Sven-Bertil Kronkvist
Elteknik
Komplexa tal
Revma utbildning
KOMPLEXA TAL
Komplexa eller imaginära tal kan användas
för algebraiska växelströmsberäkningar på
samma sätt som i likströmsläran.
Grafiskt kan talet åskådliggöras som en
punkt P med koordinaterna 4 och j3 i det
komplexa talplanet.
Imaginära talaxeln
Den läsare som redan är förtrogen med
komplexa beräkningar kan hoppa direkt till
avsnittet med växelströmstillämpningar.
Imaginära tal
Från matematiken vet vi att kvadratroten ur
ett positivt tal (a), är ett positivt eller
negativt tal (en rot) som multiplicerat med
sig själv ger talet (a).
-4 -3 -2
Exempel
Både (+2) och (-2) multiplicerat med sig
själv blir lika med 4.
+j4
4 + j3
+j3
P
+j2
+j1
-1
-j1
Z
ϕ
1
2 3 4
Reella talaxeln
-j2
-j3
För negativa tal existerar däremot inget tal
(rot) som multiplicerat med sig själv blir
talet. Inget hindrar oss emellertid från att
föreställa (imagin) och använda oss av
sådana tal. För detta ändamål används
beteckningen j för den imaginära enheten
som definieras enligt
-j4
Det imaginära talet (4 + j3) kan även
representeras av absolutbeloppet (längden)
för visaren ( Z ) tillsammans med vinkeln
( ϕ ). Betckningen ( Z ) markerar därvid att
visaren har såväl storlek som riktning.
j = −1
För att algebrans regler ska gälla följer att:
Visarens storlek betecknas med ett enkelt
( Z ) utan understryckning och beräknas
med Pythagoras sats. Vinkeln ( ϕ ) är det
komplexa
talets
vinkel
eller
vinkelargument
och
beräknas
trigonometriskt.
Då visarlängden ( Z ) och vinkeln ( ϕ ) är
kända kan ett komplext tal i rektangulär
form skrivas i trigonometrisk form på
följande sätt:
j 2 = −1
j 3 = −1 ⋅ j
j 4 = +1
j 5 = j ,osv
ALLMÄNT OM KOMPLEXA TAL
I ett koordinatsystem placeras de reella
talen utmed den reella talaxeln och alla de
imaginära talen utmed en imaginär talaxel
enligt bild 6-a. Uttryck som består av ett
reellt tal ( a ) och ett imaginärt tal ( jb ) i
formen (a + jb) kallas ett komplext tal i
rektangulär form. Ett exempel på ett
sådant komplext tal är
Z = 4 2 + 32
tanϕ =
3
4
Då visarlängden ( Z )
och vinkeln ( ϕ ) är kända kan ett komplext
tal i rektangulär form skrivas i
trigonometrisk form så här:
z ⋅ cosϕ + jZ ⋅ sinϕ
4 + j3
1
Då ( cos ϕ + jsin ϕ) = e j ϕ kan ett
komplext tal i trigonometrisk form, också
skrivas i exponentiell form
Exempel
Omvandla det komplexa talet (3 + j2) från
rektangulär till trigonometrisk form.
Z.ejϕ
Z = 3 + 2 = 13 ≈ 3,6
2
tan ϕ = ≈ 0,6667
3
2
2
Exempel
Omvandla
10 ⋅ cos36,9° + j10 ⋅ sin36,9°
från trigonometrisk till exponentiell form
tan ϕ = 0,6667 motsvarar vinkeln 33,7º
Z ⋅ cos ϕ + jZ ⋅ sin ϕ
10 ⋅ cos36,9° + j10 ⋅ sin36,9° ⇒ 10 ⋅ e
3,6 ⋅ cos 33,7º + j 3,6 ⋅ sin 33,7º
Addition av komplexa tal
Addition av två eller flera komplexa tal
görs genom att skriva talen i rektangulär
form. Därefter adderas real- och
imaginärdelarna var för sig.
Förkortat brukar den trigonometriska formen skrivas på ett sätt som kallas polär
form
Z . cos ϕ +j Z . sinϕ
⇒
Exempel
Addera de komplexa talen ( 2 + j3 ) och ( 4 + j2) i
bilden nedan
Z ∠ϕ
Exempel
Omvandla ( 15 + j10 ) från rektangulär till
trigonometrisk och polär form.
+j5
Z = 15 + 10 ≈ 18
10
tan ϕ =
≈ 0,6667 ⇒ ϕ ≈ 33,7°
15
2
j 36,9°
2
6+j5
+j4
+j3
2+j3
+j2
4+j2
+j1
Trigonometrisk
18 ⋅ cos 33,7º + j18 ⋅ sin 33,7º
Polär form 18∠33,7°
-1
-j1
Exempel
Omvandla ( 10∠36,9° ) från polär till rektangulär form ( a + jb).
