Aritmetik

Aritmetik
En abakus, eller kulram, är ett gammalt räknehjälpmedel som består av en platta eller en ram
med stavar eller trådar där kulor kan skjutas
fram och tillbaka. Användes särskilt under
antiken och i många utomeuropeiska kulturer.
Kulramar av diverse modeller används
fortfarande i t ex Kina.
När 2n-1 är ett primtal så kallas det
ett Mersenneprimtal.
1. Naturliga tal…………………………………………………2
2. Primtal……………………………………………………….11
Matematiken i historien, Erathostenes……….…12
3. Hela tal…………………………………………………..….16
4. Rationella tal………………………………………………24
Matematiken i historien, Egyptisk matematik..34
Matematiken i historien, Mayafolket……………..43
5. Reella tal……………………………………………………46
Matematiken i historien, talet π …………………..48
6. Potenser…………………………………………………… 52
7. Tal skrivna i grundpotensform……………………..57
Facit………………………………………………………….66
Bilder: Akvareller av Ramon Cavaller; IBL Bildbyrå: s.57 Lopez Rodezno; Geometriska
konstruktioner och några foton, s.9, 15, 33 av Nils-Göran Mattsson
© Författarna och Bokförlaget Borken, 2011
Aritmetik - 1
1 Naturliga tal, 
Teori ▪ Talområden
• Tal kan ha helt olika egenskaper. När man räknar föremål, så använder man sig av de naturliga talen: 0, 1, 2, 3, 4... Symbolen för de
naturliga talen är . Om vi pratar om temperaturer utifrån en enkel
termometer, så har vi förutom temperaturerna +1°C, +2°C…. även
temperaturerna –1°C, –2°C.. som är lägre än 0°C. De naturliga talen
tillsammans med motsvarande negativa tal kallas de hela talen, .
• Om man delar en tårta kan man använda bråk eller tal skrivna i bråkform: ”Kan du dela tårtan i sex lika stora bitar?” Varje bit eller sektor
a
är 1/6. Vi kallar alla tal som kan skrivas i bråkform, dvs där a och
b
b är heltal, för rationella tal. Enligt denna definition är även heltal
7
och tal skrivna i decimalform rationella, eftersom t ex heltalet 7 =
1
13
och decimaltalet 1,3 =
. Symbolen för rationella tal är .
10
• Diagonalen i en kvadrat med sidan 1 dm kan inte skrivas som ett
bråk. Man kan visserligen få bättre och bättre bråkvärden på diagona14
141
1414
dm,
dm,
dm osv, men inget av dessa
lens längd t ex:
10
100
1000
bråk är matematiskt exakt lika med diagonalens längd. De rationella
a
talen tillsammans med de tal som inte kan skrivas på formen kallas
b
de reella talen, . Talet π är ett irrationellt tal, dvs ett reellt tal som
varken är ett heltal eller ett rationellt tal.
Aritmetik - 2
Låt oss se på relationen mellan talmängderna: , ,  och .
Naturliga tal, 
Negativa heltal
7
–6
12
0
–17
Hela tal, 
7
12
0
bråkform −
–6
–17
12
0
–6
–17
1
−
3
–6
–17
−
Reella tal, 
7
12
0
1
7
decimalform 1,32
blandad form 2
Irrationella tal
Rationella tal, 
7
1
3
1
3
Aritmetik - 3
1
1,32
2
7
3
π
1
1,32
7
3
π
2
Teori ▪ Begrepp hos de fyra räknesätten
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
5+2=7
5–2=3
4 ⋅ 5 = 20
8/4 = 4
term + term = summa
term – term = differens
faktor ⋅ faktor = produkt
täljare/nämnare = kvot
Det talsystem som vi använder i vår vardag är ett positionssystem som
bygger på basen tio, eftersom det grundar sig på tio olika siffror:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Positionssystem betyder att siffrans läge eller position är avgörande för
hur siffran skall tolkas. Talet 347 betyder alltså 3⋅100 + 4⋅10 + 7⋅1
G1.1
Beräkna följande uttryck
a) 31–93
b) 93+12–7
c) (11–7)3+12 d) (9+7)(7+3) e) 13+2(8–5) f) 3⋅(4+6)
11 − 7
3⋅7 −3
g) 8+6(4+2)
h) (9–7)(7–5) i)
j)
8−4
9
8 + 20
16 28
k)
l)
m) 933 – 7
+
4 + 10
4 2
4
8
5+6+7 +8+9
n)
o) (2+3⋅ )/4 p) (3⋅ )/4
2
2
5⋅7
Ledning I uttryck som innehåller additioner (subtraktioner) och/eller
multiplikationer (divisioner) och/eller parenteser gäller följande ordning
för beräkningar, de s k prioriteringsreglerna:
(1) Först beräknas parentesuttryck.
(2) Därefter multiplikationer och divisioner.
(3) Och sist additioner och subtraktioner.
Fundera på detta!
Skapa talet 24 genom att bara använda siffrorna
3, 3, 7 och 7 en gång.
Du får dessutom bara använda operationerna: +, –, ⋅, / .
Aritmetik - 4
Modell ▪ De fyra räknesätten
Många räknare har samma prioriteringsregler som ovan. Vissa knepigheter
kan dock uppstå vid bråkstreck.
Exempel 1
8
2⋅4
8
= 1.
8
Räknare, som prioriterar multiplikation och division lika högt, räknar:
8
⋅ 4 . Alltså ger räknaren svaret 16.
2
Om man sätter parentes runt eventuella uttryck i täljare och nämnare,
8
alltså
, blir svaret korrekt.
(2 ⋅ 4)
Vi ser att 2⋅4 hör ihop i nämnaren. Alltså är svaret
Exempel 2
1+ 3
2
Vi ser att 1+3 hör ihop i täljaren. Alltså är svaret
4
= 2. Räknaren, som
2
3
. Alltså ger räknaren
2
svaret 2,5. Om man sätter parentes runt eventuella uttryck i täljare och
(1 + 3)
nämnare, alltså
, blir svaret korrekt. Kontrollera nu följande
2
6+8
1+ 2 + 3 + 4 + 5
uppgifter med räknaren:
( = 2)
( = 1)
1+ 6
3 ⋅5
prioriterar division före addition, räknar: 1 +
G1.2
Vilket eller vilka av de fyra räknesätten ger, om de utförs
mellan två naturliga tal, alltid ett naturligt tal till resultat?
G1.3
Ge exempel på tal som är större än 400 och som är delbara med
vart och ett av talen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. (Om du önskar kan
du ta hjälp av delbarhetstestet på nästa sida.)
Aritmetik - 5
Teori ▪ Delbarhetstest
Ett naturligt tal är delbart med
2 om talet är jämnt
3 om talets siffersumma är delbar med 3
4 om talets två sista siffror bildar ett tal som är delbart med 4
5 om den sista siffran är 5 eller 0
6 om talet är jämnt och siffersumman är delbar med 3
8 om talets två sista siffror bildar ett tal som är delbart med 4 och
resultatet är jämnt.
9 om talets siffersumma är delbar med 9
10 om den sista siffran är 0
G1.4
Anna köper två kulspetspennor för 8 kr/st och fyra räknehäften
för 3 kr/st. Hur mycket skall hon betala?
G1.5
Ulla satte igång att skriva en bok. I slutet av första veckan hade
hon skrivit 5 sidor. Vid slutet av andra veckan hade hon skrivit
ytterligare 6 sidor, dvs 11 sammanlagt. Vid slutet av tredje
veckan hade hon författat sammanlagt 18 sidor och vid fjärde
veckans slut var 26 sidor fullbordade. Om hon fortsätter att
skriva på detta sätt, hur många sidor kommer boken att innehålla vid den åttonde veckans slut?
G1.6
Maria, Lina och Matilda går på pub en kväll. När de skall
betala upptäcker Lina att hon glömt sin plånbok så Maria och
Matilda betalar 180 kr respektive 240 kr. Hur mycket skall
Lina senare betala Maria och Matilda, om de vill betala lika
mycket var?
G1.7
Tecknen > (större än) och < (mindre än)
används för att beteckna olikheter. (Tecknen > och < har sin öppning mot det större
talet, dvs påståendet 12 > 5 är sant men
inte påståendet 23 < 13.) Vilka av följande
påståenden är sanna?
a) 5 > 8 b) 4 < 3 c) 0 < 9 d) 11 > 7
Aritmetik - 6
G1.8
Vad kallas siffrorna 2, 8, 1, 9 i talet 72 819? Vilket är det
största tal som kan bildas av de fem siffrorna i talet? Vilket är
det minsta tal som kan bildas av de fem siffrorna?
G1.9
För vilka naturliga tal n är följande påståenden sanna?
a) 70⋅ n < 1400
b) 10⋅ n > 140
c) 284 > 4⋅ n
G1.10 Mikko sparar till en dator. Han arbetar i en butik på helgerna.
Varje lördag arbetar han fem timmar och varje söndag fyra timmar. Hans lön är 38 kronor per timme på lördagar och 55 kr
per timme på söndagar. Hur många veckoslut måste han arbeta
för att kunna köpa datorn som kostar 9 020 kr?
V1.11 Summan av tre på varandra följande tal är 342. Vilka är talen?
V1.12 Summan av tre på varandra följande jämna tal är 816? Vilka är
talen?
V1.13 En magisk kvadrat består av lika många rutor radvis, kolumnvis
a)
16
2
3
13
och diagonalvis. Dessutom är summan av talen i varje rad,
kolumn eller diagonal var för sig densamma. Vilka tal fattas i
kvadraterna nedan?
b)
c)
5 9
11 7 14
10
8 12 1
14 15 4
11 10 5
7
2 3
11
18
6
25 19 13
2 21 20
9 3
23 17
5 24
7 1
14
V1.14 Beräkna 11⋅ 11, 111⋅ 111, 1111⋅ 1111 och 11111⋅ 11111. Kan
du finna något system i de allt större svaren? Vad tror du att
svaret till multiplikationen 111111111⋅ 111111111 blir?
V1.15 Två snabbgående båtar gör testturer på Vänern. De startar från
samma plats och vid samma tidpunkt. Den ena båten gör en
tur på 40 s medan den andra gör en tur på 50 s. Efter hur
många sekunder kommer de två båtarna att skära startlinjen
tillsammans igen?
Aritmetik - 7
V1.16 En fyr skickar ut sina ljusblixtar var 16:e sekund. En annan fyr
skickar ut sina ljusblixtar var 20:e sekund. Vid ett tillfälle
kommer ljusblixtar samtidigt från de båda fyrarna. Hur lång tid
dröjer det tills det inträffar nästa gång?
V1.17 När en grupp marscherar i rader om 2, 3, 4, 5 eller 6 så blir det
alltid en person över. Vilket är det minsta antal personer i
gruppen för vilket detta förhållande gäller?
V1.18 a) Är summan av tre på varandra följande tal delbar med tre?
b) Är summan av fyra på varandra följande tal delbar med fyra?
c) Är summan av fem på varandra följande tal delbar med fem?
d) Är summan av sex på varandra följande tal delbar med sex?
Fundera på detta!
Försök formulera en hypotes
om summan av på varandra följande tal och
deras delbarhet med tanke på föregående uppgift.
Aritmetik - 8
English maths lesson
The beautiful arrangement of leaves, petals and cones in some plants,
called phyllotaxis, obeys a number of mathematical relationships. For
instance, the seed scales on a pinecone form two oppositely directed
spirals: 7 of them clockwise and 13 counterclockwise. Surprisingly, these
numbers are successive Fibonacci numbers.
A similar phenomenon occurs for daisies, pineapples, sunflower, cauliflowers, and so on.
Lilies have three petals; buttercups and wild roses have five petals;
delphiniums have eight petals; marigolds have 13 petals; asters have 21
petals; and daisies have 34, 55, or 89.
Thus we have come to the following successive numbers: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13, 21, 34, 55, 89…..This is an example of an often studied number
sequence, Fibonacci numbers.
Aritmetik - 9
Think a bit of the sequence of numbers after 89 before getting on.
Yes, every new number in the sequence is made out of the sum of the
two previous numbers.
However we shouldn’t believe that the number of petals in every flower
is made out of Fibonacci numbers. If we construct a sequence in the
same manner but starting with the numbers 2, 1,… we will have another
sequence called Lucas numbers: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…. This
one fits the number of petals in many flowers too.
G1.19 Vi har nedan skrivit de första talen i några talföljder. Ange
ytterligare några tal i följden.
a) 2, 3, 5, 8, 12,… b) 1, 4, 9, 16,… c) 2, 6, 12, 20, 30,…
d) 0, 3, 8, 15, 24,... e) 2, 4, 6, 9, 12,… 16, 20, 25, 30, …
V1.20 Figurerna här nedan visar regelbundna n–hörningar, där n är ett
naturligt tal. Vi har alltså en triangel (n=3), kvadrat (n=4), femhörning (n=5), sexhörning (n=6), sjuhörning (n=7) etc. Hur
många diagonaler finns det i var och en av n–hörningarna nedan.
Antalet diagonaler bildar en talföljd. Ange ytterligare några tal i
talföljden.
Fundera på detta!
De första talen i Fibonaccitalföljden är: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
där varje tal är summan av de två närmast föregående talen.
Om vi använder detta mönster för talföljden:
A, B, C, D, E, F, G, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, vilka är då talen A
och B?
Aritmetik - 10
2 Primtal
Teori ▪ Primtal
Matematiker brukar dela in de naturliga talen i:
Talet 1, som har egenskapen att varje tal som multipliceras med 1 lämnar detta tal oförändrat.
Primtalen som kännetecknas av att de endast är delbara med 1 och sig
själva. De första tjugofem primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
De sammansatta talen som kan faktoriseras i primtal, t ex 18 = 2⋅3⋅3
Aritmetikens fundamentalsats
Varje heltal som är större än eller lika med 2 kan skrivas som en entydig
produkt av primtal. Vi bevisar inte detta teorem. Talet 242 är inte ett
primtal eftersom det är ett jämnt tal. 242 = 2⋅121. I själva verket är 242=
=2⋅11⋅11 och det finns ingen annan faktorisering i primtal som ger 242.
Aritmetik - 11
M atematiken i historien
Greken Eratosthenes från Kyrene, i nuvarande Libyen, (285–200 f. Kr.)
verkade i Alexandria. Han har efterlämnat ett stort antal skrifter i så skilda ämnen som geografi, matematik, filosofi och litteratur. Indelningen
av jorden i zoner med hjälp av polcirklar och vändkretsar är hans verk.
Han bestämde dessutom jordens omkrets till ca 42 000 km. Detta är ett
värde som bara skiljer sig från det rätta värdet med 5%.
Eratosthenes såll är en metod för att bestämma alla primtal som är
mindre än eller lika med ett godtyckligt tal N. Man skriver talen 1, 2, 3,
4…, N i ordningsföljd. Därefter stryker man alla multipler av 2. Det vill
säga talen 4 (=2⋅2), 6 (=3⋅2), 8 (=4⋅2), 10 (=5⋅2) …. men ej talet 2 självt.
