F17

ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Föreläsning XVII
Mikael P. Sundqvist
| FÖRELÄSNING XVII
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Lokala extrempunkter
Definition 10.3 Funktionen f har ett lokalt maximum i a om det finns ett tal
δ > 0 så att
x ∈ Df
} ⟹ f(x) ≤ f(a).
| x − a| < δ
Funktionen f har ett lokalt minimum i a om det finns ett tal δ > 0 så att
x ∈ Df
} ⟹ f(x) ≥ f(a).
| x − a| < δ
Om f har ett lokalt maximum eller minimum i a så säger vi att a är en lokal
extrempunkt och att f(a) är ett lokalt extremvärde.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Exempel i bild
| FÖRELÄSNING XVII
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Derivatan är noll i en extrempunkt
Sats 10.6 Antag att a är en lokal extrempunkt till f , och att a är en inre punkt
i definitionsmängden. Om f är deriverbar i a så är f ′(a) = 0.
Definition
En punkt a sådan att f ′(a) = 0 kallas en stationär punkt för f .
OBS
Om a är en lokal extrempunkt är a alltså en stationär punkt.
Omvändningen gäller ej. f(x) = x 3
har en stationär punkt i x = 0, men
ingen extrempunkt där. Vi säger att
f har en terrasspunkt i x = 0.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Extrempunkter
En funktion f kan ha lokalt extremvärde i randpunkter, stationära punkter, eller
i punkter där f ej är deriverbar.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Medelvärdessatsen
| FÖRELÄSNING XVII
Sats 10.7
Antag att f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a, b] och
deriverbar på det öppna intervallet (a, b). Då existerar (minst) en punkt ξ ,
a < ξ < b , sådan att
f(b) − f(a) = f ′(ξ)(b − a).
a
ξ
ξ
b
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Följder från medelvärdessatsen
Sats 10.8
Antag att f är deriverbar på intervallet I . Då gäller:
⋆ f ′(x) = 0 för alla x ∈ I ⟹ f konstant på I
⋆ f ′(x) ≥ 0 för alla x ∈ I ⟹ f växande på I
⋆ f ′(x) ≤ 0 för alla x ∈ I ⟹ f avtagande på I
⋆ f ′(x) > 0 för alla x ∈ I ⟹ f strängt växande på I
⋆ f ′(x) < 0 för alla x ∈ I ⟹ f strängt avtagande på I
Följdsats 10.1
Antag att f och g är deriverbara på intervallet I och att
f ′(x) = g ′(x) för alla x ∈ I . Då finns det ett tal C sådant att
f(x) = g(x) + C,
x ∈ I.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
Exempel
Exempel 10.19
Bestäm alla stationära punkter till
och avgör dess karaktär.
f(x) = x 2 e x
| FÖRELÄSNING XVII
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Derivator av högre ordning
Definition
Den n :te derivatan av f definieras rekursivt som
D0f = f
D n f = D(D n−1 f).
Anmärkning
d nf
dx n
Oftast skriver vi f ′′ för andraderivatan. Vi skriver även f (n) eller
för n :te derivatan.
Exempel
Bestäm derivator av alla ordningar till funktionen f(x) = x 3 .
Det gäller att D n (f + g) = D n f + D n g . Hur blir det med n :te-derivatan av en
produkt?
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Leibniz’ formel
Sats 10.9 Antag att f och g är n gånger deriverbara. Då är även fg deriverbar
n gånger, och
D (fg) = ∑ ( )(D n−k f )D k g.
k
k=0
n
n
n
Bevisskiss Det gäller att D n (fg) = ∑k=0 ck,n (D n−k f)D k g , där ck,n är oberon
ende funktionerna f och g . Vi skall visa att ck,n = (k).
Låt j vara ett heltal mellan 0 och n , och f(x) = x n−j , g(x) = x j . Då är fg = x n ,
så D n (fg) = n!. Vidare ger endast k = j i summan något bidrag, nämligen
cj,n (n − j)!j!. Vi får
n
cj,n = (n−j)!j! = ( j ).
n!
n
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Exempel
Sats 10.9 Antag att f och g är n gånger deriverbara. Då är även fg deriverbar
n gånger, och
n
D n (fg) = ∑ ( )(D n−k f )D k g.
k
k=0
n
Exempel
Bestäm D 100 (e −3x x 2 ).
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Andraderivatan och stationära punkter
Sats Antag att f är en funktion med kontinuerlig andraderivata f ′′, och att a
är en stationär punkt till f .
⋆ Om f ′′(a) > 0 så har f ett lokalt minimum i a .
⋆ Om f ′′(a) < 0 så har f ett lokalt maximum i a .
Exempel
För funktionen f(x) = x 2 e x får vi
f ′′(x) = (x 2 + 4x + 2)e x .
Speciellt gäller för de stationära punkterna −2 och 0 att
2
f ′′(−2) = − 2 , och f ′′(0) = 2.
e
Vi drar slutsatsen att f har lokalt maximum då x = −2 och lokalt minimum då
x = 0.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Konvex och konkav
Definition 10.4 En funktion f kallas konvex på ett intervall I om det för varje
x1 och x2 i I gäller att linjestycket mellan punkterna (x1 , f(x1 )) och (x2 , f(x2 ))
ej ligger under funktionskurvan y = f(x). Om dessa linjestycken i stället ej
ligger över kurvan så kallas f strängt konkav.
konvex
konkav
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Konvex och konkav
Definition med formel Funktionen f är konvex på intervallet I om det för
varje par av punkter x1 och x2 i I och för varje 0 ≤ t ≤ 1 gäller att
f(tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ tf(x1 ) + (1 − t)f(x2 ).
konvex
konkav
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII
Konvexitet och andraderivata
Sats 10.10
Antag att f är två gånger deriverbar på intervallet I och att
f ′′(x) ≥ 0 för alla x ∈ I . Då är f konvex på I . Om f ′′(x) ≤ 0 för alla x ∈ I så är
f konkav på I .
Exempel Avgör på vilka intervall
f(x) = x 2 e x är konvex respektive
konkav.
Definition En punkt där f ′′ skiftar tecken kallas för en inflektionspunkt.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
| FÖRELÄSNING XVII