Rörelse med motstånd - Daniel Johansson
1
Olika typer av motstånd
I vardagsfysiken uppkommer ständigt krafter som verkar i motsatt riktning
än de rörelser som sker. I detta kapitel kommer vi att dela upp dessa motståndskrafter i tre kategorier,
• Friktion - Kraften mellan två kontaktytor som färdas eller trycks rela-
tivt varandra.
• Luftmotstånd - Det motstånd som uppkommer då något färdas relativt
en omgivande gas.
• Visköst rörelsemotstånd - Motståndet som uppkommer då ett föremål
färdas relativt en omgivande vätska.
Inte bara skiljer sig dessa tre kategorier under vilka omständigheter de uppkommer utan även på vilka sätt de uppkommer. För att t.ex. luftmostånd
samt visköst rörelsemotstånd ska uppkomma krävs en rörelse relativt mediet
medan friktionen som kraft gör sig påmind om även när ett objekt står stilla
på ett lutande plan.
2
Friktion
Alla som har cyklat på en äldre cykel i sämre skick har erfarenhet av vad
friktion är. Det är den höga friktionen i tramplager och drev som gör att
cykeln känns tung att cykla på. Samtidigt är friktionen en förutsättning för
att vi ska kunna ta oss framåt. Om det inte vore för t.ex. friktionen mellan
hjul och mark så skulle det vara omöjligt att accelerarer med cykeln endast
genom att trampa. Låt oss studera under vilka villkor fenomenet friktion
förekommer!
2.1
Friktion utan rörelse
Experiment visar att friktionen är proportionell till normalkraften mellan
ytorna i fråga. Detta innebär att för en låda, som står på ett lutande plan, så
spelar det ingen roll om vi dubblar dess bottenarea - friktionen är fortfarande
den samma. Detta beror på att om vi dubblar arean som halverar vi också
trycket, detta ändrar inte normalkraften.
1
Med en elevationsvinkel α för planet så erhåller vi ekvationerna:
N = mg cos(α),
(1a)
(1b)
Konstanten tan(α) kallas i de esta fall för friktionstalet, µ. För varje par av
underlag så nns ett så kallat vilofriktionstal, µv , som friktionstalet inte kan
överstiga. Ökar vi vinkeln så mycket att tan(α) > µv så börjar föremålet att
glida.
Ff = mg sin(α) = tan(α) · N
2.2
Friktion vid glidning
Under glidningen motverkas rörelsen med en kraft som ges av:
F f = N · µg ,
(2)
där µg kallas för glidfriktionstalet. I allmänhet gäller att µv > µg , vilket
innebär att den största friktion som uppnås mellan två ytor är den som
uppstår precis innan en glidning börjar.
En låda är placerad högst upp på ett lutande plan med elevationsvinkel α. Helt plötsligt knuar Mehmed lådan på ett sådant sätt att
dess hastighet är v . Hur lång blir nu bromssträckan för lådan?
Övning:
3
Visköst rörelsemotstånd
Visköst rörelsemotstånd uppstår när ett föremål färdas i en vätska. Hur mycket rörelsemotstånd som en vätska du utövar kallas för vätskan viskositet.
Ideal fallet som vi kommer att studera är då det viskösa motståndet är proportionellt till hastigheten,
Fv = r · v.
(3)
3.1
Bortsett från andra krafter
För ett föremål som rör sig utan påverkan av några andra krafter gäller då
(enligt Newtons andra lag):
m · ~a = −r · ~v ,
vilket vi skriver enligt:
r
dv
+
· v = 0,
dt m
2
(4a)
där
hri
m
(4b)
= t−1 .
Konstanten τ = mr har således dimensionen tid och kallas för relaxationstiden.
Denna konstant hur snabbt starthastigheten avtar.
Lösningen på den homogena ekvationen (4a) ges av:
t
v = v0 · e− τ .
3.2
(5)
Med hänsyn till andra krafter
Låt oss säga att vi släpper ett föremål vi vatten ytan som sjunker. Från
börja var föremålet vid vila men tyngdlagen ck det att accelerera. Denna
situation kan inte beskrivas med lösningen i ekvation (5). Istället måste vi
lösa ekvationen:
dv
r
F
+
·v = .
dt m
m
Detta är en icke-homogen dierential ekvation som kräver en partikulärlösning. Partikulär lösningen på denna ekvationen är:
v=
F
,
r
vilken sedan adderas med den homogen lösningen som då ger:
t
v = C · e− τ +
F
.
r
Observera att vi här inte har C = v0 . Istället får vi genom att sätta t = 0
att
Hastigheten ges således av:
F
C=− .
r
v=
t
F
(1 − e− τ ).
r
(6)
Låter vi nu tiden gå mot oändligheten så har vi:
v∞ =
F
.
r
Vi ser att tyngre föremål faller snabbare i vätskor, något vi kanske hade
förväntat oss.
Övning: Beräkna maxhastigheten, v∞ , för ett objekt med volym V, samt
massa m. Glöm inte att ta hänsyn till vattnets lyftkraft.
3
4
Luftmotstånd
Luftmotstånd är analogin till visköst rörelsemotstånd men i gas. Experiment
visar att luftmotstånd, till skillnad från visköst rörelsemotstånd, är proportionell till hastigheten i kvadrat,
F = k · v2.
(7)
Detta beroende försvårar situationen betydligt och innebär att vi i regel får
räkna luftmotstånd med hjälp av numeriska modeller.
Vilka variabler tror du vi behöver för att räkna konstanten k?
Hur ser ekvationen ut?
Övning:
Konstanten k i ekvationen ovan är i sin tur proportionell till föremålets
tvärsnittsarea, A, luftens densitet, ρ, samt en form faktor, C , som innefattar
föremålets areodynamik.1 Luftensdensitet vid normala omständigheter ligger
omkring ρ = 1.22kg/m3 .
Givet att ett föremål färdas genom luften så kan vi ställa upp ekvationerna:
1
(8a)
Fx = − Cρavvx ,
2
samt
1
Fx = − Cρavvy .
2
(8b)
Väljer vi vår y-axel till höjdled samt tar hänsyn till gravitationen får vi här
en acceleration enligt:
ax = −kvvx ,
(9a)
samt
ay = −g − kvvy .
(9b)
: Antag att den enda kraft som behöver övervinnas för att hålla
en bil i konstant hastighet är luftmotståndet. Tänk dig att du ska köra
sträckan S m, hur mycket mer energi går det åt att köra sträckan i 110km/h
jämfört med att köra sträckan i 70km/h?
Övning
1 För
en perfekt sfär är denna konstant
C = 0.45.
4
