinska texten är kanske väl svårgenomtränglig, men de illustrerande träsnitten är intressanta. Åtskilligt som finns i denna bok har återupptäckts många hundra år senare och då trotts vara nyheter! • J Kepler: Harmonices mvndi, Liber II: De congrventiafigvrarvm harmonicarvm, 1619. Den främsta boken om tessellationer är utan tvekan "Tilings andPatterns". Det är en grundläggande matematisk framställning, men ändå relativt lättläst och med många exempel. • B Grnenbaum and G C Shepard: Tilings andpatterns, W~H Freeman and Company, New York 1987. Samma författarpar har Även skrivit en serie strikt vetenskapligaartiklar, dÄr man undersöker vilka tessellationer som finns om manförutsÄtter olika typer av regelbundenhet. De Är intelÄttlÄsta, men innehÅller illustrationer av mÅnga intressanta mönster. • B Grünenbaum and G C Shepard: The eighty-one types of isohedraltilings in the plane, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol.82, part 2, Sep. 1977, s. 177-196. • B Grünenbaum and G C Shepard: The ninety-one types of isagonaltilings in the plane, Trans. American Math. Soc., Vol.242, Aug. 1978, s. 335-353. • B Grünenbaum and G C Shepard: Isohedral tilings of the plane bypolygons, Comment. Math, Helvetici, Vol. 53, 1978, s. 542-571. • B Grünenbaum and G C Shepard: Isotoxal tilings, Pacific Journal of Mathematics, Vol. 76, No. 2,1978, s. 407-432. Denna serie vetenskapliga artiklar innehåller illustrationer av de många mönster som behandlas: • O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene I, Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XVIII, H.4, 1969, s. 273-290. • O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene II, Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XIX, H.2, 1970, s. 19-38. • O Krötenheerdt: Die Homogenen Mosaike n-ter Ordnung in der euklidischen Ebene III, Wiss. Z. Univ. Halle, Vol. XIX, H.6, 1970, s. 97-122. I mitten av 1970-talet fanns en serie artiklar om tessellationer i tidskriften "Scientific American". De behandlar framför allt monohedralatessellationer. I artikeln frÅn 1977 visar en kalifornisk hemmafru att matematikernas påstående i de första artiklarna var fel. Detta utvecklas vidare i Doris Schattschneiders artikel nedan. • M Gardner: On tesselating the plane with convex polygon tiles, Scientific American, July 1975, s. 112-121. • M Gardner: A random assortment of puzzles, together with reader responses to earlier problems, Scientific American, Dec.1975, s. 116-119. • M Gardner: Extraordinary periodic tiling that enriches the theory of tiles,Scientific American, Jan. 1977, s. 110-121. • D Schattschneider: In praise of amateurs, The Mathematical Gardner, 1981, s. 140-166. Denna serie små lättlästa rikt illustrerade böcker visar på mönster från romerska mosaiker, europeiska kyrkor och islamsk konst, utan att gå in på den bakomliggande matematiken. • R Field: Geometric patterns from Roman mosaics, Tarquin Publications, Stradbroke 1988. • R Field: Geometric patterns from churches &cathedrals, Tarquin Publications, Stradbroke 1996. • R Field: Geometric patterns from Islamic art &architecture, Tarquin Publications, Stradbroke 1998. Gunilla Borgefors Centrum för bildanalys, SLU Lägerhyddsvägen 3, 752 37 Uppsala [email protected] 213 Matematik i förskolan – en bro mellan erfarenheter, begrepp och matematik Vad innebär matematik för förskolebarn? Exempel på hur begrepp inom t ex taluppfattning och rumsuppfattning kan grundläggas för de yngsta barnen. Margareta Forsbäck arbetar som lärarutbildare på Lärarhögskolan i Stockholm och med pilotprojektet för förskolan vid NCM Föreläsning Att synliggöra matematiken i barnets vardag. Varje dag träffar både barn och vuxna på matematik i många olika former. För att hjälpa barnet att upptäcka all denna matematik och bygga upp begreppsförståelse och ett bra ordförråd, behöver vi vuxna vara lika tydliga med matematiken som med allt annat vi förtydligar, visar och lär våra barn. En medveten