GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET FY6 Elektricitet 1 3.9.06 MÅL Kursens mål är att de studerande skall • förstå elektricitetens grundbegrepp och bekanta sig med mätteknik • kunna utföra grundläggande elmätningar samt konstruera och undersöka enkla strömkretsar. CENTRALT INNEHÅLL • galvaniska element, elström i metalliska ledare • mätning av ström och spänning • Ohms lag • Joules lag • motstånd, koppling av motstånd och Kirchhoffs lagar • Coulombs lag, homogena elfält och materia i elfält • kondensatorer, kopplingar och energi • elström i halvledare, till exempel i dioder 6.1. Elektrisk laddning (FY6 s. 11-12) Elektrisk laddning är liksom massa en fundamental egenskap hos vissa partiklar, vilken mäts i enheten 1 coulomb = 1 C. I en atom har protonen och elektonen samma laddning med positivt respektive negativt tecken. Denna laddning benämns elementarladdningen e = 1.602 x 10-19 C. Protonen är dock uppbyggd av två uppkvarkar med laddningen +2/3 e och en nerkvark med laddningen -1/3 e. Neutronen är utåt en neutral partikel, uppbyggd av två nerkvarkar och en uppkvark. Elektriska laddningar av samma tecken repellerar och av motsatt tecken attraherar varandra. I en del material - ledare - finns laddningar som kan röra sig tämligen fritt om de påverkas av en kraft. I motsatt fall kallas materialet isolator. Halvledare är material vars elektriska ledningsförmåga beror kraftigt på omständigheter ss. temperatur, belysning, riktning e.dyl. Elektroskopet är ett enkelt instrument för att påvisa elektrisk laddning. En metallplatta leder till lättrörliga metalldelar arrangerade så att en eventuell laddning sprids till dem och genom repulsion ger ett utslag. GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 2 Genom mekanisk gnidning kan främst isolatorer göras laddade genom att de får eller ger elektroner. Den triboelektriska serien (tribos = nötning) beskriver vilka material som blir positiva respektive negativa när de gnids mot varandra. Från + till - har vi: Glas - människohår - nylon - ull - silke - papper - bomull - trä - gummi - rayon polyetylen - PVC - teflon. 6.2. Coulombs lag (FY6 s. 28-31) Kraften mellan två punktladdningar Q1 och Q2 på avståndet r från varandra ges av Coulombs lag: F = (1/40)Q1Q2/r2 M118 där i vakuum och ungefärligen i luft vi kan använda Coulombkonstanten k : k = (1/40) M71 där k = 8.99 x 109 Nm2C-2. Den elektriska permittiviteten i vakuum 0 = 8.55 x 10-12 N1 -2 2 m C . Kraften mellan två laddningar följer en formel av samma typ som den för gravitationskraften mellan två massor m1 och m2. Coulombkonstanten har dock ett mycket större värde än den motsvarande tyngdkraftskonstanten (6.67 x 10-11 Nm2kg-2). Men medan tyngdkraften alltid är attraktiv är den elektriska kraften beroende av laddningarnas tecken, och i vanlig material finns i regel lika mycket av vardera tecknet. Om laddningarna inte är i vakuum bör 0 ersättas av ett annat permittivitetsvärde . Detta kan beräknas med hjälp av ämnets relativa permittivitet r (M...)vilket samtidigt anger förhållandet mellan den elektriska fältstyrka (se följande avsnitt) som laddningen ger upphov till i vakuum och i materialet. r = E0/E = /0 6.3. Elektrisk fältstyrka (FY6 s. 32-35) M118 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 3 Om en liten positiv testladdning q placeras i närheten av en laddning Q påverkas den av en Coulombkraft F. Det elektriska fältet E anger hur stor denna kraft skulle vara enligt E=F/q eller i MAOL E = F/Q M118 Då kraften mellan Q och q är F = kQq/r2 blir F/q = (kQq/r2)/q = kQq/r2 eller: E = (1/40)Q/r2 M118 Enheten för