Sats- och predikatlogik
Logik
”Logik har med tänkande att göra. Tänker man
logiskt, tänker man rätt. Tänker man ologiskt, tänker
man fel.”
”En första bestämning av, vad logik är, är därför
följande: Logik är läran om korrekta resonemang.”
(K. B. Hansen, Grundläggande logik)
Satslogik
”Satslogiken är en del av predikatlogiken. I
satslogiken ser man i en sats bara till de delsatser
som ingår i satsen och de konnektiv som binder
ihop delsatserna.”
(K. B. Hansen, Grundläggande logik)
Vad är då en sats? Vad är ett konnektiv?
Satser (utsagor)
Däremot betraktas inte yttranden av typen:
•
•
•
•
S: Var är jag? (frågesats)
T: Dra åt skogen! (kommandosats)
U: Matematik är roligt.
V: Detta påstående är falskt. (paradox)
som utsagor i satslogisk mening, då de inte kan
sägas vara definitivt sanna eller falska.
”Satslogiken är egentligen ett fragment av
predikatlogiken. Predikatlogiken är all den logik
man behöver. Varför då använda tid på att studera
satslogiken separat? Av pedagogiska skäl! Det
visar sig vara lättare för de flesta att först lära sig
de satslogiska begreppen och operationerna
separat.”
(K. B. Hansen, Grundläggande logik)
Satser (utsagor)
”Den sortens satser som behandlas i sats-logiken är
påståendesatser, d v s satser som uttrycker ett sakförhållande,” som i det givna sammanhanget har ett
sanningsvärde, d v s antingen är sanna eller falska men
inte både och.
Exempel:
(K. B. Hansen, Grundläggande logik)
• P: Klockan är nu tjugo minuter över fem.
• Q: Månen är en ost.
• R: Greta Garbo har i natt avlidit, 85 år gammal.
Satser (utsagor)
Satser brukar betecknas med stor bokstav och
deras sanningsvärden med liten bokstav.
Exempel:
• Q: Månen är en ost.
• q: sanningsvärdet hos Q (S eller F, i detta fall F).
1
Konnektiv (logiska operatorer)
Två utsagor, P och Q, kan på olika sätt kombineras
till en ny utsaga med hjälp av en logisk operator. De
vanligaste är:
Konjunktion (”och”, ”AND”): Skrivs P ∧ Q och är
sann om och endast om både P och Q är sanna.
• Disjunktion (”eller”, ”OR”): Skrivs P ∨ Q och är
sann om och endast om minst en av P och Q är sanna.
• Negation (”icke”, ”NOT”): Skrivs ¬P och är sann
om och endast om P är falsk.
•
Konnektiv (logiska operatorer)
Exempel: Om vi tar utsagorna
P: Klockan är nu tjugo minuter över fem.
Q: Månen är en ost.
Så tolkar vi:
P ∧ Q: Klockan är nu tjugo minuter över fem och
månen är en ost.
P ∨ Q: Klockan är nu tjugo minuter över fem eller
månen är en ost.
¬Q: Månen är inte en ost.
Sanningstabell
Boolsk algebra
Satslogiken med mängden av satser och de tre
logiska operatorerna ”och”, ”eller” och ”icke” utgör
en Boolsk algebra.
Ett alternativt sätt att definiera de tre operatorerna
är genom en sanningstabell där man skriver vilka
sanningsvärden de olika operatorerna får för alla
möjliga kombinationer av värden på de boolska
variablerna p och q.
p
F
F
S
S
Flera logiska operatorer
Två utsagor, P och Q, kan även kombineras till en ny
utsaga med hjälp av följande logiska operatorer:
(”medför att”): Skrivs P → Q och utläses ”P
medför Q” eller ”om P så Q”.
• Ekvivalens: Skrivs P ↔ Q och är sann om och endast om P
och Q har samma sanningsvärde.
