Vad kan vi lära
av matematikens historia?
JAN THOMPSON
Detta är den andra artikeln i Jan Thompsons serie om matematikens historia.
Kan en sträcka mätas? Vilken var grekernas taluppfattning? Kan geometri och
algebra uppfattas som lika?
Dessa tre saker tas upp denna gång. Vi får också en bakgrund till Elementas
betydelse för matematikens utveckling.
Att mäta en sträcka
Låt oss utgå från en given sträcka, AB:
Kan AB mätas? Man tar en linjal och läser av.
Men vad har vi egentligen gjort?
Först har vi valt en enhetssträcka, EF:
Sedan tillgår mätningen så att vi avsätter EF
utefter AB så många gånger som detta är möjligt,
säg tre gånger:
annan fråga: Hur kan en sträcka, ritad i sanden
(det naturliga för grekerna), ha ett exakt mått?
Frågan skulle i sinom tid komma att besvaras av
Platon. Sträckan som ritades i sanden var, sa
han, bara en skuggbild av den perfekta, den ideala sträckan, som tillhör idévärlden, men dock är
åtkomlig för vårt sinne. Det är inte lätt att veta
hur de grekiska matematikerna före Platon tänkte i denna sak, men låt oss inte fastna här utan,
om saken bekymrar oss, föregripa Platon på
denna punkt. Vi skall strax återvända till problemet att mäta sträckan AB, men något måste först
sägas om vad grekerna menade med tal.
Grekernas taluppfattning
Det återstår en sträcka CB, mindre är EF. Eftersom vi lever i en kultur som disponerar ett decimalt positionssystem för beteckning av tal, delar
vi EF i tio lika stora stäckor och väljer en av
dessa, EG. EG avsätts utefter CB, säg sex gånger.
Då återstår av CB en sträcka, mindre än EG. Vi
delar EG i tio lika delar, etc etc. Vi får ett tal, säg
Kring Pythagoras (död omkring 480) samlades
lärjungar tillhörande två sekter. Den ena utgjordes av acousmatici, som var hänvisade till att
3,64 . . .
där prickarna anger att processens längd avgörs
av det krav på precision vi har och kan ha när det
gäller sträckan AB. Antag att vi avbryter efter tre
steg och nöjer oss med tre siffror. Vi kan då säga,
att 3,64 är ett mått på sträckan AB, mätt i den
valda enheten.
Under det sjätte århundradet före vår tideräknings början funderade grekiska matematiker i
Magna Graecia ("Storgrekland", nuvarande
Syditalien, som var en grekisk koloni) och i
Jonien (nuvarande Mindre Asiens västra kust)
över denna fråga. Mätningar hade utförts inom
tidigare civilisationer, i Egypten och Mesopotamien. Men det nya var att de grekiska matematikerna ville ha ett exakt mått. Därmed uppstår en
Bild ur: C Singer, Naturvetenskapens historia.
Bilden föreställer Magna Graecia.
lyssna till mästaren. Ur denna krets kom att
härröra den talmystik som spelar en så stor roll i
västerlandets idéhistoria. Den andra kretsen bestod av mathematici, ur vilken rekryterades den
heroiska tidens matematiker. Dessa sysslade med
"mathemata", vilket är uttytt "sådant som kan
läras". Och det som kan läras, det som är förnuftigt, är det som kan uttryckas med tal. (Härav
den mångtydiga termen "logos", som betyder
ord, lag, förnuft, tal, småningom kvot.) Talen
var för pythagoréerna både den formella och den
materiella orsaken till universums tillblivelse. Den
förra innebär att talen och talens relationer utgör
de lagar som styr universum. Av kaos blir kosmos, som är grekiska för "god ordning", och
denna ordning består i själva uppräkneligheten.
Tingen är avgränsade och kan räknas upp. Så
kom det sig att pythagoréerna identifierade den
enhet ("ett") som utgör grunden för uppräkningen i ett tal med (den geometriska) punkten, som
utgjorde den byggnadssten, varav universum var
sammansatt. Detta är innebörden av talen som
universums materiella orsak.
