Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Micaela Bergfors
BML136
Inför föreläsning 1 Ekvationssystem 1
För att på bästa sätt kunna tillgodogöra dig föreläsningarna är det till hjälp att redan innan
gå igenom det material som enligt föreläsningsplanen ska behandlas. Framförallt kan många
begrepp vara bra att ha sett innan föreläsningen startar.
Jag kommer därför under kursens gång inför föreläsningarna, på hemsidan, lägga upp begrepp
och/eller exempel som bör ha setts innan föreläsningen. Observera att detta inte kan ersätta
närvaro på föreläsningarna eller läsande av kursmaterial och att detta inte begränsar kursens
innehåll. Observera även att denna första ”Inför föreläsning...” innehåller en del som tar upp
förväntade förkunskaper. Detta innehåll tas eventuellt bara upp kort på själva föreläsningen
eller hänvisas till som något känt.
Att eventuellt repetera (=förväntade förkunskaper) inför föreläsning 1 och 2
Begrepp:
Linje, punkt, skärningspunkt, koordinatsystem, variabler, ekvationssystem, koefficienter, lösning,
reellt tal.
Linjens ekvation på flera sätt:
Ibland skrivs linjens ekvation på så kallad ”k-form”, y = kx + m. Exempel 1: y = x/2 + 3
Samma linje kan också skrivas på allmän form; ax + by + c = 0 dvs x − 2y + 6 = 0.
Kontrollera gärna att du kan se att det är samma samband mellan variablerna x och y, dvs
samma linje, skriven på två sätt.
Alla kombinationer av x och y som passar in i ekvationen är punkter (x, y) som tillsammans
bildar en linje.
För repetition: läs gärna Nya Delta A och B kapitel 7.3
Ekvationssystem:
Om man har ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (=variabler) kan det
tolkas som att man har två linjer och söker skärningspunkten mellan dessa linjer.
x + 2y = 1
x + 2y = 1
Exempel 2:
⇔ /Löser med Additionsmetoden/ ⇔
4x
= 12
3x − 2y = 11
andra ekvationen ger x = 3 som sätts in i första ekvationen som ger 3 + 2y = 1 ⇔
x= 3
2y = −2 ⇔ y = −1 dvs ekvationssystemet har lösningen:
y = −1
Denna ekvation har en entydig lösning (en enda lösning) och en tolkning är att linjerna
x + 2y = 1 och 3x − 2y = 11 skär varandra i en punkt; (3, −1).
Om ett sådant ekvationssystem saknar lösning tolkas det som att linjerna inte skär varandra,
de är då parallella (detta gäller bara då det är linjer med två koordinater).
Om ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta har oändligt många lösningar
(alla x är möjliga och y beror på vilket x man valt) säger man att linjerna sammanfaller,
alternativt att det var samma linje skriven på två sätt. Med andra ord; Lösningen är en linje.
Se gärna fler exempel i Nya Delta A och B s. 210-211.
1
Kommentarer och studetips till Fö1, Ekvationssystem 1
I exempel 2 ovan var linjens ekvation skriven på normalform, Ax + By = D,
vårt exempel 1 skriven på samma form blir då x − 2y = −6 med A = 1 och B = −2.
I exempel 2 ovan används en algebraisk lösningsmetod som kallas additionsmetoden. Vi kommer under kursen använda en metod som kallas successiv elimination eller Gausselimination. Denna metod liknar additionsmetoden men kan beskrivas som mer systematisk.
Läs ev vidare i lästips: Ekvationssystem. s.1-8,
Grundläggande linjär algebra; Kap 1.1-1.3
En ekvation med tre obekanta, Exempel 3: x + 2y − 3z = 4, dvs en ekvation skriven på
formen Ax + By + Cz = D är ekvationen för ett plan skriven på normalform.
En sådan ekvation innebär att alla punkter (x, y, z) som passar in i ekvationen ligger i ett
plan, dvs bildar en plan yta. Jämför med punkter på linje men nu i tre dimensioner. Alltså kan
ett ekvationssystem med tre obekanta och tre ekvationer tolkas som att man söker skärningen
mellan tre plan.
x + 3y + 4z = 5
x = −2
3x + 2y + 7z = 3 som har lösningen
y = 1
Exempel 4: Ekvationssystemet
2x − y + z = −4
z = 1
kan alltså tolkas som att de tre planen x + 3y + 4z = 5, 3x + 2y + 7z = 3 och 2x − y + z − 4
skär varandra i punkten (−2, 1, 1).
Kontrollera gärna att lösningen passar in i alla tre ekvationerna.
Ibland får man en lösning där en variabel beror på en annan variabel. Då inför man en parameter, som är ett reellt tal, och låter båda variablerna bero på (styras av) denna parameter.
Begrepp:
Linjär ekvation, Gausselimination = successiv elimination, radoperationer, trappstegsform,
lösningsmängd, kontroll av lösning, parameter, parameterlösning, plan.
2
