Föreläsning III

ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Föreläsning III
Mikael P. Sundqvist
| FÖRELÄSNING III
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Area
Axiom P.5 Det finns ett entydigt areabegrepp som är additivt och sådant att
kongruenta trianglar har samma area samt att en rektangel med sidlängderna
a och b har area ab .
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Triangelns area
Sats P.9
1
En triangel med bas b och höjd h har area 2 bh.
| FÖRELÄSNING III
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Pythagoras sats
Sats P.10
I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med
summan av kvadraterna på kateterna, dvs
c2 = a2 + b2.
b
c
a
Pythagoras sats illustrerad
Många bevis av Pythagoras sats
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Omvändningen till Pythagoras sats
Sats P.11
Om det i en triangel med sidlängderna a , b och c gäller att
a 2 + b 2 = c 2 så är triangeln rätvinklig, och den räta vinkeln står mot sidan c .
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Transversalsatsen
Definition En rät linje genom en triangel som ej skär något hörn kallas för
en transversal.
Sats P.12 En transversal som är parallell med en sida i en triangel delar de
a
c
övriga två sidorna i lika förhållande, dvs p ∥ q ⟹ b = d .
c
a
p
d
b
q
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Likformighet
Definition P.10
Två trianglar sägs vara likformiga om
⋆ varje vinkel i den ena triangeln är lika stor som motsvarande vinkel i den
⋆ kvoterna av motsvarande sträckors längder är lika stora.
andra och
Om trianglarna △ABC och △A′B′C′ är liformiga skriver vi △ABC ∼ △A′B′C′.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Topptriangelsatsen
Sats P.13 En transversal som är parallell med en sida i en triangel skär av en
topptriangel som är likformig med den stora triangeln.
Med beteckningar i figuren skall vi visa
p
a
= c = .
a+b
c+d
q
c
a
p
d
b
q
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Bisektrissatsen
Sats P.14 En bisektris till en vinkel i en triangel delar motstående sida i ett
förhållande som är lika med kvoten av de övriga sidornas längder,
a
= x.
b
y
b
a
x
y
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Likformighetsfallen
Sats P.15 (SVS) Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en
annan triangel och mellanliggande vinkel är lika så är trianglarna likformiga.
Sats P.16 (SSS) Om sidorna i en triangel är proportionella mot sidorna i en
annan triangel, så är trianglarna likformiga.
Sats P.17 (VV) Om två vinklar i en triangel är lika med två vinklar i en annan,
så är de likformiga.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Cirkeln
Definition P.5 och P.11
⋆ Med en cirkel menas alla punkter som ligger på ett givet avstånd r från en
given punkt, som också kallas medelpunkten eller centrum. En sträcka från
medlpunkten till cirkeln kallas för en radie.
⋆ En sträcka mellan två punkter på en cirkel kallas för korda.
⋆ En korda som går genom medelpunkten kallas för en diameter.
⋆ En cirkelbåge kallas en del av cirkeln som finns mellan två punkter på cirkeln
⋆ Medelpunktsvinkel (figur).
inklusive punkterna.
⋆ Randvinkel (figur).
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III
Randvinkelsatsen
Sats P.18 En randvinkel är hälften så stor som medelpunktsvinkeln på samma
cirkelbåge.
Korollarium 1
Randvinklar som står på samma båge är lika stora.
Korollarium 2
Randvinkeln på en halvcirkelbåge är rät.
Korollarium 3 I en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är summan av
motstående vinklar 180∘ .
Kordasatserna (P.19 och P.20) ingår ej i kursen.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Några exempel a’la LV0
⋆ (2.14a) Skriv om bråket
⋆ (2.16d) Förenkla
så att det får rotfri nämnare.
⋆ (2.9c) Förenkla
1 + 2√2
3 − √2
(√x + √y + √x + y)(√x + √y − √x + y).
1
+
x+1
x− 1
1
x−1
1
− x+ 1
1
.
| FÖRELÄSNING III
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING III