SCI, Mekanik, KTH
1
Kontrollskrivning 1, SG1216 Termodynamik för T2
19 april 2010, kl. 9:15-11:45
Hjälpmedel: Den av institutionen framtagna formelsamlingen, matematisk tabell- och/eller
formelsamling (typ Beta), miniräknare (som inte får innehålla information med direkt anknytning till kursen).
Examinator: Anders Dahlkild
Bedömning: Varje rätt löst/besvarad uppgift ger 1 poäng. I undantagsfall kan ”nästan” rätt
eller mycket goda försök ge 0,5 poäng. För godkänd kontrollskrivning krävs 3 poäng.
1. Beräkna det arbete som uträttas på gasen i en cylinder vid isoterm kompression från volymen
V1 = 2 dm3 och trycket p1 = 100 kPa till volymen V2 = 0,25 dm3 . Du får anta att kompressionen
sker reversibelt. Skissa även processen i ett pV -diagram. Gasen kan betraktas som ideal med
konstanta specifika värmekapaciteter.
2. För att värma upp luften i ett bastuliknande utrymme lägger man in tio stycken uppvärmda
tegelstenar. Beräkna luftens slutliga temperatur, T2 , om utrymmet kan betraktas som lufttätt
och värmeisolerat från omgivningen. Trycket i utrymmet utjämnas kontinuerligt till det omgivande atmosfärstrycket genom en expanderande (friktionsfri) bälg som tillåter att luftens
volym ökar i utrymmet. Luftens initiala tillstånd då dörren just stängts med de heta stenarna i utrymmet ges av patm = 105 Pa , Tluft = 20◦ C , Vluft = 30 m3 (exklusive stenarnas
volym). De tio stenarna har då initialt temperaturen Tsten = 120◦ C, och deras sammanlagda
massa är densamma som den instängda luftens massa mstenar = mluft . Specifika värmet för
tegel är cp,sten = 960 J/(kg K). Luften kan betraktas som en ideal gas med konstanta specifika
värmekapaciteter enligt formelsamlingen.
3. Betrakta omvandlingen av vatten från vätskefas till ren ånga genom två olika processer
i en sluten behållare med varierbar volym. Begynnelse- och sluttillstånd är samma i de två
processerna. I begynnelsetillståndet befinner sig allt vatten vid kokpunkten patm , Tfg (patm ) i
vätskefas. I sluttillståndet befinner sig allt vatten vid kokpunkten patm , Tfg (patm ) i gasfas (ånga).
Skillnaden i specifik entalpi för vatten mellan de två tillstånden är givet till (∆h)12 = hfg (patm ).
a) I den första processen kokas vattnet vid konstant tryck och temperatur till dess all vätska
blivit gas (ånga).
b) I den andra processen sker först en isokor tryckhöjning från begynnelsetillståndet till det
kritiska trycket pkrit , följt av en isobar expansion, och slutligen en isokor trycksänkning till
samma sluttillstånd som i a). I denna process kommer de olika aggregationstillstånden inte att
samexistera i vattnet, som istället övergår kontinuerligt från att vara ”vätska” till att vara ”gas”.
Är det nettotillförda värmet under processen i b) större än, mindre än eller lika med det i a)?
Svaret skall motiveras!
4. Axeleffekten för att driva en kompressor är 2 kW och massflödet av luft in i kompressorn är
0,01 kg/s. Vad är tryck och temperatur för luften ut ur kompressorn om det vid inloppet gäller
att p1 = 100 kPa och T1 = 300 K? Tillståndsändringen för luften genom kompressorn kan
antas vara adiabatisk och reversibel. (Ändringen i luftens specifika rörelseenergi får försummas
och luften kan betraktas som en ideal gas med konstanta specifika värmekapaciteter.)
