Kap 6. Arbete och energi

Kap 6. Arbete och energi
Newtons andra lag:
dv
 F m dt
Om alla krafter på en kropp är kända kan Newtons andra lag användas för
att förutsäga hur kroppens hastighet och läge kommer att förändras.
Om krafterna är kända som funktion av tiden kan N II integreras över tid för
att ge ändring av hastiget. Detta behandlas i kapitel 8 i University Physics.
Vanligare är dock att krafterna beror av kroppens läge, tex gravitationskraft
mM
F  G 2 som beror av avståndet r, eller kraft av fjäder, F  kx , som beror
r
på hur långt utdragen fjädern är.
Vi måste då undersöka vad krafterna åstadkommer under kroppens
förflyttning i rummet. Detta behandlas i kapitel 6 och 7 i University Physics.
Under en kropps förflyttning en viss sträcka uträttar en kraft F ett arbete på
kroppen. Arbetet betecknas med W, work.
Men alla krafter är inte parallella med förflyttningen:
Detta gäller bara för konstant kraft och förflyttning med fix riktning!
Men om kraft ej konstant och förflyttning ej i fix riktning:
Q
Arbete av varierande kraft F
W   F  ds
P
Integrationen sker alltså över kurvan C från punkten P till punkten Q.
Arbete mäts i Nm=J
Joule
Exempel. Konstanta krafter och förflyttning i fix riktning:
OBS: Arbetet kan vara större än noll, lika med noll eller mindre än noll!
Vår upplevelse av hur ansträngande arbetet är beror inte om det är positivt
eller negativt.
Räkna 6.6, 6.7
Vad blir det av det totala arbetet?
Vid endimensionell rörelse:
Först lite matematikrepetition:
Skriv om accelerationen med hjälp av kedjeregeln:
a
dv dv dx dv
dv


vv
dt dx dt dx
dx
a dx  v
Detta ger att
dv
dx  v dv
dx
Betrakta en kropp som rör sig längs x-axeln, från läget x1 till x2, medan
dv
summan av krafterna  F ma  m
verkar på kroppen.
dt
dv
NII  F  m
integrera från läget x=x1 till x=x2
dt
Låt v1 resp v2 beteckna farten när kroppen passerar läget x1 resp x2
x2
x2
x1
x1
  Fdx 
Alltså:
m
dv
dx 
dt
x2
m
x1
Wtot, x1  x 2 
Kvantiteten
dv dx
dx 
dx dt
x2
 mv
x1
dv
dx 
dx
v2
v
2
1
1
1
2
2
2

mv
m
v
dv
v
  2 mv 2  2 mv1
 2
v1
1
1
1
mv 22  mv12
2
2
1
mv kallas kroppens rörelseenergi eller kinetiska energi.
2
Sambandet mellan totalt arbete och ändring av kinetisk energi kallas
Arbete-Energisatsen: Wtot 
1
1
mv 22  mv12
2
2
Det totala arbetet är lika med ändringen av kroppens rörelseenergi.
Detta gäller alltid.
Räkna 6.14, 6.29, 6.20, 6.17
Arbete-Energi-satsen vid varierande kraft och krökt bana
N II
dv
 F  mav  m dt
skall alltså integreras över vägen C
Vi utnyttjar att förflyttningen dr  v dt , att
a  dr 
dv
d v  v 
 2v 
samt kedjeregeln:
dt
dt
 
dv
1 d v2
1 d v  v 
dv
dv
 dr 
 vdt 
dt  v dv
dt  v
dt 
dt
2 dt
2
dt
dt
dt
Integrera N II över vägen, från läget r1 till läget r2
Låt v1 resp v2 beteckna farten när kroppen passerar läget r1 resp r2
r1
r2
r2
r1
r1
r1
  F  dr 
r1
Dvs
 ma  dr 
m
1
  F  dr  2 mv
dv
 vdt 
dt
2
2
r2
 mv
r1
dv
dt 
dt
v2
1
mv12
2

r1
Arbete-Energi-satsen gäller!
Arbete-Energisatsen:
Wtot 
v
2
1
1
1
2
2
2
m
vdv

mv
v
 2
  2 mv 2  2 mv1
v1
1
1
1
mv 22  mv12
2
2
Totalt arbete utfört på en kropp = ändring av kinetisk energi!
Exempel varierande kraft
Det enklaste exemplet på kraft som varierar med läget är kraft av fjäder
F  -kx där x är avvikelsen från läget där fjädern är odeformerad.
k kallas kraftkonstant, mätes i N/m
Arbete :
W
r2
x2
r1
x1
 F  dr   - kx dx
Räkna ex 6.40, 6.37, 6.45
Effekt
En krafts effekt på en kropp är uträttat arbete på kroppen per tidsenhet.
Effekt heter Power på engelska.
Enhet J/s = W
Watt .
Medel effekt Pmedel 
W
t
Momentan effekt
P
dW
dt
För att beräkna momentan effekt använd
W   dW   F  dr
P
som ger
dW F  dr
dr

F
Fv
dt
dt
dt
Momentan effekt
Uppg
P Fv
6.59, 6.54, 6.57
dW  F  dr