vuxen ger medvetna barn, så det är dags att ta fram ”Matteglasögonen” och börja upptäcka matematiken i vardagen tillsammans med barnen. Nyfikna barn Barn är upptäckare och intresserade av allt som finns omkring dem. Att jämföra, storleksordna och sortera leksaker, kläder och böcker ger många tillfällen att ”prata” matte. De upprepar gärna ramsor även om de inte förstår allt de säger. Räkneramsan kan de därför lätt lära sig genom att upprepa och om de dessutom får utföra något för varje räkneord, t ex gå uppför en trappa med ett steg i taget och räkna stegen, kan de tidigt uppfatta att varje räkneord hör ihop med en rörelse eller ett föremål. Barns kunskap blir ofta tydligare för dem om den har känslomässig anknytning. ”Två det är du och jag” förklarade Kalle. Barns första mattelärare Långt innan barnen börjar skolan träffar de på vuxna eller äldre barn som tar dem med till matematikens värld. Det är viktigt att vi då strukturerar de begrepp vi presenterar för barnen så att de kan utveckla förståelse för begreppen och få lämpliga utmaningar efter den kunskapsnivå de just då befinner sig på. Hur vi bemöter barnen när de prövar och frågar är viktigt. Den vuxnes attityd påverkar barnens inställning till matematiken. På många förskolor arbetar man idag med små barn och matematik, men det är inte alltid som medvetenheten och progressionen är tydlig. Sortera och beskriva En bra grund för många matematiska begrepp är att kunna beskriva egenskaper hos olika föremål och att kunna sortera efter olika kriterier. Man kan t ex låta barnen sortera sina leksaker på olika sätt när de städar undan för dagen, de kan sortera sina strumpor och skor. Att ”se” hur många det är och inte alltid räkna Vuxna grupperar ofta omedvetet föremål som de ska uppskatta antalet av medan barn räknar dem ett och ett (och ibland samma föremål flera gånger). Med hjälp av en vanlig tärning kan vi göra barnen uppmärksamma på att det går bra att ”se” hur många prickar tärningen visar utan att räkna dem. ”Jag ser att jag har slagit en sexa och då får jag slå om.” Denna kunskap kan barnen sedan använda även i andra sammanhang. Rumsuppfattning och mätning I samtal och lekar kan vi uppmuntra barnen att använda ord som anger läge och riktning. Genom att använda deras leksaker kan vi prata om olika geometriska former (gärna tredimensionella till att börja med) och deras egenskaper. Barnens leksaker är också utmärkta för att jämföra storlek och vikt. Här kan vi lägga grunden för att förstå mätandets princip inom olika mätbegrepp och mäta med med icke standardiserade enheter som kottar och kaplastavar, löv eller handflator osv. Dokumentation Det barnen gör och sätter ord på blir ännu tydligare för dem om de också får dokumentera sina kunskaper på något sätt. Detta kan ske genom att de visar med konkreta föremål eller så småningom genom att de ritar enkla bilder. Litteratur: Doverborg, E & Pramling Samuelsson, I. (1999) Förskolebarn i matematikens värld, Stockholm, Liber AB 214 Formler och bevis från skilda tillämpningsområden Olika typer av formler bla från naturvetenskap, sjöfart och kryptering och mer eller mindre stringenta matematiska ”bevis” . Olika sätt att bestämma en persons ålder. Musikinslag. Kenneth Borg är lektor i matematik på Väggaskolan i Karlshamn, läromedelsförfattare och avgången SMaL-ordförande Föreläsning Välj ett positivt heltal. Om detta är udda så multiplicera med 3 och addera 1. Om talet är jämnt så dividera med 2. Förfar på samma sätt med det nu uppkomna talet. Om du fortsätter kommer du förr eller senare till 1, oavsett utgångstalet. Alla tal man testat ger 1 men något stringent bevis för att detta är sant har man ej lyckats åstadkomma! Hur många biennaler har du varit på, inklusive denna i Malmö ? Multiplicera detta antal med 2 och addera 5. Det tal du nu erhållit ska du multiplicera med 50. Om du redan fyllt år i år ska du addera 1754, annars 1753.Minska detta tal med ditt födelseår dvs 19 nånting. Först