5. Luft med stagnationstillståndet p0 och T0 strömmar genom en Laval-dysa (först konvergerande,
sedan divergerande) och ut i ett stort omgivande rum. I detta rum råder atmosfärstryck,
patm = 100 kPa och temperaturen är Tatm = 300 K. Vad är det minsta tryck p0 som krävs
för att få ljudfart i minsta sektion, Mhals = 1, då areaförhållandet mellan halsen (minsta sek= 0,4? Du får anta att strömningen är adiabatisk och reversibel.
tion) och utloppet är AAhals
ut
SCI, Mekanik, KTH
3
Lösningar till kontrollskrivning 1, SG1216 Termodynamik för T2
19 april 2010, kl. 9:15-11:45
1. Det pV -arbete som uträttas på gasen är
Z V2
Z V2
Z V2
dV
dV
V2
mRT
p dV = −
= −mRT
= −p1 V1 ln( ) =
−W = −
V
V
V1
V1
V1
V1
0,25
= −100 · 103 · 2 · 10−3 · ln(
) J = 200 · ln(8) J = 416 J
2
2. Luften och tegelstenarna kan tillsammans betraktas som ett slutet system i det lufttäta
utrymmet. Uppvärmningen av luften i utrymmet och stenarnas avsvalnande sker vid konstant
tryck och värmeisolerat från omgivningen. Därmed gäller enligt 1:a huvudsatsen för det slutna
systemet att dH = δQ + V dp = 0 + 0. I det slutliga jämviktstillståndet har entalpin för systemet
inte ändrat sig så att
msten cp,sten Tsten + mluft cp,luft Tluft = (msten cp,sten + mluft cp,luft ) T2
där stenarna och luften har samma temperatur T2 i sluttillståndet. Eftersom mstenar = mluft får
man
msten cp,sten Tsten + mluft cp,luft Tluft
cp,sten Tsten + cp,luft Tluft
T2 =
=
=
(msten cp,sten + mluft cp,luft )
(cp,sten + cp,luft )
960 · 393,15 + 1004,5 · 293,15
=
K=
960 + 1004,5
= 342 K = 69◦ C
Alternativt används 1:a huvudsatsen på formen ∆U = Q − W med Q = 0 och W = patm ∆V ,
där enligt tillståndsekvationen för en ideal gas patm ∆V = mluft R (T2 − Tluft ). Resultatet blir
detsamma.
3. Förändringen i inre energi för systemet är samma i de två processerna eftersom begynnelseoch sluttillstånd är desamma. Det utförda arbetet är dock större i b), Wb = pkrit (Vg − Vf ),
eftersom expansionsarbetet sker vid ett högre tryck än i a), Wa = patm (Vg − Vf ). Därför måste
även nettotillfört värme vara större i b) än i a) om skillnaden ∆U = Q − W är densamma för
de två processerna. (Det värme per massenhet som tillförs vid konstant tryck i processen a) ges
av ångbildningsvärmet hfg = 2260 kJ/kg för vatten vid atmosfärstryck, enligt formelsamlingen.
Det netto överförda värme som tillförs i b) blir Qb = m hfg + (pkrit − patm )(Vg − Vf ).)
4. I en kompressor är det utförda axelarbetet negativt. Det utförda axelarbetet per massenhet
i kompressorn blir
−2 · 103 J/s
Ẇaxel
=
= −200 kJ/kg.
ṁ
0,01 kg/s
Den 1:a huvudsatsen för ett öppet system med en ideal gas ger då
waxel =
200 · 103
−waxel
=
K = 200 K.
cp
1004,5
För adiabatiska och reversibla tillståndsändringar gäller vidare att
γ−1
γ
1,4
T2
p2 γ
p2
T2 γ−1
500 0,4
=
⇒
=
=
= 5,98 ⇒ p2 ≈ 600 kPa.
T1
p1
p1
T1
300
cp ∆T + 0 + 0 = 0 − waxel ⇒ ∆T =
∗
5. Vid ljudfart i minsta sektion gäller att AAut = AAhals
= 0,4. Tabell för isentropisk strömning
ut
ger Mut = 0,24 och put /p0 = 0,96, alternativt Mut = 2,44 och put /p0 = 0,064. Eftersom
put = patm är givet måste det subsoniska fallet vara det med minst värde på p0 . Det ger att
100
p0 = patm / 0,96 = 0,96
kPa = 104,2 kPa.
