FÖRELÄSNING 1 EXEMPEL 1: ARTVARIATION Kurs- och transform-översikt 1. Kursintroduktion med typiska signalbehandlingsproblem och kapitelöversikt ■ Givet: data med antal arter på jorden beräknat från fossila avlagringar. ■ Problemområden: Analys av frekvenskomponenter och korrelation med istider och andra klimatvariationer. Förbehandling av data genom att ta bort trender mm. 2. Rep av transformer 3. Rep av aliaseffekten Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET EEG frekvensanalys EXEMPEL 2: EEG ■ Givet: EEG signal från patienter som sitter i ett tänt rum där ljuset plötsligt släcks. ■ Problemområden: Analys av förändring av frekvenskomponenter i mörker och belysning. Reaktionstiden korreleras med sjukdomar som Alzheimer. Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK ■ Fourieranalys av frekvensinnehåll i mörker och ljus. ■ Mätserier från 20 individer används för att skatta konfidensintervall. Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK EXEMPEL 3: TAL TAL: SPEKTRALANALYS ■ Givet: samplad talsignal. ■ Problemområden: Analys och presentation. Överföring och lagring. Olika ljud i tal har olika frekvensinnehåll. (se kapitel 3) Jämför energispektrum för tystnad e- och s-ljud i “ess”. Spectra from "s" -3 10 -4 10 Speech signal "s" 1 -5 0.8 10 e-sound 0.6 0.4 -6 10 0.2 0 -7 10 -0.2 s-sound -0.4 -8 10 -0.6 Silence -0.8 -9 -1 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 10 -2 10 7000 Time -1 0 10 10 1 10 Frequency AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET TAL: KODNING I GSM TAL: FILTERBANK T.ex. grafiska “equalizers” och gammaldags talsyntes (’vocoders’) utnyttjar en bank av bandpass-filter (se kapitel 4) för att åskådliggöra det momentana energi-innehållet i tal (musik). I GSM-standarden modelleras signalen av följande modell (se kapitel 5) y(t) = −a1 y(t − 1) − a2 y(t − 1) − ... − a8 y(t − 8) + e(t) Speech signal 0.02 där e(t) är ett drivande “brus”. Man kan då prediktera nästa signalvärde med ekvationen 0.01 0 ŷ(t) = −a1 y(t − 1) − a2 y(t − 1) − ... − a8 y(t − 8) −0.01 −0.02 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Koefficienterna skattas (se kapitel 6) var 20:e ms. Man överför sedan de 8 koefficienterna och prediktionsfelen y(t) − ŷ(t) (som är små och kräver färre bitar än signalen själv). Frequency content in [.05 0.15] and [0.9 1.0] −2 10 −4 10 −6 10 −8 10 −10 10 −12 10 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK TAL: KODNING I GSM EXEMPEL 4: MÅLFÖLJNING Skattad modell för e-ljudet: â = (−0.0284, 0.5070, −0.6288, −0.0174, −0.5457, 0.6029, 0.1769, 0.3965)T ■ Givet: radarmätningar av flygplans position ■ Problem: Filtrera bort mätbrus för noggrann positionsangivelse. Prediktera framtida position med osäkerhetsangivelse. 4 x 10 2.5 ger residualer: 2 e−sound 0.02 0.01 1.5 0 1 −0.01 −0.02 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0.5 Residuals from model of e−sound 0.01 0 0.005 0 −0.5 −0.005 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 −0.01 −0.015 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 MÅLFÖLJNING: MODELL AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 MÅLFÖLJNING: SIGNAL Newtons kraftlag F = m · a ger en modell för flygplanets rörelse. Tillståndsmodell: (se kapitel 5) Trafikledningsproblem vid landning: prediktera positionen hos alla flygplan, agera vid risk för kollision. 4 x 10 x1 (t + 1) v1 (t + 1) x (t + 1) 2 v2 (t + 1) + 2.5 0 0 x1 (t) 0 0 v1 (t) 1 T x2 (t) 0 1 v2 (t) T /2 0 T 1 0 w1 (t) 0 T /2 w2 (t) m 0 1 1 0 = 0 0 T 1 0 0 2 1.5 1 0.5 0 där w1 , w2 är brus som modellerar de okända krafter som påverkar flygplanet. −0.5 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x 10 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK MÅLFÖLJNING: PREDIKTION EXEMPEL 5: BILFRIKTION Om en tillståndsmodell är känd, är prediktionsproblemet enkelt och lösningen heter kalman-filter. (se kapitel 8) Det ger figur enligt nedan. 