Vad avsåg då grekerna med "tal"? Under hela
den grekiska matematiken menas med tal aldrig
något annat än ett antal ting så och så. Detta
kallade grekerna arithmos. Anmärkningsvärt är
att kopplingen till tinget som räknas upp aldrig
släpps. Det kan noteras att när Diophantos på
300-talet efter Kristus i antikens slutskede ger
vetenskaplig legitimation åt bråket, introducerar
han det som ett arithmos.
Han inför alltså en ny enhet (här fjärdedelen), en
ansats med uppenbara didaktiska fördelar.
Låt oss nu återvända till sträckan AB, som vi
ritat i sanden. Det ligger nära till hands att
uppfatta den som sammansatt av sandkorn
(punkter!) och på grund av identifikationen mellan punkten och "ett" kunde den beskrivas med
ett arithmos. Det följande skall nu förstås mot
bakgrund av att det vi kallar naturliga tal (med
undantag av noll) var det enda slags tal som
accepterades av grekerna.
Sträckan AB är mätbar i enheten EF om och
endast om det existerar naturliga tal, M och N,
sådana att
AB är till EF som M är till N.
(1)
AB och EF kallas då "kommensurabla" ("kan
mätas med samma mått"). För problemet att
finna de minsta M och N kunde grekerna ange en
särskild algoritm.
Redan under det femte århundradet blev det
emellertid känt att antagandet om generell kommensurabilitet var ohållbart. Enligt traditionen
gjordes upptäckten att diagonalen och sidan i en
kvadrat var inkommensurabla. Upptäckten tillskrivs en viss Hippasos, som fick plikta med livet,
inte för upptäckten utan för att han yppade den.
Beviset gavs inom den första matematiska teori
grekerna kände, nämligen teorin för det jämna
och det udda. Beviset är ekvivalent med beviset
för att 2 inte är ett rationellt tal och återfinns i
elementära läroböcker i matematik.
Elementa — en tidlös lärobok
Denna upptäckt var ett grundskott mot den matematiska atomismen. Men upptäckten fick också
andra konsekvenser, som syns av strukturen i
Elementa, det berömda arbete av Euklides som
sammanfattade dåtidens matematiska vetande,
ett verk som i delar i redigerad form lästs ända in
i vår tid. I vårt land till omkring 1960, då det
lyftes bort av beskäftiga skoladministratörer i
samband med slopandet av geometrin över huvud
taget, detta utomordentliga fält för träning i
matematiskt tänkande!
Elementa består av tretton böcker (kapitel).
Bok VII, som tillsammans med böckerna VIII
och IX kallas de "aritmetiska böckerna", innehåller den äldre pythagoreiska proportionsläran
för arithmoi (begreppet definieras i bok VII).
Bok V ger den allmänna proportionsläran för
magnituder, en sammanfattande term för längd,
area, volym samt tid. Bok V är ett verk av
Eudoxus, verksam vid Platons Akademi under
det fjärde århundradet. Endast magnituder av
samma slag kan stå i proportion till varandra (ha
en kvot). Detta betyder att cirklars areor kan
sägas vara till varandra som diametrarnas kvadrater (XII.2), men kvoten mellan en cirkels area
och kvadraten på dess diameter kan inte bildas.
Talet π är därför onåbart. Likaså är det omöjligt
att bilda kvoten mellan sträcka och tid, vilket
betyder att hastighetsbegreppet är uteslutet av
matematiska skäl. För tal kan produkter bildas
(kommutativiteten visas i VII. 16), men inte för
magnituder. Momentet kan därför ej definieras.
Geometri och algebra
Intressanta likheter återfinns mellan böckerna II
och VI. Bok II ger den pythagoreiska areageometrin, medan bok VI innehåller den geometriska
likformighetsläran som är en tillämpning av proportionsläran i bok V. Ett berömt problem i den
grekiska geometrin är att till två givna sträckor
konstruera deras medelproportional. Om AB och
CD är de givna sträckorna ska man konstruera
EF, sådan att
A B är till EF som EF är till CD.
tillsammans med dubbla den rektangel som bildas
av delarna.