i det tresiffriga tal du nu erhållit står antalet biennaler, sedan din ålder, använd algebra för att förklara det hela! Om du bygger stora passagerarbåtar måste du ta hänsyn till följande formel som visar hur stor andel av passagerarna som kommer att spy under olika väderförhållanden: p = A (2 pi f) 2 T ½ / 3 där A är vågornas amplitud, f dess frekvens och T tiden på sjön… Apropå stormar, man har nyligen kunna hitta en förklaring till de jättevågor på uppåt 30 m som plötsligt dyker upp, en förklaring med formler från kvantmekaniken nämligen Schrödingerekvationen. Slutligen, i Aftonbladet efterlyste Robert Aschberg hur man ska gradera en sk farmartank dvs en liggande cylinder. Problemet saknar exakt lösning men med hjälp av iteration fixar det sig, på föreläsningen redovisas resultatet. 216 Mattesamtal som drivkraft till förståelse Riv ut genomgångssidorna i läroboken! Låt eleverna upptäcka matematik utifrån sin egen nivå. Varje lektion börjar med ett mattesamtal som tjänar som motor till ny kunskap. Det är fruktansvärt trist om läraren börjar lektionen med en genomgång och berättar allt för att sedan låta eleverna färdighetsträna till förbannelse. Bengt Drath arbetar halvtid som högstadielärare på Stöpenskolan i Skövde kommun och halvtid som fortbildare och lärarutbildare på Högskolan i Skövde. Föreläsning Jag började som NO-lärare att fundera hur elever lär sig bäst. Nyckelord i detta sammanhang blev: öppna problem, undersöka, laborativt arbete, upptäcka, samarbeta, dokumentera och dra slutsatser. Mönstret var att eleverna fick göra sina upptäckter först och därefter hjälpte läraren till att strukturera dessa och synliggöra viktiga begrepp. Läroboken styrde inte utan det egna tänkandet fick utrymme i första hand. Sedan blev det väldigt tydligt att matematikundervisningen hade ett helt motsatt mönster: läroboken eller läraren som talade om hur allt fungerade och sedan fick eleverna färdighetsträna, allt för att konstatera att läraren hade rätt. Förstod man inte ändå, så var receptet att öva 50 uppgifter till. Så här hade det sett ut för eleverna under tidigare skolår och så fortsatte det resten av skolåren. Alla lektioner hade samma mönster och eleverna visste hur varje lektion skulle se ut, nämligen att man fortsatte på den sida där man slutade. Detta upprepades i 10-12 år beroende på hur snart man kunde välja bort eländet! Min utmaning blev att försöka undervisa i matte som jag gjorde i NO. Ett första steg blev att jobba med problemlösning i grupp efter en modell som spreds i didaktisk litteratur: tänk enskilt - diskutera i grupp och enas om en lösning – förbered redovisning, alla i gruppen skall vara beredda – gemensam redovisning i klassen. Underbart! Nu kände jag att eleverna fick tänka först och vilka tankar! En ny värld öppnades. Läroplanens ”att utgå från eleven” fick plötsligt en innebörd. Problemen gick att lösa på olika sätt, alla lyckades med någon lösning, duktiga elever fick tänka hur ”långt de ville”, räknandet ersattes av tänkande och jag hade en utmanande uppgift att fånga upp goda tankar och tillsammans med eleverna utveckla dessa. Nu kände jag mig som en NO-lärare! Men alla andra lektioner! Vad hände då? Att jobb i grupp krävde ju bra utgångsproblem och tog i regel hela lektionen. Det var inte så lätt att upprepa detta varje lektion. Dessutom använde jag mig av en lärobok och hade en uppsättning begrepp som skulle hinnas med under terminen. Jag fann en lösning som jag fortfarande praktiserar och utvecklar. Problemlösning i grupp blev kvar men kanske bara en gång varannan vecka. Istället har jag glidit över i mycket pararbete som inleder varje lektion och varar allt från 10 min till 30 min. Detta tillämpar jag på allt innehåll i min kurs. Jag kallar det för ”mattesamtal” och är noga med att inte kalla det för ”genomgång”. Det senare ordet antyder återigen att läraren berättar först och eleverna får verifiera detta i en massa exempel. Jag presenterar ett problem