1
2
3
4
5
6
( 2 + j3 ) + ( 4 + j2)
2 + 4 + j3 + j2 = 6 + j5
10 ⋅ cos 36,9º + j10 ⋅ sin 36,9º
10 ⋅ 0,7996 + j10 ⋅ 0,6004
8 + j6
Subtraktion av komplexa tal
Vid subtraktion görs på samma sätt. Skriv
de komplexa talen i rektangulär form och
subtrhera real- och imaginärdelarna separat.
2
Exempel
Subtrahera det komplexa talet ( 2 + j2 )
från ( 5 + j3 ) i bilden
Exempel
Multiplicera ( 3 + j2 ) med j.
j . ( 3 + j2 ) = j3 + j22 = j3 + ( -1) 2 = j3 - 2
+j5
+j4
dvs
-2 +j3
5+j3
+j3
2+j2
+j2
+j1
+j4
90.0°
+j3
3+j
1
-1
-j1
2
3
-2+j3
5
4
6
+j2
3+j2
+j1
( 5 + j3 ) - ( 2 + j2 )
-2
5 + j3 - 2 - j2 = 3 + j
Bild 6-c
-1
1
2
3
4
Multiplikation av komplexa tal är enklast i
polär form, men går naturligtvis bra i
vilken form som helst.
Multiplikation av komplexa tal
Vid multiplikation ett komplext tal med
( j ) erhålles ett nytt tal med samma
visarlängd, förskjutet 90º i matematisk
positiv led.
Multipliceras två eller flera komplexa tal
erhålls ett nytt tal som är produkten av
talens storlek och med en vinkel som är
summan av de ingående talens vinklar.
Exempel
Multipliceras det reella talet ( 3 ) till vänster med ( j ), blir produkten ( j3 ) som till
höger
Exempel
Beräkna multiplikationen (3 + j4) . (3 + j3)
i både rektangulär och polär form.
1. Omvandling till polär form
+j4
+j4
+j3
+j3
+j2
+j2
+j1
+j1
-1
-j1
1
2
3
4
-1
-j1
1
2
3
(3 + j4)
⇒
5∠53,1º
(3 + j3)
⇒
4,2∠45º
2. Multiplikation
Rektangulär form
(3 + j4) . (3 + j3)
9 + j9 + j12 + j212
9 + j21 + (-1)12
9 + j21 - 12
-3 + j21
4
Multiplikation med j medför 90º:s rotation 3
Polär form
5 . 4,2 ∠(53,1º + 45º)
21,2∠98.1º
Division av komplexa tal
Division av komplexa tal utförs enklast i
polär form. När t ex två komplexa tal,
6. Visarstorleken (längden) betecknas med
Z utan understrykning. Riktningen anges
av vinkeln mellan visaren och den reela
tallinjen och betecknas med t ex ϕ.
Z1 ∠ϕ1 och Z2∠ϕ2,
divideras erhålls ett nytt tal Z3∠ϕ3 som är
kvoten mellan talens storlekar och med en
ny vinkel som är skillnaden mellan talens
vinklar.
Z = (realdelen)2 + (imaginärdelen)2
7.
imaginärdelen
realdelen
8. Komplexa tal kan skrivas i fyra former:
Z = a + jb
Rektangulär
Trigonometrisk Z = Z ⋅ cosϕ + j ⋅ Z ⋅ sinϕ
Z = Z∠ϕ
Polär
Exempel
Beräkna kvoten av 36∠33,3º delat med
18∠15,7º.
Z3 =
36
Z1∠ϕ1
⇒ Z3 = ∠(36,9º −15,7º )
18
Z 2 ∠ϕ 2
tan ϕ =
Exponentiell
Z3 = 2∠21,2°
Z = Z⋅e
Jϕ
9. Addition och subtraktion av komplexa
tal är enklast om de skrivs i rektangulär
form, varvid real och imaginärdelarna
adderas respektive subtraheras var för sig.
Sammanfattning
1. Imaginära tallinjen är vinkelrät i förhållande till den reella tallinjen.
10. Multiplikation av ett komplext tal med
j innebär 90º:s rotation av en komplex
talvisare.
2. Den imaginära enheten betecknas med j
och är definierad som
j = −1
11. Multiplikation av två eller flera
komplexa tal är enklast i polär form varvid
talens storlek multipliceras och talens
vinklar adderas.
varav följer att
j 2 = −1
12. Divission av två eller flera komplexa
tal är också enklast i polär form varvid
talens storlek divideras och talens vinklar
subtraheras.
3. Komplexa tal kan grafiskt representeras
av en punkt i det komplexa talplanet.
Punkten har därvid en reell och en
imaginär koordinat.
4. Komplexa tal kan också representeras av
en visare som pekar på punkten. Visaren
har därvid en reell och en imaginär
komposant.
