Semantik och pragmatik (Serie 4)
Satser och logik.
Mats Dahllöf
Institutionen för lingvistik och filologi
April 2015
1 / 30
Så här långt (satslogik)
É
Konjunktion (p ∧ q): att två enklare satser båda är
uppfyllda.
É
Disjunktion (p ∨ q): att minst en av två enklare satser är
uppfylld.
É
Implikation (p → q): att andra enklare satsen är
uppfylld, givet att den första är det.
É
Negation (¬p): att den enklare satsen inte är uppfylld
Dessa operationer representerar elementära och oerhört
viktiga sätt att kombinera information i språk och tänkande.
2 / 30
Logisk slutledning (repetition av ex.)
Vissa resonemang är logiskt bindande. Givet några satser
(premisser), så måste en viss slutsats följa.
É
Exempel – denna typ heter modus ponens
premiss 1:
Satslogik: p1 → p2
Om riksbanken höjer räntan, så får många människor
mindre pengar kvar till nöjen.
premiss 2:
Satslogik: p1
Riksbanken höjer räntan.
slutsats:
Satslogik: p2
Många människor får mindre pengar kvar till nöjen.
OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara
sann.
3 / 30
Bevis för Modus ponens
OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara
sann.
Enkla: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats
p1 p2 p1 → p2
p1
p2
S
S
S
S
S
S
F
F
S
F
F
S
S
F
S
F
F
S
F
F
(båda prem. sanna)
(inte båda prem. sanna)
(inte båda prem. sanna)
(inte båda prem. sanna)
4 / 30
Logisk slutledning (Modus tollens)
É
Modiferat exempel – denna typ heter modus tollens
premiss 1:
Satslogik: p1 → p2
Om riksbanken höjer räntan, så får många människor
mindre pengar kvar till nöjen.
premiss 2:
Satslogik: ¬p2
Det är inte så att många människor får mindre pengar
kvar till nöjen.
slutsats:
Satslogik: ¬p1
Riksbanken höjer inte räntan.
OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara
sann.
5 / 30
Bevis för Modus tollens
OM premisserna är sanna, så MÅSTE OCKSÅ slutsatsen vara
sann.
Enkla: Premiss 1 Premiss 2 Slutsats
p1 p2 p1 → p2
¬p2
¬p1
S
S
S
F
F
S
F
F
S
F
F
S
S
F
S
F
F
S
S
S
(inte båda prem. sanna)
(inte båda prem. sanna)
(inte båda prem. sanna)
(båda prem. sanna)
6 / 30
Detta exempel igen
Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet, så
kontaktar man vården direkt.
Om p1 eller p2 , så p3 .
Satslogik: (p1 ∨ p2 ) → p3
Villkorsdelen är uppfylld när minst en av angivna symptom
föreligger (p1 ∨ p2 ).
Detta blir då en bindande slutledning:
Premiss 1:
(p1 ∨ p2 ) → p3 (som ovan)
Premiss 2:
p2
(Barnet har ont i bröstet.)
Slutsats:
p3
(Man kontaktar vården direkt.)
7 / 30
Bevis för föregående
enkla:
Hjälp:
Premiss 1 Premiss 2 Slutsats
p1 p2 p3 p1 ∨ p2 (p1 ∨ p2 ) → p3
p2
p3
S S S
S
S
S
S *
S
S
F
S
F
S
F
S
F
S
S
S
F
S
S
F
F
S
F
F
F
F
S
S
S
S
S
S *
F
S
F
S
F
S
F
F
F
S
F
S
F
S
F
F
F
F
S
F
F
* – båda premisserna sanna.
8 / 30
Liten modifikation
enkla:
Hjälp:
Premiss 1 Premiss 2 Slutsats
p1 p2 p3 p1 ∨ p2 (p1 ∨ p2 ) → p3
p3
p2
S S S
S
S
S
S *
S
S
F
S
F
F
S
S
F
S
S
S
S
F *
S
F
F
S
F
F
F
F
S
S
S
S
S
S *
F
S
F
S
F
F
S
F
F
S
F
S
S
F *
F
F
F
F
S
F
F
* – båda premisserna sanna.
Nu i fyra fall, varav slutsatsen falsk i två.
