Föreläsning II

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Föreläsning II
Mikael P. Sundqvist
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Att bygga matematisk teori
⋆ Odefinierade begrepp
⋆ Axiom – påstående som ej behöver bevisas
⋆ Definition – namn på begrepp
⋆ Sats – påstående som måste bevisas
∘ Lemma – hjälpsats
∘ Proposition – mindre central sats
∘ Korollarium – följdsats
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Exempel: Peanos axiom för de naturliga talen ℕ
FÖRELÄSNING II
Här ges (en något förkortad, och för ändamålet förenklad, version av) Peanos
axiom för de naturliga talen1:
2. Om n är ett tal så är n + 1 också ett tal.
1. 0 är ett tal.
3. Om m och n är tal och m ≠ n så är m + 1 ≠ n + 1.
4. Det finns inget naturligt tal n sådant att 0 = n + 1.
5. Om P är en egenskap sådan, att 0 har denna egenskap, och närhelst ett
tal n har egenskapen P , så har också n + 1 egenskapen P ; så har varje tal
egenskapen P .
1
Den intresserade kan läsa en diskussion om huruvida 0 skall eller inte skall tillhöra de naturliga
talen i http://www.math.uu.se/~kiselman/naturligss.pdf
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Euklidisk geometri
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Odefinierade objekt
Vi utgår från två odefinierade objekt, punkter och räta linjer.
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Definition P.1
⋆ Två räta linjer sägs skära varandra om de har en punkt gemensam.
⋆ Två räta linjer sägs vara parallella om de inte skär varandra. En rät linje är
dessutom parallell med sig själv.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Definition P.2
⋆ Med en sträcka menas den del av en rät linje som finns mellan två punkter
på linjen inklusive punkterna.
⋆ En punkt på en rät linje delar linjen i två delar, som vi kallar strålar.
⋆ Två strålar, som utgår från samma punkt P , bildar två vinklar. Punkten
P kallas vinkelns spets. Strålarna, som kallas vinkelben, delar planet i två
områden, som kallas vinkelfält.
P
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Definition P.2 (fortsättning)
FÖRELÄSNING II
⋆ Med en triangel menas tre punkter, triangelns hörn, som inte ligger på
samma linje, och tre sträckor mellan punkterna, triangelns sidor.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Axiom om sträckor och vinklar
Axiom P.1 Elementära räknelagar för reella tal gäller.
Sträckor kan tilldelas positiva reella tal, som kallas längder, så att de är additiva:
om en sträcka med längden ℓ delas i två delar med längderna ℓ1 respektive ℓ2 ,
så är ℓ = ℓ1 + ℓ2 . Även vinklar kan tilldelas positiva reella tal och de är additiva.
ℓ = ℓ 1 + ℓ2
ℓ1
ℓ2
α2
α1
α = α1 + α2
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Namn på vinklar
Definition P.3
Vinklarna i figuren benämnes enligt följande:
⋆ α och β kallas sidovinklar och α + β = 180∘ .
⋆ α och γ kallas vertikalvinklar.
⋆ α och δ kallas likbelägna vinklar.
⋆ γ och δ kallas alternatvinklar.
⋆ Två räta vinklar (dvs. 90∘ + 90∘ ) uppkommer då två sidovinklar är lika stora.
γ
δ
β
α
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Beteckningar
Beteckning
△
∠
⊥
∥
∼
≅
Förklaring
triangeln
vinkeln
är vinkelrät (ortogonal) mot
är parallell med
är likformig med
är kongruent med
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Vertikalvinklar är lika stora
Sats P1
Vertikalvinklar är lika stora.
Bevis Med beteckningar enligt figuren gäller det enligt Axiom 1 och Definition 3 att
α + β = 180∘ ,
Härur följer enkelt att
och
β + γ = 180∘ .
α = 180∘ − β = γ.
γ
β
α
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Parallellaxiomet
Axiom P.2 – Parallellaxiomet
Med beteckningar i figuren nedan:
ℓ 1 ∥ ℓ 2 ⟺ α = δ.
α
δ
ℓ2
ℓ1
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
En direkt följd
Sats P.2
Bevis
Med beteckningar enligt figuren nedan gäller det att
ℓ1 ∥ ℓ2 ⟺ γ = δ.
Enligt Sats P.1 är α = γ .
γ
δ
Härur följer, med hjälp av parallellaxiomet,
α
ℓ2
ℓ1
ℓ1 ∥ ℓ2 ⟺ α = δ ⟺ γ = δ.
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Kongruenta trianglar
Definition P.4 Två trianglar kallas kongruenta precis då vinklarna och sidorna
i den ena triangeln är lika med motsvarande vinklar och sidor i den andra. Med
figurens beteckningar gäller det alltså att ∠A = ∠A′, ∠B = ∠B′, ∠C = ∠C′,
samt AB = A′B′, BC = B′C′, AC = A′C′.
