Differentialekvationer och reaktionskinetik
Enzymkatalys med Chymotrypsin
Enzymer är naturens egna katalysatorer och enzymkatalyserade reaktioner spelar en viktig roll i cellens och
levande organismers kemi, dvs. inom biokemin. Reaktionsvägarna kan bestå av flera olika delsteg och involvera
flera intermediärer (mellanprodukter), vilket i allmänhet gör enzymreaktioner till mycket komplexa förlopp. Den
enklaste typen av enzymreaktion har en enda intermediär och åskådliggörs i reaktions-schemat (1)
→
←
→ E+P
(1)
där k11, k12 och k2 är hastighetskonstanterna för delreaktionerna. I första steget bildar enzymet E och substratet S
ett komplex ES (intermediären) med hjälp av intermolekylära krafter, och är så löst sammansatt att man måste ta
hänsyn till bakåtreaktionen då komplexet faller sönder i E och S. Slutprodukten (P) bildas i det andra steget, som
bara består av en framåtreaktion ty bakåtreaktionen (då produkten skulle återgå till ES) är försumbart långsam.
Kinetiken för reaktionen (1), det vill säga hur koncentrationerna av de fyra reaktionsdeltagarna varierar med
tiden, kan beräknas analytiskt (penna och papper) men bara om man gör en steady-state approximation med
avseende på enzymkomplexet ES vilket innebär att dess koncentration antas vara konstant i tiden (d[ES]/dt = 0).
Då kunde Leonor Michaelis och Maude Menten härleda följande uttryck för hur fort produkten bildas (d[P]/dt)
(2a)
(2b)
där [E]t =[E]+[ES] är den totala enzymkoncentrationen. Enzymreaktioner som låter sig modelleras med ekvation
(2) sägs ha Michaelis-Menten-kinetik1.
I denna uppgift skall du undersöka hur väl steady-state-approximationen fungerar när enzymet Chymotrypsin
använder vatten för att bryta (hydrolysera) en amidbindning i substratet enligt reaktionen
R-C(O)NH-R’ + H2O → R-COOH + H2N-R’
(3)
där R och R’ är två substituenter.
1. Börja med att schematiskt rita en graf som visar fyra kurvor över hur ni tror koncentrationerna av substrat (S),
enzym (E), intermediär (ES) och produkt (P) varierar med tiden. Vid t = 0 finns bara enzym och substrat.
2. Modellera nu enzymkatalysen genom att ställa upp hastighetsuttrycken för reaktionerna i (1). Simulera sedan
reaktionskinetiken i MATLAB genom att lösa detta system av kopplade differentialekvationer. Från början är
[E]0= 0.5 M och [S]0 = 1M. Åskådliggör lösningen grafiskt i form av hur de beräknade koncentrationerna beror av
tiden. För den aktuella kombinationen av enzym och substrat är värdena på hastighetskonstanterna
k11 = 0.01 M-1s-1
k12 = 0.000587 s-1
k2 = 0.069 s-1
Reaktionerna i (1) kan alla antas vara elementära. Stämmer då enheterna på hastighetskonstanterna och varför?
Verkar det rimligt att försumma bakåtreaktionen i andra steget när man måste ta hänsyn till bakåtreaktionen i första
steget? Tips: Vilka slags bindningar bryts vid de två bakåtreaktionerna?
3. Stämmer steady-state-approximationen med avseende på ES? (Tips: Undersök beräknade d[ES]/dt som funktion
av tiden). Variera kvoten [E]0/[S]0 och undersök för vilka värden på kvoten som steady-state gäller. Vad är vanliga
koncentrationer av enzym och substrat i biokemiska reaktioner?
4. Jämför era beräknade värdena på hur produkt-koncentrationen [P] varierar med tiden med vad Michaelis-Menten
approximationen förutspår enligt ekvation (2). Tips: I denna approximation finns bara två variabler, [S] och [P],
eftersom det gäller att d[S]/dt = -d[P]/dt (vilket ni inte behöver visa).
5. Skriv gruppvis en kort rapport (maximalt 10 sidor inklusive figurer och bilagor) som minimalistiskt tar med alla
delar som skall ingå i en rapport2, inklusive en resultatdel med graferna från 1-4 och en diskussionsdel med svaren
på frågorna under 2-4. Kom ihåg att numrera figurer och ekvationer på korrekt sätt och att ange källor. Rapporten
rättas av kemiläraren och mejlas till [email protected].
1
P. Atkins, L. Jones, Chemical Principles, 5:e uppl, Freeman&Co, 2010, s. 600.
2
Skrivanvisningar för rapporter, kandidatarbeten samt examensarbeten på masternivå vid Chalmers tekniska högskola