Därefter gör man likadant för talet 3 och dess multipler. Man stryker
alltså talen 6 (=2⋅3, redan struket), 9 (=3⋅3), 12 (=4⋅3), 15 (=5⋅3), 18
(=6⋅3)…. men ej talet 3 självt.
På samma sätt gör man med 5, (6 är redan struket), 7, (8 och 9 och 10
är redan strukna), 11,….
Slutligen kvarstår primtalen ≤ N.
G2.1
Sök upp primtalen ≤ 100 med ”Eratosthenes såll”.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51,
52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68,
69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85,
86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100
Aritmetik - 12
G2.2
Dela upp följande tal i primfaktorer
a) 17 b) 72 c) 64 d) 66 e) 1000 f) 97 g) 44 h) 99
G2.3
Kvadraten bredvid innehåller 9 primtal. Summan 5 41 13
av den första radens tal, som är 59, är också ett
17 3 47
primtal. Vilka av kvadratens övriga radsummor,
7 83 11
kolumnsummor och diagonalsummor är primtal?
G2.4
Har kvadraten bredvid samma egenskaper som
den i exemplet ovan? Vilken ytterligare egenskap
hos primtalen i denna kvadrat kan du hitta?
31 37 41
53 59 61
67 43 47
G2.5
Primtal vars differens är 2 kallas primtalstvillingar. Talen 19 och
17 har differensen 2 och är alltså primtalstvillingar. Vilka primtalstvillingar finns för talen mindre än 100 enligt Eratosthenes
såll ovan?
V2.6
Ett perfekt tal är ett naturligt tal där summan av talets alla faktorer är lika med talet självt (talet 1 men inte talet självt räknas
som faktor).Talet 6 har faktorerna 1, 2 och 3 eftersom 6 är delbart med vart och ett av dessa tal. Eftersom 1+2+3=6, så är talet
6 ett perfekt tal.
a) Visa att 28 är ett perfekt tal b) Är talet 13 ett perfekta tal?
c) Är talet 496 ett perfekt tal
d) Är talet 220 ett perfekt tal
e) Varför kan inte primtal vara perfekta tal?
V2.7
Pythagoras kallade 220 och 284 för ”vänskapliga tal” ty talet
220 har en ”vän” i 284 och 284 har en vän i 220. Vad betyder
då detta? Jo, talet 220 är delbart med 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22,
44, 55 och 110. Summan av dessa tal är 284. Visa att 284 har
vän i talet 220.
V2.8
Visa att 1184 och 1210
är vänskapliga tal.
Aritmetik - 13
Modell ▪ Primtalsuppdelning igen (endast c-kurs)
Om vi vill undersöka vilka primfaktorer som ett tal är sammansatt av så
kan vi gå tillväga på följande sätt: Låt oss undersöka talet 3876.
Eftersom talets två sista siffror bildar ett tal som är delbart med 4 är hela
talet delbart med 4⋅ 3876 = 4 ⋅969 = 2⋅2⋅969. Eftersom siffersumman av
969 är delbar med 3 är talet 969 delbart med 3: 3876 = 4⋅3⋅323.
Om 323 kan delas upp i minst två primfaktorer så är åtminstone den
ena av dessa ≤ 323 =18 (Varför?) Vi bör alltså begränsa vår prövning
av primfaktorer upp till talet 18. Vi får om vi kontrollerar 323/17 svaret
19 som också är ett primtal. Alltså 3876 = 2 ⋅2 ⋅3 ⋅17 ⋅19
G2.9
Dela upp följande tal i primfaktorer
a) 2346
b) 3102
c) 3777
12870
G2.10 Förkorta så långt som möjligt
.
31941
G2.11 Låt oss skriva ner ett stort primtal: p =170 141 183 460 469
231 731 687 303 715 884 105 727. Om vi nu bildar talet:
1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅………⋅ (p-2) eller som det kallas i matematisk
litteratur (p-2)! så kan man konstatera att detta tals siffror inte
får plats på allt papper i värden. Trots detta existerar talet och
vi kan t o m hitta egenskaper hos det. Om talet divideras med
talet p så blir resten 1. Detta har bevisats av Karl Friedrich
Gauss. Pröva hypotesen med några primtal, t ex p = 13.
I talteorin finns också påståenden som ännu ingen kunnat bevisa. Ett sådant påstående är Goldbachs hypotes. Enligt Goldbach kan varje heltal
skrivas som summan av två primtal. Schnizel visade att Goldbachs förmodan är ekvivalent med att varje primtal n > 17 är en summa av tre
olika primtal. Vi vet t ex att 8 = 5 + 3, 20 = 13 + 7. Visa att både Goldbachs och Schnizels hypoteser stämmer för 72, 80, 98 och 102.
G2.12 1991 var ett märkligt matematiskt årtal. Inte bara talet 1991 är
en palindrom utan t o m dess primfaktorer är palindromer:
1991 = 11⋅181. Leta reda på något årtal sedan år 1000 som har
denna speciella egenskap.
Aritmetik - 14
G2.13 Gör en primtalsfaktorisering av 40042002.
V2.14 Den schweiziske matematikern Leonhard Euler upptäckte att
andragradspolynomet n2 + n + 41 alstrar 40 primtal i rad för n
= 0, 1, 2,…, 39. Hur kan man utan att räkna fram värdet visa
att primtalsraden bryts med n = 40?
V2.15 Visa att
5 är ett irrationellt tal.
V2.16 Nedanstående två primtalsuppdelningar av talen a och b:
a = 2⋅284 381 924 382 705, b = 11⋅51 705 804 433 219 ger
samma resultat med min räknare: 5,687638 488⋅1014. Är det
möjligt att primtalsuppdelningen inte är entydig?
V2.17 För vilka positiva heltal a, b och c, där a ≤ b ≤ c, gäller det att
abc = 84 och (a + 1)(b + 1)(c + 1) = 180? (Skolornas matematiktävling Svenska matematikersamfundet 4 oktober 2000)
Teori ▪ Oändligt många primtal (endast c-kurs)
Det finns oändligt många primtal
Bevis Antag att det bara finns ett ändligt antal primtal: p 1 , p 2 ,..., p n . Vi
kan då konstruera talet M = p 1 p 2 ...p n Detta är produkten av alla
primtal. M är delbart med vart och ett av de existerande p i . Bilda nu
talet N = M + 1. Vad N än är delbart med för tal så finns det inte bland
de tal som delar M. Vilka primfaktorer har då N? Det är åtminstone inte
något av p 1 , p 2 ,..., p n . Det motsäger hypotesen om ändligt antal
primfaktorer.
Fundera på detta!
Paketet innehåller 306
sockerbitar. Kan du genom
primtalsuppdelning av talet
306 ta reda på hur många
sockerbitar som ryms på
bredden, djupet och höjden?
Aritmetik - 15
3 Hela tal, 
Teori ▪ Addition och subtraktion av negativa tal
I de tidiga kinesiska, babyloniska och egyptiska kulturerna kände man
inte till de negativa talen. Diofantos (ca 250 e Kr) från Grekland hade
däremot en viss aning om räkneregler för negativa tal. Samtidigt med att
indierna införde decimaltal och talet 0 på 600-talet e Kr, så introducerade man också negativa tal. Ett positivt tal omvandlades till motsvarande
negativa tal med hjälp av en punktmarkering ovanför talet. I Kina använde man olikfärgade räknestavar, röda för positiva tal och svarta för
negativa tal.
Först på 1200–talet började man i Europa räkna med negativa tal.
Italienaren Fibonacci (Leonardo från Pisa), Europas förste matematiker,
visade i sin bok Liber Abaci hur ett negativt tal kunde tolkas som en förlust.
Räkneregler för negativa tal växte stegvis fram och man skapade skrivsätt
för dem.
Aritmetik - 16
Den danske astronomen Tycho Brahe (1546–1601) var en av de tidiga
användarna av minustecknet (–). Han var som många andra medveten
om dess dubbla betydelse; både som symbol för negativa tal och för
operationen subtraktion.
Du har redan tidigare använt negativa hela tal i en mängd vardagliga
sammanhang. Om temperaturen är 23°C under noll så säger man att
temperaturen är –23°C. Beskedet från banken kan visa –690 kr. Detta
betyder att du är skyldig banken denna summa.
Du har även fått negativa heltal som resultat av vissa subtraktioner, inte
subtraktion 12 – 9 utan t ex subtraktionen 8 – 12, som ger det negativa
talet –4.
Mängden av naturliga tal och negativa heltal kallas hela tal. Man
använder vid behov en tallinje för att åskådliggöra de hela talen.
(8–12)
-4
–1
-2
32
(12–8)
0
2
4
6
8
36/3
10
12
14
Teori ▪ Addition och subtraktion av negativa tal
Vad menas med att addera ett negativt tal till ett annat tal?
Ann-Louise har 800 kr i sin plånbok, men hon är skyldig Tone 250 kr.
Hon har alltså egentligen bara 550 kr.
800 + (–250) = 550
↑
”skuldminus” markerar negativt tal
Betydelse:
800 – 250 = 550
•
Att addera ett negativt heltal är samma sak som att subtrahera
motsvarande positiva heltal.
Aritmetik - 17
Vad menas med att subtrahera ett negativt tal från ett annat?
Ann-Louise verkliga tillgångar är 550 som vi sett. Nu säger Tone till
henne: ”Du behöver inte lämna tillbaka de 250 kr du är skyldig mig.”
Plötsligt är skulden borta och Ann-Louise kan räkna de 800 kr som sina
egna.
550 – (–250) = 800
↑ ↑
 ”skuldminus”
 ”ta-bort-minus”
Minustecknet används alltså i två betydelser, både för att markera att ett
tal är negativt (”skuldminus”) och som symbol för subtraktion (”ta-bortminus”)
•
Att subtrahera ett negativt heltal är samma sak som att addera
motsvarande positiva heltal.
Exempel Beräkna uttrycket 8 +(–4) – (– 3)
− −
blir
+
→

Lösning 8 +(–4) –(– 3) = 8 – 4 + 3 = 7
+−
blir
−

→
G3.1
Temperaturen en morgon är 5°C. Vad är temperaturen senare
på dagen om den
a) ökat med 5° b) minskat med 4° c) minskat med 9°
d) minskat med 15° e) minskat med 0° f) minskat med –3°?
G3.2
Beräkna uttrycken
a) 5 + (–2) b) 6 + (–6) c) 12 – 19 d) –3 + (–4) e) 7 – (–5)
f) 8 – (–9) g) –8 – (–9) h) –6 – 7 i) 0 – 11 j) 0 – 12
k) –13 – (–11)
G3.3
En behållare rymmer 56 liter men innehåller bara 17 liter. Hur
mycket måste den fyllas upp med för att vara fylld till brädden?
G3.4
Temperaturen under några nätter var som lägst
a) 3°C b) –12°C c) –3°C. Med hur många grader måste
temperaturen öka för att den skall bli 12 °C?
Aritmetik - 18
G3.5
Beräkna differensen av termerna
a) 19 och 13 b) 13 och 19 c) 19 och –13
e) –19 och –13 f) 0 och 7 g) 0 och –6
d) –17 och 12
h) 0 och 0
G3.6
Vilka av följande påståenden är sanna?
a) –5 < –4 b) 5 > –7 c) – 4 > 3 d) 0 > –11
G3.7
En person som äger
a) 2000 kr
b) –6000 kr (som betyder en skuld
på 6000 kr)
c) –23000 kr, vill komma på grön
kvist genom att äga ett sparkapital på
17000 kr. Hur mycket måste han
spara för att uppnå detta mål?
G3.8
I en kejsarkalender från romarriket
kan man se några kejsares regeringstider angivna på följande sätt:
Augustus
27 f Kr – 14 e Kr
Marcus Aurelius 161 e Kr –180 e Kr
Skriv det matematiska uttrycket för
längden av dessa kejsares regeringstider som en subtraktion av två tal
samt beräkna regeringstiderna.
G3.9
Antag att du köper en CD–skiva för 60 kr och säljer den för 70
kr. Du ångrar dig och köper tillbaks den för 80 kr men säljer
den senare igen för 90 kr. Hur stor vinst eller förlust har du
gjort?
V3.10 En fordran på 600 kr kan skrivas +600 kr. En skuld på 400 kr
kan skrivas –400 kr. Använd detta skrivsätt för att teckna
a) en skuld på 300 kr som ökar med en skuld på 500 kr.
b) en skuld på 700 kr som delvis återbetalas med 500 kr.
c) en skuld på 200 kr som trefaldigas.
Aritmetik - 19
V3.11 När en frys skall avfrostas stiger temperaturen från –19°C till
–15°C på en kvart.
a) Vilken temperatur har frysen efter ytterligare 30 min om
temperaturen fortsätter att stiga i samma takt?
b) Hur lång tid efter det att avfrostningen påbörjades, har
frysen fått rumstemperaturen 21°C?
V3.12 En bil färdas med konstant fart 20m/s men något senare har
farten
a) minskat med 12 m/s, vad har hänt?
b) minskat med –5 m/s, vad har hänt?
c) minskat med 22 m/s, vad har hänt?
V3.13 Mt. Everest, the highest elevation in Asia, is 8846 m above sea
level. The Dead Sea, the lowest elevation, is 793 m below sea level.
What is the difference of these two elevations?
V3.14 A submarine was situated 250 m below sea level. If it ascends 80
m, what is its new position?
V3.15 A submarine was situated 200 m below sea level. If it descends 90
m, what is its new position?
V3.16 The Punic Wars began in 264 B.C. and ended in 146 B.C. How
long did the Punic Wars last?
V3.17 The metal mercury at room temperature is a liquid. Its melting
point is –39°C. The freezing point of alcohol is –114°C. How
much colder is the freezing point of alcohol than the melting point
of mercury?
Teori ▪ Multiplikation och division med negativa
heltal
(i )
3⋅4 betyder addition av tre fyror dvs 4 + 4 + 4 =12
(ii ) 3⋅(–4) betyder (–4) + ( –4) + ( –4) = – 4 – 4 – 4 = –12
(iii ) (–5) ⋅3 betyder 3⋅(–5)=( –5) + ( –5) + ( –5) = –15
(iv) (–5)⋅( –3)=15
Aritmetik - 20
Motivering för att (–5)⋅( –3)=15
Eftersom alla tal multiplicerade med noll blir noll och (–3) + 3 = 0,
så gäller att (–5)⋅[( –3)+3]=0. Om denna likhet förenklas får vi att
(–5)⋅( –3)+( –5)⋅3=0. Eftersom (–5)⋅3 = –15 får vi att (–5)⋅( –3) – 15 = 0.
Alltså är (–5)⋅( –3) = 15.
Division följer samma teckenregler:
16
16
−16
−16
=2
(ii )
= –2
=2
(i )
= –2
(iii )
(iv)
8
−8
8
−8
Regel: Vid multiplikation och division av två tal så är produkten respektive kvoten positiv om och endast om bägge talen har samma
tecken samt negativ om och endast om enbart ena talet är negativt.
