Genomgång 11
Likformighet skala
Skala
Skalan kan anges på många olika sätt, det vanligaste är t.ex 1:10 000 eller 5:1. Det första
innebär en förminskning med 10 000 ggr och det andra en förstoring med 5 ggr.
Kom dock ihåg att skala på exempelvis en karta är längdskala vilket inte innebär att arean
ökar med denna skala utan med skalan i kvadrat. Enhetsbyten blir nödvändiga att behärska,
t.ex. 12 dm2=1200 cm2.
Likformiga trianglar
Om två trianglar är likadana sånär som på skalan så kallas trianglarna för likformiga och
förhållandet mellan likbelägna sidor i de olika trianglarna är lika.
Ex.
8
8
6
6
x
6 12
x
9
8 12
8
12
x
För att kunna säga att två trianglar är likformiga räcker det att se att trianglarna har två vinklar
som är lika stora. Den tredje blir automatiskt lika då summan av vinklarna är 180
Exempel
En karta är ritad i skala 1: 100 000. Hur långt är 2 cm på kartan i verkligheten?
2 cm på kartan är 2 100 000 = 200 000 cm = 2 000 m = 2 km i verkligheten.
Beräkna sidan markerad med ett x.
(trianglarna är likformiga!)
14
10
6
x
8
Likformighet betyder att de är lika men i olika skala! Dvs förhållandet mellan sidorna är
lika. Den stora triangeln är 1,4 ggr större (14/10) varför x = 1,4 · 6 = 8,4.
14 x
14
x 6
8,4
Bäst är att direkt ställa upp
10 6
10
1
Trianglar med lika stora vinklar är likformiga
I dessa trianglar är kvoten mellan
två sidor i den ena triangeln lika
stor som kvoten mellan
motsvarande sidor i den andra.
Exempelvis har vi att
När kvoten mellan alla motsvarande sidor är lika säger man att trianglarna är likformiga.
Hur stor denna kvot är beror på vinklarnas storlek.
Exempel
Trianglarna till höger är likformiga. Bestäm sidorna x och y.
Lösning: Trianglarna är likformiga. Det innebär att förhållandet mellan
motsvarande sidor är lika.
Vi får för x:
Multiplicera båda leden med 11
Förkorta och räkna ut
x = 22
På samma sätt får vi med y
Multiplicera med 24
2
Efter förkortning
y = 12
Svar: x = 22 cm och y = 12 cm
Likformighet, längdskala , areaskala och volymskala
Två figurer är likformiga om den ena figuren är en förminskning (eller förstoring) av den
andra (och naturligtvis också om de är ”likadana”). Den figur som avbildas kallas vanligen
Föremålet. Resultatet kallas då Bilden.
Exempel
Föremål
Bild
Graden av förminskning (eller förstoring) uttrycks i ett bråk som kallas skala och som har
tecknet : (kolon) i stället för det vanliga bråkstrecket (– eller /).
1:10 (ett på tio), 4:1 (fyra på ett), 1:1 (ett på ett).
Är nämnaren större än täljaren är Bilden en förminskning.
Är nämnaren mindre än täljaren är Bilden en förstoring.
Är både täljare och nämnare 1 är Bilden i ”naturlig storlek”, dvs. lika stor som Föremålet;
Bilden är kongruent med Föremålet.
En skala kan vara en längdskala, en areaskala eller en volymskala.
Längdskala
Skalan på en viss karta är 1:100 000 (ett på hundratusen). Det betyder t.ex. att 1 cm på kartan
svarar mot ett avstånd i verkligheten som är 100 000 gånger större, dvs.
100 000·1 cm = 100 000 cm = 1 000 m = 1 km
3
Exempel
Sidan i en triangel är 6 cm. Hur lång blir sidan i en bild om den avbildas i
skalan.
a/ 1:6
b/ 4:1
c/ 25 %
Lösning:
Skalan 1:6 betyder förminskning med 6 gånger. Sträckan blir 6 cm / 6 = 1
a/
cm
b/ Skalan 4:1 betyder förstoring 4 gånger. Sträckan blir 6 cm × 4 = 24 cm
c/
Skalan 25 % = 0,25 betyder förminskning 4 gånger. Sträckan blir: 6 cm /
4 = 1,5 cm
Svar:
a/ 1 cm
b/ 24 cm
c/ 1,5 cm
Areaskala
En areaskala är längdskalan gånger längdskalan, dvs. längdskalan i kvadrat.
Exempel
Föremål
Bild
Längdskalan 1:2 (ett på två) innebär att varje sträcka i Bilden är hälften så lång som
motsvarande sträcka i Föremålet. Areaskalan är längdskalan 1:2 i kvadrat, dvs.
(1:2)2 = (1:2)·(1:2) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = 1:4 (ett på fyra)
Det innebär att arean (ytan) av Bilden är en fjärdedel av arean av Föremålet.
4
Volymskala
En volymskala är längdskalan gånger längdskalan gånger längdskalan, dvs. längdskalan i kub
Exempel
Föremål
Bild
Längdskalan 3:1 innebär att varje sträcka i Bilden är tre gånger så lång som motsvarande
sträcka i Föremålet. Volymskalan är längdskalan i kub, dvs.
(3:1)3 = (3:1)·(3:1)·(3:1) = 3/1 · 3/1 · 3/1 = 27:1
Bildens volym är alltså 27 gånger så stor som Föremålets volym.
5