(2)
Konstruktionen ges i VI. 13. Det är den välkända:
Placera AB och CD intill varandra så att de
ligger i rät linje. Rita en halvcirkel med AD som
diameter. Drag BF vinkelrät mot AD, där F ligger
på halvcirkeln. BF är den sökta medelproportionalen (= EF):
Betecknar vi nu sträckan AC med a och sträckan
CB med b, är satsen II.4 matematiskt sett ekvivalent med
(a + b)2 = a2 + b2 + 2 ab,
Beviset använder tredje
likformighetsfallet.
Euklides visar sedan (VI. 17), också som ett resultat av den allmänna proportionsläran, att problemet är ekvivalent med problemet att konstruera
en kvadrat med samma area som en rektangel,
given av sina sidor. Vi skulle formulera resultatet
så att
AB • CD = EF2,
(3)
men denna typ av algebraisk likhet är utom
räckhåll för grekerna. Man kan slutligen konstatera, att samma konstruktion som ovan används i
bok II för att konstruera en kvadrat med samma
area som en given rektangel (II.14), men beviset
är rent areageometriskt.
Frågan om sambandet mellan den grekiska
geometrin och de äldre egyptiska och babyloniska
traditionerna är kontroversiell. En "klassisk"
skola, grundad av den danske vetenskapshistorikern Zeuthen, menar att grekisk geometri av den
typ som finns i böckerna II och VI är en geometrisk tolkning av den "numeriska algebra" som
utvecklades av bl a babylonierna. (Nyligen har en
av skolans främsta företrädare, van der Waerden,
gjort gällande att babylonierna i sin tur hämtade
stoff från en källa som sammanföll med den
indoeuropeiska språkfamiljens ursprung, ur vilken också indier och kineser sög näring, men
detta påverkar inte den tes som här skall kritiseras.) Areageometrin i böckerna II och VI har
därför fått namnet "geometrisk algebra". Denna
syn får sin förklaring om man t ex betraktar II.4:
Om en sträcka delas godtyckligt, är kvadraten
på hela sträckan lika med kvadraterna på delarna
(4)
som är den bekanta kvadreringsregeln. Thomas
Heath, som tillhör den klassiska skolan, har
översatt och redigerat Elementa (på engelska). I
en kommentar till en av satserna konstaterar han:
Beviset är inte lätt att följa utan hjälp av modern
symbolisk notation. Använder man en sådan blir
resonemanget emellertid klart nog. Och så förser
han Euklides satser med tolkningar i modern
operationell algebra!
Från ett didaktiskt perspektiv (se Nämnaren
nr 1, 84/85) är den klassiska skolans syn otillfredsställande. Den utgår från det dubiösa antagandet att i matematiken låter sig form separeras
från innehåll och att den symboliska formen i (4)
ovan är ett bekvämt sätt att sammanfatta samma
innehåll som hos Euklides i II.4. Den klassiska
skolans syn på den grekiska matematiken är i
själva verket ohistorisk. Att översätta till ett
annat representationssätt kan inte vara riktigt om
vi vill söka fastställa vilka begreppsliga medel de
grekiska matematikerna använde. Frågan är inte
huruvida II.4 och (4) uttrycker samma innehåll.
Frågan är i stället huruvida II.4 och (4) uppfattas
som olika eller ej. Det är fråga om ett andra
ordningens perspektiv — hur ett ämnes innehåll
ter sig för den som studerar det.
Vi kan inte fråga Euklides hur han uppfattade
II.4 — vi är hänvisade till att dra slutsatser om
hur han tänkte utifrån hans speciella sätt att
uttrycka sig — men vi kan fråga nutidens människor och söka fastställa deras upplevelser. Vi kan
efterlysa vad som är själva den omedelbara upplevelsen av ett matematiskt begrepp eller en utsaga, vad det är som ger mening åt det objekt mot
vilket ens uppmärksamhet är riktad, med andra
ord upplevelsens intentionalitet. Det är en fenomenografisk ansats, såsom den beskrivits av Ference Marton i Göteborg.