G3.18 Beräkna
a) 9⋅(–3)
b) 8⋅(–9) c) (–8)⋅9 d) (–8)⋅( –9) e) 0/67
44
−99
( −12) ⋅ ( −6)
−48
f) 42/21 g)
h)
i)
j)
−11
−11
−24
12
15  5 3  (6 10)
−8 ⋅ 9
8 − ( −4)
k)
l)
m)

5
64
72
−3
−14 − ( −50)
n)
18
G3.19 Beräkna produkten av faktorerna
a) 7 och 9 b) 8 och –6 c) –9 och –7 d)15 och 11
e) –15 och 11 f) –11 och 19 g) 25 och 25 h)35 och 35
G3.20 Beräkna kvoten av talen
a) 96 och 3 b) 369 och –3 c) –176 och 4
d) –187 och –1 e) –2000 och 50
G3.21 Hur många dollar (USD) kan du köpa för 3024 kronor (SEK)
om 1 USD är värd 7 SEK?
V3.22 Vilken division av talen a och b, där både a och b finns i mängden
{–8, –6, –4, –2, 2, 4 }, har egenskapen att dess kvot är
a) så stor som möjlig? b) så liten som möjlig?
V3.23 Finn två tal med egenskapen att både talens produkt och deras
kvot ger samma resultat.
Aritmetik - 21
Teori ▪ Några algoritmer för heltal (endast c-kurs)
Det finns en metod med vars hjälp man kan dividera
två tal med penna och papper, den s k liggande stolen.
4378
med denna metod.
Vi visar divisionen
21
208
4378
-4 2
178
-1 6 8
10
21
4378
10
eller 4378 = 21⋅208 + 10
= 208 +
21
21
Vi har här en s k algoritm, dvs en metod som i ett ändligt antal steg anger hur man utför en beräkning eller löser ett bestämt problem. Algoritmen anger de enskilda steg som skall tas för att lösa problemet. En fördel
med en algoritmisk lösningsmetod är att problemet kan datorbehandlas.
Detta innebär att
(i)
(ii)
Talet 189 är delbart med 21 ty 189 = 9⋅21 och 21 är delbart med
7 ty 21 = 3⋅7. Alltså är 189 delbart med 7.
Naturligtvis är 11⋅189 delbart med 21 ty 189 är delbart 21.
Låt oss anta att a, b, c, m och n är heltal. Då gäller
Om a är delbart med b och b är delbart med c så är a delbart
med c
(ii) Om a är delbart med b så är a∙ m delbart med b
(iii) Om a och b var för sig är delbara med c så är även am + bn
delbart med c
(i)
Bevis för (i ) Om a är delbart med b så finns ett tal k 1 så att a = bk 1 där
k 1 är ett heltal (=kvoten) Om b är delbart med c så finns ett tal k 2 så att
b= ck 2 , där k 2 också är ett heltal. Alltså gäller a = bk 1 = (ck 2 )k 1 = c(k 2 k 1 )
Detta innebär att a är delbart med c eftersom (k 2 k 1 ) är ett heltal.
G3.24 Varför är 12a + 15b delbart med 3 för alla värden på a och b?
G3.25 Varför är 63a – 56b delbart med 7 för alla värden på a och b?
G3.26 Visa att om a är delbart med b så är även a2 delbart med b2.
V3.27
Försök att bevisa satsen (iii) ovan.
V3.28
Använd någon av satserna (i) – (iii) för att visa om a både a
och b är delbara med c så är även a2 + b2 delbart med c.
Aritmetik - 22
Teori ▪ Största gemensamma faktor (SGF) (endast c )
Heltalet 12 är delbart med 6 och heltalet 18 är delbart med 6. Det positiva
heltalet 6 är största gemensamma faktor eftersom det inte finns något större
heltal än 6 som både 12 och 18 är delbara med.
Detta skrivs 6 = SGF(12,18)
För talen 12 och 35 är största gemensamma faktor 1 eller med våra
symboler SGF(35,12) = 1. Man säger då att 12 och 35 är relativt
prima .
Definition: Antag att n och m är två heltal som inte båda är noll. Ett
positivt heltal a är största gemensamma faktor om både n
och m är delbara med a och det inte finns något större
positivt heltal än a som både n och m är delbara med.
Modell ▪ Euklides algoritm för SGF(n, m) (endast c)
Exempel med algoritmlösning: Visa att SGF(693, 728) = 7
728 = 1⋅693 + 35
693 = 19⋅35 +
35 =
28
1⋅28 +
28 =
7
4⋅7
V3.29 Bestäm kvot och rest då 712 delas med 29.
V3.30 a) BeräknaSGF (12,24) b) SGF (13,19)
c) SGF(p, n) om n är ett naturligt tal och p ett primtal.
d) SGF (259, 222)
e) SGF (729, 611)
Aritmetik - 23
4 Rationella tal, 
Teori ▪ Tal i bråkform
Du har säkert ofta sett tal skrivna som
respektive blandad form.
3
2
och 1 , så kallad bråkform
4
3
Täljare
↓
2
Tal i bråkform kan skrivas med rakt eller snett bråkstreck. = 2/3
3
↑
Nämnare
a
(bråkform) där a och b är hela tal
b
kallas rationella tal. (Observera att även hela tal och decimaltal med änd-
Alla tal som kan skrivas på formen
ligt många decimaler kan skrivas i bråkform. (Talet 8 kan skrivas som
och –0,34 kan skrivas som
− 34
)
100
8
1
Om vi använder en tallinje där varje enhet delas i 8 delar så kan vi låta 7
7
av dessa delar representera talet
8
Det blandade talet 2
representeras som:
2
3
Aritmetik - 24
Förkortning och förlängning av bråk.
I varje bråk kan man multiplicera både täljare och nämnare med samma
1
tal, så kallad förlängning, utan att bråkets värde förändras. är alltså
3
1 5 5
lika med
=
3  5 15
Ett bråks värde förändras inte heller om man dividerar både täljare och
nämnare med samma tal, så kallad förkortning. 5/15 representerar alltså
5/5
1
1
=
samma tal som ty
3
3
15 / 5
Modell ▪ Beräkning av andelar
Exempel
Stefan, Ali och Jonna har köpt en lott tillsammans. Lottpriset är 200 kr.
Stefan har betalt 50 kr, Ali 80 kr och Jonna resten. De vinner 25000 kr.
Hur skall de dela vinsten?
Lösning
50
• Stefan har betalt 50 kr som motsvarar
av lottpriset. Alis andel
200
70
80
(80 kr) motsvarar
och Jonnas andel på motsvarande sätt
.
200
200
50
50 /50 1
Stefans andel =
är
Vi tänker oss vinsten delad i 4
=
200 200 /50 4
lika stora delar. Stefan skall alltså ha en av dessa. Hans andel är alltså
25000
kr = 6250 kr.
4
Aritmetik - 25
80
80 / 40 2
• Alis andel =
är
. Av 5 lika delar bör Ali ha 2. En del
=
200 200 / 40 5
25000
är
kr = 5000 kr. Ali skall alltså ha 2⋅5000 kr = 10000 kr.
5
70
70 /10
7
Om vinsten delas i 20 delar ska
• Jonnas andel =
är
=
200 200 /10 20
25000
Jonna ha 7 av dessa. En del är
kr = 1250 kr. Jonnas del av
20
vinsten blir då 7⋅1250 kr = 8750 kr.
• Vi adderar delarna som kontroll: Summan blir 6250 kr + 10000 kr+
+8750 kr = 25000 kr.
Modell ▪ Addition och subtraktion av bråktal med
lika nämnare
8
7
Om vi vill beräkna 1  2 så blir additionen med linjernas (nedan)
9
9
8  7 15 6
6
hjälp 3 hela plus
 = 1 dvs totalt 4
9
9
9
9
3 1
 så blir subtraktionen med linjers hjälp 3
7 7
2
sjundedelar minus 1 sjundedel = 2 sjundedelar ( )
7
Om vi vill beräkna
Aritmetik - 26
G4.1
Ronny och Lisa beställer var sin likadan pizza. Ronny äter upp
3
3
av sin pizza medan Lisa äter upp . Vem har ätit mest?
5
7
G4.2
Beräkna
5 4
7 9
4 1
1 2 3 4 5 6
a) –
b) −
c) − + d) – + – + – +
7 7 7 7 7 7
11 11
5 5
5 5
7 1 2
e) – – –
3 3 3
G4.3
Förläng följande bråk med angivet tal a)
med 2
G4.4
3
11
med 3, b)
7
23
Förkorta följande bråk med angivet tal a)
b)
11
med 11
33
12
12
63
med 3 c)
med 4 d)
med – 4
16
20
69
G4.5
Förkorta bråket
10
så att nämnaren blir 3.
15
G4.6
Förläng bråket
7
så att nämnaren blir 27.
9
G4.7
Skriv följande bråk i enklaste form
16
18
72
a)
b)
c)
42
27
96
G4.8
Skriv bråket
G4.9
2
Vilka av följande tal är lika med − ?
5
10
−6
6
−2
a)
b)
c) −
d)
− 25
15
30
−5
3162
i så enkel form som är möjlig. Du får veta
3534
att 3162 =2⋅3⋅17⋅31 och 3534 = 2⋅3⋅19⋅31.
Aritmetik - 27
e) –
10
25
f) –0,4
Modell ▪ Addition och subtraktion med olika
nämnare
5
1
+
så kan vi addera linjer som bägge är
7
4
5
indelade i tjugoåttondelar.
representeras av 20 sådana segment,
7
5 20
1
. Vidare representeras
av 7 sådana segment
eftersom

7 28
4
5
1 20
1
7
7
27
. Alltså blir
+ =
Det kallas att
eftersom 


7
4 28 28 28
4 28
göra bråken liknämniga.
Om vi vill beräkna
Man kallar talet 28 minsta gemensamma nämnare (mgn) till 7 och 4.
Talet 28 är mgn, eftersom det finns ett tal som det första bråket kan förlängas med (nämligen talet 4) och ett tal (nämligen 7) som det andra
bråket kan förlängas med, så att de båda bråken får samma nämnare.
Dessutom är denna nämnare så liten som möjligt.
1 1
Beräkna − . Minsta gemensamma nämnare är 15.
3 5
1 1
5
3
2
– =
–
=
3 5 15 15 15
Aritmetik - 28
G4.10 Beräkna följande uttryck
1 3
2 1
2 1
1 2
+
b) +
c) −
d) −
e)
4 8
3 4
7 5
5 7
1 3
5 1
5 1
5 2
f) +
g) +
h) –
i) –
j)
8 4
9 6
6 3
9 4
4
1
1 2
7 1 1
1 1
k)
–
l) +
m) – + n) – +
9 4
14 7
6 15
8 4 2
2 1 1
1 3 2
1 2 3 4
o)
+ –
p) + +
q) – + –
15 30 10
2 5 3
2 3 4 5
2
2
1 1
5
1
r)1+
s) + 2 t)
–3+
u) –
–2
3
7
5
3
7 14
a)
1 2
−
5 9
7
2
–
9
6
Modell ▪ Addition och subtraktion av tal skrivna i
blandad form
1
sägs vara skrivit i blandad form. Det utläses ”tre och en
3
tredjedel”.
Talet 3
Exempel
1
1
Beräkna 3 – 4 .
3
2
Lösning
Vi skriver om bråken med enbart täljare och nämnare.
1
1
9
9 1 10
Observera att 3 = och därmed är 3 = 3 + = + =
och
3
3 3 3
3
3
1
1
8 1 9
= + = .
4 =4+
2
2
2 2 2
7
1
1 10 9 20 27
1
Vi får alltså 3 – 4 =
– =
–
= – = −1 .
3
2 3 2 6
6
6
6
Metod: (1) Räkna om de blandade formerna till bråkformer.
(2) Leta upp en gemensam nämnare till bråken.
(3) Talen adderas eller subtraheras.
Aritmetik - 29
G4.11 Förenkla följande additioner och subtraktioner och skriv svar i
bråkform
1
4
a) 1 + 3
6
6
1
5
e) 5 – 2
4
8
2
1
i) 4 – 4
3
6
2
1
3
1
b) 5 – 2
c) 5 – 2
5
8
5
4
1
1
1
2
f) 5 – 2
g) 5 – 3
8
6
3
4
1
3
1
j) 7 – 6
k) 3 − 2
8
5
4
2
1
d) 7 –3
6
3
2
3
h) 4 + 3
4
3
1
3
av sin lön till mat och
till hyra. Hur stor
8
4
del av lönen har han kvar efter detta?
G4.12 Kent använder
G4.13 Lotta läser sina läxor i engelska
matematik
1
av läxläsningstiden och
5
1
av tiden. Hur mycket tid blir över för övriga
4
läxor?
Modell ▪ Multiplikation av bråk
Låt oss rita en rektangel som delas i 10 lika stora kolumner och 10 lika
långa rader.
3
2
motsvaras då av en kolumn, den röda nedan, och
motsvaras av
10
10
två rader, de blåa nedan. 1 tiondel av de två tiondelarna bör då vara det
3 2
6
purpurfärgade 6 rutor av 100 stycken. Alltså är
⋅
=
.
10 10 100
2
7
Exempel Beräkna av .
8
7
7⋅2
2
1
2
7
7 2
Lösning
av
= ⋅ =
= = (Eftersom både täljare och
8
7
8 7
4
8⋅7
8
nämnare innehåller faktorn 7 så kan du dividera både täljare och nämnare
med 7, förkorta därefter täljare och nämnare med 2.)
Aritmetik - 30
Aritmetik-31 Multiplikation med bråk
Modell ▪ Division av bråk
3
3 2
Exempel 1 och lösning Beräkna 4 eller, vilket är samma sak,
2
4 5
5
Vi använder knepet att multiplicera både täljare och nämnare med talet
3 5
3
3 5
⋅
⋅
3 5 15
5
. Alltså får vi 4 = 4 2 = 4 2 = ⋅ =
2
2 5
2
4 2
8
1
⋅
5
5 2
Vi förlängde alltså bråket med ett bråk vars täljare och nämnare bytt
plats. Detta bråk kallas nämnarens inverterade värde.
Aritmetik - 31
5 3
.
7 14
5 14 5 ⋅ 14
5 3
5 ⋅ 2 10
5 ⋅ 14 / 7
Lösning
= ⋅
=
=
=
=
7 3
7⋅3
7 14
3 ⋅1
3⋅7/7
3
2
5
Exempel 3 Beräkna 1 ⋅ (−2 ) .
7
3
32
4
4 ⋅8
2
12 ⋅ 8
12
8
5
Lösning 1 ⋅ (−2 ) =
= −
=−
= −4
⋅ (− ) = −
7
7
3
7 ⋅1
7
3
7
7⋅3
• Observera att multiplikation av ett positivt tal med ett negativt ger en
negativ produkt.
• Observera att vid multiplikation (och även division) måste tal skrivna
i blandad form omvandlas till bråkform, innan dessa kan skrivas på
gemensamt bråkstreck.
