SUPRALEDNING
Vad händer med en metalls ledningsförmåga vid 0 K? Jag har i föreläsningen om
metallers egenskaper visat kurvor på en metalls resistans som funktion av
temperaturen. Resistansen sjunker med sjunkande temperatur och når ett konstant
värde vid 0 K. Resistansen vid 0 K beror på antalet föroreningar i provet. Vad sker
med resistansen i en mycket ren metall vid 0 K? Enligt tidigare resonemang borde
resistansen gradvis sjunka mot noll vid 0 K. Under förra seklet hade man detta som en
hypotes, men andra fysiker trodde istället att resistansen skulle gå mot oändligheten
vid 0 K därför att valenselektronerna skulle binda till atomerna i ett grundtillstånd vid
absoluta nollpunkten. Kyltekniken utvecklades i början av 1900-talet och tog ett stort
tekniskt språng framåt 1908, när man började att använda flytande helium. Man fick
därmed en möjlighet att utforska material- egenskaper vid mycket låga temperaturer.
Figur 1 visar en metalls resistivitet med föroreningar samt de två hypoteserna, noll
respektive oändlig resistans för en ren metall.
Metallers resistivitet vid 0 K
ρ
oren metall
hypoteser
0
ren metall
0
T(K)
5
Figur 1
Det första mätningarna av resistans vid låga temperaturer utfördes på mycket rent
kvicksilver av Kamerlingh Onnes i Leiden. Han upptäckte att provets resistans
plötsligt sjönk från ca 0.1 Ω till ca 10 –5 Ω inom en tiondels grad vid 4.17 K som Figur
2 nedan visar. Kamerlingh Onnes hade upptäckt en ny och oväntad egenskap hos
material nämligen den perfekta ledningsförmågan. Materialet är normalledande till en
viss temperatur, övergångstemperaturen (Tc) som är materialspecifik. Vid den
temperaturen sjunker resistansen på en tiondels grad till nästan omätbar nivå och
materialet befinner sig i ett tillstånd med oändlig ledningsförmåga. Fler material
undersöktes och man fann att flera metaller, dock inte de med bäst ledningsförmåga
som normalledande, uppvisade samma resistansfall. Flera olika experiment gjordes på
1
material i detta nya tillstånd och man upptäckte att det fanns fler avvikelser i
materialens egenskaper jämfört med det normalledande tillståndet (NL).
Kammerlingh Onnes kallade dessa material för supraledare (SL). Inte förrän 1957
presenterades en teori som kunde förklara supraledning, den s.k BCS-teorin (efter
upphovsmännen Bardeen, Cooper och Schrieffer). Jag återkommer till teorin och
börjar med en beskrivning av de speciella egenskaper material har i SL tillstånd.
ρ
Hg
0
3
5
Tc
T(K)
Figur 2
Meissner-effekten
En supraledare som kyls i närvaro av ett konstant magnetfält, från en temperatur där
den är normalledande ned under övergångstemperaturen tränger ut det magnetiska
fältet i det supraledande tillståndet. Detta kallas Meissner-effekten. En supraledare är
en perfekt diamagnet i det SL tillståndet.
Skillnaden mot en perfekt ledare åskådliggörs i figur 3 nedan som återger ett
tankeexperiment.
Vi uppfinner en perfekt ledare med noll resistans under en viss övergångstemperatur.
Experiment I visar vad som händer i en perfekt ledare och en supraledare vid en
temperatur som är under övergångstemperaturen Tc. Båda har då noll resistans.
Lägger man på ett magnetfält så induceras ytströmmar som tränger ut magnetfältet
enligt Maxwells ekvation:
rotE = −
∂B
∂t
2
E är eklektriska fältet och B magnetiska induktionen.
EXPERIMENT 1:
Supraledare
Perfekt
ledare
T<Tc
Magnetfält läggs på
utan att ändra T:
T<Tc
Figur 3a
I detta experiment går det inte att särskilja en perfekt ledare från en supraledare. I
experiment II ligger det ett konstant magnetfält över de båda vid en temperatur som är
högre än Tc. Proverna skyls ned till en temperatur under Tc. Den perfekta
normalledaren kommer fortfarande att ha ett magnetfält i provet eftersom inga
strömmar induceras när magnetfältet är konstant i tiden. Supraledaren kommer att
tränga ut fältet även i detta experiment. Det kallas för Meissner-effekten.
