Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik - LiU

Linköpings Universitet
IFM
Mats Fahlman
Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik
Onsdagen 30/3 2016, kl 08:00-12:00
Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad)
Råd och regler
Lösningsblad:
 Skall vara renskrivna och läsbara
 Skriv bara på ena sidan av pappret
 Svar skall anges med enheter
Betygsgränser:
3
10-14.5
4
15-19.5
5
20-24
Lycka till!
1. En proton (positiv laddning 1.602x10-19 C, massa 1.67x10-27 kg) rör sig i positiv x-led med en
hastighet av 3.80x105 m/s då plötsligt ett elektriskt fält av storlek 56.0x10 3 V/m i riktning i
negativ x-led slås på. Hur långt hinner protonen färdas i det elektriska fältet innan protonens
hastighet blir noll?
(4p)
2. Två vikter, m1= 30.0 kg och m2 = 50.0 kg hänger i en tråd över en friktionsfri trissa, se figur.
Trissan och tråden kan här betraktas som masslösa. Trissan hänger i en dynamometer
(kraftmätare). Vad visar dynamometern (enhet Newton) om vikterna släpps fria (trissans tillåts
att rotera fritt runt sin axel)?
(4p)
1
2
3. Indiana Jones kör en lastbil med en konstant hastighet av 90 km/h. På flaket av lastbilen
finns en lådan som innehåller arken med Moses stentavlor. Lådan + stentavlor har tillsammans
massan 120 kg. Lastbilen med Dr. Jones men utan lådan har en massa av 2500 kg.
Friktionskoefficienten mellan lådan och lastbilsflaket är 0.35. Givet konstant inbromsning
(fartminskning), vad är den minsta sträcka s som lastbilen kan stanna på för att lådan inte skall
glida framåt på flaket?
(4p)
4. En sfär med massan m = 5.00 kg och radien r = 1.00 m färdas i rymden med en konstant
hastighet av v = 6.00 m/s. Vid en tidpunkt kolliderar den med en identisk sfär som innan
kollision befinner sig i vila, se figur. Vad är storlek och riktning på sfärernas hastigheter efter
kollisionen? Antag att kollisionen är elastisk.
(4p)
v
5. En 5.00 kg stav AB, längd l = 0.500 m, kan röra sig friktionsfritt med ändarna i ett horisontellt
och ett vertikalt spår, se figur. Staven kan approximeras som homogen. En fjäder med
fjäderkonstanten k = 500 N/m är fäst i A så att den är ospänd då AB är horisontell. Ändpunkten
A dras ut så att AB blir vertikal och staven släpps sedan från vila där. I den resulterande
rörelsen (där A dras in) åker B uppåt. Vad är B:s hastighet i det ögonblick då staven AB är
horisontell?
(4p)
A
B
6. Två hjul är monterade i friktionsfria lager med centra rakt ovanför varandra, se figur. Det
övre hjulet är en tunn homogen ring med massa 6.00 kg och radie 0.160 m. Dess ekrar kan
betraktas som masslösa. Det undre hjulet är en homogen skiva, massa 6.00 kg och radie
0.160 m. Först ges det övre hjulet en hastighet motsvarande 500 varv/minut medan det
undre hjulet är i vila. Sedan förs hjulen mot varandra och slirar tills de får samma varvtal.
(a) Visa att tröghetsmomentet för de två hjulen är I = MR 2 (övre hjulet) respektive I = 0.5MR 2
(undre hjulet), där M är respektive hjuls massa och R respektive hjuls radie.
(1p)
(b) Vilken rotationshastighet har hjulen efter det att de nått samma varvtal.
(1p)
(c) Beräkna systemets kinetiska energi före och efter ”slirningen” samt ange hur många
procent av den kinetiska energin som förlorats.
(2p)
Formelsamling TFYA87
Impuls:
Kinematik:
𝐽̅ = ∆𝑝̅ = ∫ 𝐹̅ 𝑑𝑡
2
1
𝑑𝑠̅
𝑣̅ =
𝑑𝑡
𝑎̅ =
𝑑𝑣̅
𝑑𝑡
Elastisk kollision 1D:
𝑣1 − 𝑣2 = −(𝑣1′ − 𝑣2′ )
𝑣𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑠
Cirkulär rörelse: 𝑎 =
𝑣2
𝑟
Masscentrum:
, 𝑣 = 𝑟𝜃̇ = 𝑟𝜔
𝑟̅𝑚𝑐 = ∑
𝑖
Kurvrörelse (2D):
𝑎̅ = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝑟̂ + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )𝜃̂
𝑟̅𝑚𝑐 =
𝑚 𝑖 𝑟̅𝑖
𝑀
∫ 𝑟̅𝑑𝑚
𝑀
Tröghetsmoment:
Gravitationskraft:
𝑀𝑀
𝐹𝐺 = 𝐺 1 2 2
𝑟
𝐼 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑟𝑖2
𝑖
𝐼 = ∫ 𝑟2 𝑑𝑚
Arbete:
2
𝑊 = ∫ 𝐹̅ ∙ 𝑑𝑆 ̅
1
Kinetisk energi:
1
𝐾 = 𝑚𝑣 2
2
Parallellaxel teoremet:
𝐼 = 𝐼𝑚𝑐 + 𝑀ℎ2
Vridmoment:
𝜏̅ = 𝑟̅ × 𝐹̅
𝜏̅ =
Effekt:
𝑑𝑊
𝑃=
𝑑𝑡
𝑑𝐿̅
𝑑𝑡
𝜏 = 𝐼𝛼 där 𝛼 = 𝜃̈ = 𝜔̇
Rörelsemängdsmoment:
Rörelsemängd:
𝐹̅ =
𝑑𝑝̅
𝑑𝑡
𝐿̅ = 𝑟̅ × 𝑝̅
Kinetisk rotationsenergi:
𝐾=
1 2
𝐼𝜔
2
𝐹̅𝑎𝑏 =
𝑞𝑎 𝑞𝑏
𝑟̂
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 𝑟2
Rullning utan glid:
Elektrisk fältstyrka:
𝑣𝑚𝑐 = 𝑟𝜔
𝐸̅ =
Total kinetisk energi:
𝐸̅ = ∫
𝐾=
1
1
2
𝑀𝑣𝑚𝑐
+ 𝐼𝑚𝑐 𝜔2
2
2
Harmonisk svängningsrörelse
2
𝑥̈ + 𝜔 𝑥 = 0 𝑑ä𝑟
𝑥 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑇=
2𝜋
𝜔
𝑄
𝑟̂
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 𝑟2
𝑟̂ 𝜌𝑑𝜏
,
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 𝑟2
Integrerat över volymen  där det finns
laddningstätheten .