• Våra tidigare regler för addition och subtraktion samt
Exempel 2 Beräkna
multiplikation och division med negativa hela tal gäller även för
negativa rationella tal och negativa reella tal.
3
Exempel 4 Beräkna 7
6
3
3 1
Lösning 7 = ⋅ , eftersom det inverterade värdet till 6 är en sjättedel.
6 7 6
Förkortning av täljare och
nämnare med talet 3.
3
3 ⋅1
3 / 3 ⋅1
1⋅1
1
Alltså blir 7 =
=
=
=
.
6 7 ⋅ 6 7 ⋅ 6 / 3 7 ⋅ 2 14
2
1
7
11
3
2 23 23 23 3 3
1
Lösning: 2
= ⋅ =
7 =
11
3 11 3 11 23 11
Exempel 5: Beräkna 2
Vad är 2/3 av det hela?
Exempel En lantbrukare arrenderar 15 hektar mark. Av detta är 1/3
åkermark. Hur många hektar åkermark arrenderar han?
Lösning 1/3 av marken ger följande uttryck och beräkningar
1
1 ⋅15
⋅15 =
= 5 Svar: 5 hektar åkermark
3
3
Aritmetik - 32
G4.18 Beräkna
a) en femtedel av 20 kg b) två femtedelar av 20 kg
c) 1/4 av 24
d) 3/4 av 24 e) 5/6 av 180 m
G4.19 Vilket är största talet: 8/15 av 30 eller 1/2 av 30?
G4.20 En maratonlöpare bröt efter att ha sprungit 3/4 av loppet. Hur
långt sprang han om loppet är nästan precis 42 200 m?
G4.21 Beräkna och skriv svaren i bråkform
3 1
3
7
a)
⋅ (–
) b) 1 ⋅
7
29
5 5
4
c) 5
1
1
5
4
2
2 1
f) 3
g) 2 ⋅ 2
1
3 2
1
3
7
3
3
7 3 7
i) + (– ) j) ⋅ (– )+ ⋅
7
7
3 7 6
28
4
1
d) 2 ⋅ 7
7
3
e) 4
3
1
8
2
1
h) 4
1
1
8
2 10 9
k) ⋅ ⋅
5 3 4
4
V4.22 Matilda, Maria och Elisabeth skall dela på en lotterivinst.
3
1
av vinsten och Maria .
5
6
a) Hur stor del av vinsten får Elisabeth i så fall?
b) Hur mycket får Maria om vinsten är 6600 kr?
Matilda vill ha
V4.23 Det gula korset i den svenska flaggan upptar 1/8 av flaggans
längd och 1/5 av dess bredd. Hur stor del av flaggan är gul?
V4.24 En skogsfastighet
utgörs till 3/5 av
barrskog, 1/4 av
lövskog och resten hagmark. Hur
stor del av fastigheten utgörs av
hagmark?
Aritmetik - 33
M atematiken i historien
Egyptisk matematik
År 1858 upptäckte den skotske forskaren A H Rhind en papyrusrulle med
åttiofem matematiska problem, som kom att kallas Rhindpapyrusen. Denna
rulle är den huvudsakliga källan till vår kunskap om egyptisk matematik.
Egyptierna hade en fascinerande metod att utföra divisioner och att skriva svaret med så kallade stambråk plus ett eventuellt heltal. Ett stambråk
1
.
är ett bråk som har täljaren 1, t ex
7
Vi skall här inte visa egypternas metod utan en liknande som kallas
Sylvesters algoritm efter 1800–talsmatematikern J.J.Sylvester.
Exempel
3
19
19
. Vi ser snabbt att
= 2+
8
8
8
3 1
Vi letar nu upp det minsta positiva heltal m sådant att –
är ett
8 m
positivt tal. Detta är talet 3 (ty 8/3≈2,7).
3 ⋅ 3 − 1⋅ 8
1
3 1
3 1
Beräkna nu – . Vi får – =
=
.
8 3
8 3
24
8⋅3
Låt oss utföra divisionen
19
1 1
3 1 1
= +
och därmed
=2+ +
. Vi har alltså skrivit
8 3 24
8
3 24
divisionen som ett heltal plus ett antal stambråk.
Alltså är
V4.25 Förenkla divisionerna nedan med Sylvesters algoritm
a)
83
41
b)
13
42
Aritmetik - 34
Teori ▪ Positionssystem
Det talsystem som vi använder i vår vardag är ett positionssystem som
bygger på basen tio, eftersom det grundar sig på tio olika siffror: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Positionssystem betyder att siffrans läge eller position
är avgörande för hur siffran skall tolkas.
Talet 2347,569 betyder alltså 2⋅1000 + 3⋅100 + 4⋅10 + 7⋅1 + 5/10 +
6/100 + 9/1000
Decimaltal
decimaltecken
|
2347,569
tusental
hundratal
tusendel
hundradel
tiotal
ental
tiondel
Basen tio har inte alltid använts för att skriva tal. Under den sumeriska
högkulturen 3000 – 2000 f Kr runt Eufrat och Tigris, i nuvarande Irak,
räknade man med basen 60. Detta sätt att skriva tal lever kvar än idag i
vårt sätt att räkna tid. Tidsräkningen 1 h = 60 min och 1 min = 60 s
härstammar från den tiden.
Modell ▪ Decimalutvecklingar, avrundningar till
närmevärden och värdesiffror
Exempel Skriv decimalutvecklingen till talen 1/8 och 2/3. Avrunda
dessutom decimalutvecklingen till tre decimaler.
Lösning 1/8 = 0,125, som har en ändlig decimalutveckling.
2/3 = 0,666666…, som har en oändlig decimalutveckling
0,125 innehåller redan bara tre decimaler.
0,666666…≈ 0,667. Tecknet ≈ utläses ”är ungefär lika med” eller ”är
approximativt lika med”. Vi säger även att 2/3 har närmevärdet 0,667.
Aritmetik - 35
Regel: Om siffran efter avrundningssiffran (i vårt fall den fjärde ”svärtade och understrukna” decimalen) är 0, 1, 2, 3 eller 4, så gör vi
ingenting. Om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller
9, höjs avrundningssiffran ett steg.
Värdesiffror
Vid mätningar i vardagliga och vetenskapliga sammanhang får vi aldrig
exakta värden på de uppmätta storheterna. Alla mätvärden har fel som
bland annat beror på vilken mätmetod och vilket mätinstrument som
använts. Bilderna nedan visar mätning av längden av en liten bräda (gul)
med två olika mätlinjaler. I (a) har vi en linjal graderad i decimeter
(egentligen 10 cm, 20 cm, 30 cm etc). Nu kan vi ange längden till
0,34 m eftersom vi uppskattar den del som överstiger 0,3 m till 4 cm
d v s 0,04 m. Längden är nu given med två gällande siffror varav den
andra är osäker. I (b) kan vi ange brädans längd med tre gällande siffror,
0,337 m. Här är tredje gällande siffran 7 osäker.
(a)
0
10
20
30
10
20
30
(b)
0
Aritmetik - 36
Exempel 1
Antag att man mätt en sträcka och angivit mätetalet till 786 mm. (Naturligtvis kunde även mätetalet ha skrivits 0,786 m.) Hur många värdesiffror har måttangivelsen eller närmevärdet?
Lösning
Det verkar utifrån 786 mm rimligt att säga att mätetalet är angivit med
tre värdesiffror. Eftersom angivelsen 0,786 m inte är noggrannare utförd, så har naturligtvis även detta tal tre värdesiffror. Vi skall alltså inte
räkna nollor som står först i ett mätetal.
Svar: 3 värdesiffror
Exempel 2
Ange antalet gällande siffror i
a) 0,0056 b) 13,00 c) 120,06
d) 320
e) 30000
Lösning
a) två gällande siffror (Nollor i början av ett tal är inte gällande.)
b) fyra gällande siffror (Nollorna i slutet av en decimalföljd är gällande
eftersom de har uppkommit genom korrekt avrundning, så är t ex
13,004 ≈ 13,00.)
c) fem gällande siffror
d) två eller tre gällande siffror (Nollor i slutet kan ha uppkommit genom
korrekt avrundning, t ex 320,3 ≈ 320.) I detta fall har vi tre gällande
siffror. Om siffran 2 är avrundningssiffra, t ex 324 ≈ 320, så har vi
endast två gällande siffror.)
e) en, två, tre, fyra eller fem gällande siffror (Nollor i slutet kan ha
uppkommit genom korrekt avrundning, t ex 30000,3 ≈ 30000,
varvid vi får fem gällande siffror.) Det kan t o m vara så att vi har
utfört avrundningen 30004 ≈ 30000 varvid vi får fyra gällande
siffror. Man kan även ge exempel som visar en, två eller tre gällande
siffror. Vi återkommer till detta.
Aritmetik - 37
Modell ▪ Multiplikation (division) av närmevärden
Exempel 1 och lösning
Antag att du mätt upp ett rektangulärt rum med en meterstock. Du har
fått måttet på de två sidorna till 5,3 m och 3,9 m. Naturligtvis har vi en
viss osäkerhet i decimalerna som anger antalet centimeter. Varför? Låt
oss därför anta att sidorna håller sig inom intervallen:
5,25 < (den ena sidan) < 5,35 och 3,85 < (den andra sidan) < 3,95.
Arean blir då som störst 5,35⋅3,95 m2 = 21,1325 m2 och som minst
5,25⋅3,85 m2 = 20,2125 m2. Vilket värde på arean bör vi använda? Vi
bör använda närmevärdet 20 m2 eller 21 m2 utan decimaler eftersom det
redan i entalssiffran kan finnas en viss osäkerhet. (Skall talet 0 eller 1
användas?) Eftersom 5,3⋅3,9 m2 =21 m2 så använder vi detta som närmevärdet på arean. Vi ser att svaret har lika många värdesiffror som sidoangivelserna.
Tumregel: Vid multiplikation och division av närmevärden skall resultatet innehålla lika många värdesiffror, som det finns i det
minst noggranna utgångsvärdet.
Många gånger kan det vara lämpligt med en överslagsberäkning för att
kontrollera att resultatet är rimligt. Om talet 5,3 m sänks till 5 m och talet
3,9 höjs till 4 m så blir produkten 20 m2. Ett hyggligt värde på arean.
En kedja är inte starkare än sin svagaste länk. Länken 2,1 bestämmer kedjans
styrka. Resultatets noggrannhet är inte bättre än det tal som har minst antal
värdesiffror. Talet 2,1 bestämmer noggrannheten vid multiplikation av de fyra
faktorerna A, B, C och D.
Aritmetik - 38
Exempel 2
Sveriges totala area är 450 000 km2 och dess invånarantal är 9,4 miljoner. Ange antalet invånare som bor per km2 i landet.
Lösning
Arean är avrundad till tre värdesiffror medan invånarantalet är angivet
med två värdesiffror. Alltså bör svaret anges med två värdesiffror.
Svar: 9,4 miljoner invånare / 450 000 km2 = 21 invånare/ km2.
Låt oss även göra en överslagsberäkning. Vid en division bör vi öka (eller
minska) både täljare och nämnare för få ett så hyggligt närmevärde som
möjligt. Närmevärdet i exempel 2 blir alltså 9 miljoner/500 000 km2 = 18
invånare/ km2
Exempel 3
Låt oss ge ett exempel där man inte fått noggrannheten genom avrundningsregler. Bestäm densiteten för ett ämne vars vikt är (33,3 ± 0,5) kg
och vars volym är (4,54 ± 0,03) dm3. Talen 33,3 och 4,54 är närmevärden (=ungefärliga värden) på vikten. Närmevärden som avlästs på
vågen. Talen 0,5 och 0,03 är uppskattningar av det maximala felet vid
avläsningarna.
Lösning
Noggrannheten har här bestämts genom mätningen. Man säger att
mätningen definierat noggrannheten. Exemplet gäller en beräkning av
densiteten av ett ämne där vikten är (33,3±0,5) kg och volymen är
(4,54±0,03) dm3. Detta innebär att den korrekta vikten ligger mellan
32,8 och 33,8 kg samt att den korrekta volymen ligger mellan 4,51 och
4,57 dm3.
33,8
32,8
Densiteten kan vara högst
= 7,49 kg/dm3 och minst
= 7,18
4,51
4,57
33,3
kg/dm3. Eftersom
= 7,33 skulle man kunna ange lösningen
4,54
7,33±0,16 kg/dm3. Oftast nöjer man sig med en värdesiffra i felet. En
värdesiffra på talet 0,16 ger felet 0,2. Ett rimligt svar med felangivelse
blir då (7,3±0,2) kg/dm3
Aritmetik - 39
Modell ▪ Pricka in på tallinje
Exempel
Markera talen (a) 0,2 (b) 0,75 (c) 1,1 (d ) –0,15 (e) 2/5 (f ) –0,6 på
tallinjen nedan.
Lösning
f
d
|
–0,5
a
e
0
b
|
0,5
c
1
1,5
Markera talen (a) 0,2 (b) 0,16 (c) 0,07 (d) 1/8 på tallinjen nedan.
c
d
|
0
b
0,1
a
0,2
G4.26 Skriv följande tal i decimalform utan att använda räknare.
a)
51
6
b)
38
25
c)
31
8
G4.27 Skriv följande tal som närmevärden avrundade till två
decimaler. Hur många värdesiffror har de olika talen?
37
12
17
18
3070
a)
b)
c)
d)
e)
51
7
31
37
87
G4.28 Skriv följande tal med ord a) 34 567 b) 120 973
c) 1,2345
d)
13
21
e)
21
22
f) 2
19
32
G4.29 Avrunda följande tal till närmevärden med två värdesiffror.
a) 4,747
b) 17,0923
c) 2,998
d) 179 e) 0,008745
G4.30 Talet 834671 innehåller siffrorna 1, 3, 4, 6, 7 och 8. Det finns
många fler tal som innehåller dessa sex siffror. Vilket av dessa
tal ligger närmast 400 000?
Aritmetik - 40
G4.31 Pricka in följande tal på en tallinje.
a) 0,4 b) 0,75 c) –0,15 d)1,05
G4.32 Räkna upp följande tal i storleksordning. Börja med det
minsta. (a) 1,01 (b) 1,003 (c) 1,1001 (d) 1,1 (e) 1,02
G4.33 Vid vilken av följande beräkningar får du, utan hjälp av
räknare, det största respektive minsta talet?
200
200
a) 0,97⋅200 b)
c)
d) 200⋅0,93
0,97
0,93
G4.34 Ange ett tal i decimalform och ett tal i bråkform som båda
ligger mellan 1/4 och 1/3.
G4.35 Beräkna utan räknare.
a) 18⋅0,5 b) 120⋅0,1 c) 1200⋅0,01 d) 0,1⋅0,01⋅12000
2
5
0,8
0,25
15, 4
e)
f)
g)
h)
i) –
0,2
0,01
0, 4
0,05
11
( −0,8)( −5)
j) (–0,5)(–0,9) k)
−4
G4.36 Hur många papper är det i en 4,8 cm tjock bunt, om varje
papper är 0,006 cm tjockt?