elektrisk fältstyrka blir 1 N/C (även enheten 1 V/m används, se nedan). Jämför med motsvarande gravitationsfältstyrka g = F/m, med enheten 1 N/kg = 1 m/s2, vanligen kallad tyngdacceleration! Omkring en punktladdningen blir elfältet: Om testladdningen placeras i närheten av två laddningar kommer fältet i denna punkt att vara vektorsumman av de fält som vardera laddningen förorsakar: Genom att undersöka eller beräkna elfältet i olika punkter i närheten av en uppsättning laddningar kan man konstruera elektriska fältlinjer, vilka beskriver dess riktning. Ju närmare varandra de är, desto starkare är fältet. Några vanliga situationer är följande: GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 4 Speciellt kan noteras följande: två punktladdningar av motsatt tecken ger ett elfält av samma typ som magnetfältet omkring en stavmagnet (se kurs 7) utanför en laddad sfär är fältet detsamma som för en punktladdning med sfärens laddning i dess medelpunkt. I alla punkter innanför sfären är fältet noll. mellan två motsatt laddade plattor fås ett nästan homogent fält (lika starkt i samma riktning). 6.4. Elektrisk potentiell energi och potential (FY6 s. 36) Det homogena elfältet är en motsvarighet till det nästan homogena tyngdkraftsfältet nära jordens yta: Då en massa m förflyttas från A till B i tyngdkraftsfältet utförs ett arbete som lagras som den potentiella energin Ep = Fs = mgh. Den elektriska motsvarigheten är att laddningen q förflyttas från A till B sträckan x mot fältet E. Vi har då att arbetet W = Fs = Fx den elektriska kraften F fås ur E = F/q => F = qE så GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 5 arbetet = den lagrade potentiella energin Ep = qEx, se senare. (Notera att E i fysiken ibland används för energi, ibland för elfält) Om vi inte har ett homogent fält utan en punktladdning varierar elfältstyrkan E under förflyttningen, varför det utförda arbete beräknas med en integral (W = ∫Fds, här är F = ks-2 så W = (-)ks-1). Den potentiella energi en laddning q på avståndet r från punktladdningen q har är alltså Ep = (1/40)Qq/r = kQq/r M- Storheten elektrisk potential V uttrycker den potentiella energin laddningen q har i ett elfält per laddningen i fråga, dvs V = Ep/q eller med symbolerna i MAOL: V = Ep/Q M118 V = (1/40)Q/r M118 vilket ger Sammanfattning: Gravitation Homogent F =mg g = F/m Ep = mgh V = Ep/m= gh Elektricitet Punkt,planet Homogent F = Mm/r2 F =qE E = F/q g = M/r2 Ep = -Mm/r Ep = qEd V = Ep/q =Ed V = -M/r Punkt, sfär F = kQq/r2 E = kQr2 Ep = kQq/r V = kQ/r Motsvarigheter mellan storheter för gravitation och elektricitet: F - F g - E Ep - Ep V - V M,m - Q,q h - d 6.5. Elektrisk potentialskillnad = spänning (FY6 s. 37-44) Om den elektriska potentialen i punkterna A och B i ett elfält är VA och VB kommer potentialskillnaden mellan dem att uttrycka det arbete som utförs av eller mot fältet då en testladdning q (i MAOL symboliserad Q) förflyttas mellan punkterna. Denna potentialskillnad är spänningen U mellan punkterna. UBA = VB - VA = WAB/Q M118 I ett homogent fält hade vi tidigare att den potentiella energi som lagras = det arbete som utförs då laddningen q flyttas sträckan x mot fältet är Ep = qEx. Om den ena punkten antas ha potentialen noll blir potentialskillnaden = V = Ep/q = qEx/q = Ex. Betecknar vi GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 6 istället avståndet x = d fås att spänningen U mellan två punkter på avståndet d i ett homogent elfält är: U = Ed M118 Då spänningen är arbetet eller energin per laddning, U = W/q, kan man bilda en enhet för energi som produkten av laddning och spänning; en