Materievågor

Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
Kapitel 4. Materievågor
1
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
Överblick
Överblick
• Kring 1925 började många viktiga kvantkoncept ha sett dagsljuset. I det
här kapitlet introduceras de viktigaste av dessa, förrän vi i nästa kapitel
på allvar går in på kvantmekaniken och dess formalism.
2
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-1. de Broglies postulat
4-1. de Broglies postulat
3
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-1. de Broglies postulat
4
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-1. de Broglies postulat
5
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-2. Elektrondiffraktion
4-2. Elektrondiffraktion
https://www.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc
6
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-2. Elektrondiffraktion
4-2. Elektrondiffraktion
7
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-2. Elektrondiffraktion
8
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-3. Våg-partikel-dualitet
4-3. Våg-partikel-dualitet
• Både ljus och elektroner hade nu bevisats ha såväl våg- som
partikelnatur. Denna duala natur slogs fast i komplementaritetsprincipen.
Enligt denna princip kan materia och strålning fullständigt förklaras med
hjälp av både partikel- och vågbilden tillsammans. Förklaringarna från
bägge bilderna kan inte visas vara motstridiga eftersom man inte kan
utforma ett experiment som mäter båda aspekterna (våg/partikel) av ett
fenomen på en och samma gång.
9
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-3. Våg-partikel-dualitet
Tvåspaltsdiffraktion. Intensiteten
uppmäts m.h.a. en fotocell i
punkten P på detektorn.
• Betrakta diffraktionsexperimentet ovan. Då ljus med våglängd av samma storleksordning som
för de två spalterna (hålen) insänds kommer det att uppkomma ett interferensmönster i
detektorn som är placerad efter spalterna. Motsvarande händer då elektroner med lämpligt
kort de Broglie-våglängd används istället för ljus.
• Ljusets medelintensitet per areaenehet i punkten P på detektorn är
där
avser den inkommande vågens elfältsvektor. Detta elfält uppfyller en vågekvation som
relaterar rums- och tidsberoendet hos vågen.
• Om vi istället för vågor tanker oss partiklar får vi intensiteten
ℎ
≡
där anger antalet fotoner (per yta och tid) som når punkten P. Detektorn innehåller
fotoceller som genererar en ström då de mottar energin ℎ .
10
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-3. Våg-partikel-dualitet
• Ekvation ovan antyder att sannolikheten att en foton
detekteras i punkten P är proportionell mot
för det
inkommande ljuset. Om man använder t.ex. elektroner istället
där
för ljus kan vi föreställa oss en analog formel
∝
är elektronernas energi. Vi förväntar alltså att vi kan associera
ett fält Ψ med elektronen och att detta fält kommer att
uppfylla nån sorts vågekvation.
• Då minskar har vi inte längre en kontinuerlig distribution av
elektroner, utan enskilda utspridda träffar i detektorn. Det här
innebär alltså att varje enskild elektron passerar genom båda
öppningarna för att diffraktion ska ske!
Diffraktionsmönstret från elektroner byggs upp av enskilda elektroner som passerat genom
spalterna.
11
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-4. Heisenbergs osäkerhetsprincip
4-4. Determinism, slumpmässighet och
Heisenbergs osäkerhetsprincip
• Enligt klassisk mekanik kan vi alltid exakt bestämma ett objekts position ⃗ m.h.a. Newtons
andra lag
= , så länge vi känner samt positionen och hastigheten för objektet vid
en viss tidpunkt. En sådan determinism gäller inte i kvantmekaniken, vilket vi redan sett i
exemplet med elektrondiffraktion genom två spalter, där vi aldrig med säkerhet kunde säga
var enskilda elektroner skulle träffa vår detektor.
• I del 4-3 relaterade vi sannolikheten för att finna partikeln i en viss punkt med en vågfunktion
, .
• I kvantmekaniken övergår vi från att försöka lösa ut
till att försöka lösa ut
. Den slumpmässiga
observationen av vårt kvantobjekt kommer att beskrivas genom sannolikhetstolkningen av utan att
på något vis försöka definiera vilken väg (dvs ( )) objektet tagit för att nå observationspunkten.
• Makroskopiska objekt kan fortfarande antas vara deterministiska
• Endast då de Broglie-våglängden närmar sig storlekar där den kunde växelverka med systemet (genom
diffraction el.dyl) behöver vi övergå till att betrakta systemet kvantmekaniskt.
12
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-4. Heisenbergs osäkerhetsprincip
• 1925 introducreade Heisenberg en formalism med vilken kvantpartiklars dynamik kan
beskrivas. Hans metod byggde på variabler i form av matriser som var matematiskt
konstruerade så att de kunde ta i beaktande själva mätningen av variablerna.
• Denna formalism är dock aningen mer komplicerad än vågmekanikbaserade formalismen som vi
kommer att använda oss av.
• Heisenberg fann att vissa variabler är konjugerade (kopplade) och kunde härleda sin
kända osäkerhetsprincip, där den mest kända formen är
ℏ
Δ Δ ≥
2
• Ekvationen ger en begränsning (osäkerhet) för hur noggrannt vi kan uppmäta en
partikels rörelsemängd och läge samtidigt.
• Samma ekvation kunde också senare härledas från vågmekaniken.