G4.37 Du vill sätta ett kantband runt en rektangulär duk vars sidor är
(1,20±0,03) m och (3,17±0,04) m. Ange med feluppskattning
hur mycket kantband som går åt.
G4.38 Skriv följande tider i decimala tal
a) 5 h 24 min 30 s b) 1 h 4 min 3 s c) 54 min 25 s.
G4.39 Skriv följande decimala tal i timmar, minuter och sekunder
a) 3,5 h
b) 2,55 h
c) 1,247 h
G4.40 Utför följande operationer med överslagsberäkning. Kontrollera
sedan rimligheten i dina svar med en räknare.
a) (2,0+6,7)⋅5,76
b) 7,3⋅(1,5–0,78)–2,2
c) 24,2–6,28⋅(7,8–3,95)
Aritmetik - 41
G4.41 Vilket av talen i följande talpar är störst? Använd inte räknare.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
0,333333 och 1/3
350⋅1,01 och 350
470 och 470/1,01
300/0,98 och 300
1/6 och 1/7
3/5 och 0,7
g) 1,20 och 1
2
5
5
6
h) 1 och 1
6
7
V4.42 Summan av 7 och 2,5 multipliceras med differensen av 7 och
4,5. Vad blir resultatet?
V4.43 En kvot med nämnaren 8 och täljaren 5 subtraheras från en
produkt med faktorerna 2,1 och 1,2. Vad blir resultatet?
V4.44 I ett tresiffrigt tal är hundratalssiffran 6. De två andra siffrorna i
talet är lika. Vilket är talet om siffersumman (summan av talets
siffror) är 20?
V4.45 Ett tresiffrigt tal är jämnt delbart med tre. De två första siffrorna i talet är 71. Vilken är den sista siffran?
V4.46 Priset för en enkelresa över Öresundsbron (2002) med person-
bil är 275 kr, men om du har ÖresundsBonus är priset efter
fjärde resan 150 kr. Efter 24:e resan är det endast 100 kr. Detta
gäller för varje sexmånadersperiod oavsett hur många som befinner sig i bilen. Familjen Spara åker över bron varje vecka för
att handla och gå på Tivoli. Vad blir kostnaden per person om
familjen består av fem personer?
V4.47 En skivaffär har följande skyltar ”Köp en CD för 84 kr och få
en gratis, eller Köp 2 för 400 kr och få 7 gratis.” Vilket är
förmånligast?
V4.48 Antag att man vill ta reda på farten för en projektil som rör sig
sträckan (524,0±0,5) m på tiden (9,80±0,05) s. Beräkna först
farten med överslagsberäkning. Ange därefter farten med feluppskattning.
V4.49 Antag att vi bestämt ett bords bredd och längd till 2,17±0,02 m
och 0,95±0,02 m. Beräkna först arean med överslagsberäkning.
Ange därefter arean med feluppskattning.
Aritmetik - 42
M atematiken i historien
Mayafolket levde på Yucatánhalvön fram till spanjorernas erövring av
detta område på 1500–talet. Astroarkeologer i våra dagar har förstått vilka
skickliga astronomer Mayafolket hade. De observerade speciellt solens,
jordens, månens och Venus tidscykler, t ex tiden det tog för dessa himlakroppar att röra sig ett varv kring solen eller jorden.
Mayafolket hade även skickliga matematiker som uppfann nollan
oberoende av indierna. De var däremot obekanta med tals delbarhet. De
använde sig enbart av de naturliga talen. De försökte istället beskriva
olika förlopp med hjälp av kommensurabilitet. En enkel form av kommensurabilitet är att 365 dagar går jämnt upp i ett kalenderår.
Mayakulturen och egyptierna var de enda tidiga kulturerna som
baserade sin almanacka på 365 dagar. Kineser och babylonier använde i
stället en kalender som grundade sig på månens faser. Detta innebar att
cykeln ständigt kom i otakt med det tropiska året, dvs den tid det tar för
jorden att gå ett varv kring solen. Mayafolket visste att det tropiska året
är något längre än 365 dagar, men de brydde sig aldrig om att inskjuta
skottdagar, som vi gör i våra dagar. Om vi i våra dagar inte sköt in skottdagar, så skulle julafton infalla mitt i sommaren om 750 år.
Figuren visar jordens rörelse kring
solen, därmed inte sagt att Mayafolket visste detta. Vi antar att
jorden startar från punkten J 1 vid
tiden t=0. Jorden har 365 dagar
senare, vid J 2 , inte fullbordat ett
varv kring solen. Beräkningen i
nästa V–uppgift ger tiden för jorden att återkomma till punkten J 1
igen. Denna tid kallas det tropiska
året.
Aritmetik - 43
V4.50 Mayafolket kände till att 1508 kalenderår med 365 dagar går
jämnt upp med 1507 tropiska år. Beräkna med ledning av detta
längden av ett tropiskt år med 6 värdesiffror.
Mayafolket hade även en annan kalender på 260 dagar som de kallade
tzolkin, det heliga varvet. 260 dagar är det antal dagar man kan se Venus
som antingen morgonstjärna eller aftonstjärna. Den totala cykeln från
morgonstjärna till morgonstjärna är 584 dagar, eftersom Venus inte syns
under ett antal dagar.
V4.51 Visa att Venus på 8 kalenderår gör 5 varv på stjärnhimlen.
Detta betyder att Venus vart 8:e år vid ett visst datum befinner
sig Venus på samma plats på stjärnhimlen. Hur många dagar
omfattar alltså denna cykel?
Genom att kombinera olika cykler
kom Mayafolket fram till en cykel
på hela 5126 år. Denna cykels slut
inträffar år 2012. Det var farliga tider när en cykel gick mot sitt slut,
då hotade alltid gudarna med undergång och människornas uppgift var
att be och att blidka gudarna med
människooffer. Ju längre än cykel
var, desto sannolikare var undergång. Om vi hade levat i den gamla
Mayakulturen så hade den enda
möjligheten att hindra jordens
undergång varit att blidka gudarna
genom att offra mängder av våra
bästa söner och döttrar.
Kvinna som bär ett barn – en scen från
Mayafolkets dagliga liv. Emaljerad koppar.
Foto:Lopez Rodezno
Aritmetik - 44
E nglish maths lesson
(endast c-kurs)
If the decimal is a repeating decimal instead of a terminating one, we can
convert it to a fraction. Let's try to figure out the fractional equivalent of
0,5757575757...
Let Q be this fraction. We see that the repeating group has length 2.
This tells us to multiply Q by 100. This happens when we do this:
Q = 0,5757575757...
100 Q = 57,5757575757....
Now we can subtract the first equation from the second:
99 Q = 57,0000000000... = 57
Now it is easy to find Q. Remember to reduce it to lowest factors when
you have it in the form of a fraction:
Q = 57/99 = 19/33.
Sure enough, we find that 19/33 = 0,5757575757... .
As another example, let’s convert Q = 1,3481481481481... to a fraction.
Since the repeating group has length 3, we should multiply Q by 1000.
Q = 1,3481481481481...
1000 Q = 1348,1481481481481...
999 Q = 1346,8000000000000...
Q = 1346,8/999
Q = 13468/9990 = 6734/4995 = 182/135
V4.52 Convert the following fractions to decimal numbers. If the
decimal is a repeating decimal instead of a terminating one,
write the repeating group.
a) 4/11 b) 4/27 c) 1/8 d) 17/33
V4.53 Convert the following decimal numbers to fractions
a) 0,174174174…
b) 0,925925925… c) 0,878787…
Aritmetik - 45
5 Reella tal, 
Teori ▪ Irrationella tal
Du kommer under dina studier framöver att få nytta av tal som inte är
rationella, som inte kan skrivas i bråkform, så kallade irrationella tal.
Om en cirkels diameter är 10 cm, så är dess omkrets drygt tre gånger
större. Med matematisk noggrannhet är den π gånger större. Talet π kan
inte skrivas i bråkform och de första siffrorna i den oändliga decimalutvecklingen är 3,14.
I en kvadrat med sidlängden 1 så är diagonalens längd 2 (utläses: kvadratroten ur 2) som är det tal som gånger sig självt är 2. Även detta tal är
irrationellt.
2 =1,41421 35623 73095 04880 16887 24209...
I Pythagoras undervisning (500 f Kr) skulle alla företeelser kunna uttryckas med hela tal, och den minsta viskning om att detta inte lät sig
göras med kvadratens diagonal betraktades som förräderi inom det
Aritmetik - 46
pythagoreiska sällskapet.
Det första beviset för att
det är omöjligt att med
bråk uttrycka förhållandet
mellan diagonalen i en
kvadrat och kvadratens
sida presenterades ca 400
f Kr. Det ledde också
mycket riktigt till kris och
kaos hos dåtidens filosofer
och matematiker . Efter
några oroliga år kunde
Euklides i sin Elementa
(325 f Kr) visa att 2 inte
kan skrivas som kvoten
mellan två heltal.
Detalj från målningen Skolan i Aten en fresk i rummet
"Stanza della Segnatura" i Apostoliska palatset. Fresken är
en av de mest kända målningarna av renässansmålaren
Rafael. Rafael utförde fresken mellan åren 1509 och 1511
och på den syns bland annat många kända män som
Euklides ovan.
De irrationella talen blev ett mystiskt och spännande arbetsfält, där de
flesta matematiker från Pythagoras till Weierstrass (1850) engagerade
sig. Fibonacci (1220) var den förste som använde ett särskilt tecken:
(av latinets radix, rot) för kvadratrot, medan vårt nuvarande
, förmodligen kommer från en bokstav i 1600kvadratrotstecken
talstyskan, som liknar detta tecken. Ytterligare ett exempel på ett irrationellt tal: I en rätvinklig triangel med heltalssidorna 3, 4 och 5 är två av
vinklarna irrationella gradtal. Den minsta vinkeln är 36,86989765…°.
Rationella och irrationella tal kallas med ett gemensamt namn reella
tal.
Aritmetik - 47
M atematiken i historien
Talet π I de flesta kulturer kände man till cirkeln. Man tror att hjulet
kan vara en 8000 år gammal uppfinning. Mycket tidigt upptäckte man,
att relationen mellan en cirkels omkrets och dess diameter var konstant.
Men det dröjde ända till 1700-talet innan matematikern Leonhard Euler
införde beteckningen π för denna konstant.
• Babylonierna (2000 f Kr) satte konstantens värde till 3 men även
1
närmevärdet 3 = 3,125 har hittats på lertavlor.
8
• Rhindpapyrusen (Egypten 1700 f Kr) har värdet
(16/9)2 ≈3,16.
• Första Kungaboken 7:23 (550 f Kr) om ett stort kopparkar i Salomos tempel: ”Det var cirkelrunt och mätte tio
alnar från kant till kant; det var fem alnar högt och trettio
alnar i omkrets.” Dvs π ≈ 3.
10
1
• Arkimedes (ca 250 f Kr) bestämde 3 < π < 3 genom
71
7
att ersätta cirkeln med regelbundna 96-hörningar.
• Ptolemaios (ca 150 e Kr) bestämde π till 377/120
Bilden nedan visar Ptolemaios världskarta
Aritmetik - 48
• Den kinesiske astronomen Tsu Chùng Chih visade omkring 480 e Kr
355
att π ≈
113
• För att beräkna π:s värde började man på 1600-talet att använda sig av
1 1 1 1 1
π2 =
olika serier, t ex: π = 4⋅(1– + – + – +…) eller
3 5 7 9 11
6
1
1
1 1
= 2 + 2 + 2 + 2 +…, som användes av Euler på 1700-talet.
3
4
1 2
• IBM-datorer fick under 1960-talet fram 250 000 decimaler.
• Under 1990-talet lär man ha fått fram värdet med mer än 500 miljoner
decimaler.
År 1882 konstaterades att π är ett transcendent tal. Det betyder att π
aldrig kan vara en lösning till en algebraisk ekvation. Sådana tal kallas
algebraiska tal. Dessa är antingen rationella (t ex lösningen till ekvatio2x
nen:
= 5 ) eller irrationella (t ex lösningen till ekvationen x2 = 3).
3
Oegentligt uttryckt är de transcendenta talen "fler" än de algebraiska, i
den meningen att de algebraiska talen utgör en uppräkneligt oändlig
mängd, medan det inte finns något sätt att räkna upp de transcendenta
talen. Trots att det alltså finns "oändligt mycket fler" transcendenta tal
än algebraiska tal känner man inte till särskilt många och det är mycket
svårt att bevisa att ett tal är transcendent.
V5.1
Enligt Arkimedes ligger värdet på π mellan två rationella tal.
Decimalutveckla dessa. Vilka är de första decimaler som inte är
korrekta i de två decimalutvecklingarna?
V5.2
Vilket närmevärde på π ligger närmast det korrekta värdet om
du ser på de olika närmevärden som förekommer i avsnittet
ovan?
Aritmetik - 49
Modell ▪ Beräkning av några irrationella tal
Exempel 1
Beräkna kvadratroten ur 3 (som skrivs
3
3 ) samt fjärderoten ur 3 (som skrivs
3 ), kubikroten ur 3 (som skrivs
4
3 ).
3 Vi söker alltså det tal som om man tar det gånger sig självt ger
produkten 3.
3
3 Vidare söker vi det tal det tal som taget gånger sig självt och gånger
sig självt igen ger produkten 3.
4
3 Slutligen söker vi det tal det tal som taget gånger sig självt, gånger
sig självt, gånger sig självt ger produkten 3.
Lösning
Algoritmer och tabeller användes i matematikundervisningen fram till
1950-talet, för dessa beräkningar men nu använder vi räknaren som med
tre korrekta decimaler ger:
3 = 1,732
3
3 = 1,442
4
3 = 1,316
Regler: a ⋅ a = a om a ≥ 0, 3 a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a
4
a ⋅ 4 a ⋅ 4 a ⋅ 4 a = a om a ≥ 0
Fundera på detta!
Beräkna
256
Aritmetik - 50
Modell ▪ Beräkningar av 9 ,
3
8,
4
16 …
Exempel
Beräkna a)
81
121
b)
3
27
c)
3
− 64 = −4 d)
4
16
e) 17
Lösning
81
9

a)
ty 9 ⋅ 9 = 81
b) 3 27 =3 ty 3⋅3⋅3= 27
11 11 121
121 11
c) 3 − 64 = −4 ty (-4)(-4)(-4)=-64 d) 4 16 =2 ty 2⋅2⋅2⋅2=16
e) 17 ≈ 4,123 Med räknedosan eller annat hjälpmedel får du svaret
med t ex tre decimalers noggrannhet. Kontrollera!
G5.3
Beräkna utan räknare
a) kvadratroten ur 9 b) kubikroten ur 8 c) fjärderoten ur 16
d) kubikroten ur –27 e) kvadratroten ur –81
f) kubikroten ur 64 g) kubikroten ur –1000
9
16
h) fjärderoten ur 10000 i)
j)
16
49
4
81
k) kvadratroten ur
l) kvadratroten ur
225
49
8
m) kubikroten ur
27
G5.4
Vilket värde har uttrycket
G5.5
Använd räknare för att konstatera vilka av följande påståenden
som är sanna.