3
EXPERIMENT 2:
Perfekt
ledare
Supraledare
T>Tc
T ändras utan att
ändra magnetfältet:
T<Tc
Meissner
effekten
Figur 3b
Superström
Ett annat experiment som genomfördes, också första gången av Kammerlingh Onnes
gick ut på att visa om resistansen verkligen är noll eller mycket liten i en supraledare.
Han inducerade en ström i en cirkulär ledare av bly och kylde ringen under den
kritiska temperaturen. I en ledare med resistans kommer då strömmen att successivt
minska med halveringstiden L/R (L är induktansen och R är resistansen) men
strömmen i SL minskade inte mätbart på flera timmar. Experimentet har upprepats
många gånger och rekordet är två år (därefter bröts kylan pga av en strejk). Man har
kommit fram till en övre gräns för resistiviteten i en supraledare på 10-25 Ωm (jmfr
med metall 10-8 Ωm)
Kritiskt fält
En supraledare är en perfekt diamagnet och detta kan uttryckas på följande sätt för en
lång rak ledare:
4
B = Ba + µ 0 M = 0
M =−
1
Ba
µ0
supraledare typ I
-µ0M
-Bc
Ba
Bc
supraledande
tillstånd
normalledande
tillstånd
Figur 4
Ba är magnetfälti luf/vakuum (eg. Ba=µ0H) och M är magnetiseringen. Blir det
pålagda fältet för stort bryter fältet supraledningen och supraledaren blir
normalledande. Figur 4 åskådligör detta.
Fältet som bryter supraledningen kallas det kritiska fältet. Kritiska fältet är
temperaturberoende och detta kan beskrivas med en approximativ empirisk formel:
⎛ ⎛ T ⎞2⎞
Bc = Bc 0 ⎜⎜ 1− ⎜ ⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ Tc ⎠ ⎠
5
Kritiska fältet för supraledare typ I
0.1
Bc (T)
Pb
0
0
8
6
4
2
T(K)
-2
0
2
4
6
8
10
12
A
Figur 5
Det finns två varianter på hur ett yttre fält bryter supraledningen. Antingen bryts
supraledningen fullständigt vid en kritisk fältstyrka som figur 4 visar. De supraledare
som uppvisar det beteendet kallas typ I supraledare. Den andra varianten är att ett
kritiskt fält börjar bryta supraledningen men inte förrän fältstyrkan överskrider ett
högre värde bryts den fullständigt, de som uppför sig så kallas typ II supraledare (se
figur 6).
supraledare typ II
-µ0M
-Bc
Bc1
supraledande
tillstånd
Bc
Bc2
vortex tillstånd
6
Ba
normalledande
tillstånd
Figur 6
Kritiska fältet för supraledare typ II
50
Bc2(T)
Nb7 9 (Al7 3G e2 7 )2 1
0
0
15
10
5
T(K)
Figur 7
Vortex tillstånd
Vortex tillstånd, ett tvärsnitt av materialet med
ett yttre magnetfält riktat vinkelrätt mot papperet
100 nm
supraledande
kanal som är
normalledande
Figur 8
7
20
Vortex-tillståndet i supraledare typ II är ett blandtillstånd, både supraledande och
normalledande. I supraledande områden uppkommer kanaler av normalledande
områden som figur 8 ovan visar. I dessa kanaler penetrera magnetfältet men inte i
omgivande områden. När temperaturen eller yttre magnetfältet ökar minskar området
som är supraledande och har försvunnit helt vid T= Tc eller Ba=Bc2. Typ II supraledare
är oftast legeringar eller metaller med hög resistans i normalledande tillstånd. Även de
nya keramiska högtemperatur-supraledarna är av typ II.
Värmekapacitivitet
En supraledare har ett annat temperaturberoende än normalledare. Figur 9 visar en
metall i normalledande tillstånd vilket kan upprättas under Tc med ett pålagt
magnetfält som är större än kritiska fältet vid 0 K. I supraledande tillståndet ökar
värmekapacitiviteten exponentiellt vilket framgår tydligare av figur 9b som har
Värmekapacitivitet för NL och SL
SL
Cv /T
exp(-kTc/T)
NL
Tc
γ +AT2
T2
logaritmisk y-axel och 1/T på x-axeln.
Figur 9a
Energigap
Att värmekapacitiviteten har ett exponentiellt temperaturberoende kan förklaras med
att elektronerna exciteras termiskt över ett energigap. Jag återkommer till detta senare
när jag beskriver BCS-teorin. Energigapet är inte konstant utan störst vid 0 K för att
sedan minska gradvis enligt figur 10. Bandgapen är i storlek 0.1 –1 meV vid 0 K för
olika metaller.