4 2.2 x 10 ■ Givet: Mätningar av motormoment och hjulglidning samt linjär modell. ■ Problem: Skatta friktionen mellan däck och vägbana som lutningen på kurvan. 2 Asphalt (left side) 1.6 Normalized traction force mu 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Snow (left side) 0.4 0.4 0.35 0.35 0.3 0.3 Normalized traction force mu 1.8 0.25 0.2 0.15 0.25 0.2 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 4 x 10 0 −5 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 BILFRIKTION: MODELL 0 5 Slip [per mille] 10 Parametrarna tidsvariabla. Sätt θ(t) = (a(t), b(t))T . Adaptiv modellanpassning (se kapitel 9) . Lösning: Kalmanfilter (se kapitel 8,9) . 70 60 0.35 0.3 0.3 0.25 0.2 0.15 0.25 0.2 50 40 30 0.15 0.1 0.1 0.05 0.05 15 Estimated slip slope 0.35 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 0 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Snow (left side) 0.4 Normalized traction force mu Normalized traction force mu Asphalt (left side) 0.4 10 0 −5 θ̂(t) = θ̂(t − 1) + K(t)(s(t) − ŝ(t)) e(t) “brus” som representar modellfel och mätfel. Lutningen på den räta linjen som approximerar mätningarna är proportionell mot friktionen! Jämför asfalt och is nedan. 5 Slip [per mille] 15 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 s(t) = a + bM (t) + e(t) 0 10 BILFRIKTION: ADAPTIV MODELL Mätningar av motormoment M (t) och hjulglidning s(t) givna (hjulglidning = ωr/v − 1). Signalmodell: (se kapitel 5) 0 −5 5 Slip [per mille] 0 −5 20 0 5 Slip [per mille] 10 10 0 15 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 5 10 15 Time [s] 20 25 30 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK 15 BOKEN Transformöversikt Icke-parametrisk signalbehandling Kap. 2 Transformer. Repetition: FT, TDFT, alias Kap. 3 DFT och egenskaper. Spektralskattning. Kap. 4 Filtrering. Repetition och praktiska aspekter. Tid Kontinuerlig Diskret Parametrisk signalbehandling Kap. Kap. Kap. Kap. Kap. Periodisk FS X[n] DFT X[n] Signal L1 FT X(ω) TDFT X(eiωT ) Godtycklig LT X(s) ZT X(z) Dualitet mellan tids- och frekvens-domänen för Fouriertransformen (FT) 5 Signalmodeller (parametriska). 6 Skattning av signalmodeller. 7-8 Linjär estimering: wiener- och kalman-filter. 9 Adaptiv signalbehandling. 10 Tillämpningar: CD, GPS, navigering. ■ 1. Sinus ↔ spik ■ ■ 2. Brus ↔ konstant 3. Faltning ↔ multiplikation ■ 4. Parsevals formel för energi/effekt Dessa gäller ej alltid för DFT, vilken är den transform vi kan beräkna. AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 Exempel: alias-effekten för chirp-signal ALIAS-EFFEKTEN Vänster plot: Talsignal i original (fs = 8192kHz). Höger plot: nedsamplad en faktor två (fs = 4096kHz) med och utan aliasfiltrering och sedan uppsamplad en faktor två (fs = 8192kHz igen) med interpolation. Spectrum for speech signal −2 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK LINKÖPINGS UNIVERSITET Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 SPECTRUM output # 1 −2 10 y[k] = sin( 2πk N k), k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Momentana frekvensen 2πk N ökar linjärt i tiden. N=15000; y=sin(2*pi*(1:N)’.ˆ2./N); sound(y) 10 1 14 −3 10 Fourier Transform Discrete Fourier Transform 12 −4 10 0.9 10 −4 10 8 0.8 6 −5 −6 10 0.7 4 2 −6 10 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 −8 10 −7 10 1 Frequency [Hz] 10 0.6 0.5 0.4 −8 10 −10 10 0.5 0.3 0 0.2 −0.5 0.1 −9 10 −10 10 −12 1 10 2 3 10 10 Frequency [Hz] Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 4 10 10 1 10 2 3 10 10 frequency (rad/sec) 4 10 −1 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK 0 0 500 1000 1500 2000 Föreläsning 1, 2008 Digital signalbehandling, TSRT78 2500 3000 Time [sample] 3500 4000 4500 5000 0 500 1000 Time [samples] 1500 2000 AUTOMATIC CONTROL REGLERTEKNIK