051013
Mats Areskoug
Betz lag
Tillägg till Mats Areskoug: Miljöfysik avsnitt 11.2.1
I härledningen av Betz´ lag påstås att ”medelhastigheten” för vinden är:
v+x
2
Detta är inte helt självklart.
Mad beteckningar enligt boken är vindhastigheten för den vindvolym som passerar propellern
v före propellern och x efter propellern.
Den uppfångade rörelseenergin blir
v2 x2
W = m −
2
2
Uppfångad effekt blir
m v2 x2 1 m
− =
(v − x )(v + x )
2 2 t
t 2
Där m/t är den luftmassa som på tiden t passerar propellern. Denna kan skrivas som
m ρV
=
= ρAv p
t
t
där vp är lufthastigheten precis vid propellerpassagen.
P=
Ett annat sätt att skriva den uppfångade effekten är att utgå från impulslagen: impulsen (kraft
gånger tid) är lika med rörelsemängdsförändringen. Kraften på propellern (eller den lika stora
bromsande kraften på luften) blir:
(mv − mx ) = m (v − x )
F=
t
t
Överförd energi blir kraft gånger sträcka och överförd effekt blir kraft gånger sträcka
dividerat med tid, alltså kraft gånger hastighet:
m
P = Fv p = v p (v − x )
t
Även här är vp den lufthastighet som råder vid propellerpassagen.
Om vi nu jämför de båda uttrycken för P ser vi att:
v+x
vp =
2
Alltså: vindhastigheten vid propellerpassagen är just medelvärdet av vindhastigheten före
respektive efter propellern. Detta är alltså den hastighet varmed massa förflyttas förbi
propellern.
Enligt ovan gäller:
m
V
= ρ = ρAv p
t
t
Om detta sätts in i ena eller andra uttrycket för P erhålls
P = ρA
(v + x ) (v + x ) (v − x )
2
2
Alltså det uttryck som man sedan kan söka maximum för, för att nå fram till Betz lag.