9 / 30
Illustration av föregående
Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet, så
kontaktar man vården direkt.
Om p1 eller p2 , så p3 .
Satslogik: (p1 ∨ p2 ) → p3
Detta är INTE en bindande slutledning:
Premiss 1:
(p1 ∨ p2 ) → p3 (som ovan)
Premiss 2:
p3
(Man kontaktar vården direkt.)
Slutsats:
p2
(Barnet har ont i bröstet.)
10 / 30
Mer struktur inom satserna: predikat
É
Predikat täcker in egenskaper och relationer.
É
prediceras om individer, och vi får utsagor som är sanna
eller falska.
É
representeras av speciella symboler som vi bestämt skall
ha denna funktion.
É
De är indelade efter ställighet, som anger antalet
argument.
É
Predikatlogik – rikare än satslogik.
• predikat
• individkonstanter
• kvantifikatorer och variabler
11 / 30
Struktur inom satserna: individkonstanter
É
Vi behöver nu också namn på entiteter.
É
Dessa namn kallas individkonstanter.
É
Termen individ står i detta sammanhang bara för en
godtyckligt entitet. En individ kan alltså vara vad som
helst som man valt att referera till.
12 / 30
Struktur inom satserna: exempel
É
Individkonstanterna l och r för Stefan Löfven respektive
Fredrik Reinfeldt
É
Predikatet M för egenskapen att vara moderat.
É
Då: M(l) (Stefan Löfven är moderat) – falsk sats och
M(r) (Fredrik Reinfeldt är moderat) sann.
É
Vi kan kombinera dessa med hjälp av konnektiver:
Både Löfven och Reinfeldt är moderater
M(l) ∧ M(r)
(falskt)
Löfven eller Reinfeldt är moderat
M(l) ∨ M(r)
(sant)
13 / 30
Tvåställiga predikat (relationer)
É
G(p, l) kan då motsvara Pelle gillar Lisa om G svarar mot
relationen gillar.
Då blir G(l, p) Lisa gillar Pelle.
É
Och sedan:
É
Pelle gillar Lisa, men Lisa gillar inte Pelle
G(p, l) ∧ ¬G(l, p)
É
Pelle gillar Lisa, och Lisa gillar Pelle
Pelle och Lisa gillar varandra
G(p, l) ∧ G(l, p)
¬G(l, p)
Lisa gillar inte Pelle
14 / 30
Så här långt
É
Individkonstanter (namn)
É
Predikatssymboler
É
Dessa två ger enkla satser med viss struktur
É
Satslogikens operatorer
É
Varje sats refererar till ett ändligt antal individer
(namngivna av individkonstanter).
15 / 30
Två egenskaper och en individ
É
Fido är en hund som skäller.
Fido är en hund och Fido skäller.
H(f ) ∧ S(f )
É
Alltså: Någon, nämligen Fido, har båda egenskaperna
att vara hund och att skälla.
16 / 30
Andra förhållanden mellan egenskaper
É
Någon hund skäller, nämligen Fido – H(f ) ∧ S(f ).
É
Någon hund skäller. (Men vi vet kanske inte alls vilken.)
É
Inga hundar skäller. Ingen hund skäller.
É
Fem hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.)
É
Många hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.)
É
De flesta hundar skäller. (Men vi vet kanske inte vilka.)
Kvantifikation – hur extensioner förhåller dig till varandra.
17 / 30
Variabler
É
Om x är i Göteborg, så är x vid västkusten.
É
x är i Göteborg, men x äter inte glass.
É
x är en hund som skäller.
x är en hund och x skäller.
É
Om x är en hund, så jamar inte x.
Blir sanna eller falska om vi knyter individer till variabeln
(x).
18 / 30
Variabler och kvantifikatorer
Kvantifikatorer knyts till en variabel och en formel:
É
Existenskvantifikatorn – ∃ – ”någon”
det finns minst en entitet som kopplad till variabeln gör
den aktuella formeln sann
É
Allkvantifikatorn – ∀ – ”alla”
oavsett vilken entitet som kopplas till variabeln blir den
aktuella formeln sann
19 / 30
Exempel
É
Partikulär affirmativ:
Någon (minst en) hund skäller. (Men vi säger inte
vilken.)