5. I matematiska uppställningar markeras
att visaren har både längd och riktning
genom en understruken storhetsbeteckning,
t ex Z
4
Övningsuppgifter
1. Beräkna a) j . j b) j . j . j c) j4 d) j5
Beräkna i rektangulär form
8. (2 + j4) + (5 + j3)
e) 3 . j3
9. (7 - j9) + (4 + j6)
2. Ange i rektangulär form de komplexa tal
som markerats med punkter i bilden.
10. (-3 -j5) + (2 + j5) + (10 - j9)
11. (2 + j4) . (5 + j3)
12. (7 - j9) + ( 4 + j6)
Imag.
+j4
+j3
Beräkna i polär form
+j2
13. 12∠35º . 13∠20º
+j1
-4 -3 -2
14. 11∠22º . 14∠11º . 15∠17º
-1
-j1
1
2
3
4 Re.
15.
-j2
-j3
16.
-j4
42 ∠88º
6∠11º
14 ∠28º ⋅ 18∠32°
2 ∠7º ⋅ 18∠14º
3 + j4
2 − j3
3. Ange talen i exempel 2 i trigomometrisk
form.
17.
4. Ange talen i exempel 2 i polär form.
18. Addera visarna
i bilden.
5. Ange talen i exempel 2 i exponentiell
form.
Imag.
+j4
+j3
6. Ange i rektangulär form de komplexa
tal som representeras med en visare i
bilden härunder.
+j2
+j1
Imag.
1
2
3
4 Re.
+j4
19. Beräkna storleken och visarargumentet
för den nya visare som bildas genom
addition av visarna i uppgift 18.
+j3
+j2
+j1
-4 -3 -2
-1
-j1
1
2
3
4 Re.
20. Subtrahera visare B från visare A.
Imag.
-j2
-j3
+j4
-j4
+j3
+j2
+j1
7. Beräkna storlek och vinkelargument för
talen i exempel 6.
1
5
2
3
4 Re.
21. Beräkna storleken och visarargumentet
för den nya visare som bildas genom
subtraktion av visare (A - B) i uppgift 20.
5 a) 3,6 . e j 56,3º
b) 5,7 . e j 135º
c) 4,5 . e j 243,4º
d) 12,7 . e j 315º
22. a) Rita ett koordinatsystem med en
imaginär- och en reell tallinje.
6 a) Z = 3 + j
b) Lägg in en visare som pekar på det
komplexa talet ( 5 + j4 ).
b) U = -3 + j2
c) Multiplicera talet med ( j ) och rita en
visare som motsvarar det nya talet.
c) I = -4 - j3
d) S = 2 - j4
d) Mät vinkeln mellan de båda talvisarna
med gradskiva.
7 a) Z = 3,2 ; ϕ = 15º
b) U = 3,6 ; ϕ = 146,3º
e) Dividera talet ( 5 + j4 ) med ( j )
c) I = 5 ; ϕ = 216,9º
f) Rita en visare som motsvarar det nya
talet.
d) S = 4,5 ; ϕ = 296,6º
g) Mät vinkeln mellan de båda talvisarna.
8) 7 + j7
9) 11 - j3
FACIT KOMPLEXA TAL
1 a) j . j = j2 = -1
10) 9 - j9
11) -2 + j26
b) j j j = j j = - j
.
.
. 2
12) 82 + j6
c) j = j j = (-1) (-1) = 1
4
2 . 2
.
13) 156∠55º
d) j = j j j = (-1) (-1) j = j
5
2 . 2.
.
.
14) 2310∠53º
e) 3 j = 3 j j = 3 (-1) j = - 3j
. 3
. 2 .
.
.
2 a) 2 + j3
b) -4 + j4
c) -2 - j4
15)
7∠77º
16)
7∠39º
17)
1,4∠109,4º
18) A + B = 5 + j4
d) 3 - j3
19) A + B = 6,4 ; ϕ = 38,7º
3 a) a = 3,6 ; ϕ = 56,3º
20) A - B = j3
. a = 3,6 cos56,3º + j 3,6 sin56,3º
21) A - B = 3 ; ϕ = 90º
b) b = 5,7 ; ϕ = 135º
22) (5 + j4) . j = (-4 + j5) ;
. b = 5,7 cos135º + j 5,7 sin135º
5 + j4
= ( 4 − j5)
j
c) c = 4,5 ; ϕ = 234º
9 0 .0 °
. c = 4,5 cos234º + j 4,5 sin 234º
+j4
+j3
d) d = 12,7 ; ϕ = 315º
+j2
. d = 12,7 cos315º + j 3,6 sin315º
+j1
4 a) 3,6 ∠56,3º
-4 -3 -2
b) 5,7∠135º
-1
-j1
-j2
c) 4,5∠243,4º
-j3
-j4
d) 12,7∠315º
6
1
2
3
4
9 0 .0 °