3
11 3 11 3 11 ?
a) 8 < 2,83 b) 17 <4,12 c) 32 >5,66 d) 3 5 >1,7
e) 3 19 <2,7
Fundera på detta!
Varför är 5 5 < 4 5 < 3 5 < 5 ?
Aritmetik - 51
6 Potenser
Teori ▪ Potenser
34 som utläses ”3 upphöjt till 4” är ett förenklat skrivsätt för 3⋅3⋅3⋅3.
Hela uttrycket 34 kallas en potens. Talet 4 kallas exponent och 3 är
basen.
Potens 34
← exponent
↑
bas
Prioriteringsregler: Som vanligt beräknas parenteser först men därefter
beräknas potenser. Alltså är 3⋅53 =3⋅5⋅5⋅5.
Däremot är (3⋅5)3 = (3⋅5)(3⋅5)(3⋅5)=15⋅15⋅15.
1. 32⋅ 3 4 = (3⋅3) ⋅ (3⋅3⋅3⋅3)= 3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3 = 36
35
3⋅3⋅3⋅3⋅3
= 3 ⋅ 3 = 32
=
3
⋅
⋅
3
3
3
3
3. (32)4 = (3⋅3) ⋅ (3⋅3) ⋅ (3⋅3) ⋅ (3⋅3)=38
2.
4
2 2 2 2 2
2
4. ( )4 = ⋅ ⋅ ⋅ = 4
3 3 3 3 3
3
5. (3⋅5)2 = (3⋅5)⋅(3⋅5) = 32⋅52
Om m och n är positiva heltal så gäller tydligen potenslagarna:
a m⋅ a n = a m+ n
am
= am – n
n
a
( a m)n = a mn
a
am
b
bm
( ab)m = a m⋅bm
( )m =
Aritmetik - 52
•
Eftersom vi inte tidigare sett potenser med negativ exponent:
a –m så vill vi hitta en överenskommelse för detta uttryck. Den
1
enda möjliga definitionen är: a –m = m ty låt oss beräkna
a
24/27 utan några lagar:
2⋅2⋅2⋅2
1
1
24/27 =
=
= 3.
2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 2⋅2⋅2 2
Om vi önskar att lag 2 skall gälla dvs 24/27 = 24–7 = 2–3 så måste
1
= 2–3 dvs den föreslagna överenskommelsen måste gälla.
3
2
• Vi har inte heller tidigare använt uttrycket a 0 så även detta måste
definieras i överensstämmelse med potenslagarna. Eftersom vi, utan
att använda några potenslagar, klart och tydligt inser att a m/a m = 1
samtidigt som lag 2 ger a m/a m = a m–m = a 0 så är den enda möjliga
definitionen av uttrycket a 0 följande: a 0= 1.
Med våra definitioner så stämmer lagarna 1-5 även för negativa
heltalsexponenter. Låt oss ta ett godtyckligt exempel (5–2) –3.
⋅
Vi tillämpar lagarna och får 5(–2) ( –3) = 56.
56
1
1
1
⋅
=
=
= 56.
−2 3
3
1
3
1
(5 ) ( )
1
6
52
5
Alltså får vi samma resultat vilket pekar mot att lagarna även gäller för
negativa heltal.
Vi beräknar direkt och får (5–2)–3 =
1
=
Modell ▪ Potensberäkningar
Exempel 1
Beräkna (33⋅35⋅35) / 36
Lösning
(33⋅35⋅35) / 36 =33+5+5 / 36 =313/36=313-6= 37
Aritmetik - 53
Exempel 2
Beräkna (32)4 /(33)2
Lösning
(32)4 /(33)2 =38/36=32
Exempel 3
Beräkna (52⋅5-5⋅56) / 5-7
Lösning
(52⋅5-5⋅56) / 5-7=52-5+6 / 5-7 =53/5-7=53-(-7)= 53+7=510
Exempel 4
Beräkna (a-2)5/(a-7)-3
Lösning
⋅
⋅
(a-2)5/(a-7)-3 = a(-2) 5/a(-7) (-3) = a-10/a21 = a-31
Teori ▪ Vad betyder a 1/n? (kurs 1c respektive 2b)
Låt oss vara konkreta. Vad betyder 3 1/2? Vi kontrollerar vilket värde
31/2⋅ 31/2 får enligt första potenslagen. 31/2⋅ 31/2 = 31/2+1/2 = 31 = 3
31/2 är alltså det tal som gånger sig självt är 3. Talet kan alltså identifieras
med 3. 3 1/2 = 3 Med likande resonemang identifierar vi 31/3 =
41/4= 4 3 , a 1/n= n a
3
3,
Vad betyder a m/n?
Man kan även ge en betydelse åt potenser där exponenten är tal i
bråkform (=m/n) samt bevisa reglerna 1-5 för exponenter i bråkform.
Eftersom a m/n = (a1/n)m enligt tredje potenslagen, så måste am/n betyda
talet a1/n (= n a ) multiplicerat m gånger med sig självt.
Dvs a m/n betyder n
a ⋅ n a ⋅ n a
⋅ n a ⋅  ⋅ n
a
m st faktorer
Aritmetik - 54
Man kan t o m definiera a x för alla reella exponenter x och alla positiva tal a
på ett sådant sätt att ovanstående potensregler gäller oförändrade. Hur detta
görs skall inte förklaras i detta sammanhang.
I praktiken använder du räknare för mer komplicerade
potensberäkningar (med två olika typer av räknare):
3,45-2,10 = 3.45 [^] [(-)] 2.10 [=] [0.0742300752]
2,70-0,17 = 2.7 [xy] 0.17 [±] [=] [0.8446332231]
Knappen [xy] kan ibland heta [ yx].
Modell ▪ Potenser med basen tio
105 betyder 10⋅10⋅10⋅10⋅10= 100 000 (exponenten har samma värde
som antalet 10-faktorer eller antalet nollor i resultatet etthundratusen).
10-6 betyder 0,1⋅0,1⋅0,1⋅0,1⋅0,1⋅0,1= 0,000 001(exponenten har samma
värde som antalet 0,1-faktorer eller antalet nollor i resultatet en
miljondel).
Exempel Beräkna (0,001)-4
Lösning (0,001)-4 = (10-3)-4 = 1012 (=1 000 000 000 000)
G6.1
Skriv nedanstående potenser med den redan använda basen, t ex
basen 8 i a)
72 −42
b) 7 ⋅ 7
17 21
a) 8 ⋅ 8
f)
1717 ⋅17 −2
1713
( )
j) 6
G6.2
19 −2
c)
1414
147
618 ⋅ 6 −4
135
−1 12 h)
6 ⋅6
d)
( )
g)
417 )
(
k)
4
2
l)
18
(182 )
7
923
97
e)
( )
i) 154
1411 ⋅ 145
148
6
−3
En bakteriestam fördubblas varje timme. Teckna ett uttryck för
antalet bakterier efter 7 timmar.
Aritmetik - 55
G6.3
Skriv följande tal som potenser av 10
–
a) 105⋅10-3 b) (105) 3 c) (105)3 d) 0,13
–3
f) 102⋅100⋅10
g) (0,15)2 h) (10000)4
e) 0,01-4
i) (0,01 2)3
–
(102 )4
(102 )4
−8
16
k)
l) 10
m) 10
n) (106)1/3
7
7
10
0,01
–1/2 14
–
o) (10 )
p) (103/2)2/3 q) (0,0001 1/3)9
j)
G6.4
Antalet sandkorn på hela jordens sandstränder är ca 1020. Om vi
kallar detta tal för N vad är i så fall N 0.
G6.5
Skriv som en potens med basen 2
a) 4 b) 16 c) 1/4 d) 1/32 e) 4⋅8⋅32
G6.6
Skriv som en potens med basen a
3 5
a) a a
a3
a3
c) 2 d) −5
a
a
3 7
b) a a
g) ( a −5 )−3
V6.7
e) (a 4 )5 f) (a −3 )5
Skriv nedanstående potenser med nedan angiven bas
17 −3 )
(
a)
−2
⋅17 ⋅17 −2 ⋅17 6
(
med basen 17
)
7
22 −2 ⋅ 22 ⋅ 2216 ⋅ ( 222 )
b)
med basen 22
−8 −2
−2
⋅
22
22
( )
2
162 ⋅ (16 −3 ) ⋅ 438
c)
med basen 2
1712 ⋅ 17 −8
3
16 −1 ⋅ 212
V6.8
Bestäm slutsiffran i
a) 6100 b) 5100 c) 9100 d) 7100 e) 2100 f) 3100
V6.9
Beräkna
a)
9 ⋅ 1016 b) 16 ⋅ 10 −4 c) 0,49 ⋅ 10 8 d) 1,6 ⋅ 1013
Aritmetik - 56
7 Tal skrivna i grundpotensform
Teori ▪ Prefix
Längden av ett bord är en egenskap som kan mätas och ges ett talvärde.
Något som kan mätas eller beräknas kallas en storhet. Exempel på storheter är fart, strömstyrka, temperatur, tid, massa och tryck. En storhet består
av ett mätetal och en enhet. Ett bord med längden 2,1 m är beskrivet med
mätetalet 2,1 och enheten meter.
Alla världens stater har antagit SI-systemet (Système international
d’unités, ”det internationella enhetssystemet”). Det ingår sju grundstorheter i SI-systemet: längd, massa, tid, temperatur, strömstyrka, ljusstyrka och substansmängd.
Storhet längd massa tid temperatur strömstyrka ljusstyrka
Enhet m
kg
s K (kelvin) A (ampere) cd (candela)
Det finns dessutom ett mycket stort antal enheter som härletts från grundenheterna, t ex enheten för hastighet m/s, enheten för acceleration m/s2
och densitet kg/m3 . En del av dessa enheter har fått egna namn som enheten för kraft N (newton) (=kgm/s2 ), enheten för energi J (joule) (=Nm)
och enheten för tryck Pa (pascal) (=N/m2), för att bara nämna några få.
Om mätetalen är mycket stora eller mycket små så kan skrivsätt som
3 000 000 N (newton) vara olämpliga. Istället skrivs detta som 3 MN
(meganewton) där prefixet M betyder miljon (106).
Aritmetik - 57
Följande prefix är vanliga:
piko
p
nano
n
mikro
µ
milli
m
centi
c
deci
d
hekto
h
kilo
k
mega
M
giga
G
tera
T
1/1 000 000 000 000 = 10-12
1/1 000 000 000 = 10-9
1/1 000 000 = 10-6
1/1000 = 10-3
1/100 = 10-2
1/10 = 10-1
100 = 102
1000 = 103
1 000 000 = 106
1 000 000 000 = 109
1 000 000 000 000 = 1012
I tekniska sammanhang ska man undvika prefixen centi-, deci- och hekto.
Storleken av ett golv bör alltså skrivas antingen 2,53 m x 4,73 m eller
2530 mm x 4730 mm.
När man byter mellan enheter måste man tänka på följande:
• När man övergår till en större enhet blir mätetalet mindre
• När man övergår till en mindre enhet blir mätetalet större
Exempel
0,000 0045 m = 4,5 µm
-→
Här har vi skrivit längden med enheten 1 µm som är en miljondel av 1
m. Vi har därför multiplicerat mätetalet med 106 vilket vi gör genom att
flytta decimaltalet sex steg åt höger. (Mindre enhet – större mätetal)
0,00124 A = 1,24 mA
0,000 000 540 m = 540 nm
7 400 000 kr = 7,4 Mkr
37 000 kr = 37 kkr
3 200 000 000 Wh = 3,2 GWh
9 300 pascal = 9,3 kPa
(milliampere)
(nanometer)
(megakronor)
(kilokronor)
(gigawattimmar)
(kilopascal)
Aritmetik - 58
Teori ▪ Skriv tal i grundpotensform
Både i vetenskapliga och i vardagliga sammanhang har man ibland behov
av att skriva mycket stora och mycket små tal på ett kortfattat och tydligt
sätt. Antalet vattenmolekyler i en matsked vatten är
500 000 000 000 000 000 000 000 st. En av dessa vattenmolekyler
väger 0,000 000 000 000 000 000 000 03 g. För att slippa hantera dessa
rader av nollor har man infört begreppet grundpotensform. Att skriva ett
tal i grundpotensform innebär att skriva det som en produkt av ett
decimaltal där siffran före decimaltecknet är någon av siffrorna 1, 2,…, 9
samt en tiopotens. Talet 3,7⋅105 kg betyder 3,7⋅100 000 kg = 370 000 kg.
Antalet vattenmolekyler i exemplet ovan kan skrivas 5⋅1023 st och massan
av en av dem kan kortfattat skrivas 3⋅10-23 g.
Exempel
Skriv följande storheter i grundpotensform
a) 37 000 kg b) 860 000 000 m c) 0,000 39 A d) 0,000 013 K
Lösning
a) 37 000,0 kg = 3,7⋅104 kg (Flytta decimaltecknet 4 steg åt vänster.)
←

b) 860 000 000 m = 8,6⋅108 m (Flytta decimaltecknet 8 steg åt vänster.)
← 
c) 0,000 39 A = 3,9⋅10-4 A (Flytta decimaltecknet 4 steg åt höger.)
→
d) 0,000 0 1 3 K = 1,3⋅10-5 K (Flytta decimaltecknet 5 steg åt höger.)
→

Vi har tidigare sett, att det inte går att avgöra hur många gällande siffror
talet 32 000 är angivet med. De avslutande nollorna kan (men behöver
inte) vara gällande. Men med hjälp av grundpotensform kan vi entydigt
ange antalet gällande siffror i talet. Angivet med 2 gällande siffror skrivs
talet 3,2⋅104, vill vi ange talet med 4 gällande siffror skriver vi 3,200⋅104.
Nollor i slutet av en decimalföljd är gällande.
Aritmetik - 59
G7.1
Skriv följande tal i grundpotensform.
a)100 000 b) 0,000001 c) 1200
d) 239000
5
e) 0,0045
f) 0,0000654 g) 73⋅10
h) 356⋅107
i) 0,8⋅102
j) 0,083⋅108
k) 0,67⋅10-5 l) 6540⋅105
G7.2
Skriv i grundpotensform med angiven enhet.
a) 400 dl
b) 45000 l c)130000 Pa d) 860 000 000 N
e) 0,0005 kg f) 0,00000067 A g) 500 ml
h) 7600 m
i) 600 000 ton j) 9 560 000 m k) 0,00045 K l) 340 cd
m) 360 000 000 V n) 31 600 000 s o) elektronens massa
som är 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg
p) protonens massa 0,000 000 000 000 000 000 000 00167 g
q) ljusets fart som är 299 800 000 m/s
G7.3
Skriv som decimalform. a) 7,3⋅105 b) 3,56⋅106 c) 8⋅10-2
d)1,083⋅107 e) 2,67⋅10-4 f) 6,54⋅102
Modell ▪ Skriv tal i grundpotensform
Exempel
Skriv i grundpotensform med lämpligt prefix.
a) 340 000 g b) 86 000 cm c) 0,0039 ms d)0,000 29 K e)3430 µA
Lösning
Byt först till den enhet som ger mätetalet det minsta antalet siffror. Skriv
sedan mätetalet i grundpotensform.