∃x(H(x) ∧ S(x))
É
Negationen av det – universell negativ:
Ingen hund skäller. (Inga hundar skäller.)
¬∃x(H(x) ∧ S(x))
20 / 30
Exempel, fler
É
Partikulär negativ:
Någon (minst en) hund skäller inte.
Det finns någon hund som inte skäller.
∃x(H(x) ∧ ¬S(x))
É
Negationen av det – universell affirmativ
Det finns inte någon hund som inte skäller.
¬∃x(H(x) ∧ ¬S(x))
Med andra ord: Alla hundra skäller. Eller:
∀x(H(x) → S(x))
21 / 30
Predikatlogik
É
Individkonstanter (namn)
É
Predikatssymboler
É
Satslogikens operatorer
É
All- och existenskvantifikatorn med (tillhörande)
variabler.
Detta ger en ny typ av beroende mellan formler och
därmed mycket större uttryckskraft.
22 / 30
Existenskvantifikation, attribut
É
Det finns röda (R) tomater (T).
Det finns tomater (T) som är röda (R).
Mer strikt: Minst en sak är en tomat och röd.
∃x(T(x) ∧ R(x))
É
Det finns inga röda tomater.
¬∃x(T(x) ∧ L(x))
É
Det finns tomater som inte är röda.
Mer strikt: Minst en sak är en tomat och inte röd.
∃x(T(x) ∧ ¬R(x))
23 / 30
Koppling allkvantifikator/implikation
É
Alla hundar skäller.
Varje varelse som är en hund skäller.
Om en varelse är en hund så skäller den.
Om en varelse (x) är en hund så skäller den (x).
För alla x gäller: om x är en hund så skäller x.
∀x(H(x) → S(x))
24 / 30
Koppling allkvantifikator/implikation
Alla hundar skäller
∀x(H(x) → S(x))
För alla värden på x gäller:
(alltså: H(x) → S(x) skall alltid bli sann)
H(x) S(x) H(x) → S(x)
S
S
S villkorsdel och konsekvensdel uppfyllda
S
F
F villkorsdel uppfylld, men inte konsekvensdel
F
S
S villkorsdel ej uppfylld
F
F
S villkorsdel ej uppfylld
25 / 30
Koppling allkvantifikator/implikation
Alla hundar skäller
∀x(H(x) → S(x))
För alla värden på x gäller:
H(x) S(x) H(x) → S(x)
S
S
S x är en hund som skäller
S
F
F x är en hund som inte skäller
F
S
S x är något annat som skäller
F
F
S x är något annat som inte skäller
26 / 30
Existenskvantifikator/konjunktion
Någon hund skäller
∃x(H(x) ∧ S(x))
För minst ett värde på x gäller:
H(x) S(x) H(x) ∧ S(x)
S
S
S x är en hund som skäller
S
F
F x är en hund som inte skäller
F
S
F x är något annat som skäller
F
F
F x är något annat som inte skäller
27 / 30
Flera kvantifikatorer i en sats
É
(Åtminstone) en hund (H) gillar (G) (åtminstone) en
katt (K).
∃x∃y(H(x) ∧ K(y) ∧ G(x, y)
É
Ingen gillar alla hundar.
¬∃x(∀y(H(y) → G(x, y)))
É
Citroner (C) är surare än (S) apelsiner (A).
Om vi tolkar det som:
Varje citron är surare än varje apelsin.
∀x∀y((C(x) ∧ A(y)) → S(x, y))
28 / 30
Samband: all- och existenskvantifikation
”∃x(F(x))” betyder ”¬∀x(¬F(x))”.
Inte allting är icke-F.
”∀x(F(x))” betyder ”¬∃x(¬F(x))”.
Ingenting är icke-F.
29 / 30
Kvantifikation
É
Dessa kan (som vi sett) uttryckas i predikatlogik:
Någon hund skäller.
Alla hundar skäller.
Inga hundar skäller.
(Och dessa utgör dessutom aristoteliska kategoriska
satser.)
É
Dessa kan inte rakt av uttryckas i predikatlogik:
Många hundar skäller. (Vagt.)
De flesta hundar skäller. (Jämförelse av kardinaliteter.)
30 / 30
