FÖRELÄSNING 1 EXEMPEL 1: ARTVARIATION EXEMPEL 2

FÖRELÄSNING 1
EXEMPEL 1: ARTVARIATION
Kurs- och transform-översikt
1. Kursintroduktion med typiska signalbehandlingsproblem och
kapitelöversikt
■
Givet: data med antal arter på jorden beräknat från fossila avlagringar.
■
Problemområden: Analys av frekvenskomponenter och korrelation med
istider och andra klimatvariationer.
Förbehandling av data genom att ta bort trender mm.
2. Rep av transformer
3. Rep av aliaseffekten
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
EEG frekvensanalys
EXEMPEL 2: EEG
■
Givet: EEG signal från patienter som sitter i ett tänt rum där ljuset
plötsligt släcks.
■
Problemområden: Analys av förändring av frekvenskomponenter i
mörker och belysning. Reaktionstiden korreleras med sjukdomar som
Alzheimer.
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
■
Fourieranalys av frekvensinnehåll i mörker och ljus.
■
Mätserier från 20 individer används för att skatta konfidensintervall.
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
EXEMPEL 3: TAL
TAL: SPEKTRALANALYS
■
Givet: samplad talsignal.
■
Problemområden:
Analys och presentation.
Överföring och lagring.
Olika ljud i tal har olika frekvensinnehåll. (se kapitel 3) Jämför
energispektrum för tystnad e- och s-ljud i “ess”.
Spectra from "s"
-3
10
-4
10
Speech signal "s"
1
-5
0.8
10
e-sound
0.6
0.4
-6
10
0.2
0
-7
10
-0.2
s-sound
-0.4
-8
10
-0.6
Silence
-0.8
-9
-1
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
10 -2
10
7000
Time
-1
0
10
10
1
10
Frequency
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
TAL: KODNING I GSM
TAL: FILTERBANK
T.ex. grafiska “equalizers” och gammaldags talsyntes (’vocoders’) utnyttjar en
bank av bandpass-filter (se kapitel 4) för att åskådliggöra det momentana
energi-innehållet i tal (musik).
I GSM-standarden modelleras signalen av följande modell (se kapitel 5)
y(t) = −a1 y(t − 1) − a2 y(t − 1) − ... − a8 y(t − 8) + e(t)
Speech signal
0.02
där e(t) är ett drivande “brus”. Man kan då prediktera nästa signalvärde med
ekvationen
0.01
0
ŷ(t) = −a1 y(t − 1) − a2 y(t − 1) − ... − a8 y(t − 8)
−0.01
−0.02
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Koefficienterna skattas (se kapitel 6) var 20:e ms.
Man överför sedan de 8 koefficienterna och prediktionsfelen y(t) − ŷ(t) (som
är små och kräver färre bitar än signalen själv).
Frequency content in [.05 0.15] and [0.9 1.0]
−2
10
−4
10
−6
10
−8
10
−10
10
−12
10
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
TAL: KODNING I GSM
EXEMPEL 4: MÅLFÖLJNING
Skattad modell för e-ljudet:
â = (−0.0284, 0.5070, −0.6288, −0.0174,
−0.5457, 0.6029, 0.1769, 0.3965)T
■
Givet: radarmätningar av flygplans position
■
Problem: Filtrera bort mätbrus för noggrann
positionsangivelse.
Prediktera framtida position med osäkerhetsangivelse.
4
x 10
2.5
ger residualer:
2
e−sound
0.02
0.01
1.5
0
1
−0.01
−0.02
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
0.5
Residuals from model of e−sound
0.01
0
0.005
0
−0.5
−0.005
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
−0.01
−0.015
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
MÅLFÖLJNING: MODELL
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
MÅLFÖLJNING: SIGNAL
Newtons kraftlag F = m · a ger en modell för flygplanets rörelse.
Tillståndsmodell: (se kapitel 5)
Trafikledningsproblem vid landning: prediktera positionen hos alla flygplan,
agera vid risk för kollision.
4
x 10
x1 (t + 1)
 v1 (t + 1) 
 x (t + 1) 
2
v2 (t + 1)


+
2.5
0 0
x1 (t)
0 0   v1 (t) 
1 T   x2 (t) 
0 1
v2 (t)