sådan är enheten 1 elektronvolt = 1 eV = 1.602 x 10-19 J då laddningen är elementarladdningen och spänningen 1 volt. 6.6. Ekvipotentialer (FY6 s. 37) En linjer eller yta där alla punkter har samma potential är en ekvipotential, och bildar alltid en rät vinkel med elfältlinjerna. Nära en punktladdning eller laddad sfär är ekvipotentialerna cirklar eller klotytor: Man kan notera att då elfältet inne i en laddad sfär är noll kommer ingen kraft att verka på en laddning där, och därmed inget arbete att utföras av eller mot fältet, och ingen potentialskillnad att uppkomma jämfört med en punkt alldeles utanför sfären: En sådan ledande sfär är ett exempel på en Faradays bur, och då en bil ungefär fungerar som en sådan är den ett tämligen säkert ställe i åskväder. Ekvipotentialerna nära två motsatta punktladdningarna antyds med de streckade linjerna nedan: GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 7 I fallet med motsatt laddade plattor blir ekvipotentialerna räta linjer eller plana ytor parallella med plattorna: 6.7. Exempel på spänningskällor (FY6 s. 70-74) Om två olika metallplattor förs ned i en elektrolyt - en elektriskt ledande vätska ss. saltvatten - uppkommer en spänning mellan dem. Detta galvaniska element är ett exempel på en spänningskälla liknande de som finns i torrbatterier. Endel batterier är baserade på reversibla kemiska reaktioner, och kan laddas upp och ur ett stort antal gånger. Andra spänningskällor är bl.a. solceller och generatorer (se kurs 7). 6.8. Elström (FY6 s. 66-69) Om en rörlig laddning placeras i ett elfält kommer en elektrisk kraft att verka på den, vilket kan sätta den i rörelse. Mängden elektrisk laddning Q som förflyttat sig på tiden t är elströmmen I i enheten 1 ampere = 1 A = 1 C/s (varför 1 C = 1 As): I = Q/t M119 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 8 6.9. Resistans (FY6 s. 76-81) Om en spänningskälla U (i engelsk litteratur liksom i bilden nedan V) kopplas till ett föremål eller en apparat så att elektroner i ledningarna kan röra sig genom denna på sin väg från späningskällans negativa till positiva pol definieras strömmens I riktning av historiska skäl som den motsatta, från positiv till negativ pol: Förhållandet mellan spänning och ström definieras som kretsens elektriska motstånd eller resistans R enligt R = U/I M119 i enheten 1 V/A = 1 ohm = 1 . Ohms lag: Om temperaturen är konstant är resistansen i en metallisk ledare oberoende av spänning. Man kunde även definiera föremålets elektriska ledningsförmåga eller konduktans G = I/V vilket innebär G = 1/R M67 i enheten 1 A/V = 1 S = 1 siemens ( =1 -1, ibland kallad "mho"). Denna storhet kommer till användning i kemin, där en lösnings ledningsförmåga i siemens/längdenhet (avser avstånded mellan elektroderna) mäts. 6.10. Resistivitet, temperaturberoende, supraledning (FY6 s. 82-87) För ett föremål med längden l och tvärsnittsytan A är resistansen R R = l/A M119 där = resistivitet i enheten m, en storhet som beror på materialet. Några värden är för koppar 1.678 x 10-8, järn 9.71 x 10-8 och glas 5 x 1011 m. GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 9 Enligt Ohms lag skulle R vara konstant om temperaturen är konstant, men om temperaturen förändras märkbart påverkas resistansen och därmed även resistansen. Resisitivitetens temperaturberoende ges av = 0(1 + t) M119 där 0 = resistiviteten vid en viss tempertur given i tabellverk (ex. 20oC), = resistivitetens temperaturkoefficient och t = förändringen i temperatur från den angivna. Några värden på temperaturkoefficienten: koppar 6.8 x 10-3 K-1, järn 6.51 x 10-3 K-1 , konstantan 0.01 x 10-3 K-1. Speciellt i en glödlampa ökar temperaturen klart då den börjar lysa, varför ökande R inte ger en kurva (nedan till höger) sådan som den för det ohmiska motståndet (nedan till vänster) i en graf av ström som funktion av spänning. Supraledning innebär att vissa material då de kyls till en viss kritisk temperatur helt förlorar sitt elektriska motstånd. 