• Om vi kunde erhålla det exakta resultatet för en partikels rörelsemängd (Δ
skulle osäkerheten i läget bli oändlig (Δx = ∞).
= 0)
13
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
4-5. Vågor och vågpaket
• Vi är nu så gott som redo att på allvar börja sätta oss in i kvantmekaniken. Vårt mål i
den här sista delen är att introducera nödvändiga begrepp för betraktelsen av
partiklar i form av vågor.
• Speciellt är vi intresserade av begreppet “lokalisering”, eftersom vi vill beskriva en partikel med en
våg som därmed inte får ha oändlig utsträckning
• Vi börjar med en monokromatisk våg som rör sig i den positive x-axelns riktning. En
lösning till vågekvationen är
,
= cos 2
−
=
cos
−
Notera att vi slipper faktorn 2 genom att övergå till att använda vågtalet = och
vinkelfrekvensen = 2 . Argumentet för kallas för vågens fas och bestämmer
vågens beteende som funktion av de oberoende plats- och tidsvariablerna.
14
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
• Vågfunktionen är i konstant rörelse och dess amplitud bestäms av och .
• Om vi väljer en viss tid =
kan vi studera
:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-20
-15
-10
• Om vi väljer en viss plats x =
-5
0
5
kan vi studera
10
15
20
:
Se
https://en.wikipedia.org/wiki/Wave#/media/
File:Simple_harmonic_motion_animation.gif
för animationen.
15
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
• Vågens fas definerades som
−
= . T.ex. vågtoppens position kan då skrivas
=
.
Hastigheten med vilken vågen rör sig längs med x-axeln kallas fashastigheten och beräknas enligt
=
=
=
• Förrän vi går vidare ska vi ännu påminna oss om komplexa tal eftersom vi kommer att finna det
enklare att utföra beräkningar om vi beksriver vågorna som exponentfunktioner istället för
trigonometriska funktioner.
•
• cos
= cos + sin
=
=
• Således kan vi skriva vår vågfunktion som
, = cos
−
=
• Vi noterar ännu att ovanstående formler gäller vågor som rör sig i den positive x-axelns riktning, och
−
till − −
.
för vågor som rör sig i motsatt riktning måste vi ändra fasvariabeln
16
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
• Vi vill nu försöka konstruera en vågfunktion som kan motsvara en partikel. Ekvationen från förra
sidan har ett väldefinierat värde för vågtalet , vilket innebär att vi känner våglängden = 2 ⁄
utan nånsomhelst osäkerhet (Δ = 0). Detta i sin tur betyder att Δ = ∞, vilket innebär en total
brist på lokalisering.
• Vi kan uppnå en högre nivå av lokalisering genom en superposition av flera vågfunktioner med olika
våglängd och frekvens. Vi illustrear detta genom att kombinera två vågfunktioner enligt
= cos
+
−
+
+ cos
−
−
−
vilket i exponentform kan skrivas
=
=
= 2 cos
= 2 cos
−
−
+
cos
+
−
• Vår superposition av två vågfunktioner ledde alltså till en produkt
av två cosinus-funktioner
Summavågen av vår superposition. Den högre frekvensen kommer från den senare
termen, medan den lägre frekvensen (modulationen) kommer från den första
termen i ekvationen ovan. Inom akustiken kallas fenomenet ”svävning” då två
närliggande toner ger upphov till en lågfrekvent upp- och nedgång av ljudstyrkan.
17
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
• De två vågorna rör sig båda längs x-axeln, men med olika hastighet. Den mer högfrekventa rör sig
med fashastigheten
= medan modulationen rör sig med grupphastigheten = .
Fashastighet och grupphastighet. I animeringen
(https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity#/media/File:
Wave_group.gif) rör sig röda punkten med fashastigheten,
medan de gröna punkter rör sig med grupphastigheten.
Fashastighet och grupphastighet. I vissa fall kan
fas- och grupphastigheterna vara i olika riktningar,
såsom i denna animering
(https://en.wikipedia.org/wiki/Group_velocity#/me
dia/File:Wave_opposite-group-phase-velocity.gif).
• Trots att denna superposition lett till en modulering/variation av den totala vågfunktionens
amplitud, är vågen fortfarande utsträckt över hela x-axeln. Om vi ökar på antalet olika vågor med
olika och kommer vi att öka på separationen mellan våggrupperna. Men så länge vi adderar ett
ändligt antal vågor kommer resultatvågen fortfarande att ha en oändlig utsträckning.
• Därmed måste vi addera ett oändligt antal vågor för att uppnå vårt mål med en lokaliserad vågfunktion.
18
Kvantfysikens grunder, 2017
Kapitel 4. Materievågor
4-5. Vågor och vågpaket
• Ett vågpaket (se bilden nedan) uppvisar de egenskaper vi önskat:
nämligen en lokalisering till en begränsad del av x-axeln samt möjlighet
för rörelse längs med x-axeln med grupphastigheten .
Exempel på ett vågpaket som representerar en partikel som rör sig åt höger.
(https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_packet#/media/File:Wave_packet_(dispersion).gif)
• För att konstruera ett vågpaket kan vi bilda en superposition av vågor
enligt
=
Med hjälp av amplitudfunktionen ( ) kan vi bilda vågpaket av olika
former. I det här skedet går vi inte längre än så, utan vågfunktionernas
form kommer att bestämmas av systemet som studeras.
19