Elektriskt dipolmoment:
𝑝̅ = 𝑞𝑙 ̅ ,pekar från –q till +q
Elektrisk potential V:
2
𝑉 = − ∫ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝑆 ̅
1
Dämpad linjär svängningsrörelse
𝑥̈ + 2𝛾𝑥̇ + 𝜔2 𝑥 = 0 där
𝑥 = 𝑒 −𝛾𝑡 cos(𝜔𝑒 𝑡 + 𝜑)
𝜔𝑒 = √𝜔2 − 𝛾 2
Intensitet i mekanisk våg (effekt/m2):
𝑉=
𝑄
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 𝑟
𝑉=∫
𝜌𝑑𝜏
4𝜋𝜀0 𝜀𝑟 𝑟
Integrerat över volymen  där det finns
laddningstätheten . V(oändligheten) är
satt som 0.
𝐼 = 2𝜋 2 𝜌𝑣𝑓 2 𝐴2
där  = densitet av mediet
Vågrörelse (plan våg):
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
𝑘=
2𝜋
𝜆
Gauss lag (E-fält):
∮ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝐴̅ =
𝑄𝑖𝑛
𝜀0 𝜀𝑟
Integrerat över en sluten yta A, Q in
laddningen som är innesluten.
𝑣 = 𝑓𝜆
Kapacitans:
Coulomb kraft:
𝐶𝑉 = 𝑄
Plattkondensator:
Magnetisk flödestäthet (vakuum/luft):
𝐶=
𝐴𝜀0 𝜀𝑟
𝑑
𝐵̅ =
𝜇0 𝐼𝑑𝑆 ̅ × 𝑟̂
∮
4𝜋
𝑟2
𝑉=
𝑄𝑑
𝐴𝜀0 𝜀𝑟
𝐵̅ =
𝜇0 𝐽̅ × 𝑟̂ 𝑑𝜏
∫
4𝜋
𝑟2
𝐸=
𝑄
𝐴𝜀0 𝜀𝑟
1
𝑊 = 𝑄𝑉
2
Oändlig rak ledare, ström I:
𝐵(𝑅) =
Där A är arean av en platta och d är
avståndet mellan plattorna
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑅
Lorentz kraft:
Energi i ett elektriskt fält:
𝑊=
1
1
∫ 𝑉𝜌𝑑𝜏 = ∫ 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸 2 𝑑𝜏
2
2
Strömtäthet:
𝐹̅ = 𝑞𝐸̅ + 𝑞𝑣̅ × 𝐵̅
Amperes lag:
∮ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝑆 ̅ = 𝜇0 𝐼 + 𝜇0 𝜀0
𝑑
∫ 𝐸̅ ∙ 𝑑𝐴̅
𝑑𝑡
𝐽̅ = 𝑛𝑞𝑣̅
𝐽̅ = 𝜎𝐸̅ där
Vridmoment, plana slingor i magnetfält:
𝜎 = 𝑛|𝑞|𝜇 𝑜𝑐ℎ |𝑣̅ | = 𝜇|𝐸̅ |
𝜏̅ = 𝐼𝐴̅ × 𝐵̅ 𝑑ä𝑟
Strömstyrka:
𝐼 = ∫ 𝐽̅ ∙ 𝑑𝐴̅
𝐼=
𝑉
𝑙
𝑙𝜌
𝑑ä𝑟 𝑅 =
= 𝑟
𝑅
𝐴𝜎
𝐴
Elektrisk effekt:
𝑃 = 𝑉𝐼
𝐴̅ är arean av slingan med riktning som är
ortogonal mot strömförande slingans plan.
Magnetiskt flöde:
𝛷 = ∫ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝐴̅
Induktion:
𝑉=−
𝑑𝛷
(𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑘 𝑠𝑝ä𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔)
𝑑𝑡
Gauss lag (B-fält)
Energi, elektromagnetiska vågor (vakuum):
∮ 𝐵̅ ∙ 𝑑𝐴̅ = 0
1
1 2
𝑊 = ∫ 𝜀0 𝐸 2 𝑑𝜏 + ∫
𝐵 𝑑𝜏
2
2𝜇0