6.11. Serie- och parallellkoppling av resistorer (FY6 s. 88-91) För elektriska kretsar gäller Kirchhoffs lagar: 1. Summan av alla strömmar som flyter till en punkt = summan av strömmarna som flyter från den. 2. Summan av alla spänningsfall (räknade negativa då vi går i strömmens riktning) och alla spänningskällor (räknade positiva) är noll i alla slutna "kretslopp". För seriekopplingen gäller (figuren ovan används symbolen V för spänningskällan U) att GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 10 strömmen kan endast ta en väg genom kretsen, och är densamma i resistorerna R1 och R2, dvs. I1 = I2 = I Kir.II ger U - R1I -R2I = 0 eller U = R1I + R2I vilket med R1 = U1/I => R1I = U1 och R2 = U2/I => R2I = U2 ger: summan av spänningsfallen över resistorerna är den totala späningen över kretsen: U = U1 + U2 om vi ersätter R1 och R2 med en enda resistor R med samma resistans som deras totala fås efter att båda sidor av U = U1 + U2 divideras med I: R = U/I = U1/I + U2/I = R1 + R2 så R = R1 + R2 eller R = Ri (menas Ri?) M119 För parallellkopplingen gäller att strömmen kan följa flere olika slutna kretslopp (verkliga eller beräkningsmässiga). Där vägarna delas kommer strömmen att följa I = I1 + I2 enligt Kir.I. Kretslopp 1 : genom spänningskällan U (V i figuren) och R1 men inte R2: U - R1I1 = 0 så U = R1I1 = U1, spänningsfallet över R1 Kretslopp 1 : genom U och R2 men inte R1: U - R2I2 = 0 så U = R2I2 = U2, spänningsfallet över R2 Kretslopp 3 : medurs genom R1 och R2 men inte genom U: nu passerar det hypotetiska kretsloppet genom R1 mot strömmens riktning så vi följer egentligen den tänkta strömmen -I1 : så R1(-I1) + R2I2 = 0 vilket ger R1I1 = R2I2 or U1 = U2 Alla dessa resonemang kan följas av detta spänningsfallet är detsamma över båda resistorerna som över kretsen totalt: U = U1 = U2 för den ekvivalenta resistansen R får vi R = U/I och därefter I = U/R så U/R = I = I1 + I2 och U/R = U1/R1 + U2/R2 men då U1 = U2 =U får vi U/R = U/R1 + U/R2 och dividerande båda sidor med U GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 1/R = 1/R1 + 1/R2 parallellkopplade) 11 (fler motsvarande termer om 3 eller fler resistorer är 1/R = (1/Ri) M119 6.12 Källspänning (emf) och polspänning (FY6 s. 98-101) I spänningskällan ges en viss mängd energi till varje laddning, t.ex. från kemiska reaktioner i ett batteri. Strömmen måste flyta även genom batteriet, och förlorar samtidigt en del energi per laddning inne i batteriet på grund av detta. Det finns alltså ett inre motstånd r i kretsen förutom det yttre motståndet R (vilket kan vara resultatet av ett antal komponenter kopplade i serie och/eller parallellt). Den spänning (= energi per laddning!) som de kemiska reaktionerna (eller motsvarande) ger är källspänningen , tidigare oriktigt kallad elektromotorisk kraft, "emk" (electromotive force, emf; bättre: source voltage, lähdejännite). Den åtgår till dels ett spänningsfall rI inne i batteriet och den användbara polspänning V vi kan ta ut från batteriet (terminal voltage, napajännite): = rI + V eller då R = V / I => V = RI: emk = = rI + RI Notera att V = - rI blir mindre då mer ström tas ut ur battteriet. Ett exempel på detta är att ett bilbatteri tillfälligt ger lägre polspänning då startmotorn som tar ut en kraftig ström används. Det inre späningsfallet rI blir större ju större strömmen I är. Som för all resistans omvandlas den förlorade energin per laddning till värme vilket innebär att ett kortslutet batteri (yttre R = 0 ungefär) utvecklar kraftig värmeavgivning; mobiltelefonsbatterier kan explodera. 