8
log(Cv )
Värmekapacitivitet supraledare
Tc/T
1.0
Figur 9b
Bandgapet i en supraledare
Eg (T)/Eg(0)
1.0
1.0
T/Tc
Figur 10
9
BCS-teorin för supraledare
BCS-teorin grundar sig på att oberoende en-elektrontillstånd i en fermigas inte är det
lägsta energitillståndet vid 0 K och upp till övergångstemperaturen utan det finns ett
tillstånd, supraledande tillståndet som har lägre energi än fermigasen. Det viktigaste
med detta tillstånd är att det bildas ett energibandgap mellan detta grundtillstånd och
exciterade tillstånd. Teorin visar att ett sådant tillstånd kan skapas av att elektroner
bildar par, s.k. Cooper-par vilka uppfyller följande två kriterier:
1. De två elektroner som utgör ett par har motsatt spinn-riktningar (nödvändigt
villkor)
2. Elektronerna i paret har till beloppet lika stora vågvektorer som är motsatt riktade.
(ej nödvändigt villkor)
I och med att paret har netto-spinn lika med noll är Cooper-paret inte en fermion utan
boson och har inte längre restriktionen att inte dela tillstånd med andra elektroner med
samma spinn. Alla Cooper-par kommer därför att befinna sig i samma tillstånd.
Cooper-par bildas genom att två elektroner växelverkar via en fonon. Fononer kan
skapas och förintas och fononerna som kopplar ihop elektroner i Cooper-par tar upp
och avger energi respektive rörelsemängd så att villkoret enligt punkt 2 ovan uppfylls.
Vid 0 K finns inga termiska fononer. De fononer som upprättar Cooper-par är s.k.
virtuella fononer som egentligen inte finns men kan existera under en tid ∆t som
ligger inom Heisenbergs osäkerhet för mätbarhet:
∆t∆E ≤
h
2
∆E är fononens energi och kan maximalt vara hω D . De elektroner som kan bilda
Cooper-par befinner sig således i ett intervall runt ferminivån, i ett intervall i
storleksordning av hω D eftersom det är den energi som kan överföras mellan
elektronerna i paret via den virtuella fononen. I Cooper-paret binds elektronerna med
en bindningsenergi per elektron som är lika med energiskillnaden mellan det
supraledande tillståndet och ferminivån för den normalledande fermigasen. Figur 11
nedan visar hur tillståndstätheten i en frielektronmetall i supraledande tillståndet.
Totala energin minskar och elektronerna som bildat Cooper-par har sänkt sin energi
motsvarande bandgapet jämfört med ferminivån. Eftersom Cooper-paren är bosoner
kommer alla paren att befinna sig i samma tillstånd vid bandkanten vilket ”spiken” i
kurvan visar. Figuren överdriver bandgapets storlek och avvikelsen under bandkanten.
Bandgapet är i storleksordning meV och ferminivån är i storlek 5-10 eV.
Alla Cooper-par befinner sig i samma tillstånd och kan därför beskrivas med en total
vågfunktion.
Vid T≠ 0 K bryts Cooper-paren av ett tillskott av termisk energi om den överstiger
bindningsenergin. Färre elektroner kan bilda Cooper-par med ökande temperatur
vilket får till följd att bandgapet krymper. Bindningen kan också brytas med
magnetisk energi som överstiger bindningsenergin, det sker vid fältstyrkan för det
kritiska fältet.
10
g(E)
FEM oberoende
elektroner
Eg
EF
E
Figur 11
Varför har då en supraledare noll resistivitet? Vid T=0 K kan tillstånden för alla
Cooper-par beskrivas med en gemensam vågfunktion. Föroreningar påverkar inte
denna totala vågfunktion för kollisioner mellan föroreningar och Cooper-par bryter
inte parbildningen och ändrar inte dess tillstånd om det sker elastiskt vilket
föroreningskollisioner gör och den totala vågfunktionen påverkas då inte heller. En
opåverkad vågfunktion ”upplever” ingen spridning. Vid T≠ 0 K kommer NL
elektroner som är termiskt exciterade att samexistera med Cooper-par. Cooper-parens
noll-resistivietet parallellt med normala elektroner med resistans ger totalt noll
resistans (kortslutning via Cooper-paren). Figur 12 nedan visar hur man tänker sig att
elektronerna vaxelverkar via gitterstörningar.
Fig 12
11
Att Cooper-paren kan beskrivas med en total vågfunktion och att alla paren befinner
sig i samma tillstånd är kärnan i BCS-teorin. Man brukar benämna alla Cooper-par för
ett kondensat därför att de inte påverkas individuellt på en yttre störning utan all
påverkan sker kollektivt.
