Geometriska mönster och figurer
11 nov 2013
Lgr 11 kursplan i matema1k Geometri åk 1-­‐3 • Grundläggande geometriska objekt, däribland punkter, linjer, sträckor, fyrhörningar, trianglar, cirklar, klot, koner, cylindrar och rätblock samt deras inbördes rela1oner. Grundläggande geometriska egenskaper hos dessa objekt. • Konstruk1on av geometriska objekt. Skala vid enkel förstoring och förminskning. • Vanliga lägesord för aD beskriva föremåls och objekts läge i rummet. • Symmetri, *ll exempel i bilder och i naturen, och hur symmetri kan konstrueras. • Jämförelser och uppskaDningar av matema1ska storheter. Mätning av längd, massa, volym och 1d med vanliga nu1da och äldre måDenheter. Symmetri
Definition: egenskapen att vara oförändrad
under en viss bijektiv avbildning (Kiselman)
Bijektiv avbildning betyder ett ett-till-ett
förhållande mellan två mängder, varje
element i den ena motsvaras av ett element
i den andra. Inget element ”blir över” om
man projicerar den ena på den andra och
vice versa.
I matematiken betyder
symmetri att
en likadan form upprepas
enligt vissa regler.
Det finns olika sätt som formen kan
upprepas på
• translation eller parallellförflyttning
• rotation
• reflektion/spegling
• glidreflektion
Translation eller parallellförflyttning
• Alla punkter flyttas en bestämd
vågrät sträcka
• Man kan illustrera denna symmetri
genom att hoppa på en fot rakt fram
Speglingar
• Vi kan spegla lodrätt eller vågrätt
• Vågrät spegling får man om man
hoppar jämfota
• Kombination av spegling och
förskjutning kallas glidreflektion
Symmetri i islamiska mönster En artikel om symmetrier i islamiska mönster finns på Nämnaren på nätet.
Symmetri i naturen Ordet ”tessellering” kommer
från det latinska ordet
”tessella” – en liten bit av en
mosaik.
Att figurer tessellerar innebär
att man kan täcka en plan yta
med dem, utan att det bildas
mellanrum och utan att de
överlappar varandra.
Vinklarna i kvadraterna är 90°, fyra vinklar
tillsammans är 360°. I den liksidiga
triangeln är vinklarna 60°, alltså får vi
360° om vi lägger samman sex stycken.
Exempel på tesselering med två olika
figurer kan vi se på en fotboll. Hur ser
en sådan ut? Nu stämmer inte
förutsättningen med 360° i
mötespunkten, eftersom vi
inte längre arbetar med en plan yta.
Hur går det med oktagoner?
Om vi kombinerar två olika figurer,
oktagonen och kvadraten, kan vi lösa
det problemet.
Geo-clownen
huvud = cirkel
näsa = cirkel
läpp = rektangel
överkropp = rektangel
händer = trianglar
knappar = cirklar
fickor = kvadrater
hatt = cirkel och rektangel
öga = två rektanglar i kors
hår = kvadrat
armar = rektanglar
fluga = cirkel och två trianglar
byxor = en triangel och
två rektanglar
skor = trianglar
Platonska kroppar
Det finns fem regelbundna polyeder
(eng. regular solids or regular polyhedra)
som kallas platonska kroppar.
• alla ytor (eng. faces) är av samma form
• alla kanter (eng. edges) är lika långa
• alla hörn (eng. vertices) är lika stora
Platonska kroppar
http://ncm.gu.se/node/1322
Tre av dem kan man bygga med
enbart liksidiga trianglar:
• tetraedern (pyramiden) av 4 trianglar
• oktaedern av 8 trianglar
• ikosaedern av 20 trianglar
Kuben består av 6 kvadrater.
Dodekaeder består av 12 femhörningar.
Gyllene snittet är
förhållandet mellan
bredden och längden
på särskilda rektanglar.