6.12. Elektrisk effekt och energi (FY6 s. 92-95) GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 12 Då spänningen V = W/Q, arbete eller energi per laddning och I = Q/t fås den elektriska effekten P i enheten 1 watt = 1 W som P = UI M119 Då effekten P = arbete eller energi per tid, W/t eller E/t fås för den elektriska energin som omvandlats i en krets E = Pt eller: E = UIt M119 Notera speciellt energienheten 1 kilowattimme = 1 kWh = 1000W * 3600s = 3.6 MJ. För bilbattterier anges den energimängd de kan lagra ofta endast som t.ex. 70 Ah varvid det är underförstått att U = 12 V så energin = 12 V * 70 A * 3600s = 3024000 J = 0.84 kWh. 6.13 Kondensatorer (FY6 s. 50-63) Kondensatorn och dess kapacitans Om två metallplattor placeras nära varandra men åtskilda av en isolator (luft eller annat) får vi en kondensator, en komponent som kan lagra små mängder elektrisk laddning på ett sådant sätt att den mycket snabbt kan tas ut eller återuppladdas. Kondensatorns främsta användning är i växelströmkretsar, se kurs 7. Likström kan inte passera en kondensator p.g.a. isolatorn mellan plattorna. Fig: Krets med kondensator kopplad till spänningskälla Om spänningen U kopplas till en kondensator och laddningen Q då kan placeras i den (+Q på ena plattan, -Q på den andra) anger kapacitansen C förhållandet mellan dessa: C = Q/U M118 Enheten för kapacitans är 1 farad = 1 F = 1 C/V. Denna enhet är mycket stor och vanliga kapacitansvärden anges i små multipler av denna. Kapacitansen påverkas av arean A för kondensatorns plattor, avståndet d mellan dessa och den elektriska permittiviteten = 0r för isolatorn mellan plattorna enligt: GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET C = 0rA/d 13 M118 För att få en kondensator med stor kapacitans gäller det alltså att ha stora metallytor med ett tunt isolerande skikt emellan. Det kan åstadkommas med exempelvis rullar av metallfolie med isolerande papper eller plast emellan, eller metallfolier där ett mycket tunt isolerande metalloxidskikt mellan dessa framställts genom elektrolys (elektrolytkondensator). I en vridkondensator kan plattorna förskjutas i förhållande till varandra genom vridning, varvid den överlappande ytan A påverkas och därmed kapacitansen C. Detta utnyttjas i frekvensväljaren för en radio, eftersom en växelströmkrets mest gynnade frekvens påverkas av dess totala kapacitans (se kurs 7). Fig: Laddning Q som funktion av spänning U vid uppladdning av kondensator Energin i en laddad kondensator Då en kondensator laddas med tilltagande spänning U kan större och större laddning Q placeras i den. I grafen ovan får vi då en rät linje genom origo: då C = Q/U blir Q = CU dvs. en funktion av typen y = kx där kapacitansen C är riktningskoefficient för linjen. Ytan under grafen har dimensionen arbete eller energi, eftersom spänning är arbete eller energi per laddning. Det som ytan anger är det arbete som utförs då laddningen Q placeras i kondensatorn, och vilket lagras som en sorts potentiell energi där. Ytan har formen av en triangel med den horisontella kateten U och den vertikala Q = CU varför dess yta är (C*CU)/2 eller: E = ½CU2 M118 Genom att kombinera denna formel med C = Q/U fås exempelvis E = ½CU2 = ½(Q/U)U2 = ½QU och med C = Q/U => U = Q/C E = ½CU2 = ½C(Q/C)2 = Q2/2C