Hur förklaras Meissner-effekten? Den kan också härledas ur BCS-teorin men det
kommer inte att tas upp i denna kurs. Värt att påpekas är att skärmningen mot
magnetfältet sker med ytströmmar som fullständigt kompenserar det pålagda
magnetfältet så att det inte tränger in i det inre av materialet.
Flödeskvantisering i en supraledande ring
En ström i en ledare inducerar ett magnetfält runt ledaren. I fallet
magnetiska
flödeslinjer
Φ
I
Figur 13
med en cirkulär ledare, solenoid, erhålls ett flöde i ringen som bestäms av
strömstyrkan.
I en supraledande solenoid kommer Cooper-pars-kondensatets vågfunktion att vara
koherent eftersom vågfunktionen för varje Cooper-par är koherent. (Den totala
vågfunktionen är en superposition av dessa.) Om kondensatet utsätts för ett elekriskt
fält så kommer fältet att påverka alla Cooper-par lika dvs de får en impuls ∆hk som är
densamma för varje par. Det innebär att den totala vågfunktionen också får samma
impuls och därmed ändrar sin fasfaktor med ∆φ. I en sluten strömslinga kommer då
det elektriska fältet att ge upphov till en ström som beror av kondensatets koherenta
vågfunktion vilken måste uppfylla att den bibehåller sin koherens genom att
fasfaktorns ändring under ett varv i slingan är:
∆ φ = 2πn
12
n är ett heltal. Totala magnetiska flödet blir därför också kvantiserat (utan att visa
sambandet mellan ström och magnetiskt flöde):
Φ = (h / 2e)n
n är ett heltal och 2e är laddningen hos ett Cooper-par.
Tekniska tillämpningar med SL
Supraledande material används huvudsakligen i supraledande elektromagneter som
kan ge mycket höga magnetiska fältstyrkor därför att det går att köra stora strömmar i
supraledande lindningar utan att få den uppvärmning som höga strömmar i vanliga
resistiva ledningar ger upphov till. Begränsningen i storleken på magnetfältet sätts av
att strömmen inte får inducera ett magnetfält som är större än det kritiska fältet så att
supraledningen bryts. Typ II SL används i tekniska tilämpningar därför att dessa har
de största kritiska fältet. Ett tekniskt problemet med supraledande magneter är att de
måste kylas till temperaturer under övergångstemperaturen vilket innebär en hantering
med flytande helium.
Hög T c supraledare
1986 upptäcktes att vissa metalloxider var supraledande och med en
övergångstemperatur som var mycket högre än det då kända rekordet från 1972 på
T c =23.2 för Nb3Ge (typp II). Den första hög-T c SL som upptäcktes var (La2xBax)CuO4 med Tc ≈ 35 K för x≈0.15. Efter denna upptäckt som givetvis belönades
med ett Nobelpris har en frenetisk forskningsaktvivitet ägt rum som resulterat i nya
rekord. Man har nu nått upp till T c ≈135 K vilket är en bra bit över kokpunkten för
flytande kväve (77 K). Att kyla med flytande kväve är betydligt lättare rent tekniskt
och skulle därmed kunna öka användningen av supraledare i fler tekniska
tillämpningar. Dessvärre är materialen i hög-T c SL oftast keramer vilket gör det
omöjligt att fabricera ledningar.
De flesta högTc SL innehåller kopparoxid. Strukturerna är komplexa men innehåller
kristallplan med bara koppar och syre och detta tror man är avgörande för SL. Dessa
plan har god ledningsförmåga. BCS-teorin är otillräcklig för att förklara hur Cooperpar skulle kunna bildas i dessa typer av material. Hall-effekt-mätningar har visat att
ledning sker medelst hål vilket också stöds av flux-mätningar som visar en laddning
på +2e hos superströmmens laddningsbärare.
13
Mål
• Veta vad som avses med kritisk temperatur, kritiskt magnetfält och superström
• Vad skillnaden är mellan typ I och II SL
• Beskriva vilka egenskaper som skiljer supraledare från normalledare
• Kunna beskriva Meissner-effekten
• Veta att kritiska fältet är temperaturberoende
• Veta vad som begränsar strömstyrkan genom en supraledande kabel
• Veta några tekniska tillämpningar i vilka supraledare används
• Veta något om vad ett Cooper-par beskriver
• Beskriva något ur BCS-teorin
• Veta vilka material hög-T c SL består av
14