i början av lektionen som eleverna får diskutera i paret. Därefter får de ”tänka högt” och vi får snabbt olika tankar och lösningar på problemet. Passar det så får eleverna skriva sina lösningstankar på tavlan. För första gången blir det meningsfullt hur man skriver en lösning, vi andra skall ju kunna förstå tanken. Effektivt för att utveckla detta språk. Jag får tillfälle att synliggöra goda tankar och eftersom jag valt utgångsproblem så brukar jag nå dit jag vill. Nämligen att skapa förståelse för det avsedda begreppet. Naturligtvis är allt inte klart för alla, men ”jorden är beredd för att nya frön skall växa upp”. Piagets uttryck ”att störa tanken” är inte så dumt! Efter detta tankeutbyte får eleverna räkna i boken. Men det återstår ju kanske bara halva lektionen och då inträder nästa utmaning – att övertala eleverna att inte räkna alla uppgifter! Kan man en uppgift är det lika bra att hoppa över den. Det betyder att man börjar titta på innehållet i uppgifterna och kvalitet blir viktigare än kvantitet. Det här låter ju bra, men det är en lång resa beroende på elevernas tidigare skolgång. Dessutom tycker jag i princip att eleverna kan räkna enskilt hemma och i skolan prioriterar vi samtalet. Det är ju här läraren finns med de didaktiska och ämnesmässiga kunskaperna. Ofta har ju läraren abdikerat i dagens skola och istället överlåtit lärandet till eleverna i konceptet: egen planering och jobba i egen takt. Vilket svek! Detta har tyvärr ökat när eleverna tvingas ihop i åldersblandade grupper. Det blir ju knappast lättare att hitta meningsfulla gemensamma mattesamtal. När jag får eleverna i högstadiet märker jag att det är ofta de ”smarta” eleverna som har tröttnat på bokräknandet och som uppskattar mattesamtalen. Vem ogillar då dessa samtal? Det finns en kategori som inte vill samtala om matte, utan istället räkna i boken. Det är de elever som har dåligt självförtroende och som inte vill blotta sin osäkerhet. Istället är det tryggare att dölja sig bakom boken. Hur kan man då påverka elevernas attityder till ämnet och lärandet? Jag brukar då och då låta eleverna enskilt besvara några frågor. T.ex. ”Vad är matematik?”, ”Hur skall en duktig elev i matte vara?”, ”Hur har du utvecklats i matte?”, ”Vad är du bäst på?” osv. Jag samlar in elevernas svar och har nästa lektion ett samtal utifrån deras svar. Svaren är ju anonyma men det är okey att läsa upp citat i gruppen. Detta blir väldigt starkt att höra hur andra tänker och snart har vyerna vidgat sig. Ofta inser eleverna att våra mattesamtal är bra för då ”får man höra olika sätt att lösa ett problem”. En duktig elev skall ”kunna tänka smarta lösningar” och matematik ”används i vardagen” blir nya insikter som gynnar motivationen och intresset i matematik. Även elever som först inte tyckte om mattesamtalen ändrar uppfattning. Åtminstone inser de att dessa är viktiga. Det blir också tydligt att undervisningen är till för eleven. Hur har då min attityd ändrats till matematik i skolan? Återigen poppar det upp ett citat ur LPO: ”….undervisningen syftar till att utveckla det matematiska tänkandet…” Detta är ju ett mål som faktiskt står i LPO, som är nivån ovanför kursplanerna i våra styrdokument. Äntligen har jag fattat innebörden. Jag märker att min nuvarande undervisning har fått mer betoning på tänkandet och mindre på räknandet. I våra mattesamtal bannlyser vi kom-ihåg-regler och klarar i väldigt hög grad att tänka ut lösningar. Det handlar ofta om ”reflekterad talhantering”, en kortare förklaring på ”god taluppfattning”. Jag läste någonstans att ”matematik är konsten att undvika uträkningar”! Vissa saker klarnar efterhand. Jag måste också visa att tänkandet värdesätts. Alltså finns det uppgifter på proven som lyder: ”Förklara varför triangelns area är lika med basen gångar höjden delat på två” eller ”Är 50% alltid större än 25%? Förklara!” osv. Ser jag övergripande på vad som sker i klassrummet, så nås betydligt fler andra goda mål