Vi skriver då
△ABC ≅ △A′B′C′.
B
A
C
B′
C′
A′
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Axiom om kongruenta trianglar
Axiom P.3 Två trianglar är kongruenta om de överensstämmer i något av
följande fall:
SVS: två sidor och mellanliggande vinkel
SSS: alla sidor
VSV: två vinklar och mellanliggande sida
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Vinkelsumman i en triangel
Sats P.3
Vinkelsumman i en triangel är 180∘
Bevis
Drag genom ett hörn av triangeln en rät linje som är parallell med motstående
sida. Enligt Sats P.2 återfinner vi då vinklarna α och β som alternatvinklar. Nu
ser vi att α + β + γ = 180∘ enligt Definition P.3.
α
γ
α
Korollarium
β
β
Vinkelsumman i en fyrhörning är 360∘
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Yttervinkelsatsen
Definition
Vinkeln δ i figuren nedan kallas yttervinkel till triangeln.
γ
α
β
δ
Sats P.4 – Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan
av de två motstående vinklarna, δ = α + γ .
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Yttervinkelsatsen
γ
α
β
δ
Sats P.4 – Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan
av de två motstående vinklarna, δ = α + γ .
Bevis Sats P.3 ger α + β + γ = 180∘ och Definition P.3 ger β + δ = 180∘ .
Härur följer att
δ = 180∘ − β = α + γ.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Fyrhörningar
Definition P.7
⋆ En fyrhörning där motstående sidor är parallella kalla för en parallellogram.
⋆ En fyrhörning där alla sidor är lika långa kallas för en romb.
⋆ En fyrhörning där två motstående sidor är parallella kallas för en parallell⋆ En fyrhörning där alla vinklar är räta kallas för en rektangel.
trapets.
⋆ En fyrhörning där alla vinklar är räta och alla sidor är lika långa kallas för
en kvadrat.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Rektanglar och romber är parallellogram
Sats P.5 Varje rektangel är en parallellogram. Varje romb är en parallellogram.
Bevis Vi visar det för romben. Drag en diagonal i romben. Enligt kongruensfallet SSS erhåller vi två kongruenta trianglar, varför de grönmarkerade vinklarna
är lika stora. Men dessa grönmarkerade vinklar är alternatvinklar. Enligt Sats P.2
(följden av parallellaxiomet) är då den övre och undre sidan i figuren parallella.
Samma argument för de andra två sidorna.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Parallellogramsatsen
Sats P.6 – Parallellogramsatsen I en parallellogram är såväl motstående
sidor som motstående vinklar lika stora.
Bevis Låt oss beteckna parallellogrammen med ABCD . Drag diagonalen BD .
De grönmarkerade och rödmarkerade vinklarna är lika stora enligt Sats P.2.
Alltså är ∠B = ∠D . Kongruensfall VSV ger att △DBA ≅ △BDC . Alltså är
AD = CB och AB = CD samt ∠A = ∠C .
C
B
A
D
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Satsen om likbent triangel
Sats P.7 – Satsen om likbent triangel Om två sidor i en triangel är lika
långa så är de båda motstående vinklarna lika stora.
Bevis
Drag en bisektris genom hörnet B . Kongruensfall SVS ger då att
△ABD ≅ △CBD . Alltså är ∠A = ∠C .
B
x
A
x
D
C
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II
Basvinkelsatsen
Sats P.8 – Basvinkelsatsen Om två vinklar i en triangel är lika stora så är de
båda motstående sidorna lika stora.
Bevis
Det gäller att △ABC ≅ △CBA enligt fallet VSV. Alltså är AB = CB .
B
A
B
C
C
A
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Är euklidisk geometri enkelt?
FÖRELÄSNING II
Utmaning Låt AA′, BB′ och CC′ vara höjder i triangeln ABC . Låt vidare D , E
och F vara mittpunkterna för de inskrivna cirklarna i trianglarna AB′C′, BC′A′
och CA′B′ respektive. Låt vidare den inskrivna cirkeln i triangeln ABC tangera
BC , CA och AB i L , M respektive N . Visa att sidorna i triangeln DEF är lika långa
och parallella med sidorna i triangeln LMN .
A D
B′
M
C′
N
E
F
C
A′
L
B
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Euklidisk geometri – litteratur
⋆ Fitzpatrick2
⋆ Euklides elementa3
⋆ En sida med geometriska konstruktioner4
2
Som pdf: http://farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Euclid.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html
4
Konstruktioner finns på http://www.mathsisfun.com/geometry/constructions.html
3
FÖRELÄSNING II
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING II