ALGEBRA Populärt brukar algebra ibland kallas för bokstavsräkning GENOMGÅNG 3.1 Uttryck och ekvationer EKVATION Ekvation betyder LIKHET 2 4 5 13 UTTRYCK 200 24 x konstant koefficient variabel 200 24x Ett uttryck med en variabel kallas ett bokstavsuttryck eller algebraiskt uttryck. FÖRENKLING AV UTTRYCK Vad är 5x 3x ? xxxxx + xxx x x x x x x x x 8x OBS! x x x x 3 3x x x x Hur skall man göra för att inte blanda ihop dessa? Test med tal! 2 222 3 2 2 2 2 3 Test med tal! 2 8 3 3 2 6 Hur mycket är… x4 3 x 3x Hur mycket är… x4 4 x 4x Hur mycket är… x7 3 x 3x FÖRENKLING AV UTTRYCK a) 5x 3x 2x b) 4y y 5y c) 7s 6s 1s s d) 8x 10 2x 3 8x 2x 10 3 6x 7 ADDITION AV UTTRYCK (3x 5) (7 x 9) (3x 5) (7 x 9) 3x 5 7 x 9 10x 14 SUBTRAKTION AV UTTRYCK (3x 5) (7 x 9) (3x 5) (7 x 9) 3x 5 7 x 9 4x 4 4 4x ÄPPLEN OCH PÄRON Äpplen kostar a kr/kg och päron kostar b kr/kg. Vad betyder a) 5 × a b) 9b c) 2a + 3b a) Priset i kronor för 5 kg äpplen b) Priset i kronor för 9 kg päron c) Priset i kronor för 2 kg äpplen och 3 kg päron STÄLLA UPP FORMLER Ställ upp en formel för y då a) y är summan av a och x y ax b) y är differensen av a och x y ax OBS! c) y är produkten av a och x y a x ax d) y är kvoten av a och x a y x UPPGIFT Vad kostar det att framkalla en färgfilm och kopiera 36 bilder, om framkallningskostnaden är 9,50 kr och kopieringskostnaden är 2,05 kr per bild? Framkallningskostnad: 9,50 kr Kopieringskostnad: 36 × 2,05 kr = 73,80 kr Total kostnad: 9,50 kr + 73,80 kr = 83,30 kr Det kostar T kr att framkalla en färgfilm och kopiera n stycken bilder, om framkallningskostnaden är a kr och kopieringskostnaden är b kr per bild? Ställ upp en formel för T. Framkallningskostnad: a kr Kopieringskostnad: n × b kr = nb kr Total kostnad: T = a kr + nb kr = (a +nb) kr Att lösa ekvationer 5 10 2x 5 2x 10 2 x 2x Multiplicera båda leden med 2x 5 20x Dividera båda leden med 20 5 20 x 20 20 5 5 xx 20 20 1 x 4 Förkorta med 5 Att lösa ekvationer Kontroll: 1 5 Är x en lösning till ekvationen 10 ? 4 2x 5 5 5 10 VL HL 1 2 1 2 4 4 2 1 5 Svar: Ja, x är en lösning till ekvationen 10 . 4 2x LÖSA UT VARIABEL Lös ut t ur följande uttryck: -a dividera med s b a st - a b a st dividera med s b a st s s ba t s ba t s GENOMGÅNG 3.2 Potensekvationer Ekvationer Ekvationer Ekvationer Ekvationer Ekvationer Ekvationer Potensekvationer 4 4 4 16 2 4 2 2 x 25 x 25 x1 5 x2 5 Ekvationen x a n x 5 x x x 5 3 x 5 x5 3 1 3 Ekvationen x a n x 5 3 1 3 x5 x 1,71 OBS! x ( 2) 5 x 5 3 x 5 4 1 2 x5 x5 1 3 x5 1 4 OBS! x5 x5 x5 1 2 5^(1/2) = 2,2360679775 1 3 5^(1/3) = 1,70997594668 1 4 5^(1/4) = 1,49534878122 GENOMGÅNG 3.3 Formler och mönster Uppgift 3301 Uppgift 3302 Uppgift 3313 Uppgift 3314 Lös ut y 2 y 6x 0 2 y 6x 2 y 6x 2 2 y 3x Kontroll! 2(3x) 6 x 0 6x 6x 0 Stämmer! GENOMGÅNG 3.4 Olikheter och problemlösning Problemlösning Simon tänker på ett tal. Då han fördubblar talet och lägger till 18 blir resultatet 74. Vilket tal tänkte Simon på från början? 2x 18 74 2x 18 18 74 18 2x 56 2 x 56 2 2 x 28 Olikhet 2x 18 74 2x 18 18 74 18 2x 56 2 x 56 2 2 x 28 Olikhet 2x 18 74 2x 18 18 74 18 2x 56 2 x 56 2 2 x 28 Olikhet 18 2x 74 18 18 2x 74 18 2x 56 OBS! 2 x 56 2 2 x 28 OBS! Problemlösning Ulla skall blanda en 8-procentig lösning saltlösning, dvs 8% av vikten ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt. Hur många gram vatten behövs? DELA UT! Problemlösning – lösning 1 Ulla skall blanda en 8-procentig lösning saltlösning, dvs 8% av vikten OBS! ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt. Hur många gram vatten behövs? Vi får då följande ekvation: 8% av hela vikten är lika med 12 gram Detta skrivs med matematiska symboler: 0,08 x 12 0, 08 x 12 12 x x 150 0, 08 0, 08 0, 08 Svar: Hela vikten är 150 gram. Det innebär att det behövs 138 gram vatten. Problemlösning – lösning 2 Ulla skall blanda en 8-procentig lösning saltlösning, dvs 8% av vikten ska vara salt och resten ska vara vatten. Ulla tar 12 g salt. Hur många gram vatten behövs? 8% av hela vikten är lika med 12 gram 1% av vikten är lika med 12 gram = 1,5 gram 8 100% av vikten är lika med 100 1,5 gram = 150 gram Svar: Hela vikten är 150 gram. Det innebär att det behövs 138 gram vatten. GENOMGÅNG 3.5 Problemlösning (rep) Undersök och bevisa Vinkelsumma Vinkelsumma Hörn Grader 3 180 4 360 ?? 5 540 ?? 6 720 ?? 7 900 ?? 8 1080 ?? 9 1260 ?? 10 1440 ?? Vinkelsumma Hörn Grader 3 180 4 360 5 540 6 720 7 900 8 1080 9 1260 n ?? Vinkelsumma Hörn Grader n (n-2) × ?? 180 Problemlösning Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden. Vilket belopp står under den blå rutan? Problemlösning Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden. Vilket belopp står under den blå rutan? 3780 264600 (595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975 Kostnad för alla ”Genomsnittlig kostand/bet.tillfälle” Kostnad för alla avier Uppläggningskostnad vid första avisering Problemlösning Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden. Vilket belopp står under den blå rutan? (595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975 Vad är totalkostnaden för denna bil? 216000 + 4000 + 52975 = 272975 Vad stod det på prislappen? 216000 + 4000 = 220000 Problemlösning Längst ned på ett affärsförslag från en bilfirma fanns följande finansieringskalkyl. Under den blå rutan står den totala lånekostnaden, d.v.s. den effektiva kreditkostnaden. Vilket belopp står under den blå rutan? (595 + (84 × 45) + (84 × 3150)) - (216000) = 52975 Hur lång tid löper detta lån? 84 / 12 = 7 Svar: 7 år Cykelförrådet Problemlösning - cykelförrådet En stor förskola har ett förråd, där de har sina cyklar. Förskolan har både 2-hjuliga och 3-hjuliga cyklar. Just nu finns det 11 cyklar i förrådet. Tillsammans har de 27 hjul. Hur många av cyklarna är 2-hjulingar, och hur många är 3hjulingar? Tvåhjulingar: x st Trehjulingar: y st Antal hjul: 2 x 3 y 27 Antal cyklar: x y 11 y 11 x Antal hjul: 2 x 3 11 x 27 Antal hjul: 2 x 33 3x 27 x 6 Detta betyder att: x 6 och y 5 Hur kan man kontrollera detta? Multiplicera in 2( x 3) 2x 6 Multiplicera in 5 (6 3 y ) 30 15 y Faktorisera 2x 6 2( x 3) Faktorisera 30 15 y 5 (6 3 y ) Uppgift 3521 Parentesregler Uppgift 3530