Gör så här 370 000 000 Wh = (Vi kan välja mellan 370 000 kWh,
370 MWh och 0,37 GWh; välj 370 MWh eller 0,37 GWh) = 370 MWh =
= 3,7⋅102 MWh
a) 340 000 g = 340 kg = 3,4⋅102 kg
b) 86 000 cm = 0,86 km = 8,6⋅10-1 km (eller = 860 m = 8,6⋅102 m)
c) 0,0039 ms = 3,9 µs
d) 0,000 29 MV = 290 V = 2,9⋅102 V (eller = 0,29 kV = 2,9⋅10-1 kV)
e) 3430 µA = 3,43 mA
Aritmetik - 60
En räknare har i allmänhet speciella knappar för att slå in
tal i grundpotensform. Om du vill slå in talet 1,7⋅10-24 så slår du först in
1.7 därefter en speciell knapp för tiopotenser, t ex [EE] eller [Exp].
Därefter slår du in exponenten och minustecknet [(–)] 24.
G7.4
Skriv i grundpotensform med lämplig enhet. Använd inte
räknare! a) 370 ml b) 1300 Pa c) 0,0034 A d) 3 400 000 V
e) 7 890 000 000 N
f) 0,000 0032 A
g) 6 700 000 000 000 Wh h) 560 000 g i) 0,000 0092 V
j) 0,0065 l k) 42000 cl
G7.5
I matrecept är följande mått vanliga: 1 dl, 1cl och 1 ml samt 1
matsked (msk) (15 ml), 1 tesked (tsk) (5 ml) och 1 kryddmått
(krm)(1 ml). För att baka en chokladkaka behövs följande ingredienser: 150 g smör, 2 ägg, 2 dl strösocker, 1/2 dl mjölk, 1
tsk bakpulver, 3 dl vetemjöl, 2 msk kakao och 2 msk ströbröd.
Alicia skall baka 12 chokladkakor för att sälja på det kafé som
hon arrenderar under en sommar. Hur mycket skall hon köpa
av ingredienserna om relationen mellan volym och vikt är:
Vara
Strösocker
Bakpulver
Vetemjöl
Kakao
Ströbröd
G7.6
1 dl väger
85 g
110 g
60 g
40 g
75 g
Sven vill göra en uppskattning av elkostnaderna till sin lägenhet. I tabellen nedan beskrivs de apparater som förbrukar el och
deras energiåtgång för varje heltimme. Tiden som apparaten
används i genomsnitt per dag är också angiven i timmar. Hur
stor blir Svens uppskattade förbrukning av energi under ett år?
Ange svaret i grundpotensform med både enheten kWh och
MWh.
Attiralj
27" Färg-TV
Dator
Laserskrivare
Skanner
Energi
115 Wh
200 Wh
500 Wh
10 Wh
Aritmetik - 61
Tid
2h
4h
1h
1h
Brödrost
Mikrovågsugn
Keramikhäll
Ugn
Frys- och kylskåp
Tvättmaskin
10 glödlampor à 60 W
1200 Wh
500 Wh
6000 Wh
2300 Wh
100 Wh
2000 Wh
600 Wh
0,5 h
0,5 h
1h
0,5 h
24 h
1h
6h
G7.7
Müsli ska förpackas med 600 g i varje paket. Till hur många
paket räcker 45 kg müsli?
G7.8
Jordens radie är 6,378 ⋅106 m och solens radie är 6,960 ⋅105 km.
Hur många jordklot skulle kunna radas upp längs solens diameter?
G7.9
En väteatom består av en elektron och en proton. En elektron
väger 9,1095 ⋅ 10 −31 kg och en proton väger 1,6726 ⋅10 −27 kg.
Hur många elektroner skulle det krävas för att de tillsammans
skulle väga lika mycket som en proton?
G7.10 Skriv de vetenskapliga data som angivits, i påståendena a) – g),
i grundpotensform.
a) Solens diameter är 1,4 miljoner km.
b) Yttemperaturen hos de hetaste stjärnorna kan vara så hög som
50 000 0C.
c) När solens inre når temperaturer på 15 000 000 0C, sätter
kärnreaktioner igång som utvecklar oerhörda energimängder.
d) Jordens totala landarea är 148 300 000 km2.
e) Bergslandskap täcker 1/5 av denna landarea.
f) Jordens massa är 6 000 000 000 000 000 000 000 ton.
g) En väteatoms diameter är ungefär 0,000000000 8 m.
G7.11 Kärnkraftverken i Sverige har den sammanlagda effekten 10 GW.
Hur många lågenergilampor på 15 W kan lysa hos varje invånare
i Sverige med denna effekt?
G7.12 Tor laddar ner en animation på sin dator. Animationens storlek
är 2,2 Mbyte. Om uppkopplingen klarar av genomsnittshastigheten 4,87 kbyte/s vid mottagandet av animationen, hur många
minuter tar då nedladdningen? (1 Mbyte är 1000 kbyte.)
Aritmetik - 62
V7.13 Kiselalger är encelliga växter som bor i skal. De är havets primära
födoresurs. De producerar syre tack vare sin fotosyntes och, på
grund av sitt stora antal, producerar de en enorm mängd syre.
En kiselalgs massa är ungefär 1 pg. Den har en diameter på
ungefär 0,5 µm. 1 liter ytvatten innehåller så många som 107
kiselalger men dessa finns inte på ett större djup än 1 m.
a) Om kiselalger placeras sida vid sida, hur många skulle då behövas
för sträckan 1 cm?
b) Uppskatta hur mycket kiselalgerna i 1 liter vatten väger.
c) Om alla oceaners area är 4⋅1014 m2, hur många kiselalger finns i
våra oceaner?
En illustration ur P.T. Cleves
publikation om kiselalger från
prover som tagits av Vegaexpeditionen 1878-80. Bilden
visar representanter från Norra
Ishavet ner till Indiska
Oceanen. Här finns också
många, för vetenskapen på
den tiden, nya arter.
V7.14 Det finns ca 200 000 km sandstränder i världen. a) Dessa stränder har en genomsnittlig bredd på 15 m. Det genomsnittliga
sanddjupet är vidare 2 m. Vilken sandvolym har alla sandstränder i världen? b) Om det finns 3000 sandkorn i 1 cm3 sand,
hur många sandkorn finns det då på all världens sandstränder?
Fundera på detta!
Antag att du fått 20 piller för att bota en allvarlig sjukdom,
tyvärr är ett av pillren dödligt giftig. Den enda skillnaden
mellan pillren är vikten. Det dödliga pillret är antingen tyngre
eller lättare än de övriga. Kan du med tre mätningar på en
balansvåg ta reda på vilket det dödliga pillret är?
Aritmetik - 63
Modell ▪ Sträcka = Fart • Tid
Exempel 1 En bil håller farten 70 km/h under 0,25 h. Hur långt rör sig
bilen under denna tid?
Lösning Sträcka = Fart ⋅ Tid. Låt oss att göra samma sak med enheterna
som med mätetalen, så kallad enhetsanalys. Om enheten för fart är
[km/h] och enheten för tid är [h] så får vi enheten för sträcka genom att
behandla enheterna inom klammer som bråk och räkna med dessa som
km
km
vid bråkräkning. Alltså [
]⋅[h] = [
⋅h] = [km]. Denna analys visar,
h
h
liksom formeln, att sträckan beräknas som en multiplikation av fart och
tid eftersom analysen gett korrekt enhet för sträcka. Denna metod är
användbar vid alla textuppgifter där mer eller mindre komplicerade
enheter ingår. Sträckan = 70⋅0,25 km = 17,5 km
Exempel 2 Sträckan Stockholm – Linköping, 209 km, trafikeras av
X2000. Det tar tåget 1h 42 min för att köra sträckan. Vilken är tågets
medelfart?
Lösning Medelfarten fås genom att dividera sträckan med tiden. Även
enhetsanalys tyder på detta [km]/[h] =[km/h]. Eftersom tiden inte har
mätts i decimalsystemet (60 min) måste 1 h 42 min omvandlas till
decimalsystemet med enheten h.
1h 42 min = (1+42/60) h = 1,7 h
Medelfarten = 209/1,7 km/h = 171 km/h ≈170 km/h
Exempel 3 Beräkna farten i exempel 2 i enheten m/s.
Lösning Enhetsanalys ger [km/h] = [1000m / 3600s] = [(1/3,6) m/s].
Omvandling från km/h till m/s sker genom att dividera ursprungsvärdet
med 3,6. Det är lätt att visa att omvandlingen från m/s till km/h sker
genom att multiplicera ursprungsvärdet med 3,6.
171 km/h = 171/3,6 m/s = 47,5 m/s ≈ 48 m/s
G7.15 Sträckan Stockholm – Göteborg, 455 km, trafikeras av X2000.
Det tar tåget 3h 10 min för att köra sträckan. Vilken är tågets
medelfart? Ange svaret i både km/h och m/s med två värdesiffror.
Aritmetik - 64
G7.16 En bil kör 31 km på 1,95 l bensin. Beräkna förbrukningen i
km/l. Beräkna hur många liter som går åt per km. Ange svaret
med två värdesiffror. (Ledning: Använd enhetsanalys för att lösa
uppgiften. Den första frågan får i svaret enheten km/l och den
andra får l/km.)
V7.17 Beräkna ljusets fart i km/h om ljusets fart är 2,998 ⋅ 10 8 m/s.
Ge svaret med fyra värdesiffror.
V7.18 Farten 50 km/h motsvaras av 27,0 knop. Hur många knop rör
sig då en eka med om dess fart är 2 m/s?
V7.19 Vilken medelfart höll Belayneh Dinsamo från Etiopien när han
sprang maratonloppet 1992 på 2h 6min 50s? Loppets längd är
42195 m.
V7.20 Gokstadsskeppet är ett vikingaskepp från 800-talet funnet i
Norge. En kopia av fartyget bevisade att detta skepp var ett
snabbseglande, havsgående fartyg. Fartyget kunde nå en fart på
14 knop. Beräkna farten i km/h.
Aritmetik - 65
Facit Aritmetik
1.1
a) 4
b) 32
c) 24
d) 160
e) 19
f) 30
g) 44
h) 4
i) 2
j) 1
k) 2
l) 18
m) 74
n) 1
o) 2
p) 3
1.2
Endast addition och
multiplikation mellan
naturliga tal ger ett
naturligt tal som
resultat.
1.3
402 är delbart med 2.
402 är delbart med 3.
412 är delbart med 4.
405 är delbart med 5.
414 är delbart med 6.
424 är delbart med 8.
441 är delbart med 9.
410 är delbart med 10.
1.4 28 kr
1.5 68 sidor
1.6 Lina bör betala 40 kr
till Maria och 100 kr till
Matilda.
1.7 Påståendena c) och d)
är sanna.
1.8
Siffran 2 kallas tusentalssiffran.
Siffran 8 kallas hundratalssiffran.
Siffran 1 kallas tiotalssiffran.
Siffran 9 kallas entalssiffran.
Det största talet 98721.
Det minsta talet är 12789.
1.9
a) Eftersom 70⋅19=1330
och 70⋅20=1400 så
måste olikheten gälla
för alla naturliga tal
mindre än 20. Detta
skrivs n < 20.
b) n >14
c) n < 71
1.10
Mikko tjänar 5⋅38 + 4⋅55=
= 410 kr varje veckoslut.
Alltså måste han arbeta
9020 kr
= 22 veckoslut
410 kr
för att tjäna ihop en dator.
1.11
342 = 114 + 114 + 114
Alltså är 113 + 114 + 115
också lika med 342.
Aritmetik - 66
1.12
816 = 272 + 272 + 272
Alltså är även
270 + 272 + 274 = 816
1.13
a)
16 5
2 11
3 10
13 8
9
7
6
12
4
14
15
1
b)
1
8
12
13
14
11
7
2
15
10
6
3
4
5
9
16
c)
11
18
25
2
9
10
12
19
21
3
4
6
13
20
22
23
5
7
14
16
17
24
1
8
15
1.14
12345678987654321
1.15 De kommer att skära
startlinjen samtidigt efter
200 s.
1.15 80 s.
1.17
Det minsta antalet personer är 2⋅2⋅3⋅5 + 1 = 61.
Varför är detta det minsta
antalet?
1.18 a) Ja b) Nej c) Ja d) Nej
1.19
a) 17, 23, 30, …
b) 25, 36, 49, …
c) 42, 56, …
d) 35, 48, …
e)
36, 42, ...
1.20 Antalet diagonaler i de utritade figurerna är: 0, 2, 5, 9, 14
Fortsättningen är: 20, 27, 35, …
2.2
a) 17 kan ej delas upp
eftersom det redan är
ett primtal.
b) 72 = 2⋅2⋅2⋅3⋅3
c) 64 = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2
d)
e)
f)
g)
h)
66 = 2⋅3⋅11
1000 = 2⋅2⋅2⋅5⋅5⋅5
97 kan ej delas upp.
44 = 2⋅2⋅11
99 = 3⋅3⋅11
2.3 Alla rader, kolumner och diagonaler är primtal.
2.4 Primtalen är på varandra följande primtal.
2.6
a) Talet 28 har faktorerna
1, 2, 4, 7 och 14 som är
mindre än talet självt.
Eftersom
1+2+4+7+14=28 så är
28 ett perfekt tal.
b) Talet 13 har endast
faktorn 1 som är mindre än talet självt. Alltså
är inte talet perfekt.
c) Talet 496 är delbart
med talen 1, 2, 4, 8,
16, 31, 62, 124 och
248. Eftersom
1+2+4+8+16+31+62+
+124+248 = 496 så är
talet perfekt.
d) Talet 220 är delbart
med talen 1, 2, 4, 5,
10, 11, 20, 22, 44, 55,
110. Eftersom
1+2+4+5+10+11+20+
+22+44+55+110=284
så är inte talet perfekt
e) Eftersom primtal bara
är delbara med ett tal
som är mindre än primtalet självt, nämligen
talet 1, så kan primtal
inte vara perfekta tal.
2.7 284 är delbart med 1, 2, 4, 71, 142 och eftersom summan av dessa är 220 så är
220 och 284 vänskapliga tal.
2.8
2.9a) 2⋅1173
b) 2⋅1551 c) 3⋅1259
2.10 3/2
11! 1
2.11 Om p = 13 så skall
bli ett heltal. Visa detta med räknare!