Det är välkänt att problem som av lärare betraktas som identiska, av elever uppfattas som
helt skilda. Ett utomordentligt exempel ges av de
s k ostproblemen.
Adolf af Ekenstam, Linköping, har studerat
barns förmåga att välja rätt räkneoperation i
problem beroende på om mätetalen varit stora
eller små. I sin rapport Malematikdidaktik, rapport nr 1984:111, tar han upp följande problem:
1 En ost väger 5 kg. 1 kg ost kostar 28 kr. Man
vill räkna ut hur mycket osten kostar. Vilken
uträkning skall man då göra?
2 En ostbit väger 0,923 kg. 1 kg ost kostar
27,50 kr. Man vill räkna ut hur mycket ostbiten
kostar. Vilken uträkning skall man då göra?
Intervjuer gjordes med elever i olika årskurser.
Den intressantaste svarskombinationen representerades av en elev i åk 8, som multiplicerade i
första problemet men dividerade i det andra.
E: Man tar 27,50/0,923.
I; Varför?
E: 1 kg kostar 27,50. Så måste man dela. Kanske
inte förresten. Kanske subtraktion? (Tänker)
Det måste vara så att det sjunker. Delat med
eller subtraktion för det måste kosta mindre.
I: Vilket räknesätt skall du välja nu då?
E: (Tvekar) Jag tar division — eller minus. Jag
vet inte.
Ett historiskt exempel är Euklides VI. 17 ovan.
Det kostar Euklides mycken möda att visa
ekvivalensen, medan en modern läsare med tillgång till symbolisk algebra undrar vad det är som
skall bevisas.
Mellan den antika och den moderna vetenskapen finns djupgående skillnader. Våra tankeformer har sina rötter i den antika vetenskapens sätt
att förhålla sig till omvärlden, men bandet är
brustet. Vårt tänkande är resultatet av en utveckling under fyra århundraden, vilket betyder att ett
avgörande paradigmskifte inträffade omkring
1600, vars innebörd är den symboliska abstraktionens födelse. Att i tillgängliga texter söka sig
tillbaka genom seklerna innebär en successiv avtäckning av den "sedimentation" som i mäktiga
lager bär upp vårt tänkande. Galilei har avslöjat
mycket om vår omvärld, men han har också dolt
mycket. En del av den matamatiska och naturvetenskapliga undervisningens kris har sin orsak
häri, eftersom lärarna i sina studier ställs på
Galilei grund, medan eleverna har tankeformer
som mer anknyter till Aristoteles och Euklides.
Huruvida rekapitulationstesen (se Nämnaren
nr 1, 84/85) gäller eller ej har mindre betydelse.
Man behöver inte göra gällande att tänkandet hos
individen utvecklas efter samma mönster som
tänkandet hos människan som art (en ingrediens i
Piagets genetiska epistemologi). Man söker kategorisera tankeformer, varav många är annorlunda än våra inlärda, sådana som återfinns hos
unga människor eller antikens lärde (vilka många
gånger visar en anmärkningsvärd överensstämmelse), och detta gör man för att öka sitt vetande
och få respekt för andra sätt att förhålla sig till
omvärlden.
Vad är det då som händer omkring 1600? Den
frågan ska jag ta upp i nästa nummer.
Pythagoras från Samos (560—480), flyttade omkring 530 till Kroton i Magna Graecia, död i Metapontum
Hippasos från Metapontum, en av Pythagoras lärjungar
Platon från Athen (427—347), grundade
Akademin i Athen omkring 390
Aristoteles från Stagira (384—322), lärjunge till Platon, grundade Lykeion i
Athen omkring 336
Euklides från Alexandria, verksam omkring 295 f Kr, skrev det berömda Elementa i 13 böcker
Diophantos från Alexandria, verksam omkring 250 e Kr, skrev Arithmetica, av vilken 6 böcker återstår
Galileo Galilei, född i Pisa (1564—1642)
