HEMUPPGIFT I MATEMATIK
Tid: 30 juli–6 augusti klockan 12.00.
Instruktioner. Hemuppgiften utgörs av 5 uppgifter. För att bli Godkänd
krävs 50% rätt.
Följ nedanstående instruktioner.
• Lämna bara in en (1) uppgift per pappersark.
• Hemuppgiften är personlig. Det betyder att var och en lämnar in
sina egna uppgifter. Plagiat räknas som fusk.
• Var noggrann och skriv snyggt. Om jag inte tycker detta följs så
lämnar jag tillbaka uppgiften så ni får göra om.
• Motivera (=begrunn) alltid era lösningar. Det är bättre att ha för
mycket detaljer än för lite.
• Räkna med att ni får tillbaka uppgifter att göra om, för jag kommer
att rätta hårt.
• Försök lösa alla uppgifter.
• Jag kommer att betygsätta1 uppgifterna enligt
”Väl godkänd”, ”Godkänd” och ”Icke-godkänd”.
Målet är att alla ska bli godkända på hela hemuppgiften (även om
vissa uppgifter är icke-godkända). Med andra ord så kommer jag
att skicka tillbaka hemuppgiften så många gånger det krävs för att
ni ska bli godkända.
• Denna hemuppgift kan återfinnas på
http : //home.hio.no/~daniell.
¨
Enjoy! `
Daniel Larsson
Høgskolen i Oslo
1Betygen (=karakter) på den slutliga examen kommer att vara standard ”A–F”.
Glöm inte att motivera (=begrunn) era lösningar!
Uppgift 1. Lös följande uppgifter.
(a) Beräkna
2 3
2 3
2 3
2.3
+ ,
− ,
· , och
.
9 8
9 8
9 8
9 8
Förenkla era svar så långt det går. Gör hela uträkningen i bråk.
(b) Förenkla
√
√
√
3
4
2
32,
32, och
32
så långt det går.
(c) Förenkla
62 + 6−7 ,
62 − 6−7 ,
62 · 6−7 ,
och
62 6−7
så långt det går.
√
√
√
(d) Ge ett exempel där a + b 6= a + b. Kan ni ge ett exempel
när
faktiskt
√ gäller? Försök visa att om a, b 6= 0, så är aldrig
√ detta √
a + b = a + b.
1
+ 3 + x + 2x2 + x4 .
x
Beräkna f (1/2). Gör uträkningen i bråk och ge svaret som bråk.
Teckna grafen till f (x).
Från grafen, avläs lösningarna f (x) = 0.
I vilka intervall är funktionen kontinuerlig? Motivera!
Uppgift 2. Låt f (x) =
(a)
(b)
(c)
(d)
Uppgift 3. Låt P (x) = x4 − 2x3 − 21x2 + 22x + 40.
P (x)
.
(a) Beräkna
x+4
(b) Är x = −2 en lösning till P (x) = 0?
(c) Lös P (x) = 0, givet att x = 2 är en lösning.
(d) Låt Q(x) vara det rationella uttrycket
P (x)
.
(x − 2)(x + 1)(x − 3)
När är Q(x) < 0?
(e) För vilka a ∈ R har x2 + ax + 2 = 0 heltalslösningar?
Uppgift 4. Lös följande uppgifter.
(a) I den rätvinkliga triangeln 4ABC är ∠A = 42◦ , ∠C = 90◦ , och
längden |AC| = 10. Finn längderna |AB|, |BC| och vinkeln ∠B.
(b) Lös ekvationen 3 sin α + 15 = 0 i intervallet α ∈ [270◦ , 360◦ ).
(c) Om sin α = 2/7, för α ∈ [0◦ , 90◦ ], vad är då cos α, sin 2α, cos 2α och
tan α?
3
Uppgift 5. Astronomen Andrea Ghenz vet att avståndet från jorden (J)
till stjärnan Sirius (S) är 8.6 ljusår. Hon vet också att avståndet mellan en
mycket ljussvag stjärna Y och jorden är 13.4 ljusår2. Vinkeln α är vinkeln
som bildas av linjerna JS och JY. Professor Ghenz kan mäta upp α till
9.3◦ .
(a) Hur stort är avståndet mellan Sirius och Y?
(b) Exakt ett år senare gör hon en ny mätning. Då finner hon att
avståndet från jorden till Y har ökat till 14.6 ljusår och vinkeln
α har nu blivit 8.5◦ . Hur stor är Y’s fart relativt jorden? Jag söker
alltså både storlek och riktning. Ange storleken i km/h.
(c) Hur mycket närmare har Sirius och Y kommit varandra?
Naturligtvis antar vi att stjärnornas rörelser sker i ett plan.
Lycka till!
E-mail address: [email protected]
URL: http://home.hio.no/˜daniell
2Förutom avståndet mellan jorden och Sirius, är datan i denna uppgift fiktiva. Det
betyder att om ni tycker att svaren är något orimliga, så kan det gott hända. Andrea
Ghenz är förövrigt en riktig och högst levande astronom. Hon håller på med liknande
beräkningar som denna.