Serie- och parallellkopplade kondensatorer Om två eller flere kondensatorer kopplas i serie kommer laddningen +Q på den ena plattan av den första att attrahera -Q till samma kondensators motsatta platta; då så GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 14 mycket laddning försvunnit från följande kondensators ena platta får den laddningen +Q och denna attraherar i sin tur -Q till dess andra platta. Kondensatorer i serie har samma laddning (bortsett från förtecknet). Fig: Två kondensatorer i serie med laddningarna +Q och -Q omväxlande Om de två kondensatorernas kapacitanser är C1 och C2 kommer C = Q/U => U = Q/C att ge U1 = Q/C1 och U2 = Q/C2 för seriekopplade komponenter är den totala spänningen U = U1 + U2 så för den totala kapacitansen C gäller: Q/C = Q/C1 + Q/C2 vilket efter division med Q ger 1/C = 1/C1 + 1/C2 vilket i tabellerna ges som 1/C = (1/Ci) M118 Fig. Kondensatorer parallellt För två eller flere parallellkopplade kondensatorer gäller som för andra parallellkopplade komponenter att samma spänningsfall U finns över var och en av dem. Då elektrisk laddning i en från omgivningen isolerad krets inte kan tillföras eller försvinna bör den totala laddningen Q = Q1 + Q2 och då fås enligt C = Q/U => Q = CU att Q = Q1 + Q2 blir med totala kapacitansen = C att CU = C1U + C2U och efter division med U C = C1 + C2 vilket i tabeller ges som C = Ci (menas Ci ?) M118 GYMNASIEFYSIKKOMPENDIET 2005: FY6 ELEKTRICITET 15 Vi noterar att formlerna liknar dem för serie- och parallellkopplingars resistans, men omvänt: Seriekoppling Parallellkoppling Resistans R = R1 + R2 1/R = 1/R1 + 1/R2 Kapacitans 1/C = 1/C1 + 1/C2 C = C1 + C2 I båda härledningarna användes principen att spänningen är densamma över parallellkopplade komponenter, och att den är summan av delspänningarna över seriekopplade sådana. Att strömmen I är densamma genom seriekopplade motstånd motsvaras av det att laddningen Q är densamma för seriekopplade kondensatorer. Kirchoffs första lag I = I1 + I2 för parallellkopplade resistorer motsvaras av laddningens bevarande Q = Q1 + Q2. Men då enligt definition R = U/I (spänningen i täljaren) medan C = Q/U (spänningen i nämnaren) blir slutresultaten omkastade. 6.14. Halvledare Halvledare har en ledningsförmåga som beror starkt på någon speciell faktor, exempelvis strömmens riktning, temperatur, belysning eller annat. De tillverkas ofta av kisel till vilket små mängder av andra ämnen tillsatts (dopning). De bildar elektroniska kretsar av stor betydelse inom bl.a. datorindustrin. Detta område lämpar sig för vidare självstudier. 6.15 Exempel på laborationer 1. Datorlaboration : Gör ett kalkylblad som simulerar en testladdnings q potentiella energi i närheten av punktladdningen Q, vilket visar att en kraft som beror på 1/r 2 ger en Ep-funktion som beror av 1/r (kan även visas med integralkalkyl). 2. Bygg ett galvaniskt element och mät dess källspänning under olika omständigheter. 3. Koppla en spänningskälla till elektroder i en bägare saltlösning och sök ett samband mellan ledningsförmågan och NaCl-koncentrationen. Vilka praktiska detaljer är viktiga för att man skall få användbara mätvärden? 4. Koppla ihop olika tillgängliga motstånd i serie, parallellt mm till all mer komplicerade kretsar. Mät först motståndens resistanser enskild med digital ohmmätare och sedan hopkopplade. Jämför resultatet med ett teoretisk beräknat. 5. Undersök serie- och parallellkopplade kondensatorers kapacitans som ovan. 6. Bestäm ett batteris källspänning och inre motstånd genom att koppla olika stora yttre motstånd till det och mäta polspänningen och strömmen.