numera. Utgå från eleven, synliggöra elevens tankar, tilltro till eget tänkande, träna språket, argumentera, reflektera, kommunicera, samarbeta, upptäckande, kreativt, utmaningar, lustfyllt och inte minst en bättre förståelse för de olika begreppen. Vackra ord men ändå betydligt mer verkliga nu än med tidigare undervisning. Slutligen har undervisningen blivit spännande. Jag vet ju inte hur lektionen skall utveckla sig, förut visste ju både eleverna och jag vad som väntade. Hur var det jag började? Jo, att försöka undervisa matte som jag undervisade i NO. Frågan är om inte mattelektionerna blivit mer öppna. Barns tankar är fantastiska ibland! Pröva på så får du se. 217 Räkna med utemiljön Kan matematik blandas med lek, rörelse och frisk luft? På skolgården, lekplatsen, i parken och i skogen upptäcker vi och tar tillvara på matematiken omkring oss. Idéer och tips på hur utemiljön kan användas på ett roligt sätt i barns möte med matematik. Agneta Gustafsson är förskollärare, Gun-Britt Jernberg och Yvonne Johansson är lågstadielärare vid Fjällängsskolan i Östersund. Föreläsning Varför matematik ute? I utemiljön ges mängder av tillfällen att utöva matematik på ett lekfullt, varierat och konkret sätt som gör det lättare för barn att förstå matematik. Kottar, pinnar, löv, träd, stenar, vatten, snö och sand är några exempel på vad våra barn använt för att utveckla sin matematiska förståelse. Att stimulera barns intresse för naturen är också viktigt. Barnen får upptäcka att naturen är både en rolig lek- och läroplats. Utemiljön lämpar sig dessutom väldigt bra för samarbete, reflektion, argumentation och språkutveckling, som är viktigt för barnens matematiska utveckling. Mattelektion i skogen – ett exempel ur vår idébank Vi gjorde en slumpmässig gruppindelning av barnen genom att alla hämtade en pinne. Vi lät barnen ställa sig på ett led efter pinnens längd med den kortaste först. Vi gav barnen följande tips. Tyckte de att de hade en kort pinne så ställde de sig i början av ledet, mellanlång i mitten och en lång pinne i slutet av ledet. Barnen delades in i grupper om 4-5 stycken. Uppdraget var nu att samla kottar på tid. Barnen fick först uppskatta hur många kottar de trodde att gruppen skulle hinna samla på tre minuter. När tiden var slut räknade barnen kottarna och vi observerade hur de gjorde. Några av de yngsta barnen började genast roffa åt sig kottar, medan de äldre barnen föreslog att lägga kottarna i 5-grupper eller 10grupper. Blev det lika många, fler eller färre än som skattades? Nästa uppdrag var att se hur lång rad det kunde bli av gruppens kottar, men först skulle det uppskattas och markeras. Därefter hjälptes barnen åt att lägga kotte vid kotte. För att komma så nära sina markeringar som möjligt, började en del barn ändra riktning på kottarna beroende på om det var en lång eller kort bit kvar. Därefter skulle barnen i gruppen dela kottarna lika mellan sig och vi observerade åter hur de gjorde. Det var roligt att se hur de löste problemet med de kottar som blev över. Så blev det dags att ”pricka träd” med 10 kottar var. Gruppen enades om ett träd och stegade fem steg bort från trädet. En del grupper tog första bästa träd, medan andra diskuterade noga och valde ett mer passande träd. Träffarna räknades enskilt och barnen turades om att föra protokoll. I klassrummet gjorde barnen diagram över sina träffar. De reflekterade över varför en del fått så många fler träffar än andra och kom fram till att det kanske kunde bero på trädens olika grovlek eller stegens längd. I övningarna kom barnen i kontakt med bl.a. jämförelser av längder, tidsbegrepp, skattning, addition och division. Barnen fick också göra och avläsa diagram. Äldre barn kan även öva multiplikation vid poängberäkningen genom att få olika poäng per träff. Vår förhoppning är att ni ska hämta inspiration från vår idébank och känna det lika roligt och stimulerande som vi och våra elever har upplevt matematiken i utemiljön.