Problemsamling
1. Visa att för varje positivt heltal n gäller att
xn
yn
x y x y 1
y)(x n
(x
2. Visa att för varje udda heltal n
xn
yn
(x
y)(x n
n 2
gäller att
1
xn
n 3 2
y x 2
n 3 2
y
xyn
y )
xyn
y )
2
2
n 1
n 1
står för mängden av primtal) med a och n heltal större än
.
3. Visa att om an 1
(där
1, så gäller att a 2 och n
Tal av typen 2n 1 kallas för mersennetal. Det är för tillfället okänt om det finns oändligt
många Mersennetal vilka också är primtal. De största kända primtalen genom tiderna har
dock ofta varit av Mersennetyp. Exempelvis gäller att 2 25964951 1
(där i överenstäm). Detta tal är idag (oktober 2005) det största
melse med problemet givetvis 25964951
kända primtalet. Det hittades genom det stora samarbetsprojektet GIMPS (Great Internet
Mersenne Prime Search) initierat av Wolfram i början av 1996.
4. Ungefär hur många siffror innehåller mersenneprimtalet ovan?
där a och n är heltal större än 1, så gäller att a är jämnt och att
.
Tal av typen 2 1 kallas för fermattal. Vi vet att de fem första, 3, 5, 17, 257 och
5. Visa att om an 1
n 2k för något k
2k
65537, alla är primtal och Fermat själv trodde att även resten var det. Redan Euler visade
dock att nästa tal i serien var ett sammansatt tal och det finns i själva verket idag inga fler
kända fermattal vilka också är primtal.
6. Visa att p q delar pq qp om p och q är primtalstvillingar.
(Är förutsättningen nödvändig?)
7. Finns det några primtalstrillingar, dvs finns det något heltal p sådant att p, p
p 4 är primtal. Finns det oändligt många primtalstrillingar?
2 och
8. Visa att produkten av k stycken konsekutiva (det vill säga på varandra följande) naturliga
tal alltid är delbar med k! .
9. Visa att för varje naturligt tal n gäller att
p (np
(Detta är Fermats lilla sats.)
n) om p är ett primtal.
10. Visa att för varje naturligt tal n gäller att
6p (np
n) om p
5 är ett primtal.
2? Är 4097 ett primtal? (Observera att 2 12
11. Delar 4097 talet 24097
12. Visa att
saknar heltalslösningar om x
x4
x2
1
4096.)
y2
0.
3x 2
2
y2
7x 3
2
y3
13. Visa att
saknar heltalslösningar.
14. Visa att
saknar heltalslösningar.
15. Visa att om a b och c är icke negativa reella tal så gäller att
16. Visa att k delar 2k
17. Visa att ( 3
abn
1
bc n
1
can
1
an
1 för oändligt många olika k
bn
cn
.
2)2006 avrundat till närmaste heltal är ett jämnt tal.
18. De positiva heltalen summeras i grupper enligt 1, 2
Beräkna summan i den n:te gruppen.
3, 4
5
6, 7
8 9 10 19. Antag att två givna naturliga tal p och q är relativt prima (d.v.s förutom den gemensamma
delaren 1, så saknar de gemensamma delare). Visa att p log(q) är irrationellt.
Ledning: Prova exempelvis med ett motsägelsebevis av samma typ som det som används
då man bevisar att 21 2 är irrationellt.
20. Beräkna summan 9
stycken nior.
99
999
999
9999, där den sista termen innehåller n
21. Vilket av talen 333! och 111333 är störst? Mer allmänt kan man fråga sig vilket av talen
n! och ( np )n som är störst om låt oss säga p 3 ?
22. Låt
k
konvergent?
ak vara en följd av reella tal sådan att a k
1
1
ak2 . Är talföljden
23. Visa att gränsvärdet
1
1
n n 1
existerar och beräkna detta gränsvärde.
lim
n
1
2n Ledning: Känner du till något allmänt sätt att uppskatta summor av detta slag?
nk
24. Visa att talföljden
n
dessutom gränsvärdet.
1 ka
k
konvergerar då n
sådan att sk
25. Antag att vi har en oändlig följd av reella tal s 1 s2 s3
något ändligt tal s . Visa att då även medelvärdena
1
n
n
sk
26. Låt
f (x)
då n
s
k 1
x sin( 1x )
x
0
x
0
f (1
om a 1. Beräkna
s då k
för
.
0
Är f kontinuerlig? Är f deriverbar ?
Ledning: Använd definitionerna.
27. Låt f vara en deriverbar funktion sådan att f ( x)
ekvationen f (x) 0 har en lösning.
x) för alla reella x. Visa att
28. Låt f vara en kontinuerligt deriverbar reellvärd funktion på enhetsintervallet [0 1], sådan
att f (0) 0. Visa att
f (x) dx 1
0
1
0
f (x) dx Ledning: Känner du till någon koppling mellan en funktion derivata?
29. Låt g och h vara kontinuerligt deriverbara och icke negativa funktioner från till sådana att g(x) dx och h(x) dx . Visa att om det finns en konstant
C 0 sådan att
så gäller att g(x) g (x)
0 för alla x
Cg(x)h(x) för alla x
.
Ledning: Vad händer exempelvis om man har likhet i olikheten? Kan man beräkna något
i detta fall?
30. Bestäm alla kontinuerliga funktioner f : f (x)
f (x 2 )
sådana att
0
x
31. Bestäm alla deriverbara funktioner f : 32. Låt 0
f (x)
d
c
b
f ( x)
0
sådana att
d b
x x a och antag att a
xb
xc
a
x
c. Visa att
d
x
0
33. Låt f : [0 ) och g : [0 ) vara kontinuerliga funktioner, sådana att f är
växande och g är avtagande.
Visa att det då gäller att
1
34. Låt f : f (x)g(x) dx
0
1
f (x)g(1
x) dx
0
vara en kontinuerlig
funktion. Visa att funktionen
1
a
0
f (x) a 2
dx
[0
)
antar ett minsta värde och bestäm minimipunkten (alternativt punkterna) i vilket detta
minsta värde antas.
35. Visa att det inte finns några kvadratiska matriser A och B så att
AB
där I betecknar enhetsmatrisen.
BA
I