•
Implikation
p q
F F
F S
S F
S S
p→q
S
S
F
S
p↔q
S
F
F
S
q
F
S
F
S
p∧q
F
F
F
S
p∨q
F
S
S
S
¬p
S
S
F
F
Tautologi
En utsaga som är sådan att den alltid är sann
oavsett sanningsvärdena på dess olika variabler
kallas för en tautologi.
Exempel:
• P ∨ ¬P
• (P ∧ (P → Q)) → Q
2
Logisk ekvivalens
Två utsagor P och Q som är sådana att de alltid
antingen är båda falska eller båda sanna sägs vara
logiskt ekvivalenta. Med andra ord: P och Q är
logiskt ekvivalenta om och endast om P ↔ Q är
en tautologi. För att markera att P och Q är logiskt
ekvivalenta så skriver man P ⇔ Q.
Exempel:
• ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
• P → Q ⇔ ¬Q → ¬P
Logisk implikation
När man säger att P → Q är en tautologi betyder
detta att utsagan P → Q alltid är sann. Man säger
då att P logiskt implicerar Q. Detta betecknar man
P ⇒ Q.
Således:
Beteckning
Logisk
ekvivalens
Logisk
implikation
Betydelse
P⇔Q
P ↔ Q är en
tautologi
P → Q är en
tautologi
P⇒Q
Logiskt argument
Logiskt argument (exempel)
Ett logiskt argument består av
• ett antal logiska utsagor, kallade hypoteser eller
förutsättningar (H1, H2, …, Hn), och
Hypoteserna:
Argumentet skrivs formellt:
Argumentet skrivs formellt:
• en slutsats (som också är en logisk utsaga) (C).
H1
H2
:
Hn
C
Logiskt argument (exempel)
Hypoteserna:
H1: Stockholm ligger i Sverige.
H2: Oslo ligger i Norge.
H3: Köpenhamn ligger i Danmark.
Slutsatsen:
C: Helsingfors ligger i Finland.
Argumentet skrivs formellt:
Stockholm ligger i Sverige.
Oslo ligger i Norge.
Köpenhamn ligger i Danmark.
Helsingfors ligger i Finland.
H1: Det regnar idag.
H2: Dagen efter det regnat blir det alltid solsken.
Slutsatsen:
C: Det blir solsken imorgon.
Det regnar idag.
Dagen efter det regnat blir det alltid solsken.
Det blir solsken imorgon.
Logiskt argument
Ett logiskt argument sägs vara giltigt då dess slutsats
är sann så fort alla dess hypoteser är sanna, d v s argumentet är
giltigt då och endast då H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ⇒ C.
Definition:
Ett uppenbart sätt att avgöra om ett visst argument är giltigt eller
ogiltigt är att göra en sanningstabell över hypoteser och slutsats.
Kontrollera om slutsatsen har värde S på
q p→q
alla rader där alla hypoteser har värde S. p
Exempel: Är följande argument
F
F
S
giltigt?
P
F
S
S
P→Q
S
F
F
Q
⇒
S
S
S
3
Logiskt argument
Ofta ingår det många boolska variabler i ett argument och att
göra en fullständig sanningstabell blir då besvärligt. Man kan då
använda andra metoder för att avgöra ett arguments giltighet:
• Resonemang: Man är egentligen bara intresserad av de rader
där man hittar ett S under varje hypotes. Man kan då resonera sig
fram till om det då också måste stå S under slutsatsen eller inte.
• Motexempel: Om man kan hitta ett exempel på
sanningsvärden på variablerna som gör hypoteserna sanna men
slutsatsen falsk, så har man visat att argumentet är ogiltigt.
• Motsägelsebevis: Man antar att hypoteserna är sanna och
slutsatsen falsk. Om man lyckas visa att detta leder till en
motsägelse, så har man visat att om hypoteserna är sanna så kan
inte slutsatsen vara falsk. Med andra ord har man visat att
argumentet är giltigt.
4