T /2
0
T  1
0  w1 (t)
 0
T /2  w2 (t)
m
0
1
1
 0
= 
0
0


T
1
0
0


2
1.5
1
0.5
0
där w1 , w2 är brus som modellerar de okända krafter som påverkar flygplanet.
−0.5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x 10
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
MÅLFÖLJNING: PREDIKTION
EXEMPEL 5: BILFRIKTION
Om en tillståndsmodell är känd, är prediktionsproblemet enkelt och lösningen
heter kalman-filter. (se kapitel 8) Det ger figur enligt nedan.
4
2.2
x 10
■
Givet: Mätningar av motormoment och hjulglidning samt linjär modell.
■
Problem: Skatta friktionen mellan däck och vägbana som lutningen på
kurvan.
2
Asphalt (left side)
1.6
Normalized traction force mu
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Snow (left side)
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
Normalized traction force mu
1.8
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
4
x 10
0
−5
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
BILFRIKTION: MODELL
0
5
Slip [per mille]
10
Parametrarna tidsvariabla. Sätt θ(t) = (a(t), b(t))T .
Adaptiv modellanpassning (se kapitel 9) .
Lösning: Kalmanfilter (se kapitel 8,9) .
70
60
0.35
0.3
0.3
0.25
0.2
0.15
0.25
0.2
50
40
30
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
15
Estimated slip slope
0.35
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
0
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Snow (left side)
0.4
Normalized traction force mu
Normalized traction force mu
Asphalt (left side)
0.4
10
0
−5
θ̂(t) = θ̂(t − 1) + K(t)(s(t) − ŝ(t))
e(t) “brus” som representar modellfel och mätfel.
Lutningen på den räta linjen som approximerar mätningarna är proportionell
mot friktionen! Jämför asfalt och is nedan.
5
Slip [per mille]
15
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
s(t) = a + bM (t) + e(t)
0
10
BILFRIKTION: ADAPTIV MODELL
Mätningar av motormoment M (t) och hjulglidning s(t) givna (hjulglidning =
ωr/v − 1). Signalmodell: (se kapitel 5)
0
−5
5
Slip [per mille]
0
−5
20
0
5
Slip [per mille]
10
10
0
15
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
5
10
15
Time [s]
20
25
30
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
15
BOKEN
Transformöversikt
Icke-parametrisk signalbehandling
Kap. 2 Transformer. Repetition: FT, TDFT, alias
Kap. 3 DFT och egenskaper. Spektralskattning.
Kap. 4 Filtrering. Repetition och praktiska aspekter.
Tid
Kontinuerlig
Diskret
Parametrisk signalbehandling
Kap.
Kap.
Kap.
Kap.
Kap.
Periodisk
FS X[n]
DFT X[n]
Signal
L1
FT X(ω)
TDFT X(eiωT )
Godtycklig
LT X(s)
ZT X(z)
Dualitet mellan tids- och frekvens-domänen för Fouriertransformen (FT)
5 Signalmodeller (parametriska).
6 Skattning av signalmodeller.
7-8 Linjär estimering: wiener- och kalman-filter.
9 Adaptiv signalbehandling.
10 Tillämpningar: CD, GPS, navigering.
■
1. Sinus ↔ spik
■
■
2. Brus ↔ konstant
3. Faltning ↔ multiplikation
■
4. Parsevals formel för energi/effekt
Dessa gäller ej alltid för DFT, vilken är den transform vi kan beräkna.
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
Exempel: alias-effekten för chirp-signal
ALIAS-EFFEKTEN
Vänster plot: Talsignal i original (fs = 8192kHz).
Höger plot: nedsamplad en faktor två (fs = 4096kHz) med och utan
aliasfiltrering och sedan uppsamplad en faktor två (fs = 8192kHz igen) med
interpolation.
Spectrum for speech signal
−2
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
LINKÖPINGS UNIVERSITET
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
SPECTRUM output # 1
−2
10
y[k] = sin( 2πk
N k), k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.
Momentana frekvensen 2πk
N ökar linjärt i tiden.
N=15000;
y=sin(2*pi*(1:N)’.ˆ2./N);
sound(y)
10
1
14
−3
10
Fourier Transform
Discrete Fourier Transform
12
−4
10
0.9
10
−4
10
8
0.8
6
−5
−6
10
0.7
4
2
−6
10
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
−8
10
−7
10
1
Frequency [Hz]
10
0.6
0.5
0.4
−8
10
−10
10
0.5
0.3
0
0.2
−0.5
0.1
−9
10
−10
10
−12
1
10
2
3
10
10
Frequency [Hz]
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
4
10
10
1
10
2
3
10
10
frequency (rad/sec)
4
10
−1
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK
0
0
500
1000
1500
2000
Föreläsning 1, 2008
Digital signalbehandling, TSRT78
2500
3000
Time [sample]
3500
4000
4500
5000
0
500
1000
Time [samples]
1500
2000
AUTOMATIC CONTROL
REGLERTEKNIK