−
13 13
Aritmetik - 67
2.12 Årtalen 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881 är palindromer
men endast 1111 = 11⋅101, 1331 = 11⋅121, 1441 = 11⋅131 och 1661 = 11⋅151 har
faktorer som är palindromer
2.13 40042002 = (2⋅2⋅7⋅11⋅13)2002 = 24004⋅72002⋅112002⋅132002
2.15 Antag att
5 inte är irrationellt dvs
5 = p/q där p och q är heltal och bråket är
p2
vilket innebär 5q2 = p2. Detta innebär
q2
att p är delbart med 5 dvs p = 5p 1 . Detta innebär att ekvationen 5q2 = p2 övergår i 5q2 =
25p 1 2 dvs q2 = 5p 1 2. Detta innebär nu att q är delbart med 5. Detta i sin tur visar att vi
inte hade förkortat bråket p/q så långt som det var möjligt.
förkortat så långt som möjligt. Alltså är 5 =
2.16 Om man beräknar de två talen med fler värdesiffror kommer de att skilja sig åt.
3.1
a) 10°
b) 1°
c) -4°
d) -10°
e) 5°
f)
3.2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) –11
j) –12
k) –2
3
0
–7
–7
12
17
1
–13
8°
3.3 39 liter
3.4
a) 9°C
b) 24°C
c)
3.5
a) 6
b) –6
c) 32
d) –29
e) –6
f) –7
g) 6
h) 0
15°C
3.6 a), b) och d)
3.7
a) 15 000 kr
b) 23 000 kr
c) 40 000 kr
3.8 Augustus regeringstid var 14-(-27) år = 14+27 år = 41 år.
Marcus Aurelius regeringstid var 180-161 år = 19 år.
3.9 Vinsten är (70 – 60) + (90 – 80) = 20 kr .
3.10
a) –300 + (-500)
b) –700 + 500
Aritmetik - 68
c)
3⋅(–200)
3.11
a) -7°C
b) Efter 2 h 30 min
3.12
a) Bilen har bromsat in till den nya hastigheten 8 m/s.
b) Bilen har accelererat till den nya hastigheten 25 m/s (ty 20 - (-5) = 25)
c) Bilen har den nya hastigheten –2 m/s, dvs den backar nu med hastigheten 2 m/s.
3.13 The difference is 9639 m.
3.14 The new position is 170 m below sea level.
3.15 The new position is 290 m below sea level. 13.16 The Punic War lasted 118 years.
3.17 The freezing point of alcohol is 75° colder than the melting point of mercury.
3.18
a) –27
b) –72
c) –72
d) 72
e) 0
f)
g)
h)
i)
j)
3.19
a) 63
b) –48
c) 63
d) 165
e) –165
f) –209
g) 625
h) 1225
3.20
a) 32
b) –123
c) –44
d) 187
e)
2
–4
–4
9
–3
k)
l)
m)
n)
–1
8
–4
2
–40
3.21 432 $
3.22 4 (=
8
8
) och –4 (=
)
2
2
3.23 Vilket tal som helst och talet 1, så är t ex 17⋅1 = 17 och
17
= 17.
1
3.24 Därför att både 12 och 15 är delbart med 3
3.25 Därför att både 63 och 56 är delbart med 7
3.26 Om a är delbart med b så är a = bk där k är ett heltal. Detta innebär a2 = k2b2.
Dvs a 2 är delbart med b2
3.29 kvot = 24 och rest = 16
3.30a) 12 b) 1 c) 1 d) 7 e) 9
4.1 Lisa
4.2
a) 1/11
b) –2/5
c) –3/5
d) 3/7
Aritmetik - 69
e)
–10/3
4.3
a) 9/21
b) 22/46
4.4
a) 1/3
b) 21/23
c) 3/4
d) -3/-5
4.5 2/3
4.6 21/27
4.7
a) 2/3
b) 8/21
4.8 17/19
c)
3/4
4.9 b) f)
4.10
a) 11/12
b) 5/8
c) 3/35
d) –3/35
e) –1/45
f) 31/36
g) 7/6
h) 3/8
i) 4/18 eller med förkortning 2/9
j) 8/18 eller med förkortning 4/9
k) 2/14 eller med förkortning 1/7
l) 9/30 eller med förkortning 3/10
m) 5/36
1
n) 9/8 eller 1
8
4.11
5
5
a) 4
e) 2
8
6
1
1
b) 3
f) 3
5
8
1
1
c) 3
g) 1
8
2
5
1
h) 8
d) 4
12
2
o) 2/30 eller med förkortning 1/15
p) 53/30 eller 1
q) –13/60
2
3
r)
5/3 eller 1
s)
19/7 eller 2
23
30
5
7
2
15
13
u) –27/14 eller 1
14
t)
–32/15 eller 2
i)
j)
k)
1
2
7
8
9
20
4.12 Efter att ha betalt mat och hyra har han kvar 1-3/8-1/4 = 3/8
4.13 Tid för övriga läxor är 1-1/5-1/4 = 11/20
4.18
a) 4 kg
b) 8 kg
c) 6
d) 18
4.19 8/15 av 30 är störst
e)
150 m
4.20 31650 m
Aritmetik - 70
4.21
a) –3/29
b) 8/25
c) 4
d) 15
e) 2
1
2
2
6
3
7
9
i) 5/28
j) –1/2
k) 3
3
f)
g)
4.22
a) Elisabeth får 1-3/5-1/6 = 7/30.
4.23 Det gula korsets del av flaggan:
3
h)
b) Maria får
1
⋅6600 kr = 1100 kr.
6
1 1 1 1
3
(dvs 30%).
   
8 5 8 5 10
4.24 Hagmarkens del av fastigheten: 1-3/5-1/4 = 3/20 (dvs 15%).
4.25
83
1
1
=2+
Vi fick alltså ett stambråk ”i första vändan”.
2
41
41
41
13 1
13 1
b)
 =
 = (Eftersom 42/13 = 3,2 väljer vi m = 4) =
42 4
42 m
13  4  42
10
5
13 1
5



Alltså är
 
42  4
168 84
42 4 84
5
Vi fortsätter på samma sätt med
.
84
5
1
5
1
1
 = (Eftersom 84/5 =16,8 väljer vi m=17.) =  
84 17 1428
84 m
13 1
1
1
5
1
1
och därmed
=  
.
Alltså är


42 4 17 1428
84 17 1428
4.26
a) 8,5
b) 1,52
c) 3,875
4.27
a) 0,55 med två
c) 1,71 med tre
e) 35,29 med fyra
värdesiffror
värdesiffror
värdesiffror
b) 0,73 med två
d) 0,49 med två
värdesiffror
värdesiffror
a)
4.28
a)
b)
c)
d)
e)
f)
trettiofyratusenfemhundrasextiosju
etthundratjugotusenniohundrasjuttiotre
en hel och tvåtusentrehundrafyrtiofem tiotusendelar
tretton tjugoendelar
tjugoen tjugotvåondelar
två hela och nitton trettiotvåondelar
4.29
a) 4,7
b) 17
c) 3,0
d) 180
Aritmetik - 71
e)
0,0087
4.30 387641
4.31
-0,15
|
–0,5
0,4
|
0
0,75
|
1,05
|
0,5
4.32 1,003 1,01 1,02 1,1 1,1001
1
1,5
4.33 Talet c) är störst och d) är minst.
4.34 Talen 0,3 (decimaltal) och 7/24 (bråk) ligger mellan ¼ och 1/3.
4.35
a) 9
b) 12
c) 12
d) 12
4.36
e)
f)
g)
h)
4,8 cm
0,006 cm
10
500
2
5
i) –1,4
j) 0,45
k) –1
= 800 papper (en värdesiffra)
4.37 8,74 ± 0,14 m eller 8,7 ± 0,2 m Vid addition och subtraktion adderas felen.
4.38 Eftersom tider anges i basen 60 så får vi:
a) 5 h 24 min 30 s = 5+24/60+30/3600 h = 5,4083 h
b) 1 h 4 min 3 s = 1+4/60+3/3600 h = 1,0675 h
c) 54 min 25 s = 54/60+25/3600 h = 0,9069 h
4.39
a) 3,5 h = 3 h och 0,5⋅60 min = 3 h 30 min
b) 2,55 h = 2 h och 0,55⋅60 min = 2 h 33 min
c) 1,247 h = 1 h och 0,247⋅60 min = 1 h 14,82 min = 1 h 14 min och 0,82⋅60 s =
1h 14 min 49 s
4.40
a) 50,112 eller bättre med tanke på
b) 3,256 eller bättre 3,3
värdesiffror 50
c) 0,13
4.41
a) Eftersom 1/3 har den oändliga decimalutvecklingen 0,333333… är detta tal
b)
c)
d)
e)
f)
större.
350⋅1,01
470
300/0,98
1/6
0,7
4.42 23,75
2
5
6
h) 1
7
g)
4.43 1,895
4.44 677
Aritmetik - 72
1
4.45 1, 4 eller 7
4.46 Antag att familjen åker till Köpenhamn 26 gånger på ett halvår, dvs 52
enkelresor. De betalar alltså för dessa resor 275⋅4+150⋅20+100⋅28 kr = 6900 kr.Detta
6900
kr /person⋅enkelresa = 27 kr kr/person⋅enkelresa
innebär en kostnad
5  52
4.47 En CD för 84 och en gratis är förmånligast.
4.48 Överslagsberäkning av hastigheten ger 530m/10s = 53 m/s. Beräkna maximala
hastigheten 524,5/9,75 = 53,79 och minimala hastigheten 523,5/9,85 = 53,15. Mitt
emellan dessa värden ligger 53,47 och svaret skulle kunna skrivas (53,47±0,32) m/s
eller bättre (53,5±0,3) m/s.
4.49 Överslagsberäkning: 2,2 m x 1,0 m = 2,2 m2 Den maximala arean 2,19 x 0,97 =
= 2,1243 m2 och den minimala arean 2,15 x 0,93 = 1,9995 m2. Eftersom 2,17 x 0,95 =
= 2,0615 m2 blir en första formulering av resultatet (2,0615 ± 0,0628) m2. En bättre
formulering av resultatet är (2,06 ± 0,06) m2⋅
4.50 365 ⋅1508/1507 = 365, 242 som alltså är det tropiska året.
4.51 365⋅8/5 = 584 vilket redan nämnts i texten
4.52
a) 0,3636 …
b) 0,148148 …
4.53
a) 174/999 =
58/333
c) 0,125
d) 0,515151 ..
b) 925/999 = 25/27
c) 87/99 = 29/33
10
1
= 3,14084 och 3 =3,14286 och π = 3,141592654 så är den
71
7
tredje decimalen första icke korrekta decimal.
5.1 Eftersom 3
5.2 Tsu Chùng Chihs värde är 3,14159292 är korrekt t o m sjätte decimal.
5.3
a)
b)
c)
d)
e)
3
2
2
–3
Existerar ej
5.4 11
6.1
a)
b)
c)
d)
838
730
147
916
f)
g)
h)
i)
j)
4
–10
10
¾
4/7
k) 9/7
l) 2/15
m) 2/3
5.5 Alla utom b och c
e)
f)
g)
h)
148
172
63
1335
Aritmetik - 73
i)
j)
k)
l)
1524
6-38
433
187
6.2 27
6.3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
102
10-15
1015
10-3
108
10-1
g)
h)
i)
j)
k)
l)
10-10
1016
1012
10-1
10-22
108
m)
n)
o)
p)
q)
10-4
102
10-7
101
1012
6.5
a) 22
c)
2-2
e)
210
b) 24
d) 2-5
6.6
a) a8
d) a8
g)
a15
6.4 =1
b) a-4
c) a
e)
a20
f)
a-15
6.7
a) 1723
b) 2215
c)
252
6.8
a) 6
b) 5
c) 1
d) 1
e)
f)
6
1
6.9
a) 3⋅108
c)
b) 4⋅10-2
d) 4⋅106
7.1
a)
b)
c)
d)
7.2
a)
1⋅105
1⋅10-6
1,2⋅103
2,39⋅105
e)
f)
g)
h)
4,5⋅10-3
6,54⋅10-5
7,3⋅106
3,56⋅109
4,0⋅102 dl
g)
5⋅10 ml
b) 4,5⋅104 l
c)
1,3⋅105 Pa
d) 8,6⋅108 N
-4
e)
5⋅10 kg
f)
6,7⋅10-7 A
2
h) 7,6⋅103 m
i)
6⋅105 ton
j)
9,56⋅106 m
k) 4,5⋅10-4 K
l)
3,4⋅102 cd
Aritmetik - 74
0,7⋅104 eller 7⋅103
i)
j)
k)
l)
8⋅101
8,3⋅106
6,7⋅10-6
6,540⋅108
m) 3,6⋅108 V
n) 3,16⋅107 s
o) 9,11⋅10-31 kg
p) 1,67⋅10-24 g
q) 2,998⋅108 m/s
7.3
a)
b)
7.4
a)
b)
c)
d)
730 000
3 560 000
c) 0,08
d) 10 830 000
e)
f)
3,7⋅10-1 l
1,3 kPa
3,4 mA
3,4 MV
e)
f)
g)
h)
i) 9,2 µV
j) 6,5 ml
k) 4,2⋅102 l
7,89 GN
3,2 µA
6,7 TWh
5,6⋅10-1 Mg (ton)
0,000267
654
7.5 150⋅12 g smör = 1,8 kg smör , 24 ägg, 12⋅2⋅85 g strösocker = 2,04 kg socker
12⋅0,5 dl mjölk = 6 l mjölk
12⋅1⋅5⋅0,01⋅110 g bakpulver = 66 g bakpulver
12⋅3⋅60 g vetemjöl = 2,16 kg vetemjöl 12⋅2⋅15⋅0,01⋅40 g kakao = 1,44 hg kakao
12⋅2⋅15⋅0,01⋅75 g ströbröd = 2,7 hg ströbröd
7.6 (2⋅115 +200⋅4 +500⋅1 +10⋅1 +1200⋅0,5 +500⋅0,5 +6000⋅1 +2300⋅0,5 +100⋅24
+2000⋅1 +600⋅6) ⋅365 =6 438 600 Wh = 6,4⋅103 kWh eller 6,4 MWh
7.7 75 paket
7.8 109 st
7.10
a) 1,4⋅109 m = 1,4
Gm
b) 5⋅104 °C
7.9 1840 st
1,5⋅107 °C
f)
6⋅1024 kg
d) 1,483⋅108 km2
g)
8⋅10-10 m
c)
4⋅1024 st
c)
e)
2,97⋅107 km2
7.11 76 st lampor
7.12 452 s = 7,5 min
7.13
a) 2⋅104 st
b) 1⋅10-5 g
7.14
a) 6⋅109 m3
7.15 140 km/h = 40 m/s
7.17 1,079⋅109 km/s
7.19
b) 1,8⋅1019 st sandkorn
7.16
31 km
= 16 km/l
1, 95 l
7.18 2 m/s = 7,2 km/h =
1, 95 l
= 0,063 l/km
31 km
7, 2  27
knop = 4 knop
50
42195 m
42,195 km
=
= 20,0 km/h
2 h 6 min 50 s (2 + 6 / 60 + 50 / 3600) h
7.20 26 km/h
Aritmetik - 75
Aritmetik - 76